全概率公式和贝叶斯公式

单位代码：005

分类号：o1

西安创新学院本科毕业论文设计

题目：全概率公式和贝叶斯公式

专业名称：数学与应用数学

学生姓名：行一舟

学生学号：0703044138

指导教师：程值军

毕业时间：二0一一年六月

全概率公式和贝叶斯公式

摘要:对全概率公式和贝叶斯公式,探讨了寻找完备事件组的两个常用方法,和一些实际的应用.全概率公式是概率论中的一个重要的公式,它提供了计算复杂事件概率的一条有效的途径,使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简.而贝叶斯公式则是在乘法公式和全概率公式的基础上得到的一个著名的公式.

关键词:全概率公式;贝叶斯公式;完备事件组

The Full Probability Formula and Bayes Formula

Abstract：To the full probability formula and bayes formula for complete,discusses the two commonly used methods of events,and some practical applications.Full probability formula is one of the important full probability formula of calculation,it provides an effective complex events of the way the full probability of a complex events,full probability calculation problem change numerous will Jane.And the bayes formula is in full probability formula multiplication formula and the basis of a famous formula obtained.

Key words：Full probability formula;Bayes formula;Complete event group;

目录

引言 (1)

1.全概率公式和贝叶斯公式 (1)

1.1全概率公式 (1)

1.2贝叶斯公式 (2)

1.3全概率公式和贝叶斯公式的应用 (2)

2全概率公式和贝叶斯公式的推广 (8)

结束语 (10)

参考文献 (11)

致谢词 (12)

引言

应用全概率公式和贝叶斯公式是生活中和学习中经常运用到的两个公式，而在计算某个事件概率的关键是寻找与该事件相关的完备事件组,但在日常教学中发现许多同学在利用这两个公式计算某个事件的概率时,往往找不准相关的事件组,因而所求答案出现失误.本文针对这个问题展开讨论,通过对全概率公式和贝叶斯公式相关问题的分析,探讨了寻找完备事件组的两个常用方法，并发现贝叶斯公式和全概率公式在生活和应用中的推广.

1.全概率公式和贝叶斯公式

定义1.1设S 为样本空间,设1A ,2A ，n A 为S 的一个划分组,若它满足(1)i j =A A ?,i ,j =1,2,…,n ,i ≠j ;

(2)12···n A A A ∪∪

∪=S .则称1A ,2A ,…n A 为一个完备事件组.

1.1全概率公式

全概率公式是指若1A ,2A ,…n A 为一完备事件组,P (i A )＞0(i =1,2…),则对于任意事件B ,有

[1]

1()()(|)n i i i P B P A P B A ==∑.

全概率公式的直观意义是:某事件B 的发生有各种可能的原因i A (i =1,2…),并且这些原因两两不能同时发生,如果B 是由原因i A 所引起的,若B 发生时,i BA 必同时发生,因而()P B 与()i P BA (i =1,2…)有关,且等于其总和

11()()(|)

n n i i i i i P BA P A P B A ===∑∑.

全概率的全就是总和的含义,当然这个总和要能求出来,需已知概率()i P BA ,或已知各原因i A 发生的概率()i P A 及在i A 发生的条件下B 的条件概率(|)i P B A (i =1,2…).通俗地说,事件B 发生的可能性,就是其原因i A 发生的可能性与在i A 发生的条件下事件

B 发生的可能性的乘积之和.

1.2贝叶斯公式

贝叶斯公式是指若1A ,2A ,…n A 为一完备事件组,且()i P A ＞0(i =1,2,…),则对任何概率非零的事件B ,有

1

()(|)()(|)

(|)()()(|)

i i i i i n j j j P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑.在理论研究和实际中还会遇到一类问题,这就是需要根据试验发生的结果找原因,看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用,解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式.贝叶斯公式的意义是导致事件B 发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率.

1.3全概率公式和贝叶斯公式的应用

从公式结构上看,全概率公式与贝叶斯公式关系密切,如何正确使用这两个公式是本文的一个重要的内容.无论全概率公式还是贝叶斯公式都需要正确的找出完备事件组.

如果所求概率的事件与前后两个实验有关,且这两个实验彼此关联,第一个试验的各种结果直接对第二个试验产生影响,而问第二个试验出现某结果的概率,这类问题是属于使用全概率公式的问题,将第一个试验的样本空间分解成若干个互不相容的事件的和,这些事件就是所求的一个完备事件组.至于在什么情况下使用贝叶斯公式,这就要看问题的提法.如果已知某事件已发生,要求该事件与完备事件组中某一事件一同发生的概率,应采用贝叶斯公式求之.

如果事件B 能且只能在原因1A ,2A ,…n A 下发生,且1A ,2A ,…n A 是两两互不相容,那么这些原因就是一个完备事件组.如果这些原因发生的概率()i P A 以及在原因i A 发生下事件B 的条件概率(|)i P B A (i =1,2,…)都是已知的,或都可求出,则:

(1)可使用全概率公式计算事件B 的概率.

(2)如果已知事件B 发生,要计算导致结果B 发生的原因i A 的可能性大小,即事件i A 的条件概率(|)i P A B 的大小,可采用贝叶斯公式求之.显然如果把i A (i =1,2…)看成是导致事件B 发生的原因,那么全概率公式与贝叶斯公式可分别说成由因求果与执果

求因的概率计算公式.

例1.1设甲箱中有3个白球和2个黑球,乙箱中有1个白球和2个黑球,自甲箱中任意取2球放入乙箱,然后再从乙箱中任意取出2球,试求:

(1)从乙箱中取出的两球是白球的概率;

(2)在乙箱中取出的两球是白球的条件下,从甲箱中取出的两球是白球的概率.解(1)从乙箱中取球(第二个试验)之前,要从甲箱中任意取两球放入乙箱(第一个试验),而从甲箱中取球的结果影响到从乙箱中取球的结果,本题可用全概率公式来求解.

将第一个试验的样本空间分解,即可求得完备事件组.

因为从甲箱中任意取两球放入乙箱仅有3种可能:取得两白球,或者取得一黑球和一白球,或者取出两黑球,分别用1A ,2A ,3A 表示,则1A ,2A ,3A 即为所求的一个完备事件组,又设B 为乙箱中取出的两球是白球,则有

21123322123222555331(),()(),10510

C C C C P A P A P A C C C ======2232123225531(|),(|)(|)01010

C C P B A P B A P B A C C =====.由全概率公式得到

3

1()()(|)0.15i i i P B P A P B A ===∑.

(2)本题是在B 发生的条件下求导致这一试验结果发生的原因属于事件1A 的概率有多大,须用贝叶斯公式,

1111131

()(|)()(|)(|)0.16()(|)

i i i P A P B A P A P B A P A B P A P B A ====∑.例1.2在数字通讯中,信号是由数字0和1的长序列组成的,由于随机干扰,发送的信号0或1各有可能错误接受为1或0,现假设发送信号为0和1的概率均为1/2;又已知发送0时,接受为0和1的概率分别为0.7和0.3;发送信号为1时,接受为1和0的概率分别为0.9和0.1.求已知收到信号0时,发出的信号是0(即没有错误接受)的概率.

解设0A ={发送信号为0},1A ={发送信号为1},0B ={收到信号为0},1B ={收到信号为1},因为收到信号为0时,除来自发送信号确系为0外,还由于干扰原因,发送信号为1时,接受的信号也可能为0,因此导致事件0B 发生的原因只有事件0A 与1A ,且它们互不相容,故0A 与1A 构成一完备事件组,

由题设,有

0()P A =1()P A =12

,00(|)P B A =0.7,01(|)P B A =0.1,故0()P B =0()P A 00(|)P B A +1()P A 01(|)P B A =

12?0.7+12?0.1=0.4.若接受信号0时,发送信号是0的概率由贝叶斯公式得

000000()(|)(|)0.875()

P A P B A P A B P B ==例1.3甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.

解由于飞机被击落,必然是飞机被一人、二人或三人击中,如令C 表示事件飞机被击落,i B 表示事件飞机被i 人击中(i =0,1,2,3),1A ,2A ,3A 分别表示甲、乙、丙击中了飞机.因0B ,1B ,2B ,3B 两两互不相容,故0B ,1B ,2B ,3B 构成一个完备事件组,又由题设知1A ,2A ,3A 相互独立,且

1()P A =0.4,2()P A =0.5,3()P A =0.7,

故

1()P B =123()P A A A +123()P A A A +123()

P A A =1()P A 2()P A 3()P A +1()P A 2(P A 3()P A +1()P A 2()P A 3()

P A =0.4?0.5?0.3+0.6?0.5?0.7+0.6?0.5?0.3=0.36.

同理可求

2()P B =123()P A A A +123()P A A +123()

P A A A =0.4?0.5?0.3+0.4?0.5?0.7+0.6?0.5?0.7=0.41;

3()P B =123()P A A A =0.4?0.5?0.7=0.14.

又()i P B ＞0(i =0,1,2,3),且由题设有

0(|)P C B =0,1(|)P C B =0.2,2(|)P C B =0.6,3(|)P C B =1.

于是由全概率公式即得

3

1()()(|)i i i P C P B P C B ==∑=0.36?0.2+0.41?0.6+0.41=0.728

例1.4两台车床加工同样的零件,第一台出现不合格品的概率是0.03,第二台出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.

(1)求任取一个零件是合格品的概率；

(2)如果取出的零件是不合格品,求它是由第二台车床加工的概率.

解记事件1A 为“取到第一台车床加工的零件”,则

12()3P A =,11(3

P A =又记事件B 为“取到合格品”.显然1A ,1A 为一个完备事件组,则知

()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+=210.970.940.96?+?=.且用贝叶斯公式可得到

10.06()(|)3(|0.50.04()

P A P B A P A B P B ?===例1.5学生在做一道有4个选项的选择题时,如果他不知道问题的正确答案时,就做随机猜测.现从卷面上看题是答对了,试在以下情况求学生确实知道正确答案的概率.(1)学生知道正确答案和胡乱猜想的概率都是

12

；(2)学生知道答案的概率是0.2.

解记事件A 为“题目答对了”,事件B 为“知道正确答案”,则按题意有

(|)P A B =1，(|)P A B =0.25.

(1)此时有()P B =()P B =0.5,所以由贝叶斯公式得

()(|)

(|)()(|)()(|)

P B P A B P B A P B P A B P B P A B =+=0.510.510.50.25

??+?=0.8(2)此时有()P B =0.2,()P B =0.8,所以由贝叶斯公式得

()(|)

(|)()(|)()(|)

P B P A B P B A P B P A B P B P A B =+=

0.210.210.80.25??+?=0.5例1.6有两箱零件,第一箱装50件,其中10件是一等品;第二箱装30件,其中18件事一等品,现从两箱中任挑选出一箱,然后从该箱中先后任意取出两个零件试求：

(1)第一次取出的是一等品的概率.

(2)在第一次取出的是一等品的概率的情况下,第二次取出的仍是一等品的概率.解记事件i A 为“第i 次取出的是一等品”,i =1,2.又记事件i B 为“取到第i 箱的零件”,i =1,2.则1A ,2A 为一个完备事件组.(1)用全概率公式可得

1111212110118()()(|)()(|)0.4250230

P A P B P A B P B P A B =+=?+?=(2)又因为

1211212122110911817()()(|)()(|)0.194232504923029

P A A P B P A A B P B P A A B =+=?+??所以

例1.7甲、乙轮流掷一颗骰子,甲先掷.每当某人掷出1点时,则交给对方掷,否则此人继续掷.试求第n 次由甲掷的概率.

解设事件i A 为“第i 次由甲掷骰子”,记()i i P P A =,i =1,2….则有

11P =,15(|)6i i P A A +=,11(|6

i i P A A +=,那么1A ,2A ,…n A 为一个完备事件组.

所以由全概率公式可知道

1111()()(|)()(|)

n n n n n n n P A P A P A A P A P A A ----=+则可得

n 1115121(1)6636

n n n P P P P ---=+-=+，2n ≥.由此可得递推公式1121()232

n n P P --=-，2n ≥.所以得11121()()232n n P P --

=-，则将11P =，代入上式可得

1112(223

n n P --=由此得

1121(23n n P -??=+????

，n =2,3,…例1.8假设只考虑天气的两种情况：有雨和无雨.若已知今天的天气情况,明天天气保持不变的概率为P ,变的概率为1P -.设第一天无雨,试求第n 天也无雨的概率.

解设事件i A 为“第i 天无雨”,记()i i P P A =,i =1,2，….则有11P =,且

1(|)i i P A A P +=,1(|1i i P A A P +=-.

那么1A ,2A ,3A …为一个完备事件组

所以又全概率公式可得

11(1)(1)n n P PP P P --=+--1(21)1n P P P -=-+-,2n ≥.得递推公式

111(21)()22

n n P P P --=--,所以可知

1111(21)()22

n n P P P --=--,则将11P =,代入上式可得

111(21)()22

n n P P --=-由此可得

111(21)2

n n P P -??=+-??,n =2,3,….2全概率公式和贝叶斯公式的推广

设S 为样本空间,设1A ,2A ,…n A 为S 的一个划分组,它满足

(1)i j =A A ?,i ,j =1,2,…,n ,i ≠j ;

(2)12···n A A A ∪∪∪=S

若i ()P A ＞0,i =1,2,…,n ,则对任一事件B ,由全概率公式得：

n i i i=1()(|)()

P B P B A P A =∑①

现将①式推广为二重全概率公式.

对于上述的划分:{}i A ,i =1,2,…,n ,如果对i A ?都存在一个划分组{}ij C ,i =1,2,…n ,j =1,2,…,j m ,且()ij P C ＞0,在i A 发生的条件下同样有:

(|)i P B A =1(|)()

j m ij ij j P B C P C =∑②

利用①,②式,这样我们给出下列定理:

定理1[]5

设{}i A ,i =1,2,…,n 为样本空间的一个划分,且i ()P A ＞0,i =1,2,…n ,对每个i A 存在一个划分{}ij C ,j =1,2,…,m ,且()ij P C ?0,则对任意的事件B ,有

()P B =n 11()(|)()

j m i ij ij i j P A P B C P C ==∑∑③

称③式为二重全概率公式.

类似可以得到下列推广的贝叶斯公式.

定理2[]5设,{}i A i =1,2,…,n 为样本空间的一个划分,且i ()P A ＞0,i =1,2,…,n ,对每个i A 存在一个划分{}ij C ,j =1,2,…,j m ,且()ij P C ＞0,则有:

(1)(|)i P A B =

1n 11()(|)()()(|)()

j

j m i ij ij j m i ij ij i j P A P B C P C P A P B C

P C ===∑∑∑④(2)n 11(|)(|)()

(|)()(|)()

j ij ij i i ij m i ij ij i j P B C P C A P A P C B P A P B C

P C ===∑∑⑤例2.1设有三个大盒子,每个大盒子中有三个小盒子,每个大盒子中的第一个小

盒子中分别装有1个红球,3个白球;第二小盒中分别装有2个红球,2个白球;第三个小盒中装有3个红球,1个白球.假设取第一个大盒子的概率为

12,取第二、第三大盒子中的概率都为

14在取定某个大盒时,取其中第一小盒概率是12,取第二、三小盒子概率均为14.今任取一个大盒,再从中任取一小盒,从此小盒中任取一球.问:(1)此球为红球的概率.

(2)若已知取的球为红球,问此球是第一个大盒的概率.

(3)若已知取的球为红球,问此球是第一个大盒中第二小盒的概率.

解设1A ,2A ,3A 分别表示从第一、二、三大盒中取球的事件,B 表示取红球的事件，ij C 表示从第i 个大盒中取第j 个小盒,i =1,2,3,j =1,2,3.则由题意知

11()2P A =,231()()4

P A P A ==11(|)2i i P C A =1,2,3,i =(|)ij i P C A 14=1,2,3,i =2,3,

j =且

11(|)4i P B C =,21(|)2i P B C =,33(|)4

i P B C =,i =1,2,3，(1)由③可知

()P B =3311()(|)()i ij ij i j P A P B C P C ==∑∑=

716

(2)由④可知

31111()(|)()

(|)()i j j j P A P B C P C P A B P B ==∑=1

2

(3)由⑤可知

12(|)P C B =121211(|)(|)()()

P B C P C A P A P B =27结束语

本文介绍了全概率公式和贝叶斯公式的概念和意义,使我可以在遇到很多概率问题时熟练的应用和使用全概率公式和贝叶斯公式.并且本文还介绍了怎样寻找完备事件组的两种方法方法,这样在寻找到完备事件组之后就能够个方便和快捷的使用全改了公式和贝叶斯公式.然后在全概率公式和贝叶斯公式在使用基础上面对两公式进行了推广.这体现了全概率公式和贝叶斯公式在应用和实践中的重要的作用,并且显示了两个公式在生活中的重要作用.

参考文献

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[2]章昕.概率统计辅导[M].北京:机械工业出版社,2002.17~18

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[4]复旦大学教研室.概率论(第一册概率论基础)[M].北京:高等教育出版

社,1979.17~20

[5]许绍溥,姜东平,宋国柱,任福贤.数学分析教程(上册)[M].南京:南京大学出版社,1990.22~26

[6]盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1989.12(3).50~66

[7]茆诗松,程依明.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2004.31~17

致谢词

本文是在程值军老师的悉心指导下完成的.从毕业设计题目的选择、到选到课题的研究和论证,再到本毕业设计的编写、修改,每一步都有程老师的细心指导和认真的解析.在程老师的指导下,我在各方面都有所提高,老师以严谨求实，一丝不苟的治学态度和勤勉的工作态度深深感染了我,给我巨大的启迪,鼓舞和鞭策,并成为我人生路上值得学习的榜样.使我的知识层次又有所提高.同时感谢所有教育过我的专业老师,你们传授的专业知识是我不断成长的源泉也是完成本论文的基础.也感谢我同一组的组员和班里的同学是你们在我遇到难题是帮我找到大量资料,解决难题.再次真诚感谢所有帮助过我的老师同学.通过这次毕业设计不仅提高了我独立思考问题解决问题的能力而且培养了认真严谨，一丝不苟的学习态度.由于经验匮乏,能力有限,设计中难免有许多考虑不周全的地方,希望各位老师多加指教.

最后,我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅,评议和参与本人论文答辩的各位老师表示感谢.

（全文共5765字）