一元二次方程知识点+专题复习
一元二次方程专题复习
考点一：一元二次方程定义与解法
1.定义：只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是02
=++c bx ax )0(≠a 。
2.常用解法
（1）直接开平方法：如果2x ＝a(a ≥0)，则x ＝±a ，即方程的解为1x ＝a ，2x ＝－a.
（2）公式法:如果
2=++c bx ax )040(2
≥-≠ac b a ，，得
a ac
b b x 2421---=，a
ac b b x 2422-+-=。
（3）配方法
例：用配方法解24610x x -+=
第一步，将二次项系数化为1：231024
x x -+=，（两边同除以4） 第二步，移项： 2312
4
x x -=-
第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：2223
313()()2
4
4
4
x x -+=-+
第四步，完全平方：235
()416
x -=
第五步，直接开平方：34x -
=:134x =++,234
x =+ （4）因式分解法：若
)
)(2n mx f ex c bx ax ++=++（，则
02=++c bx ax 的解为e f x -
=1，m
n
x -2=。 方法总结：解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的方法求解。一般地，若方程左边是一个完全平方式，右边是一个非负数或完全平方式，就采用直接开方法；若能分解因式就用因式分解法；当以上两种方法都行不通时，可采用公式法或配方法。
? 【课前热身】
1. 当a =____________时，方程2310ax x ++=是一元二次方程.
2. 已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一根为__________.
3.一元二次方程(1)x x x -=的解是_____________.
4. 若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，且0a b c ++=，则方程必有一根为____________.
5. 用配方法解方程2420x x -+=,则下列配方正确的是( )
A.2(2)2x -=
B.2(2)2x +=
C.2(2)2x -=-
D.2(2)6x -=
? 【典型例题解析】
1、关于x 的一元二次方程2(1)(2)26ax ax x x --=-+中，求a 的取值范围.
2、已知：关于x 的方程226350x x m m -+--=的一个根是1-，求方程的另一个根及m 的值。
3、用配方法解方程:2
210x x --=
【考点训练】
1、关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）
A. 1
B.1-
C.1或1-
D.
1
2
2、解方程23(121)4(121)x x -=-的最适当的方法（ ）
A. 直接开平方法
B. 配方法
C. 因式分解法
D. 公式法
3、若0a b c -+=，则一元二次方程20ax bx c ++=有一根是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. －1
4、当k __________时，22(9)(5)30k x k x -+--=不是关于x 的一元二次方程.
5、已知方程23214x x -+=，则代数式21283x x -+=_____________.
考点二：一元二次方程的判别式
关于x 的一元二次方程02
=++c bx ax
(a ≠0)的根的判别式为ac b 42-，有：
1．ac b 42
-＞0?一元二次方程02
=++c bx ax )0(≠a 有两个不相等的实数
根，即a ac b b x 2421---=，a
ac b b x 2422-+-=。
2．ac b 42
-＝0?一元二次方程02
=++c bx ax
(a ≠0)有两个相等的实数根，
a
b x x 221-
== 3．ac b 42
-＜0?一元二次方程02
=++c bx ax (a ≠0)没有实数根。
方法总结：针对这个考点，要求能根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的判别式确定方程有无实根的情况。当然一元二次方程根的判别式的性质反用也成立，即已知根的情况，可以得到一个等式或不等式，从而确定系数的值或取值范围．
? 【课前热身】
1.若关于x 的一元二次方程2210x x -+=有实数根，则m 的取值范围是( ) A.1m < B. 1m <且0m ≠ C.m ≤1 D. m ≤1且0m ≠
2. 一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根
3.已知关于x 的一元二次方程2410x x m ++-=.请你为m 选取一个合适的整数，当m =____________时，得到的方程有两个不相等的实数根；
4.若关于x 的方程227
(21)04
x k x k +-+-=有两个相等的实数根，求k 的取值范围。
? 【典型考题】
1.已知关于x 的方程2(2)2(1)10m x m x m ---++=，当m 为何非负整数时： (1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根.
2. 已知,,a b c 是三角形的三条边，求证：关于x 的方程
222222()0b x b c a x c ++-+=没有实数根.
【课时训练】
1、一元二次方程
的根的情况为（ ）
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
2、已知关于x 的一元二次方程22x m x -=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）
A.1m >-
B. 2m <-
C. m ≥0
D.0m <
3、一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是__________.
4、求证：关于x 的方程2(21)10x k x k +++-=有两个不相等的实数根。
考点三：韦达定理
韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a
+=-
，12c x x a
?=
适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；
(2)求与方程的根有关的代数式的值；
(3)已知两根求作方程；
(4)已知两数的和与积，求这两个数；
(5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)；
（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两
根的平方和或平方差是多少、两根是Rt ?的两直角边求斜边等情况.
注意：（1）22
212
1212()2x x x x x x +=+-? （2）22121212()()4x x x x x x -=+-?；
12x x -=
（3）①方程有两正根，则1212
00x x x x ?≥??
+>???>?；
②方程有两负根，则1212
000x x x x ?≥??
+? ；
③方程有一正一负两根，则12
0x x ?>???
④方程一根大于1，另一根小于1，则120
(1)(1)0
x x ?>??--
（3）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以
12,x x 为根的一元二次方程为21212()0x x x x x x -++?=;求字母系数的值时，需使二
次项系数0a ≠，同时满足?≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和12x x +，?两根之积12x x ?的代数式的形式，整体代入。
? 【课前热身】
1、（1）若21,x x 是方程0322
=-+x x 的两根，则=+21x x
（2）若关于x 的方程032
=++a x x 有一个根为-1，则另一个根为___________.
2、（1）设21,x x 施方程042=+-m x x 的两个根，且12121=-+x x x x ，则=+21x x ______，m=__________.
（2）、21,x x 是方程04722
=+-x x 的两个，则=+21x x __________，=
21x x __________________.
? 【典型例题解析】
1、（1）若关于x 的方程052
=++mx x 有一个根为1，则该方程的另一个根为___________。
（2）
21,x x 是一元二次方程0532
=-+x x 的两个根，则221221x x x x +的值是___________. 2、已知21,x x 是方程0220172
=+-x x 的两个实数根，则=--212
12018x x x _________.
3、（1）已知方程04322
=++c bx x 的两个根为4和9，则b=________,c=____________.
（2）设21,x x 是一元二次方程0322
=--x x 的两根，求2
22
1x x +的值。
（3）已知方程012
=++px x 的两根为21,x x ，其中321+=x ，求
2
1
12x x x x +的值。
（4）、（1）若关于x 的一元二次方程02
=++n mx x 的两个实数根分别为2和-4，则m+n 的值是（ ）
A.-10
B.10
C.-6
D.-1
（5）若α，β是方程0222
=--x x 的两个实数根，则2
2
βα+的值为（ ）
A.10
B.9
C.8
D.7
第一讲 一元二次方程作业
一、填空题
1、关于x 的方程2(3)20m x --=是一元二次方程，则m 的取值范 围是 ____ .
2、若(0)b b ≠是关于x 的方程220x cx b ++=的根，则2b c +的值为 ____ .
3、方程2310x x -+=的根的情况是____________________.
4、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是.
5、在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为)(b a a b a -=*,根据这个规则，方程(2)50x +*=的解为_________________.
6、如果关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个实数根，则k 的取值范围是_____________。
7、设12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，则代数式
3322
121212()()()0a x x b x x c x x +++++=的值为___________.
8、a 是整数，已知关于x 的一元二次方程01)12(2=-+-+a x a ax 只有整数根，则a =__________. 二、选择题
1、关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.不能确定 2、已知方程有一个根是
，则下列代数式的值恒为常数的
是（ ） A 、
B 、
C 、
D 、
3、若关于x 的一元二次方程22(4)60x kx x --+=没有实数根，那么k 的最小整数值是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D.
4、如果a 是一元二次方程230x x m -+=的一个根，a -是一元二次方程
230x x m +-=的一个根，那么a 的值是（ ）
A 、1或2
B 、0或3-
C 、1-或2-
D 、0或3
5、设m 是方程250x x +=的较大的一根，n 是方程2320x x -+=的较小的一根，则m n +=（ ）
6、 A.
B.
C. 1
D. 2
三、解答题
1、解下列方程： 2()0(0)a x b c a -+=≠
2、已知方程222(9)(34)0x k x k k +-+++=有两个相等的实数根，求k 值，并求出方程的根。
3、已知,,a b c 是ABC ?的三条边长，且方程222()210a b x cx +-+=有两个相等的实数根，试判断ABC ?的形状。
4、 已知关于x 的一元二次方程2223840x mx m m --+-=. （1）求证：原方程恒有两个实数根;
（2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围.