勾股定理解决最短路径问题及折叠问题
勾股定理解决最短路径问题及折叠问题
1、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
2、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_________cm；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要_________cm．
3、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？
4、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，求这个最小值
5、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷
（A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB ＝50km ，A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1＝PA +PB ，图2是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A ′，连接BA ′交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2＝PA +PB .
（1）求S 1、S 2，并比较它们的大小；
（2）请你说明S 2＝PA +PB 的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、
B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.
图2 A D E P B C
6、如图，在锐角△ABC 中，AB ＝2，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分
线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值
是____．
7、如题，在长方形ABCD 中，将?ABC 沿AC 对折至?AEC 位置，CE 与AD 交于点F.
(1)试说明：AF=FC
(2)如果AB=3，BC=4，求AF 的长。
8、把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ． 若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，
（1）重叠部分△DEF 的面积是多少cm 2?
（2）求EF 的长。
A B C
E 'A 第8题图 （'B ） D
9、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B'位置，AB'与CD交于点E．
(1)求证：△AED≌△CEB'；
(2) AB＝8，DE＝3，点P为线段AC上任一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H．求PG＋PH的
值，并说明理由．
10、如图，将边长为8 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，求线段CN的长．(MN的长)
勾股定理解决最短路径问题及折叠问题
勾股定理解决最短路径问题及折叠问题 1、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 2、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_________cm；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要_________cm． 3、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？
4、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，求这个最小值 5、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷 （A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB ＝50km ，A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1＝PA +PB ，图2是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A ′，连接BA ′交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2＝PA +PB . （1）求S 1、S 2，并比较它们的大小； （2）请你说明S 2＝PA +PB 的值为最小； （3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、 B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值. 图2 A D E P B C
勾股定理中的折叠问题
A B C E 勾股定理中的折叠问题 姓名： 例1：如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，?长BC?为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F:处（折痕为AE ）(1)求BF 的长； (2)求EC 的长。 … BC ，使点B 落在AD 边的F 处，已知：AB=3，BC=5，求折痕EF 的长． 例2：已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A 、6cm 2 B 、8cm 2 C 、10cm 2 D 、12cm 2 对应练习：1、如图2-2，把一张长方形纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点A 、C 重合，?若其长BC 为a ，宽AB 为b ，则折叠后不重合部分的面积是多少 $ A B , 第11题图 A E B C D ￥ F
2、如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=?3，BC=7 ，求重合部分△EBD 的面积 例3：有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分 线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗 ( 对应练习：1、如图，在△ABC 中，∠B= 90，AB=BC=6，把△ABC 进行折叠，使点A 与点D 重合，BD:DC=1:2，折痕为EF ，点E 在AB 上，点F 在AC 上，求EC 的长。 — A E C D B A D B C E F
利用勾股定理解决折叠问题及答案
小专题（二）利用勾股定理解决折叠与展开问题类型1利用勾股定理解决平面图形的折叠问题 1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC= 5 cm, BC= 10盯，将厶ABC折叠， 使点B与点A重合，折痕为DE则CD的长为（） 25 B. 15 A. cm 2 2 cm 25 D. 15 C. , cm 4 cm 4 2.如图所示，有一块直角三角形纸片，/ C= 90°, AC= 4 cm, BC= 3 cm,将斜边AB 翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD则CE的长为（） A. 1 cm B . 1.5 cm C. 2 cm D . 3 cm 3.（青岛中考）如图，将长方形ABCD& EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C'上， 若AB= 6, BC= 9,则BF的长为（） A. 4 B . 3 2 C. 4.5 D . 5 4.如图，长方形纸片ABCD中，已知AD= 8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B 落在点F处，折痕为AE且EF= 3,则AB的长为（） A. 3 B . 4 C . 5 D . 6 5.（铜仁中考）如图，在长方形ABCD中, BC= 6, CD= 3,将厶BCD沿对角线BD翻折， 点C落在点C'处，BC交AD于点E,则线段DE的长为（） 15 15 A. 3 B. C . 5 D. 4 2 6.如图，在长方形ABCD中AB= 4, AD= 6, E是AB边的中点，F是线段BC上的动点， 将厶EBF沿EF所在直线折叠得到△ EB F,连接B‘ D,则B‘ D的最小值是（） A. 2 10- 2
B. 6 C. 2- 13 - 2 D. 4 7.如图所示，在△ ABC 中，/ B = 90°, AB= 3, AC= 5,将厶ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE 则厶ABE 的周长为 ____________ . 8 如图，在 Rt △ABC 中, Z C = 90°, BC= 6 cm , AC= 8 cm ,按图中所示方法将△ BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C 点，那么△ ADC 的面积是 _______________ . 9. 如图，已知Rt △ ABC 中, Z C = 90°, AC= 6, BC= 8,将它的锐角A 翻折，使得点A 落在BC 边的中点D 处，折痕交AC 边于点E ,交AB 边于点F ,则DE 的值为 _____________ . 10. 如图，在 Rt △ABC 中，Z B = 90°, AB= 3, BC= 4,将厶ABC 折叠，使点B 恰好落 在边AC 上，与点B '重合，AE 为折痕，则EB' = ____________ . 11. 为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级 （1） 班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学在制 作手工作品的第一、二个步骤是： ① 先裁下了一张长BC= 20 cm ,宽AB= 16 cm 的长方形纸片ABCD ② 将纸片沿着直线AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 处， 请你根据①②步骤解答下列问题：计算 EC FC 的长. 类型2利用勾股定理解决立体图形的展开问题 1.如图，一圆柱体的底面周长为 24 cm ,高AB 为5 cm , BC 是直径，一只蚂蚁从点 A C. 13 cm 12 cm,底面周长为18 cm ,在杯内离杯底4 cm 的点 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 C 的最短路程是（ A. 6 cm B . 12 cm 16 cm 2.如图，圆柱形玻璃杯，高为
勾股定理--最短距离问题.docx
蚂蚁爬行的最短路径 正方体 4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的 B 点处，它爬行的最短 路线是（） A． A?P?B B． A?Q?B C． A?R?B D． A?S?B 解：根据两点之间线段最短可知选A． 故选 A． 2. 如图，边长为 1 的正方体中，一只蚂蚁从顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的最短距离是. 第6 题 解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB=2212 5 ． 8. 正方体盒子的棱长为 2 ， BC 的中点为M，一只蚂蚁从 A 点爬行到M点的最短距离为. 第7 题 解：将正方体展开，连接M、 D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3，
MD = MD 2222 DD13213 ． 1 5．如图，点 A 的正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一 蚂蚁从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是（） 12B 1 A 解：如图， AB= 1 2 21210 ．故选C． 9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点 A 沿表面爬行至侧面的 B 点，最少要用 2.5 秒钟． 解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短 的路线． （1）展开前面右面由勾股定理得AB==cm； （2）展开底面右面由勾股定理得AB==5cm； 所以最短路径长为 5cm ，用时最少： 5÷2=2.5秒． 长方体 10．（ 2009?恩施州）如图，长方体的长为15，宽为 10，高为20，点 B 离点 C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是。 解：将长方体展开，连接A、 B，根据两点之间线段最短，AB==25．
利用勾股定理解决折叠问题及答案
展开问题勾股定理解决折叠与小专题(二) 利用1 利用勾股定理 解决平面图形的折叠问题类型折叠，ABCBC＝10 cm，将△．如图，有 一张直角三角形纸片，两直角边1AC＝5 cm，) ，则CD的长为( 使 点B与点A重合，折痕为DE1525 cm cm B.A.221525 cm cm D. C. 44AB，将斜边BC＝3 cm＝90°，AC＝4 cm，2．如图所示，有一 块直角三角形纸片，∠C) 的长为( ，则AC的延长线上的点E处， 折痕为ADCE翻折，使点B落在直角边1.5 cm ．1 cm B．A3 cm ．2 cm D．C′上，AB边的中点CEF 折叠，使顶点C恰好落在3．(青岛中考)如图，将长方形ABCD沿) ( ＝9，则BF的长为若AB＝6，BC2 ．3A．4 B5 ．．4.5 DCBAC重合，点8，折叠纸片使 AB边与对角线AD4．如图，长方形纸片ABCD中，已知＝) ( ，则AB的长为3落在点F处，折痕为AE，且EF＝6 5 D．．4 C．A．3 B翻折，BD，将 △BCD沿对角线6，CD＝3BC5．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD中， ＝) ( 的长为于点E，则线段DE′处，点C落在点CBC′交AD1515 ．5 D.．3 B. CA24上的动点，
是线段BC边的中点，E是ABF，，中，6．如图，在长方形ABCDAB＝4AD＝6 ) 的最小值是( DBDBFEBEFEBF将△沿所在直线折叠得到△′，连接′，则′2 －102．A． 6 B．213－C．2 D．4 7．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为________．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是________． 9．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB 边于点F，则DE的值为________． 10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________． 11．为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是： ①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD， ②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，
勾股定理中的折叠问题
A B C E 勾股定理中的折叠问题 姓名： 例1：如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，?长BC?为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F:处（折痕为AE ）(1)求BF 的长； (2)求EC 的长。 BC ，使点B 落在AD 边的F 处，已知：AB=3，BC=5， 例2：已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A 、6cm 2 B 、8cm 2 C 、10cm 2 D 、12cm 2 【 * 对应练习：1、如图2-2，把一张长方形纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点A 、C 重合，?A B 第11题图 A E B … C D F
若其长BC 为a ，宽AB 为b ，则折叠后不重合部分的面积是多少 2、如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=?3，BC=7，求重合部分△EBD 的面积 $ 例3：有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分 线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗 对应练习：1、如图，在△ABC 中，∠B= 90，AB=BC=6，把△ABC 进行折叠，使点A 与点D 重合，BD:DC=1:2，折痕为EF ，点E 在AB 上，点F 在AC 上，求EC 的长。 A E C D B / A D B C E F
） 例4：如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC 沿直线AD 折叠， 使它落在斜边AB 上，恰与AE 重合，求CD 对应练习：1、如图，四边形ABCD 是矩形，AB =3，BC =4，把矩形沿直线AC 折叠，点B | 落在点F 处，连接DF ，CF 与AD 相交于点E ，求DE 的长和△ACE 的面积. … 2、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG. . A C 、 D B E G A B
人教版八年级数学下册 第17章 勾股定理中最短路径问题专题
勾股定理中最短路径问题专题 一、同步知识梳理 1、勾股数：满足a2＋b2＝c2的3个正整数a、b、c称为勾股数． （1）由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件： ①满足a2＋b2＝c2 ②都是正整数．两者缺一不可． （2）将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2＋b2＝c2 (但不一定是勾股数)，例如：3、4、5是一组勾股数，但是以0.3 cm、0.4 cm、0.5 cm为边长的三个数就不是勾股数。 二、同步题型分析 1、等腰三角形的周长是20 cm，底边上的高是6 cm，求它的面积. 2、（1）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝8，DE垂直平分AB，求BE的长. （2）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝8，AE平分∠CAE，ED⊥AB,求BE的长. （3）如图，折叠长方形纸片ABCD，是点D落在边BC上的点F处，折痕为AE，AB=CD=6，AD=BC=10，试求EC的长度. 一、专题精讲 知识总结：长方体： （1）长方体的长、宽、高分别为a、b、c；（2）求如图所示的两个对顶点的最短距离d。 E D A C B D E A C B
A B A 1B 1D C D 1C 1214 （2）长方体盒子表面小虫爬行的最短路线d 是22c b a ++）（、22b c a ++）（、2 2a c b ++）（ 中最小者的值。 圆柱体： （1）圆柱体的高是h 、半径是r ；（2）要求圆柱体的对顶点的最短距离。 圆柱体盒子外小虫爬行的最短路线d ； 两条路线比较：其一、AC+BC 即高+直径 ； 其二、圆柱表面展开后线段AB=2 2r h +的长. 题型二、长方体 例题1、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 . 例题2、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。 B A A B
勾股定理与折叠问题(经典题型).docx
与直角有关的折叠问题（一） 1.如图，将矩形ABCD勺四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH 若EH=9厘米，EF=12厘米，则边AD的长是（） A. 12厘米 B. 15厘米 C. 20厘米 D. 21厘米 2. 如图，在矩形ABCD中, AB=4, BC=8将矩形ABCD沿EF 折叠，使点C与点A重合，则折痕EF 的长为（ 5C. L D. 3. 如图1,四边形ABCD是一矩形纸片，AB=8cm 作：（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图2；（2）将厶AFB以BF为 A ICm J B 2cm j C 3cn∩j D 4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC 边上，点F在AB边上，沿着 EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥ BC,则 CE 的长是（）A. 1°B. lθ^5λ∕3 C. D2O-1C√3 5. 如图，在矩形纸片ABCD中, AD=6cm点E在BC上，将纸片 - P G AE=8cm 操 A. 6 B. 折痕向右折过去，得图
沿AE 折叠，使点 B 落在AC 上的点F 处，且∠ AEF=∠ CEF 贝U AB 的长是（ ) A. 2cm B. - √--d --1- C. 4cm D. L -' 6. 如图，CD 是 Rt △ ABC 斜边AB 上的高，直角边 ■ ： ,现将△ BCD 沿 CD 折叠，点B 7. 如图，在矩形 ABCD 中，二「一「：；，「二二匚，将△ BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在Cr 处，AD 与BC 交于点 E ,连接 AC ,贝U AC : BD 为 曲二丄M 8. 如图，在矩形 ABCD 中,点E , F 分别在边AB, BC 上，且 ? ,将矩形沿直线 EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q,有下列结论：①EF=2BE ② PF=2PE ③FQ=4EQ ④厶PBF 是等边三角形.其中正确的是 （ ） A.①② B.②③ C.①③ D.①④ 恰好落在AB 的中点E 处，则图中阴影部分的面积为 A. IC
勾股定理之归纳1最短路径问题与勾股定理
归纳1:最短路径问题与勾股定理 原题1：如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B 到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km，CD=4km，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。 原题2：如图所示,圆柱体的底面直径为6cm,高AC为12cm,一只蚂蚁从A点出发,沿着圆柱的侧面爬行到点B,试求出爬行的最短路程.(π取3） 原题3：如图，有一个长方体的长、宽、高分别是3、2、1，在底面A处有一只蚂蚁，它想吃正方体B处的食物，需要爬行的最短路程是多少? 变式1：正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为多少。 变2：如图(1),A、B两单位分别位于一条封闭街道的两旁(直线l1、l2是街道两边沿),现准备合作修建一座过街人行天桥. (1)天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短?在图(2)中作出此时桥PQ的位置,简要叙述作法并保留作图痕迹.(注:桥的宽度忽略不计,桥必须与街道垂直). (2)根据图(1)中提供的数据计算由A经过天桥走到B的最短路线的长.(单位:米) 变3：有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ 变4：有一圆柱形油罐,要以A点环绕油罐建旋梯,正好到A点的正上方B点,问旋梯最短要多少米?（己知油罐周长是12米,高AB是5米） 变5：如图，圆柱底面半径为2cm,高为9π，A、B分别是圆柱底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短距离。 变6：如图, 透明的圆柱形容器( 容器厚度忽略不计) 的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点 A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多少? 变7：如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
专题勾股定理与折叠问题
专题：勾股定理在折叠问题中应用 .知识要点 (1) 折叠的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等 (2) 利用线段关系和勾股定理，运用方程思想进行计算. 二典例解析 (一)三角形的折叠 1. 如图，Rt/ABC中，/ C=90，AC=6 AB=10 D为BC上一点，将AC沿AD折叠，使点C落 在AB上，求CD的长 2. 如图，Rt/ABC中，/ C=90，D为AB上一点，将/ ABC沿DE折叠，使点B与点A重合, ①若AC=4 BC=8求CE的长 ②若AC=24 BC=32求折痕DE的长 D C E
（二）矩形的折叠 1. 如图，折叠矩形纸片ABCD先折出折痕（对角线）BD再折叠，使AD落在对角线BD上, 得折痕DG 若AB = 2，BC = 1，求AG
2. 如图，折叠长方形的一边AD,点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm BC=10cm 求EC的长. 变式：如图.在直角坐标系中，矩形ABC0的边0A在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（1, 3），将矩形沿对角线AC 翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E.那么点D的坐标为 ______________ 3. 如图，矩形纸片ABCD AB=4cm BC=8cm现将A C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ①求DF的长； ②求重叠部分△ AEF的面积; ③求折痕EF的长. B E
（三）正方形的折叠 1?将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN ①求线段CN的长； ②求AM ③求折痕MN的长 MN折叠，使点B落在CD边上变式：如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿 的B处，点A对应点为A，且BC 3，则AM的长是 ________________
折叠问题与勾股定理
折叠问题与勾股定理 Revised at 2 pm on December 25, 2020.
折叠问题与勾股定理 1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处。 (1)求EF 的长；(2)求梯形ABCE 的面积。 2．如图所示，在ABC 中，AB=20，AC=12，BC=16，把ABC 折叠，使AB 落在直线AC 上，求重叠部分(阴影部分)的面积． 3．如图，矩形纸片ABCD 的长 AD=9 cm ，宽AB=3 cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么 折叠后DE 的长是多少 4如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6，BC=8，将三角形ABC 折叠,使AB 落在斜边AC 上得到线段AB ’,折痕为AD ，求BD 的长为． 5.如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ．求EC 的长． 6.如图，将边长为8 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，求线段CN 的长．(MN 的长) 7．如题，在长方形ABCD 中，将ABC 沿AC 对折至AEC 位置，CE 与AD 交于点F. (1)试说明：AF=FC (2)如果AB=3，BC=4，求AF 的长。 C D B A E E F A B
8.把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ． 若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ， （1）重叠部分△DEF 的面积是多少cm 2 （2）求EF 的长。 9.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，M 为AB M 旋转，使点C 与点A 重合得到△DEA ，设AE 交CB 于点(1) 若∠B=25°,求∠BAE 的度数； (2) 若AC=2，BC=3 ，求CN 的长． 10.如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 与CD 交于点E ． (1)求证：△AED ≌△CEB'； (2) AB ＝8，DE ＝3，点P 为线段AC 上任一点，PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ．求 PG ＋PH 的值，并说明理由． 11.有一边长为2的正方形纸片ABCD ，先将正方形 ABCD 对折，设折痕为EF ；再沿过点D 的折痕将角A 翻折， 使得点A 落在EF 的H 上，折痕交AE 于点G,求EG 的 长。 折叠问题作业 1、如图所示，有一块直角三角形纸片，90C ∠=， 4cm AC =，3cm BC =，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为（ ） A ．1cm B ．1.5cm C ．2cm D ．3cm 2、如图，一圆柱高8cm ，底面半径2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（ ）． '）
利用勾股定理解决折叠问题及答案
小专题(二) 利用勾股定理解决折叠与展开问题 类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题 1．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为( ) A.252 cm B.152 cm C. 254 cm D.154 cm 2．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( ) A ．1 cm B ．1.5 cm C ．2 cm D ．3 cm 3．(青岛中考)如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，若AB ＝6，BC ＝9，则BF 的长为( ) A ．4 B ．3 2 C ．4.5 D ．5 4．如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( ) A ．3 B.154 C ．5 D.15 2
6．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是( ) A．210－2 B．6 C．213－2 D．4 7．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE 的周长为________． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB 边的C′点，那么△ADC′的面积是________． 9．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为________． 10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________． 11．为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是： ①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD， ②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处， 请你根据①②步骤解答下列问题：计算EC，FC的长．
勾股定理中的最短距离经典题型
最短距离： 1.(本小题10分)如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘AB=CD=16，点E在CD上，CE=4，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为( )(π按3计算) A. 15 B. C. D. 21 2.如图，圆柱底面半径为，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点A，B在同一母线上，用一根棉线从点A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为( ) A. 12cm B. C. 15cm D. 3. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别为50寸，30寸和10寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长是( ) A. 13寸 B. 40寸 C. 130寸 D. 169寸 4. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行 的最短路线的长为( ) A. 20 B. 22 C. 28 D. 18 5. 如图，一个直径为8cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm．当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），若筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度和杯子的高度分别为( )cm．
A. 8，7 B. 8.5，7.5 C. 9，8 D. 10，9 6. 如图，将一根木棒垂直或倾斜的放进长、宽、高分别为12cm，4cm，3cm的水箱中，能放入水箱内木棒的最大长度为( )cm． A. 13 B. 12 C. 15 D. 16 7. 一辆卡车装满货物后宽3.2米，这辆卡车要通过如图所示的隧道（上方是一个半圆，下方是边长为4米的正方形），则装满货物后卡车的最大高度为( )米． A. 5.2 B. 5.8 C. 7.6 D. 5.4 8.某工厂大门形状如图所示，其上部分为半圆，工厂门口的道路为双行道（双行道中间隔离带忽略不计）．要想使宽为1.5米，高为3.1米的卡车安全通过，那么此大门的宽度至少应增加 多少米？ 9. 如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm，BC是上底面的直径．一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则昆虫爬行的最短路程为____cm． 10. 如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个
完整版勾股定理中的折叠问题
勾股定理中的折叠问题 例1:如图，小红用一张长方形纸片 ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，?长BC? 为10cm .当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F:处（折痕为AE ）⑴ 求BF 的长；⑵ 对应练习：1、如图折叠长方形的一边 BC,使点B 落在AD 边的F 处，已知：AB=3, BC=5 求折痕EF 的长. 已知，如图长方形ABCD 中, AB=3cmAD=9cm 将此长方形折叠，使点B 与点D 重合, 折痕为 EF,则△ ABE 的面积为（ ）A 6cm B 、8cm C 、10cm D 12cm N 二 第11题图F 对应练习：1、如图2-2，把一张长方形纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点 A C 重合，？ 若其长BC 为a ，宽AB 为b 则折叠后不重合部分的面积是多少? 例2： 求EC 的长。
2、如图2-3，把矩形ABCD&直线BD 向上折叠，使点C 落在C 的位置上，已知AB=?3 BC=7求重合部分△ EBD 的面积 例3:有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cn 现将直角边AC 沿/ CAB 勺角平分 线AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗? E 对应练习：1、如图，在△ ABC 中,/ B=90。，AB=BC=6把^ ABC 进行折叠，使点 A 与点 D E — 求EC 的
例4:如图, 一块直角三角形的纸片，两直角边 AC=6c m ，BC=8c m 。现将直角边 AC 沿直线AD 折叠, 3 对应练习：1如图，四边形ABCD 是矩形，AB=3, BC=4,把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点F 处，连接DF ，CF 与AD 相交于点E ，求DE 的长和△ ACE 的面积. 2、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对 角线 BD 上，得折痕 DG ，若 AB = 2，BC = 1，求 AG. AB 上，恰与AE 重合，求CD 使它落在斜边 B B
勾股定理中的最短距离(经典题型)
最短距离： 令狐采学 1.(本小题10分) 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半 圆，其边缘AB=CD=16，点E在CD上， CE=4，一滑板爱好者从A点滑到E点， 则他滑行的最短距离为( )(π按3计算)A. 15B. C. D. 21 2.如图，圆柱底面半径为，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点A，B在同一母线上，用一根棉 线从点A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的 长度最短为( )A. 12cmB. C. 15cmD. 3. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别为 50寸，30寸和10寸，A和B是这个台阶的两个相对端点， A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长是( ) A. 13寸 B. 40寸 C. 130寸 D. 169寸 4.如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长为( ) A. 20 B. 22 C. 28 D. 18
5.如图，一个直径为8cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm．当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），若筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度和杯子的高度分别为( )cm． A. 8，7 B. 8.5，7.5 C. 9，8 D. 10，9 6. 如图，将一根木棒垂直或倾斜的放进长、 宽、高分别为12cm，4cm，3cm的水箱中， 能放入水箱内木棒的最大长度为( )cm． A. 13 B. 12 C. 15 D. 16 7. 一辆卡车装满货物后宽3.2米，这辆卡车要通过如图所示的隧道（上方是一个半圆，下方是边长为4米的正方 形），则装满货物后卡车的最大高度为( )米． A. 5.2 B. 5.8 C. 7.6 D. 5.4 8.某工厂大门形状如图所示，其上部分为半圆，工 厂门口的道路为双行道（双行道中间隔离带忽略 不计）．要想使宽为1.5米，高为3.1米的卡车安全通过， 那么此大门的宽度至少应增加多少米？ 9. 如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm， BC是上底面的直径．一只昆虫从点A出发，沿着圆柱 的侧面爬行到点C，则昆虫爬行的最短路程为____cm． 10. 如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，5cm．若 一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，
勾股定理求最短距离问题
课题利用勾股定理求最短问题 学习目标：利用勾股定理知识与其他知识的综合应用解决图形中最短距离问题。 学习重点：勾股定理及其逆定理的综合应用。 学习难点：数形结合法分析问题。 学习过程： 一、复习回顾 （1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么。（2）逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2＋b2＝c2,那么这个三角形是三角形。（3）如图一个圆柱，延其一条与轴平行的曲面上一条直线展开侧面图是。 二、学以致用 例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？ 例2、有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ 例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）（A）3 （B）√5 （C）2 （D）1 例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 例5、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？
三、巩固练习 1. 如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是多少？( 取3) B 8 2．已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点, 那么沿哪条路最近,最短的路程是多少? 3.如图所示，圆柱形玻璃容器，高18 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底1 cm,点S处有一蜘蛛， 与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛， 所走的最短路线的长度。 4. 如右图，有一个长方体盒子，它的长是70cm，宽和高都是50cm。在A点处有一只蚂蚁，它想吃到 B点处的食物，那么它爬行的最短路程是多少? 5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相 对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 多少？ 20 3 2 A B 6．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km， 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得（1）若C，D两村到E站的距离相等，则E站应建 在离A站多少km处？ （2）若E站到C，D站的距离之和最短，则 E站应建在离 A站多少km处？ A D E B C
《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计
《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计
2 C B A 《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计 教材分析 本节课是最短路径问题的延续和拓广，不但要寻找最短路径，还要计算其长度。在初中阶段，求解两点之间的距离问题多借助勾股定理进行计算，在中考中占有一定地位．而勾股定理是直角三角形非常重要的性质，有极其广泛的应用。勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，是几何图形和数量关系之间的一座桥梁． 学情分析 学生在初一上学期学习线段相关知识时已掌握“同一平面内，两点之间，线段最短”，初二上学期学习轴对称一章时，又接触了最短路径问题，因此对最短路径问题有一定的理解。分类讨论一直都是学生觉得比较难掌握的思想方法，分类不清、分类不全是学生经常犯的错误． 教 学 目 标 知识目标 能运用勾股定理求最短路径问题 能力目标 学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想． 情感目标 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学，增强自信心，体现成功感． 教学重点 探索、发现立体图形展开成平面图形各种途径，利用勾股定理求最短路径问题． 教学难点 利用数学中的建模思想构造直角三角形，寻找不同路径，利用勾股定理，解决实际问题． 教学过程 教学环节 教学内容 教学活动 学生活动 设计意图 复习巩固 1．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=?，AC =4，BC =2，则AB = ． 2．如图，小华的家在A 处，书店在B 处，星期日小明到书店去买书，他想尽快的赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（ ） A ．A C D B →→→ 引导学生 复习利用勾股定理计算三角形的边长． 引导学生回顾同一平面内，两点之间线 学生回顾勾股定理和两点之间线段最短的知识． 帮助学生温 故知新
勾股定理在折叠问题中的应用(讲义及答案)
勾股定理在折叠问题中的应用 ? 课前预习 1. 观察图形，回顾轴对称的性质： （1）全等变换：对应边________，对应角_________； （2）对应点所连的线段被对称轴_____________． l A' B' C' C B A 2. 如图，乐乐将△ABC 沿DE ，EF 分别翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，且EA 与 EB 重合于线段EO ，若∠DOF =139°，则∠C 的度数为（ ） A ．38° B ．39° C ．40° D ．41° O F E D C B 3. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6，BC =8，点D 在BC 边上，将直 角边AC 沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处．设DE 的长为x ，则CD =__________，BD =_________．（用含x 的代数式表示） D E A B C ? 知识点睛 1. 轴对称（折叠）的思考层次
（1）全等变换：对应边_______、对应角_______． （2）对称轴性质： ①对应点所连线段_____________________； ②对称轴上的点_______________________． （3）组合搭配：长方形背景下的折叠常出现______三角形． （4）作图：关注_______和________，有时需要依据不变特征分析转化，补全图形． ①当对称轴已知时，直接作点的对称点，找对应点； ②当对应点已知时，作对应点所连线段的垂直平分线，找对 称轴（折痕）； ③当对称轴过定点时，常作弧找对应点． ? 精讲精练 1. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6 cm ，BC =8 cm ，点D 在BC 边 上，将直角边AC 沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处，则线段CD 的长为__________． D E A B C N M F C B E D A 第1题图 第2题图 2. 如图，将边长为4 cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长为__________． 3. 如图，在长方形ABCD 中，AB =5 cm ，在DC 上存在一点E ，将△AED 沿直线AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处，若△ABF 的面积为30 cm 2，则EF 的长为_______． F E D C B A 4. 如图，在长方形ABCD 中，点E 在AB 边上，将长方形ABCD 沿直线DE 折叠， 点A 恰好落在BC 边上的点F 处．若AE =5，BF =3，则CF 的长为_______．