专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形答案
专题四 三角函数与解三角形
第十二讲 解三角形
答案部分
1.A 【解析】因为2
13
cos 2cos
121255
=-=?-=-C C ,所以由余弦定理, 得222
32cos 251251()325
=+-?=+-???-=AB AC BC AC BC C ,
所以=AB A .
2.C 【解析】根据题意及三角形的面积公式知222
1sin 24
a b c ab C +-=,
所以222sin cos 2a b c C C ab +-=
=,所以在ABC ?中,4
C π
=.故选C . 3.A 【解析】由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+,
得sin 2sin cos sin cos sin B B C A C B +=+,
即2sin cos sin cos B C A C =,所以2sin sin B A =,即2b a =,选A . 4.A 【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++?=,选A.
5.C 【解析】设△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,由题意可得
1sin 342a c π==
,则2
a c =.在△ABC 中,由余弦定理可得
222222295
322
b a
c c c c c =+-=
+-=
,则b =.
由余弦定理,可得22
22
2
2
59cos 2c c c b c a A bc +-+-===C . 6.B 【解析】
11
sin 22
AB BC B ??=
,∴sin 2B =,所以45B =或135B =. 当45B =
时,1AC =
=,
此时1,AB AC BC ===90A =与“钝角三角形”矛盾;
当135B =
时,AC =
=.
7.A 【解析】因为A B C π++=,由1sin 2sin()sin()2
A A
B
C C A B +-+=--+
得1sin 2sin 2sin 22
A B C ++=
, 即1sin[()()]sin[()()]sin 22
A B A B A B A B C ++-++--+=, 整理得1sin sin sin 8
A B C =, 又111
sin sin sin 222S ab C bc A ac B =
==, 因此3
22222211sin sin sin 864S a b c A B C a b c ==,由12S ≤≤
得222
311264
a b c ≤≤,
即8abc ≤≤C 、D 不一定成立.又0b c a +>>,
因此()8bc b c bc a +>?≥,即()8bc b c +>,选项A 一定成立.又0a b c +>>,
因此()8ab a b +>,显然不能得出()ab a b +>B 不一定成立.综上所述,选A .
8.C 【解析】由2
2
()6c a b =-+可得222
26a b c ab +-=-①,由余弦定理及3
C π
=
可得
222a b c ab +-=②.所以由①②得6ab =,所以1sin 23ABC S ab π?=
= 9.C 【解析】∵tan15tan(6045)23=-=-
∴60tan 6060tan15120(31)BC =-=.
10.D 【解析】2
25cos 10A -=,1
cos 5
A =
,由余弦定理解得5b =. 11.A 【解析】边换角后约去sin B ,得1sin()2A C +=,所以1
sin 2
B =,但B 非最大角,
所以6
B π
=
.
12.C 【解析】由余弦定理可得AC =sin 10
A =. 13.
B 【解析】∵cos cos sin b
C c B a A +=,
∴由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=,
∴2sin()sin B C A +=,∴2sin sin A A =,∴sin 1A =,∴△ABC 是直角三角形.
14.B
【解析】由正弦定理得:
sin sin sin 45
BC AC AC
AC A B ?
=?=?= 15.D
【解析】由正弦定理,得2
2
sin sin sin cos A B B A A +=
,
即22
sin (sin cos )B A A A ?+=
,sin B A =
,∴
sin sin b B a A
==. 16.D 【解析】设AB c =,则AD c =
,BD =
,BC =ΔABD 中,由余弦定
理得222
24
13cos 23
c c c A c +-=
=
,则sin 3A =,在ΔABC 中,
由正弦定理得sin sin 3
c BC C A ==
,解得sin C =.
17.A 【解析】因为120C ∠=
,c =
,
所以2
2
2
2cos c a b ab C =+-,2
2
2
122()2
a a
b ab =+--
所以2
2
,0,ab
a b ab a b a b a b
-=-=
>>+ 因为0,0a b >>,所以0ab
a b a b
-=>+,所以a b >.故选A .
18.9【解析】因为120ABC ∠=?,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,
所以60ABD CBD ∠=∠=,
由三角形的面积公式可得111
sin120sin 60sin 60222
ac a c =+, 化简得ac a c =+,又0a >,0c >,所以11
1a c
+=,
则1144(4)()559c a a c a c a c a c +=++=+
++=≥, 当且仅当2c a
=时取等号,故4a c +的最小值为9. 19
.
7
;3【解析】因为a =
2b =,60A
=,所以由正弦定理得
2sin sin 7b A
B a
?
=
==.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得
2230
c c
--=,所以3
c=.
20
222222
4241
cos
22424
AB BC AC
ABC
AB BC
+-+-
∠===
????
,
由22
sin cos1
ABC ABC
∠+∠=
所以sin
4
ABC
∠===,
1
sin
2
BDC
S BD BC DBC
?
=??∠
11
sin()sin
22
BD BC ABC BD BC ABC
π
=??-∠=??∠
1
22
2
=??=.
C
因为BD BC
=,所以D BCD
∠=∠,所以2
ABC D BCD D
∠=∠+∠=∠,
cos cos
24
ABC
BDC
∠
∠====.
21
.
2
【解析】单位圆内接正六边形是由6个边长为1的正三角形组成,所以
6
133 611sin60
2
S=????=.
22.21
13
【解析】∵
4
cos
5
A=,
5
cos
13
C=,所以
3
sin
5
A=,
12
sin
13
C=,
所以()63
sin sin sin cos cos sin 65
B A
C A C A C =+=+=, 由正弦定理得:
sin sin b a B A =解得21
13
b =. 23.1 【解析】由1sin 2B =
得6B π或56
π,因为6
C π
,所以56B π≠
,所以6
B π
,于是23A π
=
1sin 32
b =,所以1b =. 24.7【解析】由已知得ABC ?的面积为
1
sin 20sin 2
AB AC A A ?
==
所以sin A =
,(0,)2A π∈,所以3
A π=. 由余弦定理得2
2
2
2cos BC AB AC AB AC A =+-?=49,7BC =. 25
.
【解析】如图作PBC ?,使75∠=∠=B C ,2BC
,作出直线AD 分别交线段PB 、
PC 于A 、D 两点(不与端点重合)
,且使75∠=BAD ,则四边形ABCD 就是符合题意的四边形,过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ,在PBC ?中,可求得
62BP ,在QBC ?
中,可求得BQ =,所以AB 的取值范围为
.
26.1【解析】∵2223
cos 24
b c a A bc +-=
=, 而
sin 22sin cos 243
cos 21sin sin 64
A A A a A C C c ?==?=??=. 27.8 【解析】 因为0
A π<<
,所以sin A ==
又1sin 28
ABC S bc A ?=
==24bc ∴=, 解方程组2
24
b c bc -=??
=?,得6b =,4c =,由余弦定理得
2222212cos 64264644a b c bc A ??
=+-=+-???-= ???
,所以8a =.
28. 30=∠BAC , 105=∠ABC ,在ABC ?中,
由 180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ,
所以 45=∠ACB ,因为600=AB ,由正弦定理可得
30sin 45sin 600BC
=
, 即2300=BC m ,在BCD Rt ?中,因为 30=∠CBD ,2300=BC , 所以2
30030tan CD
BC CD ==
,所以6100=CD m .
29.150【解析】在三角形ABC 中,AC =,在三角形MAC 中,
sin 60sin 45
MA AC
=
,解得MA = 在三角形MNA 3
sin 60
2==,故150MN =. 30.2【解析】由b B c C b 2cos cos =+得:sin cos sin cos 2sin B C C B B +=,
即sin()2sin B C B +=,sin 2sin A B =,∴2a b =,故
2a
b
=. 31.
π3
2
【解析】3sin 5sin A B =, π32
212cos 2,53222=?-=-+=?=+=?C ab c b a C a c b b a ,所以π3
2.
32sin sin()cos 2
3
BAC BAD BAD π
∠=∠+
=∠=
∴根据余弦定理可得222
cos 2AB AD BD BAD AB AD
+-∠=?,
222
3BD ∴==.
33.①②③【解析】①2222
21cos 2223
a b c ab ab ab c C C ab ab π
+-->?=
>=?< ②2222224()()12cos 2823
a b c a b a b a b c C C ab ab π+-+-++>?=
>≥?< ③当2
C π
≥
时,22232233c a b c a c b c a b ≥+?≥+>+与333
a b c +=矛盾
④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得:2
C π
<
⑤取2,1a b c ===满足2
2
2
22
()2a b c a b +<得:3
C π
<
.
34.4【解析】根据余弦定理可得221
4(7)22(7)()4
b b b =+--??-?-,解得b =4. 35
. 在ABC ?中,根据
sin sin sin AB AC BC
C B A
==
,
得sin sin 2sin sin AC
AB C C C B
=
?==,同理2sin BC A =, 因此22sin 4sin AB BC C A +=+22sin 4sin(
)3
C C π
=+-
4sin )C C C ?=+=+.
36
【解析】根据sin sin AB AC
C B
=
得5sin sin 7AB C B AC ===
11
cos 14
C ==, 所以sin sin[()]sin cos cos sin A B C B C B C π=-+=+
111142-= 37.4【解析】(方法一)考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性.
当A =B 或a =b 时满足题意,此时有:1cos 3C =
,21cos 1
tan 21cos 2C C C -==+,
tan
22
C =
,1tan tan tan 2
A B C
===,
tan tan tan tan C C
A B
+
= 4. (方法二)
226cos 6cos b a
C ab C a b a b
+=?=+,
22222222
36,22
a b c c ab a b a b ab +-?=++=
tan tan sin cos sin sin cos sin sin()tan tan cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B A B C A B C A B +++=?=?
21sin cos sin sin C C A B =?.
由正弦定理,得:上式222
2
2214113cos ()662
c c c c C ab a b =?===+?
.
38.
6
π
【解析】由sin cos B B +=12sin cos 2B B +=,即sin 21B =, 因02B π<<,所以2,24
B B ππ
==.
又因为2,a b ==
2sin 4
π
=, 解得1sin 2A =,而,a b <则04A B π<<=,故6
a π=. 39.【解析】(1)在ABC ?中,∵1cos 7B =-,∴(,)2
B π
π∈,
∴sin B = 由正弦定理得
sin sin a b A B
=
?7sin A =
,∴sin A = ∵(
,)2B π
π∈,∴(0,)2
A π
∈,∴π
3A ∠=.
(2)在ABC ?中,∵sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+
11()72-+
. 如图所示,在ABC ?中,∵sin h
C BC
=
,∴sin h BC C =?
=7=, ∴AC
边上的高为
2
.
40.【解析】(1)在ABD △中,由正弦定理得
sin sin BD AB
A ADB
=
∠∠. 由题设知,
52
sin 45sin ADB
=
?∠,所以2sin ADB ∠=. 由题设知,90ADB ∠,所以223cos 1255
ADB ∠=-
=. (2)由题设及(1)知,2cos sin 5
BDC ADB ∠=∠=. 在BCD △中,由余弦定理得
2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-???∠
2
2582525
=+-??25=. 所以5BC =.
41.【解析】(1)在ABC △中,由正弦定理
sin sin a b
A B
=
,可得sin sin b A a B =, 又由πsin cos()6b A a B =-,得π
sin cos()6a B a B =-,
即π
sin cos()6
B B =-,可得tan 3B =
又因为(0π)B ∈,,可得3
B π
=
.
(2)在ABC △中,由余弦定理及2a =,3c =,3
B π
=,
有2
2
2
2cos 7b a c ac B =+-=,故7b =.
由πsin cos()6
b A a B =-,可得3
sin 7
A =
a c <,故cos 7A =.
因此43sin 22sin cos A A A ==
2
1cos 22cos 17
A A =-=. 所以,sin(2)sin 2cos cos 2sin A
B A B A B -=-=
4311333
727214
-?=
42.【解析】(1)由题设得21sin 23sin a ac B A =,即1sin 23sin a
c B A
=
由正弦定理得
1sin sin sin 23sin A
C B A =
. 故2
sin sin 3
B C =.
(2)由题设及(1)得121cos()cos cos sin sin 632
B C B C B C +=-=
-=- 所以2π3B C +=
,故π
3
A =. 由题设得2
1sin 23sin a bc A A
=,即8bc =.
由余弦定理得229b c bc +-=,即2
()39b c bc +-=
,得b c +=.
故ABC △
的周长为3
43.【解析】(1)由已知得
tan A =,所以23A π
=
. 在ABC ?中,由余弦定理得2
22844cos 3
c c π=+-,即2+224=0c c -.
解得6c =-(舍去),4c = (2)有题设可得2
CAD π
∠=
,所以6
BAD BAC CAD π
∠=∠-∠=
.
故ABD ?面积与ACD ?面积的比值为1sin
2
611
2
AB AD AC AD π
??=?. 又ABC ?
的面积为1
42sin 2
BAC ??∠=ABD ?
44.【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2
B B =,故sin 4(1cos )B B =-. 上式两边平方,整理得2
17cos 32cos 150B B -+=, 解得cos 1B =(舍去),15
cos 17
B =. (2)由15cos 17B =得8sin 17B =,故14
sin 217
ABC S ac B ac ?==
. 又2ABC
S ?=,则17
2
ac =.
由余弦定理及6a c +=得2
2
2
2
2cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+
1715
362(1)4217
=-?
?+=. 所以2b =.
45.【解析】(Ⅰ)在ABC △中,因为a b >,故由3sin 5B =
,可得4
cos 5
B =.
由已知及余弦定理,有2222cos 13b a c ac B =+-=,所以b =.
由正弦定理
sin sin a b
A B
=
,得sin sin a B A b ==.
所以,b sin A
(Ⅱ)由(Ⅰ)及a c <,得cos A =
,所以12
sin 22sin cos 13
A A A ==, 25
cos 212sin 13
A A =-=-
.
故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 444A A A +
=+=. 46.【解析】(Ⅰ)在△ABC 中,因为60A ∠=?,3
7
c a =,
所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a =
=. (Ⅱ)因为3
7c a a =<,所以60C A ∠<∠=,
由7a =,所以3
737
c =?=.
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2221
73232
b b =+-??, 解得8b =或5b =-(舍).
所以△ABC 的面积11sin 8322S bc A ==??=
47.【解析】(Ⅰ)由tan tan 2(tan tan )cos cos A B
A B B A +=
+
得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A B
A B A B A B
?
=+,
所以C B C sin sin sin +=2,由正弦定理,得c b a 2=+.
(Ⅱ)由ab
c ab b a ab c b a C 2222
2222--+=-+=)(cos
2
2233311112222()2
c c a b ab
=--=-=+.
所以C cos 的最小值为1
2
.
48.【解析】(I )证明:由正弦定理
sin sin sin a b c
A B C
==可知 原式可以化解为
cos cos sin 1sin sin sin A B C
A B C
+== ∵A 和B 为三角形内角 , ∴sin sin 0A B ≠
则,两边同时乘以sin sin A B ,可得sin cos sin cos sin sin B A A B A B += 由和角公式可知,()()sin cos sin cos sin sin sin B A A B A B C C π+=+=-= 原式得证。
(II )由题2
2
2
65b c a bc +-=,根据余弦定理可知,2223
cos 25
b c a A bc +-
=
= ∵A 为三角形内角,()0,A π∈,sin 0A >
则4sin 5A =,即
cos 3sin 4A A = 由(I )可知
cos cos sin 1sin sin sin A B C A B C +==,∴cos 11
sin tan 4
B B B ==. ∴tan 4B =.
49.【解析】(1)()2cos cos cos C a B b A c +=
由正弦定理得:()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ?+?=
()2cos sin sin C A B C ?+=
∵πA B C ++=,()0πA B C ∈、、, ∴()sin sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =,1
cos 2
C = ∵()0πC ∈,
∴π3
C =
. ⑵ 由余弦定理得:2222cos c a b ab C =+-?
221
722
a b ab =+-?
()
2
37a b ab +-=
1sin 2S ab C =?∴6ab = ∴()2
187a b +-=
5a b +=
∴ABC △周长为5a b c ++=
50.【解析】(Ⅰ)1
sin 2
ABD S AB AD BAD ?=
?∠ 1
sin 2
ADC S AC AD CAD ?=
?∠ 因为2ABD ADC S S ??=,BAD CAD ∠=∠,所以2AB AC .
由正弦定理可得
sin 1
sin 2
B A
C C AB ∠==∠.
(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ??=,所以BD =
ABD ?和ADC ?中,
由余弦定理得2
2
2
2cos AB AD BD AD BD ADB =+-?∠,
2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-?∠.
222222326AB AC AD BD DC +=++=.由(Ⅰ)知2AB AC =,所以1AC =.
51.【解析】(1)由tan a
b A 及正弦定理,得
sin sin cos cos A b B
A a B
==, 所以sin cos B
A ,即sin sin(
)2
B A π
.
又B 为钝角,因此2π+A ∈(2π,π),故B =2π+A ,即B A =2
π; (2)由(1)知,C =π(A +B )=π(2A +2π)=2
π
2A >0,
所以A 0,
4π??
∈ ??
?
,
于是sin sin sin sin(2)2
A C A A π
+=+-=sin cos2A A +=22sin sin 1A A -++
=2
192(sin )4
8
A --+
, 因为0 <2 ,因此2<-22 199sin 488A ≤? ?-+ ?? ?. 由此可知sin sin A C + ,9 8 ]. 52.【解析】(I )在ABC ? 中,由题意知sin 3 A == , 又因为2 B A π =+ ,所有sin sin()cos 2 3 B A A π =+ == , 由正弦定理可得3sin sin 3 a B b A = == (II )由2 B A π =+ 得,cos cos()sin 2 3 B A A π =+ =-=- , 由A B C π++=,得()C A B π=-+. 所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+ ()3333= -+13 =. 因此,ABC ? 的面积111sin 32232 S ab C = =??=. 53.【解析】:(Ⅰ)∵2A B =,∴sin sin 22sin cos A B B B ==, 由正弦定理得222 22a c b a b ac +-=? ∵3,1b c == ,∴212,a a == (Ⅱ)由余弦定理得22291121 cos 263 b c a A bc +-+-= ==-, 由于0A π<<,∴sin 3 A === , 故14sin()sin cos cos sin ()4 4 4 32326 A A A π π π -+ =+= +-?=. 54.【解析】(Ⅰ)由已知得,∠PBC =o 60,∴∠PBA =30o ,在△PBA 中,由余弦定理得 2PA =o 1132cos3042+-=7 4 ,∴PA=2; (Ⅱ)设∠PBA =α,由已知得,PB =sin α,在△PBA 中, 由正弦定理得, o o sin sin150sin(30) α α=-4sin αα=, ∴tan α,∴tan PBA ∠ 55.【解析】(Ⅰ)因为cos sin a b C c B =+,所以由正弦定理得: sin sin cos sin sin A B C C B =+, 所以sin()sin cos sin sin B C B C C B +=+, 即cos sin sin sin B C C B =,因为sin C ≠0,所以tan 1B =,解得B =4 π ; (Ⅱ)由余弦定理得:2 2 2 2cos 4 b a c ac π =+-,即22 4a c =+,由不等式得: 222a c ac +≥,当且仅当a c =时,取等号,所以4(2ac ≥,解得4ac ≤+, 所以△ABC 的面积为 1sin 24 ac π (44≤?+1,所以△ABC 面积的最 1. 56.【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈?+=> 2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= 1cos 23 A A π ?= ?= (II )2222222cos 2 a b c bc A a b a c B π =+-?=?=+?= 在Rt ABD ? 中,2 AD === . 57.【解析】(1)由正弦定理得: cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=?=+ sin cos sin sin()sin 1 cos 1sin(30)2 303060A C A C a C C A A A A A ???? ?+=++?-=?-=?-=?= (2 )1 sin 42 S bc A bc = =?= 2222cos 4a b c bc A b c =+-?+=,解得:2b c ==. 58.【解析】(I )由正弦定理,设 ,sin sin sin a b c k A B C === 则22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C A b k B B ---== 所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C A B B --= 即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-, 化简可得sin()2sin().A B B C +=+又A B C π++=, 所以sin 2sin C A =,因此 sin 2.sin C A = (II )由 sin 2sin C A =得2.c a = 由余弦定理2 2 2 222112cos cos ,2,44.44 b a c ac B B b a a a =+-==+-?及得4= 解得a =1.因此c =2. 又因为1 cos ,0.4 B B π= <<且 所以sin 4B = 因此11sin 122244 S ac B = =???= 59.【解析】由A C B C B -=+=++π和0)cos(21,得 .2 3 sin ,21cos ,0cos 21== =-A A A 再由正弦定理,得.2 2 sin sin == a A b B .2 2 sin 1cos ,2 ,,= -=< < 由上述结果知).2 123(22)sin(sin += +=B A C 设边BC 上的高为h ,则有.2 1 3sin +==C b h 60. 【解析】由题意知(53AB =海里, 906030,45,DBA DAB ∠=?-?=?∠=? 105ADB ∴∠=? 在DAB ?中,由正弦定理得 sin sin DB AB DAB ADB = ∠∠ sin 5(3sin 455(3sin 45sin sin105sin 45cos 60sin 60cos 45AB DAB DB ADB ?∠???? ∴= == ∠????+??? =, 又30(9060)60,DBC DBA ABC BC ∠=∠+∠=?+?-?=?= 在DBC ?中,由余弦定理得 2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-??∠ = 1 300120029002+-?= CD ∴=30(海里) ,则需要的时间30 130 t ==(小时). 答:救援船到达D 点需要1小时. 61.【解析】(1) tan tan H H AD AD ββ=?=,同理:tan H AB α =,tan h BD β=. AD —AB=DB ,故得 tan tan tan H H h βαβ-=,解得:tan 4 1.24 124tan tan 1.24 1.20 h H αβα?===--. 因此,算出的电视塔的高度H 是124m . (2)由题设知d AB =,得tan ,tan H H h H h d AD DB d αβ-= === , 2tan tan tan()()1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d d αβαβαβ-- --==== --+?+-+?+ () H H h d d -+≥ (当且仅当d =取 等号)故当d =tan()αβ-最大. 因为02 π βα<<< ,则02 π αβ<-< ,所以当d =时,α-β最大. 故所求的d 是. 1.已知函数f(x)=sin(ωx)﹣2sin2+m(ω>0)的最小正周期为3π,当x∈[0,π]时,函数f(x)的最小值为0. (1)求函数f(x)的表达式; (2)在△ABC中,若f(C)=1,且2sin2B=cosB+cos(A﹣C),求sinA的值. 解:(Ⅰ). 依题意:函数. 所以. , 所以f(x)的最小值为m.依题意,m=0. . (Ⅱ)∵,∴ .. 在Rt△ABC中,∵, ∴. ∵0<sinA<1,∴. 2.已知函数(其中ω>0),若f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为. (I)求y=f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)在△ABC中角A、B、C的对边分别是a,b,c满足(2b﹣a)cosC=c?cosA,则f(B)恰是f(x)的最大值,试判断△ABC的形状. 【解答】解:(Ⅰ)∵ , =, ∵f(x)的对称轴离最近的对称中心的距离为, ∴T=π,∴,∴ω=1,∴. ∵得:, ∴函数f(x)单调增区间为; (Ⅱ)∵(2b﹣a)cosC=c?cosA,由正弦定理, 得(2sinB﹣sinA)cosC=sinC?cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C), ∵sin(A+C)=sin(π﹣B)=sinB>0,2sinBcosC=sinB, ∴sinB(2cosC﹣1)=0,∴,∵0<C<π,∴,∴, ∴.∴, 根据正弦函数的图象可以看出,f(B)无最小值,有最大值y max=1, 此时,即,∴,∴△ABC为等边三角形. 3.已知函数f(x)=sinωx+cos(ωx+)+cos(ωx﹣)﹣1(ω>0),x∈R,且函数的最小正周期为π: (1)求函数f(x)的解析式; (2)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若f(B)=0,?=,且a+c=4,试求b的值. 【解答】解:(1)f(x)=sinωx+cos(ωx+)+cos(ωx﹣)﹣1 ==. ∵T=,∴ω=2. 则f(x)=2sin(2x)﹣1; (2)由f(B)==0,得. ∴或,k∈Z. ∵B是三角形内角,∴B=. 而=ac?cosB=,∴ac=3. 【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1.函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 ( ) A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ,求导数,利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? , 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?, 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈,() 32 61g t t t =--+为减函数,且102g ??= ??? , 所以当03 x π <<时, ()1 1,02 t g t <<<,从而()'0f x <; 当 3 2 x π π << 时,()1 0,02 t g t << >,从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选:A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换,利用导数求函数的最小值,换元法,属于中档题. 2.在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足,222b c a bc +-=, 1. 任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异 于原点),它与原点的距离 是0r =>,那么sin ,cos y x r r αα== , ()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦) + + - + - + - - - + + - sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系:2 222 1 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= (2)商数关系:sin tan cos α αα = (用于切化弦) ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式(把角写成 απ ±2 k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) Ⅰ)?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ)?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ) ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ)?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ)???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ)??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( 5.特殊角的三角函数值 三角函数、解三角形 1.弧长公式:r l α= 扇形面积公式:22 121r lr S α== 2.同角三角函数的基本关系式: 平方关系:1cos sin 2 2 =+αα 商数关系:sin tan cos α αα = 3.三角函数的诱导公式: 诱导公式(把角写成απ ±2 k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) 公式一()()()?????=?+=?+=?+απααπααπαtan 2tan cos 2cos sin 2sin k k k 公式二()()()?????=+=+=+ααπααπααπtan tan cos -cos -sin sin 公式三()()()?? ? ??=-=-=-ααααααtan -tan cos cos -sin sin 公式四()()()?????=-=-=-ααπααπααπtan -tan cos -cos sin sin 公式五???????=??? ??-=??? ??-ααπααπsin 2cos cos 2sin 公式六???????=??? ??+=?? ? ??+ααπααπsin -2 cos cos 2sin 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式: βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 5.二倍角公式: a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -= 6.辅助角公式: sin cos a b αα+ )α?+( 其中sin tan b a ???= = = ). 比如: x x y cos 3sin += ) cos ) 3(13sin ) 3(11( )3(12 2 2 2 22x x ++ ++= )cos 23sin 21(2x x += )3 sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x 7.正弦定理: 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为△ABC 外接圆的半径) 8.余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc =+-A ,2 2 2 2cos b a c ac =+-B ,2 2 2 2cos c a b ab C =+- 推论:222cos 2b c a bc +-A =,222cos 2a c b ac +-B =,222 cos 2a b c C ab +-=. 学思堂教育个性化教程教案 数学科教学设计 学生姓名教师姓名刘梦凯班主任日期时间段年级课时教学内容 教学目标 重点 难点 教学过程 命题点二解三角形 难度:高、中、低命题指数:☆☆☆☆☆ 1.(2015·安徽高考)在△ABC中,AB=6,∠A=75°,∠B=45°,则 AC=________. 2.(2015·广东高考改编)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c.若a=2,c=2 3,c os A= 3 2 且b<c,则b=________. 3.(2015·北京高考)在△ABC中,a=3,b=6,∠A= 2π 3 ,则∠B= ________. 4.(2015·福建高考)若△ABC中,A C=3,A=45°,C=75°,则 BC=________. 5.(2015·全国卷Ⅰ)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边, sin2B=2sin A sin C. (1)若a=b,求cos B;[来源:学科网ZXXK] (2)设B=90°,且a=2,求△ABC的面积. 教 学 效 果 分 析 教学过程 6.(2015·山东高考)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 已知cos B= 3 3 ,sin(A+B)= 6 9 ,ac=23,求sin A和c的值. 7.(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD= 2DC. (1)求 sin B sin C ; (2)若∠BAC=60°,求∠B. 8.(2015·浙江高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b, c,已知tan ? ? ?? ? π 4 +A=2. (1)求 sin 2A sin 2A+cos2A 的值; (2)若B= π 4 ,a=3,求△ABC的面积.[来源:学科 教 学 效 果 分 析 数学《三角函数与解三角形》复习知识要点(1) 一、选择题 1.已知sin α,sin()10 αβ-=-,,αβ均为锐角,则β=( ) A . 512 π B . 3 π C . 4 π D . 6 π 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意,可得22 π π αβ- <-< ,利用三角函数的基本关系式,分别求得 cos ,cos()ααβ-的值,利用sin[(]sin )ααββ=--,化简运算,即可求解. 【详解】 由题意,可得α,β均为锐角,∴-2π <α-β<2 π. 又sin(α-β),∴cos(α-β). 又sin α= 5,∴cos α=5 , ∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) =5×10 -5×10??- ? ??? =2.∴β=4π. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的化简、求值问题,其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式,合理构造sin[(]sin )ααββ=--,及化简与运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 2.将函数()()sin 0,π2f x x ?ω?ω? ?=+>< ?? ?的图象向右平移6π个单位长度后,所得图象关 于y 轴对称,且1π2f ω?? =- ??? ,则当ω取最小值时,函数()f x 的解析式为( ) A .()sin 26f x x π? ? =+ ?? ? B .()sin 2π6f x x ? ?=- ??? C .()sin 4π6f x x ? ?=+ ?? ? D .()sin 4π6f x x ? ?=- ?? ? 【答案】C 【解析】 专题一 三角函数与解三角形 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1、弧度制的定义与公式: 定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度记作rad. 公式 角的弧度数公式 r =α 角度与弧度的换算 ①rad 180 1π=? ② 弧长公式 扇形面积公式 2、任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 第一定义:设是任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则 第二定义:设 是任意角,它的终边上的任意一点 P(x,y),则 . 考点1 三角函数定义的应用 例1 .已知角α的终边在直线043=+y x 上,则=++αααtan 4cos 5sin 5 . 变式:(1)已知角α的终边过点)30sin 6,8(? --m P ,且5 4 cos - =α,则m 的值为 . (2)在直角坐标系中,O 是原点,A (3,1),将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点,则B 点坐标为__________. (3)4tan 3cos 2sin 的值( ) A .小于0 B .大于0 C .等于0 D .不存在 考点2 扇形弧长、面积公式的应用 例 2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为? 120,则扇形的弧长为 面积为 . 变式:已知在半径为10的圆O 中,弦AB 的长为10,则弦AB 所对的圆心角α的大小 为 ,α所在的扇形弧长 为 ,弧所在的弓形的面积S 为 . 二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1、1cos sin 2 2=+αα α αcos tan = 2、三角函数的诱导公式 例1.已知α是三角形的内角,且.5 cos sin =+αα (1)求αtan 的值; (2)把α α22sin cos 1 +用αtan 表示出来,并求其值. 变式:1、已知α是三角函数的内角,且3 1 tan -=α,求ααcos sin +的值. 2、已知.34tan -=α(1)求α αααcos 2sin 5cos 4sin +-的值;(2)求αααcos sin 2sin 2 +的值. 3.若cos α+2sin α=-5,则tan α=________. 课程标题三角函数与解三角形 求三角函数得定义域实质就就就是解三角不等式(组)、一般可用三角函数得图象或三角函数线确定三角不等式得解、列三角不等式,既要考虑分式得分母不能为零;偶次方根被开方数大于等于零;对数得真数大于零及底数大于零且不等于1,又要考虑三角函数本身得定义域; 求三角函数得值域得常用方法:1、化为求得值域; ,引入辅助角,化为求解方法同类型。 2、化为关于(或)得二次函数式; ,设,化为二次函数在上得最值求之; 周期问题一般将函数式化为(其中为三角函数,)、 ) ②y=tanx图象得对称中心(,0) (二)主要方法: 1、函数得单调增区间可由 解出,单调减区间可由解出; 周期 2、函数得单调减区间可由 解出,单调增区间呢。(自己导出)周期 3、函数得单调增区间可由 解出。(无增区间,重点掌握) 周期 课堂练习: 1.已知函数得定义域为,值域为,求常数得值 (化为求得值域)、 2、函数得单调递减区间就就是 3、函数得单调增区间为 2、函数,、 (Ⅰ)求函数得最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间上得最小值与最大值、(化为求得值域)、 3、函数得一个单调增区间就就是 ???? 4、若函数,则就就是 最小正周期为得奇函数最小正周期为得奇函数 最小正周期为得偶函数最小正周期为得偶函数 5、函数得最大值 6、当函数得最大值为时,求得值、 7、函数得最大值就就是 8、已知函数,、 (1)求得最大值与最小值;(2)f(x)得最小正周期。 (3)若不等式在上恒成立,求实数得取值范围、 解三角形 正弦定理:, 余弦定理: 推论:正余弦定理得边角互换功能 ① ,, ②,, ③== ④ (4)面积公式:S=ab*sinC=bc*sinA=ca*sinB 课堂练习: 1、在中,角得对边分别为,已知,则( ) A、1 ?B.2 C、???D、 2、在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上得高为( ) A、B、 C、D、 3、在ΔABC中,已知a=,b=,B=45°,求角A,角C得大小及边c得长度。 4、得内角A、B、C得对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且,则() A、 B、 C、D、 【填空题】 5、在中,分别就就是、、所对得边。若,,,则__________ 6、在锐角△ABC中,边长a=1,b=2,则边长c得取值范围就就是_______、 7、已知锐角得面积为,,则角得大小为( ) ?A、75°?B、60° ?C、45°D、30° 8、在△中,若,则等于、 9、在中,已知,则得大小为 ( ) ??? 【解答题】 10、在中,分别就就是三个内角得对边、若,,求得面积、 11、如图,就就是等边三角形,就就是等腰直角三角形,∠=,交于,、 ?(1)求∠得得值; (2)求、 12、在中,角A、B、C所对得边分别为a,b,c,且满足 必修四三角函数与解三角形综合测试题 (本试卷满分150分,考试时间120分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分) 一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若点P 在3 2π的终边上,且OP=2,则点P 的坐标( ) A .)3,1( B .)1,3(- C .)3,1(-- D .)3,1(- 2.已知=-=-ααααcos sin ,4 5cos sin 则( ) A .47 B .169- C .329- D .32 9 3.下列函数中,最小正周期为 2 π的是( ) A .)32sin(π-=x y B .)32tan(π-=x y C .)62cos(π+=x y D .)6 4tan(π+=x y 4.等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=( ) A .924- B .924 C .9 7- D .97 5.函数y =sin (π4 -2x )的单调增区间是 ( ) A.[kπ-3π8 ,kπ+π8 ](k ∈Z ) B.[kπ+π8 ,kπ+5π8 ](k ∈Z ) C.[kπ-π8 ,kπ+3π8 ](k ∈Z ) D.[kπ+3π8 ,kπ+7π8 ](k ∈Z ) 6.将函数x y 4sin =的图象向左平移12 π个单位,得到)4sin(?+=x y 的图象,则?等于( ) A .12π- B .3π- C .3 π D .12π 7.οοοο50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( ) A .3 B .33 C .33- D .3- 8.在△ABC 中,sinA >sinB 是A >B 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 9.ABC ?中,π= A ,BC =3,则ABC ?的周长为( ) 三角函数与解三角形专项练习 1.ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos 2c A b a =-. (1)求角C ; (2)若D 是边BC 的中点,11cos 14 B =,21AD =,求AB C 的面积S . 2.如图,四边形OACB 中,,,a b c 为ABC ?的内角,,A B C 的对边,且满足sin sin tan 2cos cos A B C B C =--+ (1)证明:2b c a +=; (2)若22OA OB ==,且b c =,设()0AOB θθπ∠=<<,当θ变化时,求四边形OACB 面积的最大值. 3.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成,1AB =米,如图所示.小球从A 点出发以8v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后,以3v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内,落点记为F .记AOE θ∠=, (1)用θ表示小球从A 到F 所用的时间()f θ; (2)当小球从A 到F 所用的时间最短时,求cos θ的值. 4.在ABC 中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边.在①(2)cos cos a c B b C -=;①3=2ABC BA BC S →→?△;①sin sin 33B B π? ?++= ??? 这三个条件中任选一个,作出解答. (1)求角B 的值; (2)若ABC 为锐角三角形,且1b =,求ABC 的面积的取值范围. 5.已知ABC 的面积为 (Ⅰ)b 和c 的值; (Ⅱ)sin()A B -的值. 条件①:6a =,1cos 3 =- C ;条件②:A C =,7cos 9B =-.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分. 6.在ABC 中,7cos 8 A =,3c =,且b c ≠,再从条件①、条件②中选择一个作为已知,求: (1)b 的值; 三角函数与解三角形 一、 y=Asin (ωx+φ)函数的图像与性质重难点突破 二、经验分享 【知识点1 用五点法作函数y=Asin (ωx+φ)的图象】 用“五点法”作sin()y A x ω?=+的简图,主要是通过变量代换,设z x ω?=+,由z 取3 0,,,,222 π πππ来求出相应的x ,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象. 【知识点2 由y=sinx 得图象通过变换得到y=Asin (ωx+φ)的图象】 1.振幅变换: sin y A x x R =∈,(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短 (0≠,且的图象,可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的1 ω 倍(纵坐标不变).若0ω<则可用诱导公式将符号“提出”再作图.ω决定了函数的周期. 3.相位变换: 函数()sin y x x R ?=+∈,(其中0?≠)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点向左(当?>0时)或向右(当?<0时)平行移动?个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向:“左加右减”). 一般地,函数()sin()0,0y A x A x R ω?ω=+>>∈,的图象可以看作是用下面的方法得到的: (1) 先把y=sinx 的图象上所有的点向左(?>0)或右(?<0)平行移动?个单位; (2) 再把所得各点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的 1 ω 倍(纵坐标不变); (3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 6.(2019浙江18)设函数()sin ,f x x x =∈R . (1)已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数,求θ的值; (2)求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 解析(1)因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数,所以,对任意实数x 都有 sin()sin()x x θθ+=-+, 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+, 故2sin cos 0x θ=, 所以cos 0θ=. 又[0,2π)θ∈,因此π2θ= 或3π2 . (2)2 2 22ππππsin sin 124124y f x f x x x ? ???????????=+++=+++ ? ? ? ???????????? ????? ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ??? ?-+-+ ? ? ??????=+=-- ? ??? π123x ? ?=+ ?? ?. 因此,函数的值域是[1- +. 27.(2018江苏)已知,αβ为锐角,4 tan 3 α= ,cos()5αβ+=-. (1)求cos2α的值; (2)求tan()αβ-的值. 【解析】(1)因为4tan 3α= ,sin tan cos ααα=,所以4 sin cos 3 αα=. 因为22sin cos 1αα+=,所以29 cos 25 α= , 因此,27cos22cos 125 αα=-=- . (2)因为,αβ为锐角,所以(0,π)αβ+∈. 又因为cos()αβ+=,所以sin()αβ+=, 因此tan()2αβ+=-. 因为4tan 3α=,所以22tan 24 tan 21tan 7 ααα==--, 因此,tan 2tan()2 tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+. 28.(2018浙江)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过 点3 4(,)55 P --. (1)求sin()απ+的值; (2)若角β满足5 sin()13 αβ+= ,求cos β的值. 【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4 sin 5α=-, 所以4 sin()sin 5απα+=-=. (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3 cos 5 α=-, 由5sin()13αβ+=得12 cos()13 αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++, 所以56cos 65β=-或16 cos 65 β=-. 29.(2017浙江)已知函数22 ()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R . (Ⅰ)求2( )3 f π 的值; (Ⅱ)求()f x 的最小正周期及单调递增区间. 【解析】(Ⅰ)由2sin 32π=,21 cos 32 π=-, 高中数学专题练习-三角函数及解三角形 1.【高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为 A.B. C.D. 【答案】D 【解析】由,得是奇函数,其图象关于原点对称,排除A.又,排除B,C,故选D. 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养,采取性质法或赋值法,利用数形结合思想解题.解答本题时,先判断函数的奇偶性,得是奇函数,排除A,再注意到选项的区别,利用特殊值得正确答案. 2.【高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论: ①f(x)是偶函数②f(x)在区间(,)单调递增 ③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A.①②④B.②④ C.①④D.①③ 【答案】C 【解析】为偶函数,故①正确.当时,,它在区间单调递减,故②错误. 当时,,它有两个零点:;当时, ,它有一个零点:,故在有个零点:,故③错误.当时,;当时, ,又为偶函数,的最大值为,故④正确.综上所述,①④正确,故选C. 【名师点睛】本题也可画出函数的图象(如下图),由图象可得①④正确. 3.【高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中,以为周期且在区间(,)单调递增的是A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin2x| C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x| 【答案】A 【解析】作出因为的图象如下图1,知其不是周期函数,排除D; 因为,周期为,排除C; 作出图象如图2,由图象知,其周期为,在区间(,)单调递增,A正确; 作出的图象如图3,由图象知,其周期为,在区间(,)单调递减,排除B,故选A. 图1 图2 图3 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质,渗透直观想象、逻辑推理等数学素养,画出各函数图象,即可作出选择.本题也可利用二级结论:①函数的周期是函数周期的一半; ②不是周期函数. 4.【高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0,),2sin2α=cos2α+1,则sinα= A. B. C.D. 【答案】B 【解析】,, ,又,,又,,故选B. 【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查,中等难度,判断正余弦的正负,运算准确性是关键,题目不难,需细心,解决三角函数问题,研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键,切记不能凭感觉.解答本题时,先利用二倍角公式得到正余弦关系,再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案. 5.【高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin()(>0),已知在有且仅有5个零点,下述四个结论: ①在()有且仅有3个极大值点 ②在()有且仅有2个极小值点 1. 任意角的三角函数的定义: 设〉是任意一个角,p (x, y )是〉的终 边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是「“x 2r 2.o , 位置无关。 2. 三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦) + L i + —— L + _ - + ------ ■ —— + - ■ sin : cos : tan : 3. 同角三角函数的基本关系式: 4. 三角函数的诱导公式 k 二.一 诱导公式(把角写成2 …形式,利用口诀:奇变偶不变,符 (2)商数关 系: tan-E 屮一、 cos 。(用于切化弦) (1)平方关 系: 2 2 2 sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1 cos 2: ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“ 1”的代换 si …y,cos 」 那么 r 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点 5. 特殊角的三角函数值 度 0s 30c A 45“ A 60“ 90 120c A 135“ 150s 180c 270° 360 弧 31 JI JI 2n 3兀 5兀 JI 3兀 2兀 度 6 4 3 2 3 4 6 2 si n 。 0 1 竝 迈 1 旦 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cosa 亦 1 1 念 力 1 2 _1 1 2 2 2 2 2 号看象限) sin (2k .亠 x ) = sin x cos (2k ■亠 x ) = cosx [)tan (2k ,亠 x )二 tanx sin ( -x ) - - sin x cos (-x ) =cosx H )tan (-x ) - - tanx m ) |sin (,亠 x ) = -sin x cos (m ) = - cosx tan (二 x ) IV ) Sin (兀 _x ) =sin x cos (兀—x ) = —cosx tan (兀一 sin (— -〉)= cos ..z sin (二:)=cos : V ) -?) = sin : 专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断; 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形; 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数; 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式; 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式; 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、(浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文) 已知函数. (1).求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间; (2).当 时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】(1)π, (2) 【解析】 (1) ,π=T , 单调递增区间为; (2) ∴当 时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、(河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文)试卷)已知 中,角 所对的边分别是 , 且,其中是的面积,. (1)求的值; (2)若,求的值. 【答案】 (1);(2). (2),所以,得①, 由(1)得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、(湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题)已知函数f(x)=sin(ωx+)- b(ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f(x)的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数. (1)求f(x)的解析式并写出单增区间; (2)当x∈,f(x)+m-2<0恒成立,求m取值范围. 【答案】 (1),单调递增区间为; (2). 题型练3大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题 1.(优质试题浙江,18)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P. (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值. 2.(优质试题北京,理15)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-. (1)求A; (2)求AC边上的高. 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为. (1)求sin B sin C; (2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长. 4.已知函数f(x)=4tan x sin cos. (1)求f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论f(x)在区间上的单调性. 5.已知函数f(x)=a cos2a sin ωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形. (1)求ω与a的值; (2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值. 6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈. (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m与n的夹角为,求x的值. 题型练3大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题 1.解(1)由角α的终边过点P, 得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α= (2)由角α的终边过点P,得cos α=-, 由sin(α+β)=,得cos(α+β)=± 由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β= 2.解(1)在△ABC中,∵cos B=-,∴B, ∴sin B= 由正弦定理,得, ∴sin A= ∵B,∴A,∴A= (2)在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin A cos B+sin B cos A= 如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D. ∵sin C=,∴h=BC·sin C=7, ∴AC边上的高为 3.解(1)由题设得ac sin B=,即c sin B= 由正弦定理得sin C sin B= 故sin B sin C= (2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-, 即cos(B+C)=- 所以B+C=,故A= 由题设得bc sin A=,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c= 故△ABC的周长为3+ 专题四 三角函数与解三角形 第十二讲 解三角形 答案部分 1.A 【解析】因为2 13 cos 2cos 121255 =-=?-=-C C ,所以由余弦定理, 得222 32cos 251251()325 =+-?=+-???-=AB AC BC AC BC C , 所以=AB A . 2.C 【解析】根据题意及三角形的面积公式知222 1sin 24 a b c ab C +-=, 所以222sin cos 2a b c C C ab +-= =,所以在ABC ?中,4 C π =.故选C . 3.A 【解析】由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+, 得sin 2sin cos sin cos sin B B C A C B +=+, 即2sin cos sin cos B C A C =,所以2sin sin B A =,即2b a =,选A . 4.A 【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++?=,选A. 5.C 【解析】设△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,由题意可得 1sin 342a c π== ,则2 a c =.在△ABC 中,由余弦定理可得 222222295 322 b a c c c c c =+-= +-= ,则b =. 由余弦定理,可得22 22 2 2 59cos 2c c c b c a A bc +-+-===C . 6.B 【解析】 11 sin 22 AB BC B ??= ,∴sin 2B =,所以45B =或135B =. 当45B = 时,1AC = =, 此时1,AB AC BC ===90A =与“钝角三角形”矛盾; 当135B = 时,AC = =. 三角函数与解三角形 1.已知函数f (x )=sin x -23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期; (2)求f (x )在区间??????0,2π3上的最小值. 2.(2019·济南调研)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a sin A =4b sin B ,ac =5(a 2-b 2-c 2). (1)求cos A 的值; (2)求sin(2B -A )的值. 3.已知函数f (x )=sin 2x -cos 2x +23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若f (A )=2,c =5,cos B =1 7,求△ABC 中线AD 的长. 4.(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )=cos x (cos x +3sin x ). (1)求f (x )的最小值; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若f (C )=1,S △ABC =334,c =7,求△ABC 的周长. 5.已知△ABC 中内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,向量m =(2sin B ,-3),n =(cos 2B ,2cos 2B 2-1),B 为锐角且m ∥n . (1)求角B 的大小; (2)如果b =2,求S △ABC 的最大值. 6.(2019·信阳二模)已知a ,b ,c 分别是△ABC 内角A ,B ,C 的对边,且满足(a +b +c )(sin B +sin C -sin A )=b sin C . (1)求角A 的大小; (2)设a =3,S 为△ABC 的面积,求S +3cos B cos C 的最大值.三角函数解三角形综合
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