北京艺术生高考数学复习资料—五数列

数列

等差数列知识清单

1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。

2、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调

性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

3、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其

中2

a b A +=

a ，A ，

b 成等差数列?2

a b A +=

。

4、等差数列的前n 和的求和公式：11()

(1)2

2

n n n a a n n S na d

+-=

=+

。

5、等差数列的性质：

（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是A P ，

如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m a a d n m

-=

-()m n ≠；

（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； 说明：设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，

（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 奇-S 偶n d =； ②

1n n S a S a +=奇偶

；

（Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 偶-S 奇n a a ==中；②

1

S n S n =

-奇

偶

。

6、数列最值

（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值； （2）n S 最值的求法：①若已知n S ，可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②若已知n a ，则n S 最

值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥??≤?或1

0n n a a +≤??≥?。

课前预习

1．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是 等差 数列

2．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= 105 3．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 13 项

4．设数列{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 2 5．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若

36

S S ＝1

3

，则

612

S S ＝

310

6．设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列｛

n

S n ｝

的前n 项和，求T n 。4

92

n n -

7．设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．

的是（ C ）A.d ＜0 B.a 7＝0 C.S 9＞S 5 D.S 6与S 7均为S n 的最大值 8．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 210 等比数列知识清单 1．等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．

，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠数列（注意：

“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零）

2．等比数列通项公式为：)0(111≠??=-q a q a a n n 。

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则

m n

m n

a q

a -=。

3．等比中项

如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。 4．等比数列前n 项和公式

一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++ ，当1≠q 时，

q

q a S n

n --=

1)1(1 或11n n a a q S q

-=

-；当q=1时，1na S n =（错位相减法）。

说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q 不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况。

5．等比数列的性质

①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q

，则有m n m n q a a -=；

②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ?=?. ③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列。 课前预习

1．在等比数列{}n a 中

,712,a q ==则19_____.a = 192 2

．2+

和2-的等比中项为 1±

3． 在等比数列{}n a 中，22-=a ，545=a ，求8a ，-1458

4．在等比数列{}n a 中,1a 和10a 是方程22510x x ++=的两个根,则47a a ?=1/2 5. 在等比数列{}n a ，已知51=a ，100109=a a ，求18a .20

6．设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈ ，则()f n 等于42

(81)7

n +-

7．设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q ；-

3

2

1

8．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝ 84 数列通项与求和知识清单 1．数列求通项与和

（1）数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =???--1

1s s s n n 12

=≥n n 。

（2）求通项常用方法

①作新数列法。作等差数列与等比数列；

②累差叠加法。最基本的形式是：a n =(a n －a n －1)+(a n －1+a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1； ③累商叠乘法。 ④倒序相加法 ⑤裂项求和 ⑥并项求和

⑦错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错项相消法。n n n c b a ?=, 其中{}n b 是等差数列， {}n c 是等比数列。 课前预习

1．已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：∑

=+n

i i i a a 11

1。

1

1

11+-

n a a

2．求)(,32114

3211

3211

211

1*

N n n

∈+++++

+++++

+++

++

。

1

2+n n

3．设a 为常数，求数列a ，2a 2

，3a 3

，…，na n

，…的前n 项和。

4．已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令)(lg N n a a b n n n ∈?=，求数列{}n b 的前n 项和n S 。 典型例题

一、有关通项问题

1、利用11(1)(2)n n

n S n a S S n -=?=?-≥?求通项．

例：数列{}n a 的前n 项和2

1n S n =+．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{}n a 是等差数列吗？（3）你

能写出数列{}n a 的通项公式吗？2n-1

变式题1、（2005湖北卷）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，求数列}{n a 的通项公式；4n-2 变式题2、（2005北京卷）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113

n n a S +=

，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，

a 4的值及数列{a n }的通项公式．a n =???

??≥=-2,)3

4(1,11n n n

变式题3、已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*125()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比数列．n+5 2、解方程求通项：

例：在等差数列{}n a 中，（1）已知812148,168,S S a d ==求和；-5，3 （2）已知658810,5,a S a S ==求和；16，44 (3)已知3151740,a a S +=求.340

变式题1、{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于669 3、待定系数求通项：

例：已知数列{}n a 满足111,2 1.n n a a a +==+ 求数列{}n a 的通项公式；2n -1 二、有关等差、等比数列性质问题

例：一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为63

变式1、一个等差数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为 。36 变式2、等比数列{}n a 的各项为正数，且5647313231018,log log log a a a a a a a +=+++= 则10 三、数列求和问题

例：已知}{n a 是等差数列，其中131a =，公差8d =-。（1）求数列}{n a 的通项公式；39-8n （2）数列}{n a 从哪一项开始小于0？4（3）求数列}{n a 前n 项和的最大值，并求出对应n 的值．172 变式题1、已知}{n a 是各项不为零的等差数列，其中10a >，公差0d <，若100S =,求数列}{n a 前n 项

和的最大值．5or6

变式题2、在等差数列}{n a 中，125a =，179S S =，求n S 的最大值．13

例：求和：21

123n n S x x nx -=++++

变式题1、已知数列42n a n =-和1

24

n n b -=

，设n

n n b a c =

，求数列}{n c 的前n 项和n T ．

变式题2、设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，

3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；2n-1,21-n （Ⅱ）求数列n n a b ??????

的前n 项和n S ．1

23

62n n -+- 例：（1）已知数列}{n a 的通项公式为1(1)

n a n n =

+，求前n 项的和；

1

+n n （2）已知数列}{n a 的通项公

式为

n a =

n 项的和．11-+n

实战训练A

1．在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为 2 2．若等差数列{n a }的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于 3

3．设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程03842=+-x x 的两根，则

=

+20072006a a __________.9/2

4．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =4 5．等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n = 10 6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2462,10,S S S ==则等于 24 7．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =

23

8．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则a d 等于 2 9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++= 81 实战训练B

1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++= ．7 2．在等比数列{}n a （n ∈N *）中，若11a =，418

a =

，则该数列的前10项和为10

122

-

3．已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k = 8

4．已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a = ；若它的第k 项满足

58k a <<，则k = ．2n-10

; 8

5．等比数列{}n a 中，44a =，则26a a 等于 16

6．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-= ，，

，，则此数列的通项公式为 2n-11

7．等差数列{}n a 的前n 项和为x S 若＝则432,3,1S a a == 10

8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++= 45

9．数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的

等比数列．

（I）求c的值；2

（II）求{}

a的通项公式．n2-n+2

n