线段和差最值问题

专题一.线段和（差）的最值问题

【知识依据】

1．线段公理——两点之间，线段最短；

2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；

3．三角形两边之和大于第三边；

4．三角形两边之差小于第三边；

5、垂直线段最短。

一、已知两个定点：

1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小；

（1）点A 、B 在直线m 两侧：

（2）点A 、B 在直线同侧：

A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：

P m A B m A B m A B

P

m A B A'

n m A B Q P n m A B P'Q'

（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

（3）两个点都在内侧：

（4）、台球两次碰壁模型

变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.

变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.

n m A B Q

P n m A B B'Q P n

m A B B'A' n m A B m n A B E D m n A B A'B'm n A P Q m n A A'

二、一个动点，一个定点：

（一）动点在直线上运动： 点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）

1、两点在直线两侧：

2、两点在直线同侧：

（二）动点在圆上运动：点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）

1、点与圆在直线两侧：

2、点与圆在直线同侧：

m n A P m n A B m n A P

m n A A'B m O A P'P m O B A B' m O A P m O A B A'

三、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解)

（1）点A 、B 在直线m 两侧：

过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左移动PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

（2）点A 、B 在直线m 同侧：

四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)

1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大；

（1）点A 、B 在直线m 同侧：

（2）点A 、B 在直线m 异侧：

过B 作关于直线m 的对称点B ’,连接AB ’交点直线m 于P,此时PB=PB ’，PA-PB 最大值为AB ’

m B A m A B m A B B'P P'm B A P'

P m A B B'E Q P m A B Q P m A B Q P m A B

C Q P

l

B

A

Ⅰ．专题精讲

最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：

（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．

Ⅱ．典型例题剖析

一．归入“两点之间的连线中，线段最短”

Ⅰ．“饮马”几何模型：

条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点．

问题：在直线l上确定一点P，使P A＋PB的值最小．

模型应用：

1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是．

2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则P A+PC的最小值是．

3．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．

4．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．

5．如图，等腰梯形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，∠ABC＝60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．

6．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为．

7．已知A(－2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若P A＋PB长度最小，则最小值为．若P A—PB长度最大，则最大值为．

第1题第2题第3题

第4题

第5题第6题

第7题

8．已知：如图所示，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P在该抛物线上滑动，且满足条件S△P AB＝1的点P有几个？并求出所有点P的坐标；

（3）设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Ⅱ．台球两次碰壁模型

已知点A位于直线m，n的内侧，在直线m、n分别上求点P、Q点，使P A+PQ+QA周长最短.

变式：已知点A、B位于直线m，n 的内侧，在直线m、n分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.

模型应用：

1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

2．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）

设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M(m，0），N(0，n),使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m＝______，n＝______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．

中考赏析：

1．著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB =50km 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1＝P A ＋PB ，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A'，连接BA'交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2＝P A ＋PB ．

（1）求S 1、S 2，并比较它们的大小；

（2）请你说明S 2＝P A ＋PB 的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

2．如图，抛物线y ＝35x 2－185

x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．

Ⅲ．已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧，且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得P A +PQ +QB 的值最小．(原理用平移知识解)

（1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线m 同侧：

模型应用：

1. 如图，抛物线y ＝－14x

2－x 错误！未指定书签。＋2的顶点为A ，与y 轴交于点B ． (1)求点A 、点B 的坐标；

(2)若点P 是x 轴上任意一点，求证：P A －PB ≤AB ；

(3)当P A －PB 最大时，求点P 的坐标.

2. 如图，已知直线y ＝

21x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ， 抛物线y ＝2

1x 2＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1，0)． （1）求该抛物线的解析式；

（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M 的坐标．

y x C B A D O E y

3. 如图，直线y＝－3x＋2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点O，直线BC交⊙A于点D．

（1）求点D的坐标；

（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标．若不存在，请说明理由．

4. 已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC＝3，BC＝2，取AB的中点M，连接MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO．

（1）试直接写出点D的坐标；

（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接OP．若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标；

TO－TB的值最大？若存在，则求出点T点的坐标；若不（3）试问在（2）抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得||

存在，则说明理由．

一．归入“三角形两边之差小于第三边”

1.直线2x-y-4=0上有一点P，它与两定点A（4，-1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是 .

2.已知A、B两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P）在x轴上行驶．试确定下列情况下汽车（点P）的位置：

（1）求直线AB的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A、B两村距离之差最大？

（2）汽车行驶到什么点时，到A、B两村距离相等？

好题赏析：

原型：已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求P A＋PB＋PC的最小值．

例题：如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意

一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．

（1）求证：△AMB≌△ENB；

（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

（3）当AM＋BM＋CM的最小值为3＋1时，求正方形的边长．

变式：如图四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（）

①若菱形ABCD的边长为1，则AM＋CM的最小值1；

②△AMB≌△ENB；

③S四边形AMBE=S四边形ADCM；④连接AN，则AN⊥BE；

⑤当AM＋BM＋CM的最小值为23时，菱形ABCD的边长为2．