2019年1月浙江省高中数学学考试题及解答

(完整word版)2019年1月浙江省高中数学学考试题及解答(wold版)

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2019年1月浙江省学考数学试卷及答案

满分100分，考试卷时间80分钟

一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。） 1.已知集合{1,3,5}A =，{3,5,7}B =，则A B =（ ）

A.{1,3,5}

B.{1,7}

C.{3,5}

D.{5} 解析：答案为C ，由题意可得{3,5}A

B =.

2.函数5()log (1)f x x =-的定义域是（ ）

A.(,1)(1,)-∞+∞

B.[0,1)

C.[1,)+∞

D.(1,)+∞

解析：答案为D ，若使函数有意义，则10x ->，解得1x >，故函数的定义域为(1,)+∞.

3.圆22

(2)9x y +-=的半径是（ ）

A.3

B.2

C.9

D.6 ，解析：答案为A ， ∵29r =，故3r =. 4.一元二次不等式270x x -<的解集是（ ）

A.{|07}x x <<

B.{|0x x <或7}x >

C.{|70}x x -<<

D.{|7x x <-或

0}x >

，解析：答案为A ，解不等式可得{|07}x x <<.

5.双曲线22

194

x y -=的渐近线方程是（ ） A.32y x =±

B.23y x =±

C.94y x =±

D.49

y x =± 解析：答案为B ，∵双曲线方程为22

194

x y -=，3a =，2b =，焦点在x 轴上，∴渐近线方程为b y x a =±

，即23

y x =±. 6.已知空间向量(1,0,3)a =-，(3,2,)b x =-，若a b ⊥，则实数x 的值是（ ） A.1- B.0 C.1 D.2 解析：答案为C ，∵a b ⊥，∴130(2)30x -?+?-+?=，解得1x =.

7.cos15cos75

???=（）

A.

3

2

B.

1

2

C.

3

4

D.

1

4

解析：答案为D ，

11

cos15cos75sin75cos75sin150

24

???=??=?=.

8.若实数x，y满足不等式组

10

3

x

y

x y

+≥

?

?

≥

?

?+≤

?

，则2

x y

-的最大值是（）

A.9-

B.1

- C.3 D.7

解析：答案为C，画出可行域如图所示，

约束条件对应的平面区域是以点(1,0)

-，(3,0)和(1,4)

-所组成的

三角形区域（含边界），易知当2

z x y

=-过(3,0)点时取得最大值，

最大值为3.

9.若直线l不平行于平面α，且lα

?，则下列结论成立的是（）

A.α内的所有直线与l异面

B.α内不存在与l平行的直线

C.α内存在唯一的直线与l平行

D.α内的直线与l都相交

解析：答案为B ，由已知得，l与α相交，设l O

α=，则α内过点O的直线与l相交，故A不正确；不过O的直线与l异面，故D不正确；α内不存在与l平行的直线，所以B正确，C不正确.

10.函数

2

()

22

x x

x

f x

-

=

+

的图象大致是（）

A. B. C. D.

解析：答案为A ，∵

2

()

()()

22

x x

x

f x f x

-

-

-==

+

，∴函数()

f x为偶函数，故排除B，D.

又∵无论x取何值，()

f x始终大于等于0，∴排除C，故选A.

11.若两条直线

1

:260

l x y

+-=与

2

:70

l x ay

+-=平行，则

1

l与

2

l间的距离是（）A.5 B.25 C.

5

D.

5

解析：答案为D ，∵12//l l ，∴1120a ?-?=，解得2a =，∴2:270l x y +-=， ∴1l ，2l 22

512=

+ 12.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）

A.π

B.2π

C.3π

D.4π 解析：答案为B ，由三视图可知，该几何体为球的四分之一.

其表面积为：2

21

2422

4

r S r πππ=

?+?

=. 13.已知a ，b 是实数，则“||a b >”是“22a b >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：答案为A ，充分性：∵||a b >，∴a b >，又2x y =是单调递增函数，∴22a b >，故充分性成立；必要性：∵22a b >，2x y =是单调增函数，∴a b >，取2a =，3b =-，满足a b >，但||a b <，故必要性不成立；∴“||a b >”是“22a b >”的充分不必要条件.

14.已知数列{}n a ，是正项等比数列，且

37

23

6a a +=5a 的值不可能是（ ） A.2 B.4 C.85 D.8

3

解析：答案为C ，由题意可知，

37375

3723232626

620)n a a a a a a a a +=?==>， 即52a ≥，∴5a 不可能是8

5

.

15.如图，四棱锥1111ABCD A B C D -中，平面11A B CD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 和四边形11A B CD 都是正方形，则直线1BD 与平面11A B CD 所成角的正切值是（ ） A.

22 B.3

2

23解析: 答案为C ，连接1A C ，交1BD 于点O ，由对称性可知，

1

1

2

OC AC

=，

∵ABCD是正方形，∴BC CD

⊥.

又∵平面11

A B CD⊥平面ABCD，平面

11

A B CD平面ABCD CD

=，

∴BC⊥平面11

A B CD，∴BOC

∠即为直线

1

BD与平面

11

A B CD所成夹

角，

不妨设AD a

=，则tan2

2

BC

BOC

OC

a

∠===

.

16.如图所示，椭圆的内接矩形和外切矩形的对角线所在的直线重合，且椭圆的两焦点在内接矩形的边上，则该椭圆的离心率是（）

A.

2

2

B.

3

2

C.

2

3

D.

3

3

解析：答案为A ，如图建立直角坐标系，

则点坐标为：

2

(,)

b

A c

a

，利用相似可知

AF b

OF a

=，即b c

=，

2

a c

=∴

2

e=.

17.数列{}

n

a，{}

n

b用图象表示如下，记数列{}

n n

a b的前n项和为

n

S，则（）

A.

14

S S

>，

1011

S S

< B.

45

S S

>，

1013

S S

<

C.

14

S S

<，

1011

S S

> D.

45

S S

<，

1013

S S

>

解析：答案为B ，由图易知，当4

n≤时，0

n

a<；当5

n≥时，0

n

a>；当10

n≤时，

n

b<；当11

n≥时，0

n

b>.令

n n n

c a b

=，可得当4

n≤时，0

n

c>；当510

n

≤≤

时，0

n

c<，

当11n ≥时，0n c >，故n S 在14n ≤≤时单调递增，410n ≤≤时单调递减，在

10n ≥时单调递增.

18.如图，线段AB 是圆的直径，圆内一条动弦CD 与AB 交于点M ，且22MB AM ==，现将半圆ACB 沿直径AB 翻折，则三棱锥C ABD -体积的最大值是（ ）

A.23

B.1

3

C.3

D.1 解析：答案为D ，设翻折后CM 与平面ABD 所成的角为α，则三棱锥C ABD -的高为sin CM α，所以

111

(sin )sin 326

C AB

D V AB DM DMA CM AB DM CM α-=??∠?≤??，又3AB =，

2DM CM AM BM ?=?=，所以体积的最大值为1. 二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）

19.已知等差数列{}n a 中，11a =，35a =，则公差d = ▲ ，5a = ▲ . 答案：2，9；

解析：∵11a =，35a =，∴125d +=，解得2d =；又532a a d =+，∴59a =. 20.若平面向量a ，b 满足||6a =，||4b =，a 与b 的夹角为60?，则()a a b ?-= ▲ . 答案：24

解析：2

22

1

()||||||cos 60664242

a a

b a a b a a b ?-=-?=-=-??

=. 21.如图，某市在进行城市环境建设中，要把一个四边形ABCD 区域改造成公园，经过测量得到1AB km =，2BC km =，3CD km =，4AD km =，且120ABC ∠=?，

则这个区域的面积是 ▲ 2km . 337+

解析：∵2222cos 7AC AB BC AB BC ABC =+-?∠=， ∴222AC CD AD +=，∴90ACD ∠=?，∴137

2ACD S AC CD ?=

?=

13sin 2ABC S BC AB ABC ?=

??∠=

337

ABC ACD S S ??++=. 22.已知函数22()21f x x x x a =+--.当[1,)x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，则实数

a 的取值范围是 ▲ .

答案：[2,1]-

设21[1,)t x =-+∞，则212t x +=，则()0f x ≥等价于222211

()022

t t at a +++--≥，

即42243440(1)t t at a t ++--≥≥.一方面，由于当1t =时，不等式28440a a --≥成立，从而 21a -≤≤.另一方面，设422()4344(1)f t t t at a t =++--≥， 则 3()48448440f t t t a a '=+-≥+-≥>，因此()f t 在[1,)+∞上单调递增， 因此2()(1)8440f t f a a ≥=--≥，从而21a -≤≤. 综上所述，所求的实数a 的取值范围为[2,1]-.

三、解答题（本大题共3小题，共31分.）

23.已知函数()sin()sin()cos 66f x x x x ππ

=++-+，x R ∈.

（Ⅰ）求(0)f 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅲ）求函数()f x 的最大值. 解析：（Ⅰ）(0)sin

sin()cos066

f π

π

=+-+1=. （Ⅱ）因为()2sin cos

cos 6f x x x π

=+2sin()6

x π

=+，

所以，函数()f x 的最小正周期为2π.

（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当且仅当2()3

x k k Z π

π=+

∈时，函数()f x 的最大值是2.

24. 如图，已知抛物线21:4C x y =和抛物线22:C x y =-的焦点分别为F 和F '，N 是抛物线1C 上一点，过N 且与1C 相切的直线l 交2C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点.

（Ⅰ）求||FF '；

（Ⅱ）若点F 在以线段MN 为直线的圆上，求直线l 的方

程.

解析：（Ⅰ）由题意得，(1,0)F ，1(0,)4F '-，所以5

||4

FF '=.

（Ⅱ）设直线l 的方程为：y kx m =+，联立方程组24x y

y kx m

?=?=+?，消去y ，得

2440x kx m --=，因为直线l 与1C 相切，所以216160k m ?=+=，

得2m k =-，且N 的坐标为2(2,)k k .

联立方程组22

x y y kx k

?=-??=-??，消去y ，得22

0x kx k +-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则12x x k +=-，22x x k ?=-， 所以12022x x k x +=

=-，2003

2

y kx m k =+=-. 因为点F 在以线段MN 为直径的圆上，所以0FM FN ?=，即42320k k +-=， 解得22

3

k =

，经检验满足题意，故直线l

的方程是233y x =±-. 25.设a R ∈，已知函数2211

()||||f x x x ax x x

=+

+-+. （Ⅰ）当0a =时，判断函数()f x 的奇偶性； （Ⅱ）若()46f x x ≥-恒成立，求a 的取值范围；

（Ⅲ）设b R ∈，若关于x 的方程()8f x b =-有实数解，求22a b +的最小值. 解析：（Ⅰ）当0a =时，2211

()||||f x x x x x

=+

+-. ()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.

（Ⅱ）由已知得22

2,1

2,01()2,102,1

x ax x ax x x

f x ax x x x ax x ?+≥?

?+<

当1x ≥时，2246x ax x +≥-恒成立，即max 6

(24)a x x

≥--

+

，所以4a ≥- 当01x <<时，246ax x x +≥-恒成立，即262

4a x x

≥--恒成立，

因为2

62

44x x -

-<-，所以4a ≥-； 当10x -<<时，246ax x x -+≥-恒成立，即262

4a x x

≤-+，

因为262

412x x

-+>，所以12a ≤；

当1x ≤-时，2246x ax x +≥-恒成立，即min 6

(24)a x x

≤--+

，所以4a ≤+

综上所述，a

的取值范围是44a -≤≤+ （Ⅲ）设0x 是方程()8f x b =-的解，则0()8f x b =-.

当0||1x ≥时，20

028x ax b +=-，即200280ax b x -++=， 所以(,)a b 是直线2

00

280x x y x -++=上的点，

2

2

≥

=

≥=，当且仅当2

2x =时，等号成立. 当00||1x <<时，

0028||ax b x +=-，即002

80||

ax b x -++=， 所以(,)a b 是直线00

2

80x x y x -+

+=上的点，

2

2

|

8|8++>

>

=

因为>

≥

当且仅当||a =，4b =时，22a b +的最小值是48.

2019年1月浙江省学考数学参考答案

一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.）

二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共

15分.）

19．2，9 20. 24 21.

2

22. []2,1- 三、解答题（本大题共3小题，共31分.） 23．解： （Ⅰ）(0)sin

sin()cos066

f π

π

=+-+1=. （Ⅱ）因为()2sin cos

cos 6f x x x π

=+2sin()6

x π

=+，

所以，函数()f x 的最小正周期为2π.

（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当且仅当2()3

x k k Z π

π=+

∈时，函数()f x 的最大值是2.

24. 解：（Ⅰ）由题意得，(1,0)F ，1(0,)4F '-，所以5

||4

FF '=.

（Ⅱ）设直线l 的方程为：y kx m =+，联立方程组24x y

y kx m

?=?=+?，消

去y ，

得2440x kx m --=，因为直线l 与1C 相切，所以216160k m ?=+=， 得2m k =-，且N 的坐标为2(2,)k k .

联立方程组22

x y y kx k

?=-??=-??，消去y ，得22

0x kx k +-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则12x x k +=-，22x x k ?=-，所以

12022x x k x +=

=-，2003

2

y kx m k =+=-. 因为点F 在以线段MN 为直径的圆上，所以0FM FN ?=，即42320k k +-=， 解得22

3

k =

，经检验满足题意，故直线l 的方程是6233y x =±-.

25.解： （Ⅰ）当0a =时，2211

()||||f x x x x x

=+

+-. ()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.

（Ⅱ）由已知得22

2,1

2,01()2,102,1

x ax x ax x x

f x ax x x x ax x ?+≥?

?+<

当1x ≥时，2246x ax x +≥-恒成立，即max 6

(24)a x x

≥--

+，所以443a ≥- 当01x <<时，246ax x x +≥-恒成立，即262

4a x x

≥--恒成立，

因为262

44x x

--<-，所以4a ≥-；

当10x -<<时，246ax x x -+≥-恒成立，即2624a x x ≤-+，因为262

412x x

-+>，

所以12a ≤；

当1x ≤-时，2246x ax x +≥-恒成立，即min 6

(24)a x x

≤--+

，所以4a ≤+ 综上所述，a

的取值范围是44a -≤≤+

（Ⅲ）设0x 是方程()8f x b =-的解，则0()8f x b =-.

当0||1x ≥时，20

028x ax b +=-，即200280ax b x -++=， 所以(,)a b 是直线2

00

280x x y x -++=上的点，

2

2

≥

=

≥=，当且仅当2

2x =时，等号成立. 当00||1x <<时，

0028||ax b x +=-，即002

80||

ax b x -++=， 所以(,)a b 是直线00

2

80x x y x -+

+=上的点，

2

2

|

8|8++>

>

=

因为>

≥

当且仅当||a =，4b =时，22a b +的最小值是48.

结尾处，小编送给大家一段话。米南德曾说过，“学会学习的人，是非常幸福的人”。在每个精彩的人生中，学习都是永恒的主题。作为一名专业文员教职，我更加懂得不断学习的重要性，“人生在勤，不索何获”，只有不断学习才能成就更好的自己。各行各业从业人员只有不断的学习，掌握最新的相关知识，才能跟上企业发展的步伐，才能开拓创新适应市场的需求。本文档也是由我工作室专业人员编辑，文档中可能会有错误，如有错误请您纠正，不胜感激！

At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the

importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs

of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!