同一条弦所对的圆周角和圆心角的关系
同一条弦所对的圆周角和圆心角的关系
圆周角和圆心角是圆内角的两种特殊形式。在圆上任意取一条弦，弦所对的圆周角和圆心角是由这条弦所夹的圆弧所确定的角度。
我们来了解圆周角的定义。圆周角是指以一条弦为两边的角，其顶点在圆上。圆周角所对的圆弧是以这条弦为弦的圆弧。圆周角的度数等于其所对的圆弧的度数。
接下来，我们来了解圆心角的定义。圆心角是指以圆心为顶点的角，其两条边分别与圆上的两点相交。圆心角所对的圆弧是以这个角为圆心角的圆弧。圆心角的度数等于其所对的圆弧的度数的两倍。
那么，同一条弦所对的圆周角和圆心角之间有何关系呢？
我们可以观察到，当弦的长度不变时，弦所对的圆周角和圆心角的度数是相等的。这是因为，弦所对的圆周角是由弦所夹的圆弧所决定的，而圆心角是以圆心为顶点的角，其两边分别与圆上的两点相交，所以圆心角所对的圆弧也是由这条弦所夹的圆弧所决定的。因此，当弦的长度不变时，弦所对的圆周角和圆心角的度数是相等的。我们可以观察到，当弦的长度增大时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会增大。这是因为，当弦的长度增大时，弦所夹的圆弧的度数也会增大，而圆周角和圆心角的度数与所对的圆弧的度数是相等的。因此，当弦的长度增大时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也
会增大。
我们可以观察到，当弦的长度减小时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会减小。这是因为，当弦的长度减小时，弦所夹的圆弧的度数也会减小，而圆周角和圆心角的度数与所对的圆弧的度数是相等的。因此，当弦的长度减小时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会减小。
同一条弦所对的圆周角和圆心角之间有如下关系：当弦的长度不变时，弦所对的圆周角和圆心角的度数是相等的；当弦的长度增大时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会增大；当弦的长度减小时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会减小。
这种关系在几何学中具有重要的应用。在解决与圆相关的问题时，我们常常需要利用这一关系来求解未知角度或长度。通过理解和应用这一关系，我们可以更好地理解和运用圆周角和圆心角的概念，进而解决与圆相关的各种几何问题。
同一条弦所对的圆周角和圆心角之间存在着一定的关系，这种关系在几何学中具有重要的应用价值。通过深入理解和应用这一关系，我们可以更好地理解和运用圆周角和圆心角的概念，从而解决与圆相关的各种几何问题。同时，我们也可以通过这一关系来推导和证明其他与圆相关的定理和性质，进一步拓展我们的几何学知识。
同一条弦所对的圆周角和圆心角的关系
同一条弦所对的圆周角和圆心角的关系 圆周角和圆心角是圆内角的两种特殊形式。在圆上任意取一条弦，弦所对的圆周角和圆心角是由这条弦所夹的圆弧所确定的角度。 我们来了解圆周角的定义。圆周角是指以一条弦为两边的角，其顶点在圆上。圆周角所对的圆弧是以这条弦为弦的圆弧。圆周角的度数等于其所对的圆弧的度数。 接下来，我们来了解圆心角的定义。圆心角是指以圆心为顶点的角，其两条边分别与圆上的两点相交。圆心角所对的圆弧是以这个角为圆心角的圆弧。圆心角的度数等于其所对的圆弧的度数的两倍。 那么，同一条弦所对的圆周角和圆心角之间有何关系呢？ 我们可以观察到，当弦的长度不变时，弦所对的圆周角和圆心角的度数是相等的。这是因为，弦所对的圆周角是由弦所夹的圆弧所决定的，而圆心角是以圆心为顶点的角，其两边分别与圆上的两点相交，所以圆心角所对的圆弧也是由这条弦所夹的圆弧所决定的。因此，当弦的长度不变时，弦所对的圆周角和圆心角的度数是相等的。我们可以观察到，当弦的长度增大时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会增大。这是因为，当弦的长度增大时，弦所夹的圆弧的度数也会增大，而圆周角和圆心角的度数与所对的圆弧的度数是相等的。因此，当弦的长度增大时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也
会增大。 我们可以观察到，当弦的长度减小时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会减小。这是因为，当弦的长度减小时，弦所夹的圆弧的度数也会减小，而圆周角和圆心角的度数与所对的圆弧的度数是相等的。因此，当弦的长度减小时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会减小。 同一条弦所对的圆周角和圆心角之间有如下关系：当弦的长度不变时，弦所对的圆周角和圆心角的度数是相等的；当弦的长度增大时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会增大；当弦的长度减小时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会减小。 这种关系在几何学中具有重要的应用。在解决与圆相关的问题时，我们常常需要利用这一关系来求解未知角度或长度。通过理解和应用这一关系，我们可以更好地理解和运用圆周角和圆心角的概念，进而解决与圆相关的各种几何问题。 同一条弦所对的圆周角和圆心角之间存在着一定的关系，这种关系在几何学中具有重要的应用价值。通过深入理解和应用这一关系，我们可以更好地理解和运用圆周角和圆心角的概念，从而解决与圆相关的各种几何问题。同时，我们也可以通过这一关系来推导和证明其他与圆相关的定理和性质，进一步拓展我们的几何学知识。
圆心角与圆周角的关系教案
圆周角与圆心角的关系 一、知识讲解： 1．圆周角与圆心角的的概念： 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。 3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。 5．圆的内接四边形对角之和是180度。 6．弧的度数就是圆心角的度数。 解题思路： 1．已知圆周角，可以利用圆周角求出圆心角 2．已知圆心角，可以利用圆心角求出圆周角 3．已知直径和弧度，可以求出圆周角与圆心角 1.圆周角与圆心角的定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 注意圆周角定义的两个基本特征： (1)顶点在圆上； (2)两边都和圆相交。 二、教学内容 【1】圆心角：顶点在圆心的角。 利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征： 练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．
【2】理解圆周角定理的证明 一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。 已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC， 求证：∠BAC= 1/2∠BOC. 分析：通过图形的演示指导学生进一步去寻找圆心O与∠BAC的关系 本题有三种情况： （1）圆心O在∠BAC的一边上 O （2）圆心O在∠BAC的内部 （3）圆心O在∠BAC的外部 B D C ●如果圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即 可证明 ●如果圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将这个角转化为上述情况的两个 角的和或差即可 证明: 圆心O在∠BAC的一条边上 A OA=OC==>∠C=∠BAC ∠BOC=∠BAC+∠C O ==>∠BAC=1/2∠BOC. B C 【3】圆周角与圆心角的关系 （1）．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。 （2）．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 （3）．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。 （4）．圆的内接四边形对角之和是180度。 （5）．弧的度数就是圆心角的度数。 三、精讲精练 （一）选择、填空题： 1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对 2．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 3．下列说法正确的是（） A．顶点在圆上的角是圆周角 B．两边都和圆相交的角是圆周角 C．圆心角是圆周角的2倍 D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半 4．下列说法错误的是（） A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等 C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
圆心角与圆周角
圆心角和圆周角 定义1：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。 定义2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距，两个圆周角中有一对两相等，那么其余各对量相等（注：一条弦对应两段弧，两个圆周角，两个圆心角，这里要优弧对优弧，劣弧对劣弧，大小必须一致） 定义3：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。注：半圆所对的圆周角是直角，90°角所对的弦是直径。 定义4：圆内接四边形的对角互补 定义5：AB是⊙O的一条弦，M是⊙O上一点，点P与点M在AB同侧，如果∠APB＞∠AMB，那么点P在⊙O内；如果∠APR<∠AMB，则点P在⊙O外：如果∠APR=∠AMB，则点P在⊙O上. 注：以下应用知识基本是在同圆或等圆中成立 基础部分： 1、在圆O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则圆O的直径为 应用知识：（垂径定理+圆心角） 2、在圆O中，弧AB=2弧CD，那么弦AB和2CD的大小关系是？ 应用知识：（三角形两边之和大于第三边） 3、在直径是20cm的圆O中，弧AB所对的圆心角是60°，那么AB的弦心距是 应用知识：（垂径定理+等边三角形的性质+圆心角） 4、如图：已知AB和CD为圆O的两条直径，弦CE∥AB， 弧CE的度数是40°，则∠BOC= 应用知识：平行线所夹弧相等，弦相等+直径所对圆心角为180° 5、在圆O中，∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是 应用知识：弦所对的圆周角有两个+圆周角的度数为圆心角所对弧度数的一半 6、如图，点A,B,C在圆O上，∠AOC=150°， 则∠ABC的度数是 应用知识：圆弧一周为360°+圆周角的度数为圆心角所对弧度数的一半 7、圆的一条弦长等于半径，那么这条弦所对的圆周角等于 应用知识：正三角形性质+弦所对的圆周角有两个+圆周角度数为圆心角所对弧度数的一半。 8、CD是圆O的直径，∠BCD=45°。∠BAC的度数= 应用知识：直径所对的圆周角=90°+同弧所对的圆周角相等
9 垂径定理 圆心角 圆周角定理(
垂径定理圆心角圆周角定理 垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧 1、平分弦所对的两条弧） 2、平分弦（不是直径） 3、垂直于弦 4、过圆心 推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。 推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。 推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 [垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。] 圆心角 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 （1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。 圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。 1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。 2.半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 3.圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 切线定理 （定义）和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。 （数量法d=r）圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。 判定定理：1、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 判定性质：圆的切线垂直于过切点的半径。 有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂线，证半径（d=r）
练习 一选择题： 1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（） A．42°B．48° C．52°D．58° 2.如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°， AO∥DC，则∠B的度数为( ) A．50° B．55° C．60° D．65° 3.如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°， 则∠BOC是（） A．100° B．110° C．120° D．130° 4.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上 移动，则OM取值范围是（） A.3≤OM≤5 B.3≤OM＜5 C.4≤OM≤5 D.4≤OM＜5 5、如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为( ) A．15°B．28° C.29°D．34°
新人教版九年级数学(上)——与圆有关的角(圆周角、圆心角)
O A B E F C D 课前回顾 1、垂径定理的概念及其推论： 2、回顾练习：如图：AB 是的直径，CD 是弦，过A 、B 两点作CD 的垂线，垂足分别为 E 、 F ，若AB=10，AE=3，BF=5，求EC 的长。 知识点一、圆心角 1、圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数。 3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 4、圆心角定理推论： 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦的弦心距中有一组量相等，其余各组量都相等。 与圆有关的角——圆心角、圆周角
例题讲练 例题一、概念理解 1．______________的______________叫做圆心角． 2．如图，若 长为⊙O 周长的 n m ，则∠AOB =____________． 3．在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _____________________． 4．在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也______．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么_____________________． 5. 求证：在同圆或等圆中，两条弦相等，那么它们的弦心距也相等。 例题二、基础应用 6．已知：如图，A 、B 、C 、D 在⊙O 上，AB =CD ． 求证：∠AOC =∠DOB ． 7．已知：如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上的一点，⊙P 与OA 相交于E ，F 点，与OB 相交于G ，H 点，试确定线段EF 与GH 之间的大小关系，并证明你的结论．
《圆》单元知识总结
初三年数学《圆》单元知识总结 一、圆的基本认识 1．圆的定义：到定点的距离等于定长的所有点的集合． 确定一个圆需要确定这个圆的圆心．．和半径．． 2．会区分优弧和劣弧，圆周角和圆心角，圆中每条弦所对的圆周角有两．种． ． 二、重要定理 （一）在同圆或者等圆中，弦、圆心角、弧、弦心距四组量中，有一组量对应相等，则其他三组量也对应 相等． （二）垂径定理 1．垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2．平分（非直径的）弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 3．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦． 4．任何一条弦的垂直平分线必过圆心．（尺规作图：找圆心）． 相关计算：找半径．．、弦心距．．．、半条弦．．．组成的直角三角形．．．．． （三）圆周角定理 1．在同圆或等圆中，同弧或者等弧所对的圆周角相等． 2．在同圆或等圆中，同弧或者等弧所对的圆周角是圆心角的一半． 3．直径所对的圆周角是90°． 4．90°的圆周角所对的弦是直径． （四）补充定理．．．．：圆内接四边形对角互补．．．．．．．．．． ． 推论．．：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．．．．．．．．．．．．．．．．．． （五）圆的切线判定定理：经过半径外端．．．．．．并且垂直．． 于这条半径的直线是圆的切线 （六）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两 条切线的夹角．（尺规作图：作一个三角形的内切圆） 三、与圆有关的位置关系 （一）点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，则 点在圆外：d ＞ r ； 点在圆上：d = r ； 点在圆内： d ＜ r 不在同一直线上的三个点．．．．．．．．．．． 确定一个圆．（会找三角形的外心，尺规作图） （二）直线与圆的位置关系：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则 相离（没有交点）：d ＞ r ；相切（仅有一个交点）：d = r ； 相交（两个交点）： d ＜ r （三）圆与圆的位置关系：若大圆半径为R ，小圆半径为r ，圆心距为d ，则： 外离（没有交点）： d R r >+ 公切线：4条 外切（仅有一个交点）：d R r =+ 公切线：3条 相交（两个交点）： R r d R r -<<+ 公切线：2条 圆心距垂直平分公共弦．．．．．．．．．． 内切（仅有一个交点）：d R r =- 公切线：1条 内含（没有交点）： d R r <- 公切线：0条 四、常用公式 （一）若三角形的周长为l ，面积为S ，内切圆半径为r ，则：12 S lr =
圆心角和圆周角的关系
重点难点易错点讲解 圆周角的概念、圆周角定理及其推论在推理论证和计算中应用比较广泛，是本章的重点内容之一。认识圆周角定理需分三种情况逐一证明的必要性是本节的难点。 圆周角有两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交，二者缺一不可。这里所说的角的两边都与圆相交可理解为，除角的顶点外，角的各边与圆还另有一个公共点即交点。 圆周角定理的证明分三种情况进行讨论，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线。这种由特殊到一般的思想方法，应当注意掌握。其证明思路是：（1）将已知图形中各种可能位置进行分类（圆心在圆周角内部，外部，其中一边上）；（2）先证明特殊情况（即圆心在圆周角其中一边上）；（3）利用特殊位置的结论证明其它情况，即将其他情形转化为已证的特殊情形来证；（4）归纳总结出一般性结论。这种方法叫归纳法，可以应用于解题之中。 本节常见的错误有：（1）一条弦所对的弧有两条，所对的圆周角有两个，做题时常常忽略一个；（2）对于需要我们自己完成的图形，某些特殊图形往往只画出一种情况，而忽略或根本不考虑其他情况。 【例1】已知⊙O 中的弦AB 长等于半径，求弦AB 所对的圆周角和圆心角的度数。 错解：如图3-3-4，∵AB=OA ，∴△OAB 为等边三角形。∴∠AOB=60°．∴∠C=30°。∴AB 所对的圆心角为60°，圆周角为30°。 正确解法：如图3-3-5，∵AB=OA=OB ，∴△AOB 为等边三角形。∴∠AOB=60°。∴∠C=30°；∴∠D=150°。∴弦AB 所对的圆心角为60°，所对的圆周角为30°或150°。 错解分析：错解中忽略了弦与弧的差别，同弧所对的圆周角相等，同弦所对的圆周角相等或互补，本题漏掉一个。应加强位置意识的培养，克服思维定势。 【例2】已知AB 为⊙O 的直径，AC 和AD 为弦，AB=2，AC=2，AD=1，求∠CAD 的度数。 错解：如图3-3-6，连接BC 、BD 。∵AB 为直径，∴∠C=∠D=90°。 在Rt △ABC 中，AB=2，AC=2，∴cos ∠CAB=AB AC =22。∴∠CAB=45°。 在Rt △ADB 中，AD=1，AB=2，∴cos ∠DAB=AB AD =21 。∴∠DAB=60°。 ∴∠CAD=∠DAB ＋∠CAB=105°。
圆心角和弧长的关系公式
圆心角和弧长的关系公式 圆心角弧长公式是为L=n×π×r/180，L=α×r，弧长计算公式是一个数学公式，其中n是圆心角度数（角度制），r是半径，L是圆心角弧长，α是圆心角度数（弧度制）。 圆心角是指在中心为O的圆中，过弧AB两端的半径构成的∠AOB，称为弧AB 所对的圆心角。圆心角等于同一弧所对的圆周角的二倍。 同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等。反过来，等弦或同弦所对的圆弧相等，对的圆心角也相等。同圆心角或等圆心角所对的弦长相等，所对的弧长也相等。当圆弧为半圆时，它所对的弦是直径。反过来，若弦是直径，所对的弧为半圆。 拓展知识 圆的定义 第一定义 在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆（circle）。这个定点叫做圆的圆心。 圆形一周的长度，就是圆的周长。能够重合的两个圆叫等圆。 圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但永远无法等于0。 第二定义平面内一动点到两定点的距离之比（或距离的平方之比），等于一个不为1的常数，则此动点的轨迹是圆。
证明：点坐标为（x1，y1）与（x2，y2），动点为（x，y），距离比为k，由两点距离公式。满足方程（x-x1）2+ （y-y1）2= k2×[ （x-x2）2+ （y-y2）2] 当k不为1时，整理得到一个圆的方程。 几何法：假设定点为A，B，动点为P，满足|PA|/|PB| = k（k≠1），过P点作角APB的内、外角平分线，交AB与AB的延长线于C，D两点由角平分线性质，角CPD=90°。由角平分线定理：PA/PB = AC/BC = AD/BD =k，注意到唯一k确定了C和D的位置，C在线段AB内，D在AB延长线上，对于所有的P，P在以CD为直径的圆上。
初中数学圆心角和圆周角
圆心角和圆周角及之间的关系
练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由． 二、看一看 A B C O 有没有圆周角？∠BAC 有没有圆心角？∠BOC 它们有什么共同的特点？ 它们都对着同一条弧BC 三、猜想归纳：请画出弧BC 所对的圆周角. 若按圆心O 与这个圆周角的位置关系来分类,我们可以分成几类？圆周角的度数与什么有关系？动手量一量∠BOC 与∠BAC 有何数量关系？ A B C O A B C O 四、证明圆心角与圆周角之间的关系 1、首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(AB)上时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系. ∵∠BOC是△ACO的外角 ∴∠BOC=∠C+∠A ∵OA=OC， ∴∠A=∠C ∴∠BOC=2∠A 即∠BAC = 1/2∠BOC 2、如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 思考：能否转化成1中的情况？ 证明：过点A作直径AD.由1可得: ∵∠BAD = 1/2∠BOD,∠CAD = 1/2∠COD ∴∠BAC = 1/2∠BOC. 3、当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 思考：同样是否能转化成1中的情况？
5．如图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD=． 6．如图5，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON=． 7.⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（）． （A）30°（B）150°（C）30°或150°（D）)60° 8.△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12，则的度数为（） （A）60°（B）80°（C）100°（D）)120° 9.如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60°的角共有( )个． （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 10.如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A的度数为（） （A）70°（B）65°（C）60°（D）)50° 二、填空题： 1.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.
圆心角、圆周角、弦、弧的关系
1 圆的基本性质 考点一、圆的相关概念 （1）圆的定义 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。 （2）圆的几何表示 以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AC ） （2）直径：经过圆心的弦叫做直径。（如图中的AB ）直径等于半径的2倍。 （3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A ，B 为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 考点三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 考点四、圆的对称性 （1）圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 （2）圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
2 考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 （1）圆心角：顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角。 （2）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。 （3）弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 题型一：垂径定理（连结半径形成直角三角形，利用勾股定理求线段长度） 【例1】如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径。 分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 题型二：利用弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系（连接半径证明三角形全等） 【例2】如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N • 在⊙O 上。 （1）求证：AM =BN ； （2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM MN NB ==成立吗？ B A
圆的性质定理
圆的性质定理 一．定理： 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧。 2.垂径定理的推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 （5个条件：①直径②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧，满足其中两个，其他三个也成立。注：当具备①③时，需对另一条弦增加它不是直径的限制。）3.圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半。 4．圆周角定理的推论：(1)同圆或等圆中，同 弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角 所对的弧也相等；(2)半圆或直径所对的圆周 角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 5.切线长定理：从圆外一点引两条切线，它们 的切线长相等圆心与这一点的连线平分两条 切线的夹角。 5.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的 圆周角。 6.弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的 弧相等，那么这两个弦切角也相等。 7.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分 成的两条线段长的积相等。 8.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线这一 点到每条割线与园的交点的两条线段长的积
相等。 8.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割 二．性质： 1.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧，两条弦，两个弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量分别相等。 2.确定圆的条件：定理：不在同一条直线上的三个点确定（有且只有）一个圆。（作法：连接任意两点并作其中垂线，以这两条中垂线的交点为圆心，以这一点到已知三点中任意一点的距离为半径作圆） 3.切线性质概述：（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心，如果一条直线满足这三个条件中任意2个，那么就满足第3个。（遇到切点连半径） 补充3：切线五大性质：（1）切线与圆只有一个公共点（2）圆心到切线的距离等于半径（3）切线垂直于过切点的半径（4）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点（5）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 4.切线的判定方法：（1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（3）经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（切线判定定理）。
垂径定理、圆周角
教学目的掌握垂径定理、圆周角和圆心角的关系 教学重点垂径定理、圆周角 教学内容 （一）垂径定理 1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．圆有无数条对称轴。 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 2、垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 3、推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦。( ) ②平分弦的直线必垂直弦。( ) ③垂直于弦的直径平分这条弦。( ) ④平分弦的直径垂直于这条弦。( ) ⑤弦的垂直平分线是圆的直径。 ( ) ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦。( ) ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧。 ( ) 例题赏析 如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
小试牛刀 1、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证四边形ADOE是正方形． 2、我市某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，修理工人应准备内径多大的管道？若此题只知下面弓形的高和AB的长，你仍然会做吗？ 60cm 10cm A B O 3、如图，直径是50cm圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度AB
D O B C A （二）弧、弦、圆心角 1、圆心角的概念：顶点在圆心的角 A B C D O 2、弧、弦与圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个： ①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④ 两条弦的弦心距相等。 1、相等的圆心角所对的弧相等。( ) 2、相等的弧所对的弦相等。( ) 3、相等的弦所对的弧相等。( ) 填空： 3
圆的确定,圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系
儒洋教育学科教师辅导讲义
6、多边形与圆 如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形， 提示：1、与圆的确定有关的两个图形一定要学生重点理解。 2、补充两个知识点：线段垂直平分线的性质和角平分线的性质 3、和学生一起重点分析课本例题1和2，理解题目考察的细节和解题方法。 二、例题分析： 1、以线段AB为弦的圆的圆心的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 cm。 2、已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，则扇形的弧长是cm，扇形的面积是2 3、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆； 例1：已知圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d， （1）当d=2厘米时，有d r，点在圆 （2）当d=7厘米时，有d r，点在圆 （3）当d=5厘米时，有d r，点在圆 4、下列四边形：①平行四边形，②菱形；③矩形；④正方形。其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（） A、①②③④ B、②③④ C、②③ D、③④ 5、（07上海中考）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃， 小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 6、三角形的外接圆的圆心是（）， A．三条中线的交点B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点 7、直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为。 （三）巩固练习 1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线；圆是中心对称图形，对称中心为． 2、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点； 三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点； 3、三角形的外心一定在该三角形上的三角形（） （A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形
[初中教育][初三数学]圆心角和圆周角
小班辅导教案 知识点一圆心角定理 1.概念填空： （1）把圆绕旋转任意一个角度，所得的图形都和原图形重合.圆是中心对称图形，就是它的对称中心. （2）顶点在的角叫做圆心角. （3）圆心角定理：在同圆会等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等. （4）我们把1°圆心角所对的弧叫做，则n°的圆心角所对的弧就是 . 2.把一个圆分成相等的6段弧，每段弧所对的圆心角的度数是 > 3.如图，MN为⊙○的弦，∠M=50°，则圆心角∠MON等于（） A.50° B.55° C.65° D.80° ̂= . 4.如图，在⊙○中，∠AOB=∠COD，则AC= ，AC
̂的度数5.如图，两个同心圆的圆心为O，大圆半径OA,OB分别交小圆于A′,B′两点，如果AB̂的度数是60°，那么A′B′ 为（） A.60° B.大于60° C.小于60° D.不能确定 题型一利用圆心角定理证明角（弧）度、线段间的等量关系 例1：如图，O为等腰三角形ABC的底边AB上的中点，以AB为直径的半圆分别交AC,BC于点D,E，连结OD,OE.求证：（1）∠AOE=∠BOD； ̂=BÊ. （2）AD 巩固练习1：如图，在⊙○中，弦AB=CD.求证：AC=BD. 题型二利用圆心角定理计算弧的度数 ̂的度数为40°，例2：如图，AB,DF是⊙○的两条直径，C是⊙○的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CD=CO.若AD
̂的度数. 求BE 巩固练习2：如图，以Rt△ABC的直角顶点为圆心，以BA为半径的圆分别交AC于点D，交BC于点E.若∠C=31°， ̂的度数. 求AD 知识点二圆心角定理的逆定理 1.在同圆或等圆中，如果、、、中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等. 2.下列命题中，真命题是（） A.相等的圆心角所对的弧相等 B.相等的弦所对的弧相等 C.度数相等的弧是等弧 D.在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等 3.在⊙○中，弦AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，则⊙○的直径为 cm. 4.已知AB,CD是⊙○的两条弦，且AB=CD,OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F.若OE=3，则OF= . ̂=BĈ.若AB=3,则CD= . 5.如图，在⊙○中，AD
初中数学_圆周角和圆心角的关系教学设计学情分析教材分析课后反思
3.4圆周角和圆心角的关系（第1课时） 【教学目标】 1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征. 2．经历探索圆周角和圆心角关系的过程，会运用它进行有关的证明和运算. 3．在经历探索圆周角和圆心角关系的过程中，感悟分类，转化的数学思想.【重点难点】 重点: 理解圆周角与圆心角的关系． 难点: 感悟圆周角定理证明过程中的分类，转化的数学思想. 【教法学法】 教法：引导发现，组织交流，探索归纳，当堂训练． 学法：在教师指导下观察思考，自主学习，交流合作，归纳发现，探索新知．课前准备：圆形纸片，多媒体课件． 【教学过程】 一．创设情境，引入新课 很多同学都喜欢看足球世界杯.2020年中国足球将冲出 亚洲，走向世界.这是我们亿万球迷的中国足球梦，足球中 也有数学问题. 同学们想一想，球员射中球门的难易程度与什么有关？ 这与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有 关．当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大 小有什么关系？通过今天的学习，我们就能解答这个问题．今天我们就来学习圆周角和圆心角的关系．(板书课题：3.4圆周角和圆心角的关系) 处理方式：学生观看视频，思考分析并进行交流. 设计意图：通过视频欣赏，充分调动学生的听课热情和积极性，同时也让学生感受到生活或娱乐中处处都有数学的身影. 通过设疑，激发学生的求知欲，培养学习兴趣． 二. 探究学习，感悟新知
活动内容1：圆周角的概念 问题1：∠ABC，∠ADC，∠AEC是圆心角吗？什么是圆心角？ 问题2：它们与圆心角有什么区别？与同伴交流． 问题3：你能给圆周角下个定义吗？ 处理方式：学生先自主思考，然后与同伴交流自己的想法．教师组织学生说出自己的发现，引导学生与圆心角进行对比，重点引导学生说出∠ABC，∠ADC，∠AEC的共同特征，把握两点特征：角的顶点在圆上；两边在圆内的部分是圆的两条弦．接着给出圆周角的定义：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点．像这样的角，叫做圆周角． 巩固练习：火眼金睛 1．判断下列各图形中的角是不是圆周角. 处理方式：教师演示几何画板，动态展示图中各种情况，要注意引导学生回顾圆周角定义中的两个条件：①顶点在圆上；②两边分别与圆还有另一个交点．设计意图：通过让学生经历“观察—发现—对比—交流—总结”这一数学活动过程，一方面积累数学活动的经验，另一方面也加深了学生对圆周角的理解．类比圆心角来学习圆周角，学生会感觉自然，易于接受；通过两个练习，让学生加深对圆周角定义的理解和直观感受，让学生熟练判断圆中哪些是同一条弧所对的圆周角，并掌握如何在比较复杂的图形中按照一定的规律寻找所有的圆周角和圆心角，这一能力对于学习后续的圆的相关证明题是很必要的. 活动内容2：圆周角和圆心角的关系 1．直观感受：做一做 如图，∠AOB=80°． （1）请你画几个所对的圆周角. 这几个圆 周角有什么关系？与同伴进行交流． （2）这些圆周角和圆心角∠AOB的大小有什么关 系？你是怎么发现的？与同伴进行交流．
圆心角定理
圆心角定理 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等. 注意：前提条件是在同圆或等圆中; 圆周角定理 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90?的圆周角所对的弦是直径. 推论3：圆的内接四边形对角互补 [重要辅助线] 1、半径——构造等长线段，倒角、等腰知识 2、弦心距——垂直与重点，勾股定理知识 3、直径——构造90°圆周角，直角三角形 [重要解题思路] 1、弧相等——弦相等——圆心角相等 弧条件不好用，记得转化为线段或角)
2、同弧所对圆周角相等 圆周角——找到其所对弧——找到弧所对其他圆周角 【例1】如图,ABC △是O 的内接三角形, 点C 是优弧AB 上一点(点C 不与A B ，重合)，设OAB α∠=,C β∠=. (1)当35α=?时，求β的度数; (2)猜想α与β之间的关系，并给予证明. 【例2】已知：如图,MN 是O ⊙的直径，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是 AN 的中点, A P 是MN 上一动点,O ⊙的半径为1，则PA PB +的最小值是_____________. 【例3】如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点P ,AB BD =，且0.6PC =，求四边形ABCD 的周长.