数理统计教程课后重要答案习题

第一章:统计量及其分布

19.设母体ξ服从正态分布N

(),,2

σμξ

和2

n S 分别为子样均值和子样方差,又设

()21,~σμξN n +且与n ξξξ,,,21 独立, 试求统计量

1

1

1+--+n n S n

n ξ

ξ的抽样分布. 解: 因为ξξ-+1n 服从???

??+21,

0σn n N 分布. 所以

()1,0~12

1N n

n n σξ

ξ+-+ 而

()1~22

2

-n nS n

χσ

且2

n S 与ξξ-+1n 独立,, 所以

()1~1111--÷+--+n t S n n n n S n

n

n σ

ξ

ξ分布. 即

1

1

1+--+n n S n

n ε

ε服从()1-n t 分布. 20.

(),,,1,,n i i i =ηξ是取自二元正态分布

N

()

ρσσ

μμ2

2212

1

,,,的子样,设

()∑∑∑===-===n i i i n

i n i i n S n n 12

111,

1,1ξξηηξξξ

2

,()2

1

21∑=-=n i i n S ηηη和 ()()

()

()∑∑∑===----=

n

i i n

i i

i n

i i

r 1

2

21

1

ηηξξ

ηηξξ

试求统计量

()

122

2

21--+---n S rS S S η

ξηξμμηξ的分布.

解: 由于()

.21μμηξ-=-E ()()

=

-+=-ηξηξηξ,c o v 2D D D n

n n

n

2

12

22

12σσρ

σσ-+

.

所以

()()

n 2

12

22

121

2σρσσσμμ

ηξ-+---服从()1,0N 分布 .

()

()()()()

()()[]

2

1

1

2

1

2

1

212

22

122ηξηξ

ηηξξηηξξ---=----+-=-+∑

∑∑∑====i i

n

i i i n

i i n

i i n

i S rS S S n

i i ηξ-是正态变量,类似于一维正态变量的情况,可证ηξηξS rS S S 22

2-+与ηξ-相互独立.

(

)()1~222

2

12

2212

2--+-+n S rS S S n χ

σρσσση

ξηξ, 所以 统计量

()

122

2

21--+---n S rS S S η

ξηξμμηξ()()

(

)

()

1)2(22212

22

12

22

12

22121

--+-+-+---=

n S rS S S n n

σρσσσσρσσσμμ

ηξη

ξηξ服从()1-n t 分布.

第二章：估计量

1. 设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.

解: p E =ξ ξ=∴p

? 3. 对容量为n 的子样,求密度函数

()()??

???<<-=其它,00,2

;2a

x x a a a x f 中参数a 的矩法估计

3. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()??

???<<-=其它,00,2

;2a

x x a a a x f 中参数a 的矩法估计

量. 解: ()322

a

dx x a a

x E a

=-=

?

ξ 令ξ=3a 得ξ3?=a . 4. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a

中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()

()

∏∏==

+=+=

n

i i n

i n

n

i x x L 1

11α

α

ααα ()i i x ?<<1

∴()().ln 1ln ln 1???

?

???++=∏=n i i x n L ααα

令()0ln 1ln 1

=++=??∑=i n

i x n

L ααα， 得 ∑=--=n

i i

L x

n

1

ln 1?α

。

由于 ()

01ln 2

22<+-=??ααn

L 故∑=--=n

i i

L x

n

1

ln 1?α是α极大似然估计.

(2) 由211+-

=αξE 令ξα=+-

2

1

1 得 .11

2?ξ

ξα

--= 14. 设

n ξξ,,1 为取自参数为λ的普哇松分布的一个子样.试证子样平均ξ和

∑=*--=n i i

n

n S 1

2

2

)(11ξξ都是λ的无偏估计.并且对任一值10,≤≤αα()2*1n S αξα-+也是λ的无偏估计.

证: 对普哇松分布有λξξ==D E , 从而

.λξ=E ().11212*λξξξ==??

????--=∑=D E n ES

i n i n

故ξ与2

n S 都是λ的无偏估计. 又()[

]()λλααλαξα=-+=-+112

*

n S E

故()2

*

1n S αξα-+也是λ的无偏估计.

15. 设

,,,1n ξξ 为取自正态母体()2,σμN 的一个子样,试适当选择c ,使

()2

11

12∑-=+-=n i i i c S ξξ为2σ的无偏估计.

解: 由μξ=i E 2σξ=i D 且n ξξ,,1 相互独立可知,

2μξξξξ=?=j i j i E E E j i ≠ 从而

()()()()[]

2

12

112

2

112

12122ξξξξξξE n E n c E E E E c ES i i i i n

i ---=-+=++=∑

()()12122-=-=n c D n c i σξ.

取()

121-=

n c 时, n S 为2

σ的无偏估计.

17. 设随机变量ξ服从二项分布()()

,1,0,1=-???

? ??==-x x n x P x

n x θθξ,n

试求2

θ无偏估计量.

解: 由于θξn E = ()()()()22

2

211θθθθθξξξ-+=+-=+=n n n n n E D E

故()

().122θξξ-=-n n E 从而当抽得容量为N 的一个子样后,

2

θ的无偏估计为:(

)

()

.1?2

2

--∑=n Nn i i ξξθ

量.

解: ()322

a

dx x a a

x E a =-=?ξ 令ξ=3a 得ξ3?=a .

34. 设n ξξ,,1 是取自正态母体()2

,σμN

的一个子样,其中μ为已知,证明

(i) ()2

12

1∑=-=n

i i n

n S μξ是2σ的有效估计;

(ii) ∑=-=n

i i n 1

21μξπσ

是σ的无偏估计,并求其有效率. 证()i 由

()n nS n

2

2

2

~χσ

知, .2

2σ=n ES n

DS n

42

2σ=, 又()

2

,σμN 的密

度函数为()()2

2

221σ

μσ

π--

=

x e

x f , 故()

()2

2

2

22ln 21ln σμπσ--

-=x f 对2

σ求导得：

()[]

2

24

221ln σμσ

σ--=??x f 从而()()[]

4

4

22442

221241ln σσμξσμξσσ=+---=??

? ????E f E ()()

4

2

2

22

21

ln σσσ

=??-=I L E

或， 故R C -下界为n

n 4

1

4221σσ=??

? ??

?- 。 2

n S ∴ 是2

σ的有效估计.

()ii . 由于()σπ

π

σμσ

πμ

ξσ

μ2

2221

2

22

2

2

=

=

-=

--

∞

--

∞

+∞

-?

?dy e

y dx e

x E y x i i

故σσ

=?E ， 即σ?是σ的无偏估计. 又 ()[]

2222

121122222221?σπσπσπμξμξπμξπσn n E E n D n D i n i -=

??

? ??-=---=-?=∑=而()[]

22

2222

21ln σσμξσσ=??

????--=??? ????E f E

故C —R 下界为n

22σ， σ?的有效率为876.022222

=-σπσn

n 。 30 .设n ξξ,,1 是取自具有下列指数分布的一个子样. ()?????≥=-其它

,00

,1x e x f x

θ

θ

证明ξ∑==n

i i n 1

1ξ是θ的无偏、一致、有效估计。

证: 由于()θθθ

ξθ=Γ==

-

∞

?

20

dx e x

E x

i ξ∴是θ的无偏估计.

又()222

2

2

23θθθ

ξ=Γ==

-∞

?

dx e x E x i ， 故2θξ=i D

从而.2

n D θξ=， 而()22

42

11ln θθξθθ=-=??

? ????E f E 故R C -下界为

,2

n

θ 因此ξ是θ的有效估计.

另外,由契比可夫不等式()

022

2

??→?=≤≥-∞

→n n D P ε

θεξ

εθξ 所以ξ还是θ的一致估计.

32. 设n ξξ,,1 是独立同分布随机变量, 都服从

()()10,,2,1,0,1;<<=-=θθθθ x x f x

， 则∑==n

i i n T 1

ξ是θ的充分统计量.

证: 由于n ξξ,,1 的联合密度为()()

i

x n n x x f ∑-=θθ1,,1 ,2,1,0=i x

取()

,121i

x n k ??-= 12=k , 则由因子分解定理知, n T 是?的充分统计量.

33. 设n ξξ,,1 是独立同分布随机变量,都服从具参数为λ的普哇松分布,则∑==n

i i

n T 1

ξ

是关

于λ的充分统计量.

证: 由于n ξξ,,1 的联合密度是()λλn i x

n e x x x f i

-∑∏=!

1 2,1,0=i x

取.21λλ

n x e k i

-=, ()1

2!-=i x k π, 则由因子分解定理知 : n T 是充分统计量.

第三章：假设检验

1设2521,,,ξξξ 取自正态母体)9,(μN 其中μ为未知参数,ξ为子样均值，对检验问题

0100:,:μμμμ≠=H H 取检验的拒绝域:{}c x x x C ≥-=0251:)(μ ,

试决定常数c 使检验的显著性水平为0.05.

解:因为），，（9N ~μξ所以），（25

9

N ~μξ 在0H 成立下,

,05.03512C 3553P C P 000=???

?????? ??Φ-=????

?

??≥-=≥-C μξμξ）（ 96.13

5

,975.035==??

?

??ΦC C , 所以 C=1.176. 2．设子样),,(1n ξξ 取自正态母体2

20),,(σσμN 已知，对检验假设 0100:,:μμμμ>=H H 的问题，取临界域{}01:)(c x x x C n ≥= .

（i ）求此检验犯第一类错误的概率α,犯第二类错误的概率β,并讨论它们之间的关系.

（ii ）设9,05.0,04.0,5.02

00====n ασμ,求65.0=μ时不犯第二类错误的概率.

解: (i).在0H 成立下, ），（n

N ~2

00σμξ

()???

?

??-≥

-=≥=n C n P C P 0

00

0000σμσμξξα,

00

10100

C n u C u n

ααμσμσ---∴

=∴=

+

其中1u α-是N （0，1）分布的α分位点。 在H 1成立下,），

（n

N ~2

0σμξ,()???

?

??-<

-=<=n C n P C P 0

00

1

1

σμ

σμ

ξξ

β =01000

1000u C n n n u n αασμμμμμσσσ--??

+- ?????--Φ=Φ=Φ- ?

? ? ?????

???

当α增加时，1u α-减少，从而β减少；反之当α减少时，将导致β增加。 （ii ）不犯第二类错误的概率为1-β。

010.9500.650.511130.2u n u αμμβσ-??--?

?-=-Φ-=-Φ-? ? ?????

=()()().7274.0605.0605.0125.2645.11=Φ=-Φ-=-Φ-

4，设某产品指标服从正态分布，它的根方差σ已知为150小时，今由一批产品中随机地抽查了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为这批产品的指标为1600小时？

解：母体(),150,~2

μξN

， 对假设1600:0

=μH

采用U —检验法，

在H 0为真下，检验统计量观察值为0

26 1.2578,0.05x u μασ

-=

==时临界值

0.97512

1.96u u α-==。 由于12

u u α

-<， 所以接受0H ，

即不能否定这批产品指标为1600小时

5某电器零件的平均电阻一直保持在2.64Ω均方差保持在0.06Ω.改变加工工艺后测的100个零件,其平均电阻为2.62Ω,均方差不变.问新工艺对此零件的电阻有无显著差异?取显著性水平01.0=α 。

解：设改变工艺后，电器零件电阻为随机变量ξ，则μξ=E 未知，()

2

206.0Ω=ξD 。

检验假设64.2:0=μH 。

从母体中取了容量为100子样，ξ近似服从正态分布，即：???

? ??10006.0,~2μξN 。

因而对假设0H 可采用u —检验计算检验统计量观察值

0 2.62 2.64100 3.33

0.06

u n ξμσ--===-，

0.01,α=0.99512

2.10u

u α

-

==。 由于12

3.33u u

α-

=>。

所以拒绝原假设0H 即改革工艺后零件的电阻一有显著差异。

6. 有一种新安眠剂,据说在一定剂量下能比某种就旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时,

根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时,均方差为1.8小时,为了检验新安眠剂的这种说法是否正确,收集到一种使用新安眠剂的睡眠时间(以小时为单位)为: 26.7, 22.0, 24.1, 21.0, 27.2, 25.0, 23.4 试问这组数据能否说明新安眠剂已达到新的疗效? (

0.05α=)

解：设新安眠剂疗效为随机变量ξ，则μξ=E 未知，2

8.1=ξD 。

检验假设8.20:0=μH ， 8.20:1>μH

从母体中取了容量为7子样，ξ近似服从正态分布，即：???

?

??78.1,~2μξN 。

因而对假设0H 可采用u —检验计算检验统计量观察值

021.3420.8

70.371.8

u n ξμσ--=

==，

0.05,α=10.95 1.645u u α-==。 由于10.37u u α-=<。

所以接收原假设0H ，即新安眠剂未达到新的疗效。 15．设 X 1,X 2,--- ,X n 为取自总体X ~()20

,σμN

的简单随机样本，其中μ

0为已知常数，

选择统计量U =

()

2

1

2

0σ

μ∑=-n

i i

X

，求2

σ的1-α的置信区间。

解：由于U =

()2

1

20

σ

μ∑=-n

i i X 服从2

χ(n)， 于是

()()

()2

0221

2

12

2

n

i

i X

n n ααμχχσ=--<<∑

故 2

σ的1-α的置信区间

()()

()()220011

122,n n

i

i i i X X n n ααμμχχ==-??

--??????????

∑∑。 16．在某校的一个班体检记录中，随意抄录 25 名男生的身高数据，测得平均高为170

厘米，（修正）标准差为12厘米，试求该班男生的平均身高μ和身高标准差σ的 0 .95置信区间（假设身高近似服从正态分布）。

解：由题设 身高X~N （2

,σμ），n=25，05.0,12,170===αS X 。 （1） 先求的置信区间（2

σ未知）取

0.97512

~(1),(1)(24) 2.06X U t n t n t S n

αμ

--=

--==故μ置信区间为：

(17006,225

12170,06.225

12?+

?-

)=(170-4.94, 170+4.94)=(165.06, 174.94) (2).

2σ的置信区间（μ未知）取

2

222

0.9752

12

22

0.0252

(1)~(1),(1)(24)39.364

(1)(24)12.401n S U n n n ααχχχσχχ--=

--==-==

故2

σ的0.95置信区间为 )69.278,80.87()401

.121224,364.391224(

2

2≈?? σ的0.95置信区间为

()

)69.16,34.9(69.278,

80.87≈.

14．在测量反应时间中，一心理学家估计的标准差为 0.05 秒，为了以 95% 的置信度使他对平均反应时间的估计误差不超过0.01秒，应取多大的样本容量n?

解：以X 表示反应时间，则)(X E =μ为平均反应时间，由条件知，样本标准差S=0.05, 用样本均值X 估计.μ 当n 充分大时，统计量n

X n S X U 05.0μ

μ-=

-=

近似服从标准正态分

布N （0，1），根据条件，要求样本容量满足

{}

95.005.001.005.001.0=??

?

??

?

????≤-=≤-n n X P X P μμ. 即

2

0.01n 0.95,1.645n 9.896.040.0555n n ????Φ=Φ=∴≈?≈= ? ?

????

即应取样本容量n 为96或97。

8．在某年级学生中抽测9名跳远年成绩，得样本均值X = 4.38 m . 假设跳远绩 X 服从正态分布，且σ= 03, 问是否可认为该年级学生跳远平均成绩为μ= 4.40 m (α = 0.10).

解：(1)40.4:0=μH 4.4:1≠μH

(2) 选统计量 4.40

~(0,1);

X U

N n

σ

-=

（3）查标准正态分布表，得出临界值0.9512

1.64,u Z α

-

==拒绝域

);,64.1()64.1,(+∞?--∞

(4)算得,,2.03

3.040

.438.40=-=U 显然0.2不在拒绝域内，因此H 0被接收，即可认

为该年级学生跳远平均成绩为4.40米。

9．设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差 S n *为15分，问在显著水平0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？并给出检验过程。

()()0301.2351975.02

1==--

t n t

α

解：（1）待检假设;70:0=μH 备择假设70:1≠μH

（2）在H 0成立条件下选择统计量

()0

~1X t n S n

μ-=

-

（3）在显著性水平0.05下，查t 分布表，找出临界值 ()()0301.2351975.02

1==--

t n t

α

拒绝域 ()()+∞?-∞-,0301.20301.2,

（4）计算()66.570 1.4 2.0301,2.030115

36

U -==∈-，故接受H 0,，因此可以

认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。

11．某厂生产的电子仪表的寿命服从正态分布，其标准差为σ= 1.6, 改进新工艺后，从新的产品抽出9件，测得平均寿命X = 52.8, S *n 2 = 1.19 ，问用新工艺后仪表的寿命方差是否发生了变化？（取显著性水平α = 0.05）

解：（！）待检假设2206.1:=σH ，备择假设2216.1:≠σH

（2）选取统计量()*2

2

1U n n S σ-= ~

H 0

成立时

()12-n χ

（3）查

2

χ分布表，找出临界值

()()()()22220.0250.97512

2

n 18 2.180,n 1817.535.ααχχχχ--==-== 拒绝域为()().,535.17180.2,0+∞ （4）计算()73.36.119.119U 2

0=?-=

，接受H 0

，即改进工艺后仪表寿命的方差没有

显著变化。

12．电工器材厂生产一批保险丝，抽取10根试验其熔断时间，结果为 ：

42, 65, 75, 78, 71, 59, 57, 68, 54, 55. 问是否可认为整批保险丝的熔断时间的方差不大于 80 ？（熔断时间服从正态分布，显著性水平 α = 0.05）.

解：（1）待检假设,80:20≤σH 备择假设80:2

1>σH

（2）选取统计量()()

()0

*2H 2

2

1~n 1n n S U χσ

-=-在成立下

（3）由,91n ,05.0=-=α查2

χ分布表

()()22

10.95n 1916.919αχχ--==

(4)()4.625554685759717875654210

1

X =+++++++++=

。

()()

10

2*21

01S 121.8

99121.8U 13.70,16.91980n

i i X X ==-=?==∈∑

故接受假设H 0，即在05.0=α下，可认为整批保险丝的熔断时间的方差不大于80.

10．某校从经常参加体育锻炼的男生中随机地选出50名,测得平均身高174.34 厘米从不经常参加体育锻炼的男生中随机地选50名，测得平均身高172.42 厘米，统计资料表明两种男生的身高都服从正态分布，其标准差分别为5.35和6.11厘米，问该校经常参加锻炼的男生是否比不常参加体育锻炼的男生平均身高高些？()05.0=α

解： X, Y 分别表常锻炼和不常锻炼男生的身高，由题设

()()

222111.6,~,35.5,~μμN Y N X

(1) 待检假设210:μμ≤H ，备择假设211:μμ>H (2) 选取统计量成立下在0H 22

21

~

m

n

Y

X U σ

σ

+

-=

()N 01，

(3) 对于，0.05=α 查正态分布表，1-0.95Z Z 1.64α==

(4) 计算64.167.150

11

.65035.542.17234.174U 2

2

0>=+-=

故否定假设0H 即表明经常体育锻炼的男生平均身高比不经常体育锻炼的男生平均身高高些。

7.14 假设六个整数1，2，3，4，5，6被随机地选择，重复60次独立实验中出现1，2，3，4，5，6的次数分别为13，19，11，8，5，4。问在5%的显著性水平下是否可以认为下列假设成立：

01

:(1)(2)(6)6H p p p ξξξ=======

。

解：用2

χ-拟合优度检验，如果0H 成立

2

6

2

21()(5)

i i i i n np np χχ=-=∑

列表计算2

χ的观察值：

组数i 频数i n i np i i n np - ()

2

/i i i n np np -

1 2 3 4 5 6

13 19 11 8 5 4

10 10 10 10 10 10

3 9 1 -2 -5 -6

0.9 8.1 0.1 0.4 2.5 3.6

215.6χ=， 2

0.95(5)χ=11.07

由于22

0.95(5)χχ>，所以拒绝0H 。即等概率的假设不成立。

7.15 对某型号电缆进行耐压测试实验，记录43根电缆的最低击穿电压，数据列表如下：

测试电压 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 击穿频数 1 1 1 2 7 8 8 4 6 4 1

试对电缆耐压数据作分析检验（用概率图纸法和2χ-拟合优度检验）。 解：用正态概率纸检验出数据基本上服从正态分布，下面2χ-拟合优度检验假设

20??:(,)H N ξμ

σ 其中2??,μ

σ为μ和2σ的极大似然估计，其观察值 ? 4.3744x μ

== 2

221

1?()0.04842n

n

i i s x x n σ===-=∑ 所以要检验的假设

0:(4.3744,0.04842)H N ξ 分组列表计算2χ-统计量的观察值。

组 距

1i x - i x

频数

i n 标准化区间

1i y - i y

1()()i i i p y y -=Φ-Φ

i np

()

2

/i i i n np np -

-∞ 4.1

4.1 4.2 4.2 4.3 4.3 4.5 4.5 4.6 4.6 ∞ 5 7 8 12 6 5

-∞ -1.25

-1.25 -0.79 -0.79 -0.34 -0.34 0.57 0.57 1.03 0.31 ∞

0.1056 0.1087 0.1526 0.3488 0.1328 0.1515

4.5408 4.6741 6.5618 14.9984

5.7104

6.5145

0.0464 1.1574 0.2152 0.5994 0.0147 0.3521

2

2

1

() 2.4852n

i i i i np n np χ=-==∑

用0.1α=查表220.90.9(621)(3) 6.251χχ--==由于22

0.9(3)χχ<，所以不能否定正态

分布的假设。

7.16 用手枪对100个靶各打10发，只记录命中或不命中，射击结果列表如下 命中数i x ：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频 数i f ： 0 2 4 10 22 26 18 12 4 2 0

在显著水平0.05α=下用2χ拟合优度检验法检验射击结果所服从的分布。 解 对每一靶打一发，只记录命中或不命中可用二点分布描述，而对一个靶打十发，其射击结果可用二项分布(;10,)b K p 来描述，其中p 未知，可求其极大似然估计为

10

1?0.5100i i i p x f x ====∑ 设ξ是十发射击中射中靶的个数，建立假设

10010:()(0.5)(0.5),0,1,,10K K H p k K K ξ-??

=== ???

用2χ拟合优度检验法列表如下：

i i n i p i np ()

2

/i i i n np np -

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 2 4 10 22 26 18 12 4 2 0 0.000977 0.009765 0.043945 0.117188 0.205212 0.246094 0.205212 0.117188 0.043945 0.009765 0.000977

0.098 0.976 4.395 11.719 20.521 24.609 20.521 11.719 4.395 0.976 0.098

0.098 1.074 0.036 0.252 0.107 0.079 0.310 0.007 0.036 1.074 0.098

2

10

2

() 3.171i i i i np n np χ=-==∑

取 0.05α=，20.95(1111)χ--=2

0.95(9)16.919χ= 由于220.95(9)χχ<，所以接受0H 。

7.17 在某细纱机上进行断头率测定，试验锭子总数为440，测得断头总次数为

292次只锭子的断头次数纪律于下表。问每只锭子的纺纱条件是否相同？ 每锭断头数 0 1 2 3 4 5 6 7 9 锭数（实测） 263 112 38 19 3 1 1 0 3

解：如果各个锭子的纺纱条件元差异，则所有锭子断头次数服从同一个普哇松分布，所以问题是要检验每只锭子的断头数(;)p K ξλ 。其中λ未知，求其极大似然估计为292

0.66440

x λ==

=，建立假设0:(;0.66)H p K ξ ，由2χ拟合优度检验。

列表

i 断头数K

i n i p i np ()

2

/i i i n np np -

1 2 3 4 5

0 1 2 3 4-8

268 112 38 19 8

0.5169 0.3411 0.1126 0.0247 0.0047

227.41 150.09 49.53 10.897 2.068

5.568 9.668 2.684

6.026 1

7.016

2

5

2

()40.962i i i i np n np χ=-==∑

取0.05α=，20.95(511)χ--=2

0.95(3)7.815χ=， 取 0.01α=，20.99(511)χ--=20.95(3)11.345χ=

由于220.99(3)χχ>，所以拒绝0H 。即认为每只锭子纺纱条件不相同。

第四、五章：线性回归与方差分析

1. 若一元线性回归的模型为:()210,0~,,,1,

σεεββN n i x y i i i i =++=

试求参数10,ββ的最小二乘估计，其中{}i x 不全相同。 解：由最小二乘法知要最小化函数 ()()∑=--=

n

i i i

x y

Q 1

2

1010,ββββ

()

.1,0,

0,10==??i Q i

βββ 得正规方程组为:???∑=?∑+∑∑=?∑+i

i i i i

i y x x x y x n 12

010ββββ 解之得参数10,ββ的最小二乘估计为：()()()

??????-=-∑--∑=x

y x x y y x x i i i 10

2

1??βββ

2. 设有四个物体A 、B 、C 、D ，其重量分别为1β、2β、3β、4β，四次在天平上秤重得： y 1=1β+2β+3β+4β+1ε； y 2=1β+2β-3β-4β+2ε;

Y 3=1β-2β+3β-4β+3ε; y 4=1β-2β-3β+4β+4ε.

其中1ε、2ε、3ε、4ε分别表示秤重时发生的随机误差。求1β、2β、3β、4β最小二乘估计。

解： ?

???

?

?

?

??------=11111

11111111111X Y=??????? ??4321y y y y

,

40

0004000040

0004

???

??

?

?

?

?='∴X X ??

?

?

?

?

?

??+---+---++++='43214321432

1432

1y y y y y y y y y y y y y y y y Y X

()()()()?

?

??

??

?

?

?

?

??????????+---+---++++=??????? ??=432143214321432

143214

1

41

4141

?????y y y y y y y y y y y y y y y y ββββ

β.

3.为研究三种不同教材的质量，抽取三个实验班分别使用其中一种教材，而对其他因素加以控制，现每班随机抽取五人，测得平均分为71，75，70，求得总偏差平方和SST=192，试分析三种教材质量有没有显著性差异。（已知F 0.05（2，12）=3.88）.

解：（1）()()()[]

70

727072-7572715SSA ,

723

70

7571x 2

22=-++-=∴=++=

12270192SSE =-= 。

（2）确定自由度：df A =3-1=2; df T =15-1=14; df E =15-3=12.

（3）求均方： ;35270==

MSA MSE=17.1012122= （4）进行F-检验：()88.312,244.317

.1035

05.0=<===

F MSE MSA F 故 不能拒绝H 0，即三种教材质量无显著性差异。

4. 随机抽取20名学生进行测试，将其随机分成4组，每组5人，各组分别随机地接受一

种自学辅导方案，结果如下表。问四种自学辅导方案的效果是否一致？

（已知()0.993,16 5.29F =） 自学辅导方案 A B C D 每组人数 j n 5 5 5 5 每组平均数j X 79 75.4 81 77.2 每组方差 2j S

4

2.8

3

3.5

解：建立原假设H 0：D C B A μμμμ=== 由 15.784

2

.77814.75794=+++=+++=

D C B A t X X X X X

()50.66,

55.861

21

2

=?==-?

=∑∑==k

j j k

j t j

S n SSE X X

n SSA

故 16.44

2050

.66,85.281

455.86=-==

=-==

E A df SSE MSE df SSA MSA ()0.9928.85

6.943,16 5.294.16

MSA F F MSE ∴=

==>= 故 拒绝H 0，即四种自学辅导方案存在显著差异。