基本不等式练习题及答案解析

1．若xy＞0，则对x

y＋

y

x说法正确的是()

A．有最大值－2B．有最小值2

C．无最大值和最小值D．无法确定

答案：B

2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A．400 B．100

C．40 D．20

答案：A

3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4

x有最小值____．

答案：2 4

4．已知f(x)＝12

x＋4x.

(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；

(2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．

解：(1)∵x＞0，∴12

x，4x＞0.

∴12

x＋4x≥2

12

x·4x＝8 3.

当且仅当12

x＝4x，即x＝3时取最小值83，

∴当x＞0时，f(x)的最小值为8 3.

(2)∵x＜0，∴－x＞0.

则－f(x)＝12

－x

＋(－4x)≥2

12

－x

·?－4x?＝83，

当且仅当12

－x

＝－4x时，即x＝－3时取等号．

∴当x＜0时，f(x)的最大值为－8 3.

一、选择题

1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()

A．x＋1

2x B．x

2－1＋

1

x2－1

C．2x＋2－x D．x(1－x) 答案：C

2．函数y＝3x2＋

6

x2＋1

的最小值是()

A．32－3 B．－3 C．6 2 D．62－3

解析：选D.y＝3(x2＋

2

x2＋1

)＝3(x2＋1＋

2

x2＋1

－1)≥3(22－1)＝62－3.

3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是() A．200 B．100

C．50 D．20

解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程：

①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b

a＋

a

b≥2

b

a·

a

b＝2；

②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lg x＋lg y≥2lg x·lg y；

③∵a∈R，a≠0，∴4

a＋a≥2

4

a·a＝4；

④∵x，y∈R，，xy＜0，∴x

y＋

y

x＝－[(－

x

y)＋(－

y

x)]≤－2?－

x

y??－

y

x?＝－2.

其中正确的推导过程为()

A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．

①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b

a，

a

b∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导

过程正确；

②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lg x是负数，y∈(0,1)时，lg y是负数，∴

②的推导过程是错误的；

③∵a∈R，不符合基本不等式的条件，

∴4

a＋a≥24

a·a＝4是错误的；

④由xy＜0得x

y，

y

x均为负数，但在推导过程中将全体

x

y＋

y

x提出负号后，(－

x

y)均

变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．

5．已知a＞0，b＞0，则1

a＋

1

b＋2ab的最小值是()

A．2 B．2 2 C．4 D．5

解析：选 C.∵1

a＋

1

b＋2ab≥

2

ab

＋2ab≥22×2＝4.当且仅当

??

?

??a＝b

ab＝1

时，

等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.

6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()

A．最大值64 B．最大值1 64

C．最小值64 D．最小值1 64

解析：选C.∵x、y均为正数，∴xy＝8x＋2y≥28x·2y＝8xy，当且仅当8x＝2y时等号成立．∴xy≥64.

二、填空题

7．函数y＝x＋

1

x＋1

(x≥0)的最小值为________．

答案：1

8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．

解析：1＝x＋4y≥2x·4y＝4xy，∴xy≤1 16.

答案：大1 16

9．(2010年高考山东卷)已知x，y∈R＋，且满足x

3＋

y

4＝1，则xy的最大值为

________．

解析：∵x＞0，y＞0且1＝x

3＋

y

4≥2

xy

12，∴xy≤3.

当且仅当x

3＝

y

4时取等号．

答案：3 三、解答题

10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋

4

x＋1

＋6的最小值；

(2)求函数y＝x2＋8

x－1

(x＞1)的最值．

解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.

∴y＝x＋

4

x＋1

＋6＝x＋1＋

4

x＋1

＋5

≥2 ?x＋1?·4

x＋1

＋5＝9，

当且仅当x＋1＝

4

x＋1

，即x＝1时，取等号．

∴x＝1时，函数的最小值是9.

(2)y ＝

x 2＋8x －1

＝x 2－1＋9x －1

＝(x ＋1)＋

9x －1

＝(x －1)＋9

x －1＋2.∵x ＞1，∴x －1＞0.

∴(x －1)＋

9

x －1

＋2≥2

?x －1?·9

x －1＋2＝8.

当且仅当x －1＝9x －1

，即x ＝4时等号成立，

∴y 有最小值8.

11．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)·(1b －1)·(1

c －1)≥8.

证明：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1， ∴1

a －1＝1－a a ＝

b ＋

c a ＝b a ＋c a ≥2bc a ， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c ，

以上三个不等式两边分别相乘得 (1a －1)(1b －1)(1

c －1)≥8. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．

12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．

问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．

解：设污水处理池的长为x 米，则宽为200

x

米．

总造价f (x )＝400×(2x ＋2×200x )＋100×200

x

＋60×200

＝800×(x ＋225

x )＋12000

≥1600x ·225

x

＋12000

＝36000(元) 当且仅当x ＝

225

x

(x ＞0)， 即x ＝15时等号成立．