线性代数第一章+矩阵习题辅导

线性代数第一章+矩阵习题辅导
线性代数第一章+矩阵习题辅导

第一章矩阵

§1.1基本要求、重点、难点内容

1.1.1基本要求

1.熟练掌握矩阵的各种运算及其运算规律;

2.理解逆阵定义与性质,掌握逆阵计算方法;

3.熟练掌握矩阵的初等变换,了解初等矩阵的性质;

4.掌握初等变换化矩阵为行阶梯矩阵、行最简矩阵方法;

5.了解矩阵的标准形,理解矩阵秩的定义,掌握用初等变换求矩阵秩的方法;

6.了解分块矩阵及其运算,掌握分块矩阵初等变换;

7.了解矩阵秩的等式与不等式.

1.1.2重点内容

1.矩阵运算;

2.初等变换、矩阵的相抵;

3.求逆阵、矩阵的秩.

1.1.3难点内容

1.分块矩阵及其初等变换;

2.矩阵秩的等式与不等式证明.

§1.2主要内容

1.2.1矩阵定义

定义1.2.1.称m×n个数a ij(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n)排成的m行n列的矩形

表格

a11a12···a

1n

a21a22···a

2n

(1.2.1)

············

a m1a m2···a

mn

为m×n矩阵,简记为(a

),其中a ij称为矩阵的第i行第j列交叉点上的元素(简称元).

ij

m×n

注1.本书中的矩阵除特别说明外,都指实矩阵,即矩阵(a ij)m×

m×n实矩阵全体记为R m×n,m×n复矩阵全体记为C

n中元素a ij为实数.

m×n.

2.n×n矩阵称为n阶方阵.方阵A=(a中元素a11,a22,···,a

)nn称为A的主对

ij

n×n

角元.

1

2第一章矩阵

3.两个m×n阶的矩阵称为同型矩阵或同维矩阵.

定义1.2.2.如果两个同型矩阵A=(a ij),B=(b ij))满足a ij=b ij(i=

m×n m×n

1,2,···,m;j=1,2,···,n)则称A和B相等,记为A=B.

1.2.2特殊矩阵

1.零矩阵所有元素都为零的矩阵,称为零矩阵,记为0.

2.行向量1×n矩阵称为n维行向量.

3.列向量m×1矩阵称为m维列向量.例如

下列n×1矩阵

100

01

...

.

.

.

e1=,e2=.

.,···,e n=.,

000

001

为n维列向量.

任意一个m×n阶矩阵可以表示为行向量和列向量的简单形式.例如,矩阵

A=

a b c d,

1211

1111

设α1,α2,α3为A的第1行至第3行对应的行向量,则A=

α2.一般称α1,α2,α3为A的

α1

α

3 行向量组.

类似地,设β1,β2,β3,β4分别为A的第1列至第4列对应的列向量,称β1,β2,β3,β4为A的列向量组.此时A=(β1,β2,β3,β4)

5.单位矩阵主对角元全为1,其余元素全为零的n阶方阵称为n阶单位矩阵,记为I.

6.对角矩阵非主对角元均为零的n阶矩阵,称为对角矩阵,记为diag(d1,d2,···,d

),

n

其中d1,d2,···,d n为主对角元.如果d i=k(i=1,2···,n),则称其为数乘矩阵,记

为kI.

7.上(下)三角矩阵主对角元下方(上方)元素都为0的n阶方阵,称为n阶上(下)

三角矩阵.

阵.8.对称矩阵设A=(a ij),且a ij=a ji(i,j=1,2,···,n),则称A为n阶对称矩

n×n

9.反对称矩阵设A=(a ij)且a ij=?a ji(i,j=1,2,···,n),则称A为n阶反对

n×n

称矩阵.

§1.2主要内容3 1.2.3矩阵的运算

1.矩阵的加法运算

B.定义1.2.3.设A=(a ij),B=(b ij),称(a ij+b ij)为A与B之和,记为A+

m×n m×n m×n

2.矩阵的负运算

定义1.2.4.设A=(a ij),称(?a ij)为A的负矩阵,记为?A.

m×n m×n

利用矩阵的加法运算和负运算,定义矩阵的减法运算,即A?B=A+(?B). 3.矩阵的数乘运算

定义1.2.5.设A=(a ij),k为数,称(ka ij)为矩阵A与k的乘积或数乘,记为kA

m×n m×n

或Ak.

矩阵的加法运算、数乘运算统称为矩阵的线性运算.

矩阵的线性运算具有下列性质.

(1)加法的交换律A+B=B+A;

(2)加法的结合律(A+B)+C=A+(B+C);

(3)零矩阵满足0+A=A+0=A;

(4)负矩阵满足A?A=0;

(5)数乘结合律(λμ)A=λ(μA),其中λ,μ为数;

(6)数乘分配律

(λ+μ)A=λA+μA,λ(A+B)=λA+λB,其中λ,μ为数;

(7)1A=A;

(8)0A=0.

4.矩阵的乘法运算

定义1.2.6.设A=(a ij).称m×n矩阵C=(c ij)为A与B的乘

,B=(b ij)

m×s s×n m×n

积,其中

∑s

c ij=a i1b1j+a i2b2j+···+a is b sj=a ik b kj

(1.2.2) k=1

(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n).

记为C=AB.

注(1)行向量与列向量相乘的结果是一行一列的矩阵,即

(a1,a2,···,a

s )

b1

b2

..

.

b s

=(

s

k=1

a k

b k)

.

4第一章矩阵

有时将其简记为对应的数.

4.方阵的幂运算

定义1.2.7.设A是方阵,定义

称A k为A的k次幂.A0=I,A k=

k

z}|{

AA···A(k为正整数),

幂运算满足如下运算律

A k A l=A k+l,(A k)l=A kl.(1.2.3)注一般未必有(AB)k=A k

B k.当AB=BA时,有(AB)k=A k B k,特别有

其中(i)

=.

n!

n

i!(n?i)!

n 设多项式f(x)=

i=0

6.矩阵的转置运算

n

(A+B)=

n

a i x

i,称

i=0

()

i

i=1

∑n

n

i n?

i

A B,

a i A i为矩阵A的多项式,记为f(A).

i为矩阵A的多项式,记为f(A).

定义1.2.8.设

A=

a

a···a

1n

2n

a

a···a ...

...

...

a

a···a ,

(1.2.4)

mn

为A的转置矩阵,记为A T.

a11a21···a

m1

m2

a12a22···a

..

.

...

.

..

a1n a2n···a

mn 矩阵转置运算有如下性质

(1)(A T)T=A

(2)(A+B)T=A T+B T;

(3)(λA)T=λA T,其中λ为数;

(4)(AB)T=B T A T.

注(1)一般未必有(AB)T=A T B T,只有在AB=BA情况下此式成立.

§1.2主要内容5

(2)当A=(a ij)n×

n时,有

e T

i

Ae j=a ij,(i,j=1,2,···,n).

(3)A是对称矩阵充分必要条件是A T=A;A是反对称矩阵充分必要条件是A T=

?A.

7.矩阵的共轭

定义1.2.9.设A=(a ij)m×n为复矩阵,称(a ij)m×

复数a ij的共轭.

n为A的共轭矩阵,记为A,其中a ij为有下列性质:

T 性质1.2.1.(1)kA+lB=k A+l B;(2)AB=A B;(3)A T=A.

1.2.4初等变换与初等矩阵

定义1.2.10.下面三种变换称为矩阵的初等行变换:

(1)换法变换交换两行(交换i,j两行,记为r i?r

j

);

(2)倍法变换以非零数k乘以某一行的每个元素(k乘第i行,记为r i×k);

(3)消法变换把某一行每个元素乘以数k加到另一行对应的元素上(第j行乘k加到第i行上,记为r i+kr j).

如果这些变换对列施行,则称其为矩阵的初等列变换.矩阵的初等行变换与初等列变换,统称为矩阵的初等变换.

注初等列变换用记号“c”;

定义1.2.11.将n阶单位矩阵I经过一次初等变换得到的矩阵称为n阶初等矩阵,具体有下列三种:

(1)换法阵P(i,j):将I的第i行与第j行对调(或第i列与第j列对调),即

P(i, j)=1

...

1

0 (1)

1

...

..

.

.

1

1 0

1

...

;

1

6第一章矩阵

(2)倍法阵P(i(k)):将I第i行(或者第i列)乘上非零数k,即

1

...

1

P(i(k))=k;

1

...

1

(3)消法阵P(i,j(k)):将矩阵I的第j行(或者第i列)的k倍加到第i行(或者第j列),即

1

...

1···k

....

P(i,j(k))=.

1

...

1

性质1.2.2.m×n矩阵A作一次初等行(或列)变换得矩阵B,则B等于A左(或右)乘

相应的m(或n)阶初等矩阵.

定义1.2.12.如果矩阵A通过初等变换化为矩阵B,则称矩阵A与B相抵的或等价.

矩阵相抵具有下列性质.

性质1.2.3.设A,B,C为矩阵

(1)自反性A与A相抵;

(2)对称性若A与B相抵,则B与A相抵;

(3)传递性若A与B相抵,B与C相抵,则A与C相抵.

定义1.2.13.满足下列两个条件的矩阵称为行阶梯矩阵:

(1)矩阵的零行在矩阵的最下方;

(2)非零行第一个非零元的列标随着行标的递增而严格增大.

定义1.2.14.在行阶梯形矩阵中,非零行的第一个非零元为1,而这些1所在列的其余元素全为零,这样的矩阵称为行最简矩阵.

定理1.2.1.设A为m×n矩阵,则A可以经过一系列初等变换化为

(00)

I r0

,

其中r满足0≤r≤min(m,n)的整数.

§1.2主要内容7注根据定理1.2.1,对矩阵A,存在非负整数r,使得A与

(1.2.5)

(00)

I r0

相抵,当r=0时,规定上述矩阵为零矩阵.称(1.2.5)为A的相抵标准形.

1.2.5矩阵分块及其运算

1.定义与运算

定义1.2.15.将n×m矩阵A表示如下形式

A=

A11A12···A

1t

A21A22···A

2t

...

...

,(1.2.6)

...

A s1A s2···A

st

∑s

称为矩阵A的分块表示,其中A ij为n i×m j矩阵(i=1,2,···,s;j=1,2,···,t),且

n i=

i=1

t

n,m j=m.

j=1

分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似.分块时要注意运算的两个矩阵按块能运算,并且参与运算的子块也能运算.特别需要注意分块矩阵的转置运算.

如果A=

,则有

A11A12···A

1t

A21A22···A

2t

...

...

...

A s1A s2···A

st

A T=

.

A T T T

11A

s1

A T T T

12A

s2

...

...

...

A T

1t A

T T

st

2.矩阵的特殊分块设A,B分别为m×n,n×s矩阵,且B=(B1,B2,···,B

),则

s

AB=(AB1,AB2,···,AB s)(1.2.7)

AB=0??AB i=0(i=1,2,···,s).

8第一章矩阵

n

,B=

,则

α1

α2

如果A=(a ij)m×

..

.

αn

AB=

a11α1+a12α2+···+a1nαn

a21α1+a22α2+···+a2nαn

.

.

.

a m1α1+a m2α2+···+a mnαn 有

(1.2.8)

AB=0??a i1α1+a i2α2+···+a inαn=0(i=1,2,···,m).定义1.2.16.设A i为n i(i=1,2,···,m)阶方阵,如果

A=

,

A1

A2

...

A m

则称A为准对角矩阵,记为A=diag(A1,A2,···,A

设A i,B i为n i(i=1,2,···,m)阶方阵,如果

).

m

A=diag(A1,A2,···,A m),B=diag(B1,B2,···,B

),

m

A+B=diag(A1+B1,A2+B2,···,A

+B m),

m

k=diag(A k

k k AB=diag(A1B1,A2B2,···,A2,···,A

B m),A1,A m),

m

其中k为非负整数.

1.2.6可逆矩阵

1.可逆矩阵定义

定义1.2.17.对于矩阵A,如果有矩阵B,使得

AB=BA=I,(1.2.9)则称A可逆,否则称A不可逆.称上式中的B为A的逆阵.

注(1)可逆矩阵又称为非奇异阵、非退化阵,不可逆阵又称为奇异阵;

(2)由矩阵乘法的要求,可逆矩阵一定是方阵,它的逆阵也一定是同阶方阵;

(3)在(1.2.9)式中,A与B的位置是对称的.因此,B也可逆,并且A与B互为逆阵;

§1.2主要内容9

(4)若A可逆,则A的逆阵唯一.

(5)当A可逆时,用A?k表示(A?1)k;

(6)初等矩阵为可逆矩阵,有

P(i,j)?1=P(i,j),P(i(k))?1=P(i(k?1)),P(i,j(k))?1=P(i,j(?k)).

有下列性质

性质1.2.4.设n阶方阵A,B可逆,数λ=?0,则

(1)A?1可逆,且(A?1)?1=A;

(2)λA可逆,且(λA)?1=λ?1A?1;

(3)A T可逆,且(A T)?1=(A?1)T;

(4)AB可逆,且(AB)?1=B?1A?1.

2.矩阵可逆判别方法

定理1.2.2.设A为n阶方阵,则当下列条件之一成立时,矩阵A可逆.

(1)A与单位矩阵相抵(或A的相抵标准形为单位矩阵).

(2)A可以表示为若干初等矩阵的乘积.

(3)存在n阶方阵B,使得AB=I或BA=I.

(4)r(A)=n(参见书第一章第五节).

(5)|A|?=0(参见书第二章).

(6)Ax=0只有零解(参见书第一章第五节).

(7)Ax=b有唯一解(参见书第四章).

(8)A的行(列)向量组线性无关(参见书第四章).

(9)数零不是A的特征值(参见书第五章).

3.逆阵计算

(1)初等变换方法

设A为n阶可逆矩阵,求A?1的方法如下:

(A,I)初等行变换

?????????→(I,A?

1)(1.2.10)

或(

I)?????????→(A?1)

A初等列变换I

注可将上述求逆的方法推广到求解矩阵方程AX=B和Y A=C.

(1.2.11)

如果A为n阶可逆矩阵,B,C分别为n×m,s×n矩阵,那么可以确定n×m矩阵X=

A?1B与s×n矩阵Y=CA?

1,使得AX=B与Y A=C,具体解法如下:

同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵

线性代数教学教案 第一章线性方程组与矩阵 授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ,有时为了强调矩阵的行数和列数,也记为

n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ,或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义:对于矩阵()ij m n a ?=A ,称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ,

a b+

21 2 n m m mn a a a ????,转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律(这里k 为常数,A 与B 为同型矩阵)阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???,m b = ? ??? β,有:

2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义,该线性方程组可以用矩阵形式来表示:=Ax β.

授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ,21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ,的行数相同、列数相同,则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ,都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .

线性代数知识点总结

大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ (奇偶)排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =) ②行列式中某两行(列)互换,行列式变号。 推论:若行列式中某两行(列)对应元素相等,则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列),等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行(列)成比例,则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行(列)可加性 ⑤将行列式某一行(列)的k 倍加到另一行(列)上,值不变 行列式依行(列)展开:余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则: 非齐次线性方程组 :当系数行列式0≠D 时,有唯一解:)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 :当系数行列式01≠=D 时,则只有零解 逆否:若方程组存在非零解,则D等于零 特殊行列式: ①转置行列式:33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零,。。化为三角形行列式

刘三阳线性代数第二版第一章标准答案

刘三阳线性代数第二版第一章答案

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第一章矩阵及其应用习题解答 本章需要掌握的是: 1)矩阵的定义,以及矩阵的运算(加、减、数乘和乘法); 2)方阵的幂和多项式,以及矩阵转置的性质; 3)逆阵的定义,以及逆阵的4条性质; 4)分块矩阵的运算规则; 5)矩阵的三种初等变换及行阶梯矩阵和行最简矩阵; 6)三种初等矩阵,以及定理1.4(左乘行变,右乘列变)、1.5、1.6和1.7;7)求逆阵的方法:定义法和初等变换法。 1、设方阵A满足,求。 题型分析:此类题型考核的知识点是逆阵的定义,即。因此无论题中给出的有关矩阵A的多项式(如本题是)多么复杂,只 需要把该多项式配方成“(所求逆的表达式)*(配方后的因子)=E”即可,即本题是要配成(A-E)*(?)=E。 解: %配出2003A可提取的(A-E) %配出1998可提取的(A-E) %提取公因式(A-E) %将只有单位阵的那一项移至等式右端 %写成“AB=BA=E”的形式

%由逆阵定义可知 巩固练习:教材第38页第13题 2、设,求。其中k为正整数。 题型分析:此类题型考核的知识点是矩阵的乘法和幂运算。解题思路为依次计算 最多到,通常这时已经可以看出规律,依此规律解题即可。 解:,,因此推论,用数学归纳法证明如下: 1)当k=1时,成立; 2)假设当k=n-1时,上式成立,即,则有 当k=n时,也成立。 所以 巩固练习:教材第41页二、填空题(3) 3、设A=E-uu T ,E为n阶单位阵,u为n维非零列向量,u T 为u的转置,证明:1)A2=A的充要条件是u T u=1; 2)当u T u=1时,A是不可逆的。 题型分析:这道题综合了矩阵这一章的大部分知识点,是个综合题,对于刚学了第一章的同学们来说也是一道难题。解题思路首先要明确u为n为非零向量是指u是一个只有一行 或一列的矩阵,题中有即告诉我们u是一个n*1阶列矩阵即列向量。

线性代数第一章行列式试题及答案

如何复习线形代数 线性代数这门课的特点主要有两个:一是试题的计算量偏大,无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解,还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算,稍有不慎,即会出错;二是前后内容紧密相连,纵横交织,既相对独立又密不可分,形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下,下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练,切实提高计算的准确性 二、扩展公式结论蕴涵,努力探索灵活解题途径 三、注重前后知识联系,努力培养综合思维能力 线性代数不仅概念多,公式结论多,而且前后知识联系紧密,环环相扣,几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查 四、加强综合题型训练,全面系统地掌握好知识 计算能力的提高不是一朝一夕的事,除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外,还要靠平时的积累,要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯,只要持之以恒、坚持练习,计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习, 第一章行列式 一.概念复习 1. 形式和意义 形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1) a21 a22 (2) ………. a n1 a n2…a nn 如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 (1) a21 a22 (2) ……… a n1 a n2…a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为: n nj j j a a a 2 1 2 1 ,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。 所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 2 3 2 3 215 6 3 4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项 n nj j j a a a 2 1 2 1 所乘的是. )1 () (2 1n j j j 即逆序数是偶数时,该项为正;逆序数是奇数时,该项为负;在一个n元排列的n!项中,奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12 (1) a21 a22…a2n =. )1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( n n n nj j j j j j j j j a a a ……… a n1 a n2…a nn 这里 n j j j 2 1 表示对所有n元排列求和.称此式为n阶行列式的完全展开式. 用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算. 3、对角行列式计算

线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ (奇偶)排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =) ②行列式中某两行(列)互换,行列式变号。 推论:若行列式中某两行(列)对应元素相等,则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列),等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行(列)成比例,则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行(列)可加性 ⑤将行列式某一行(列)的k 倍加到另一行(列)上,值不变 行列式依行(列)展开:余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素及另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则: 非齐次线性方程组 :当系数行列式0≠D 时,有唯一解:)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 :当系数行列式01≠=D 时,则只有零解 逆否:若方程组存在非零解,则D 等于零 特殊行列式: ①转置行列式:33 23 13 3222123121113332 31 2322 21 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零,。。化为三角形行列式 ⑤上(下)三角形行列式:

(精选)线性代数行列式第一章练习题答案

《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵,且|A|=5,则|A*|=__125____,|2A|=__80___,|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解,则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上,行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时,方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1.设) (则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B (A)0 ; (B)―12 ; (C )12 ; (D )1 2.设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解,则k = ( A ) (A )2 (B )0 (C )-1 (D )-2 3.设A=7 925138 02-,则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4.已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1,2,0,1,它们的余子式依次分别为5,3,-7,4, 则D= ( A ) (A ) -15 (B ) 15 (C ) 0 (D ) 1 三、计算行列式

华东理工大学线性代数第一章矩阵复习

矩阵 第章 第一章矩阵

矩阵乘法转置求逆运算规律 1、矩阵乘法、转置、求逆运算规律); ()(BC A C AB =)); (),()()(为数其中λλλλB A B A AB ==A ; )(, )(CA BA A C B AC AB C B +=++=+. I A A A I n n m n m n m m ×××==般地则称若一般地,,,BA AB BA AB =≠B A 与. 是可交换的矩阵乘法一般不满足消去律,即: . Y X AY AX ==一般推不出

逆矩阵 定义,, 使如果存在矩阵阶方阵为设B n A ( 矩阵、满或非奇异的、非退化的是可逆的则称矩阵A I BA AB ==的逆矩阵唯的. ),的逆矩阵称为且矩阵秩的A B . ,, 1 A A A ?的逆 的逆矩阵是唯一的则有逆矩阵若A 矩阵记作

()() ; 1A A T T =() A A =??1 1()();2T T T B A B A +=+() ;1 1 1 ???+≠+B A B A ()(); 3T T A A λλ=T (). 111 ??=A A λ λ()(). 4T T A B AB =() . 1 11 ???=A B AB (?()). T T A A 11 ? =

一些特殊的矩阵2些特殊的矩阵 对称矩阵 T . ,,为对称矩阵则称如果阶方阵为设A A A n A =反对称矩阵 ,,为反对称则称如果阶方阵为设A A A n A T ?=. 矩阵幂等矩阵 . ,,2 为幂等矩阵则称如果阶方阵为设A A A n A =

正交矩阵 A A ,,正交矩阵为则称如果阶方阵为设A I A A n A T T ==.对角矩阵 其余素全角线阶阵,,其余元素全如果主对角线以外阶方阵为设n A . ,为对角矩阵则称为零 A

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结 第一章行列式 (一)要点 1、二阶、三阶行列式 2、全排列与逆序数,奇偶排列(可以不介绍对换及有关定理),n阶行列式得定义 3、行列式得性质 4、n阶行列式,元素得余子式与代数余子式,行列式按行(列)展开定理 5、克莱姆法则 (二)基本要求 1、理解n阶行列式得定义 2、掌握n阶行列式得性质 3、会用定义判定行列式中项得符号 4、理解与掌握行列式按行(列)展开得计算方法,即 5、会用行列式得性质简化行列式得计算,并掌握几个基本方法: 归化为上三角或下三角行列式, 各行(列)元素之与等于同一个常数得行列式, 利用展开式计算 6、掌握应用克莱姆法则得条件及结论 会用克莱姆法则解低阶得线性方程组 7、了解个方程个未知量得齐次线性方程组有非零解得充要条件 第二章矩阵 (一)要点 1、矩阵得概念 矩阵就是一个矩阵表。当时,称为阶矩阵,此时由得元素按原来排列得形式构成得阶行列式,称为矩阵得行列式,记为、 注:矩阵与行列式就是两个完全不同得两个概念。 2、几种特殊得矩阵:对角阵;数量阵;单位阵;三角形矩阵;对称矩阵 3、矩阵得运算;矩阵得加减法;数与矩阵得乘法;矩阵得转置;矩阵得乘法 (1)矩阵得乘法不满足交换律与消去律,两个非零矩阵相乘可能就是零矩阵。 如果两矩阵与相乘,有,则称矩阵与可换。 注:矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵得幂:对于阶矩阵及自然数,

规定,其中为单位阵、 (3) 设多项式函数,为方阵,矩阵得多项式,其中为单位阵。 (4)阶矩阵与,则、 (5)阶矩阵,则 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵:可逆矩阵(若矩阵可逆,则其逆矩阵就是唯一得);矩阵得伴随矩阵记为, 矩阵可逆得充要条件;逆矩阵得性质。 6、矩阵得初等变换:初等变换与初等矩阵;初等变换与初等矩阵得关系;矩阵在等价意义下得标准形;矩阵可逆得又一充分必要条件:可以表示成一些初等矩阵得乘积;用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵得秩:矩阵得阶子式;矩阵秩得概念;用初等变换求矩阵得秩 8、矩阵得等价 (二)要求 1、理解矩阵得概念;矩阵得元素;矩阵得相等;矩阵得记号等 2、了解几种特殊得矩阵及其性质 3、掌握矩阵得乘法;数与矩阵得乘法;矩阵得加减法;矩阵得转置等运算及性质 4、理解与掌握逆矩阵得概念;矩阵可逆得充分条件;伴随矩阵与逆矩阵得关系;当可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算得方法 (1)在对矩阵得分法符合分块矩阵运算规则得条件下,其分块矩阵得运算在形式上与不分块矩阵得运算就是一致得。 (2)特殊分法得分块矩阵得乘法,例如,,将矩阵分块为 ,其中就是矩阵得第列, 则 又如将阶矩阵分块为,其中就是矩阵得第列、 (3)设对角分块矩阵 ,均为方阵, 可逆得充要条件就是均可逆,,且

线性代数第一章+矩阵习题辅导

第一章矩阵 §1.1基本要求、重点、难点内容 1.1.1基本要求 1.熟练掌握矩阵的各种运算及其运算规律; 2.理解逆阵定义与性质,掌握逆阵计算方法; 3.熟练掌握矩阵的初等变换,了解初等矩阵的性质; 4.掌握初等变换化矩阵为行阶梯矩阵、行最简矩阵方法; 5.了解矩阵的标准形,理解矩阵秩的定义,掌握用初等变换求矩阵秩的方法; 6.了解分块矩阵及其运算,掌握分块矩阵初等变换; 7.了解矩阵秩的等式与不等式. 1.1.2重点内容 1.矩阵运算; 2.初等变换、矩阵的相抵; 3.求逆阵、矩阵的秩. 1.1.3难点内容 1.分块矩阵及其初等变换; 2.矩阵秩的等式与不等式证明. §1.2主要内容 1.2.1矩阵定义 定义1.2.1.称m×n个数a ij(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n)排成的m行n列的矩形 表格 a11a12···a 1n a21a22···a 2n

(1.2.1) ············ a m1a m2···a mn 为m×n矩阵,简记为(a ),其中a ij称为矩阵的第i行第j列交叉点上的元素(简称元). ij m×n 注1.本书中的矩阵除特别说明外,都指实矩阵,即矩阵(a ij)m× m×n实矩阵全体记为R m×n,m×n复矩阵全体记为C n中元素a ij为实数. m×n. 2.n×n矩阵称为n阶方阵.方阵A=(a中元素a11,a22,···,a )nn称为A的主对 ij n×n 角元. 1

2第一章矩阵 3.两个m×n阶的矩阵称为同型矩阵或同维矩阵. 定义1.2.2.如果两个同型矩阵A=(a ij),B=(b ij))满足a ij=b ij(i= m×n m×n 1,2,···,m;j=1,2,···,n)则称A和B相等,记为A=B. 1.2.2特殊矩阵 1.零矩阵所有元素都为零的矩阵,称为零矩阵,记为0. 2.行向量1×n矩阵称为n维行向量. 3.列向量m×1矩阵称为m维列向量.例如 下列n×1矩阵 100 01 ... . . . e1=,e2=. .,···,e n=., 000

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