浙江省杭州市西湖区2017年中考数学一模试卷(带答案)

浙江省杭州市西湖区2017年中考数学一模试卷(解析版)

一.选择题

1.﹣0.25的相反数是（）

A. B. 4 C. ﹣4 D. ﹣5

2.据我市统计局在网上发布的数据，2016年我市生产总值（GDP）突破千亿元大关，达到了1050亿元，将1050亿用科学记数法表示正确的是（）

A. 105×109

B. 10.5×1010

C. 1.05×1011

D. 1050×108

3.下列运算正确的是（）

A.a+a2=a3

B.（a2）3=a6

C.（x﹣y）2=x2﹣y2

D.a2a3=a6

4.使不等式x﹣1≥2与3x﹣7＜8同时成立的x的整数值是（）

A. 3，4

B. 4，5

C. 3，4，5

D. 不存在

5.如图，△ABC中，∠C=80°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）

A. 360°

B. 260°

C. 180°

D. 140°

6.有五个相同的小正方体堆成的物体如图所示，它的主视图是（）

A. B. C. D.

7.如图，在4×3长方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是（）

A. B. C. D.

8.在乡村学校舞蹈比赛中，某校10名学生参赛成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是（）

A.众数是90

B.中位数是90

C.平均数是90

D.极差是15

9.已知等边△ABC，顶点B（0，0），C（2，0），规定把△ABC先沿x轴绕着点C顺时针旋转，使点A落在x轴上，称为一次变换，再沿x轴绕着点A顺时针旋转，使点B落在x轴上，称为二次变换，…经过连续2017次变换后，顶点A的坐标是（）

A. （4033，）

B. （4033，0）

C. （4036，）

D. （4036，0）

10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2．E，F分别是射线AC、CB上的动点，且AE=BF，EF与AB交于点G，EH⊥AB于点H，设AE=x，GH=y，下面能够反映y与x之间函数关系的图象是（）

A. B. C. D.

二.填空题

11.若代数式有意义，则实数x的取值范围是________．

12.分解因式：x3y﹣2x2y2+xy3=________．

13.已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图排列，则图中阴影部分面积为________．

14.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论：①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，

其中正确的序号是________．

三.综合题

15.计算：（π﹣）0+ ﹣（﹣1）2017﹣tan60°．

16.已知反比例函数的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），

（1）求这两个函数的关系式；

（2）观察图象，写出使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围．

17.如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．

（1）画出位似中心点O；

（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；

（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．

18.一种药品在进价上加价100%作为原价，后经两次降价后利润率为28%，求平均每次的降价率？

19.小高发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=12米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，求电线杆的高度．（结果保留根号）

20.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE，DE．AC与DE相交于点F．

（1）求证：△ADF∽△CEF；

（2）若AD=4，AB=6，求的值．

21.如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于F．

（1）求证：CF=BF；

（2）若CD=6，AC=8，求BE、CF的长．

22.一服装批发店出售星星童装，每件进价120元，批发价200元，多买优惠；凡是一次买10件以上的，每多买一件，所买的全部服装每件就降低1元，但是最低价为为每件160元，

（1）求一次至少买多少件，才能以最低价购买？

（2）写出服装店一次销售x件时，能获利润y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）一天，甲批发了46件，乙批发了50件，店主却发现卖46件赚的钱反而比卖50件赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的情况下，店家应把最低价每件160元至少提高到多少？

23.综合题

（1）阅读理解：

如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．

中线AD的取值范围是________；

（2）问题解决：

如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF ＞EF；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．

答案解析部分

一.选择题

1.【答案】A

【考点】相反数

【解析】【解答】解：﹣0.25的相反数是0.25，

故答案为：A．

【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数。

2.【答案】C

【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解：将1050亿用科学记数法表示为1.05×1011，

故答案为：C．

【分析】科学记数法—表示绝对值较大的数，一般表示成a10n，其中1|a|10,n是原数的整数位数减一。

3.【答案】B

【考点】同类项、合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式

【解析】【解答】解：A、a+a2，无法计算，故此选项错误；

B、（a2）3=a6，正确；

C、（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，故此选项错误；

D、a2a3=a5，故此选项错误；

故答案为：B．

【分析】利用整式加法其实质就是合并同类项，不是同类项的不能合并；幂的乘方底数不变指数相乘；完全平方公式的展开式是一个三项式；同底数的幂相乘，底数不变指数相加进行判断即可。

4.【答案】A

【考点】一元一次不等式组的整数解

【解析】【解答】解：根据题意得：

，

解得：3≤x＜5，

则x的整数值是3，4；

故答案为：A．

【分析】分别解出每一个不等式，然后根据大小小大中间找得出解集，再在解集中找到整数解。

5.【答案】B

【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质

【解析】【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，

∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，

即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=80°+180°=260°．

故答案为：B．

【分析】利用三角形的外角和定理得∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，再根据角的和差得出结论。

6.【答案】B

【考点】简单组合体的三视图

【解析】【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．

故答案为：B．

【分析】主视图就是从正面看得到的正投影，利用定义求解即可。

7.【答案】D

【考点】利用轴对称设计图案，概率公式

【解析】【解答】解：∵在3×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有8种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有2种情况，如图，

∴使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是：2÷8= ．

故答案为：D．

【分析】在正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有8种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有2种情况，根据概率公式计算即可。

8.【答案】C

【考点】算术平均数，中位数、众数，极差

【解析】【解答】解：∵90出现了5次，出现的次数最多，∴众数是90；

故A正确；

∵共有10个数，∴中位数是第5、6个数的平均数，∴中位数是（90+90）÷2=90；

故B正确；

∵平均数是（80×1+85×2+90×5+95×2）÷10=89；

故C错误；

极差是：95﹣80=15；

故D正确．

综上所述，C选项符合题意；

故答案为：C．

【分析】一组数据的总和除以这组数据的个数就得到这组数据的平均数，一组数据中出现次数最多的数据是众数，把一组数据按从小到大的顺序排列处于最中间位置的数就是中位数，这组数据的最大值与最小值的差就是极差，用它们的定义进行判断即可。

9.【答案】D

【考点】锐角三角函数的定义，坐标与图形变化-旋转

【解析】【解答】解：顶点A的坐标分别为（4，0），（5，），（8，0），（9，），

…，

2017÷2=1008…1，

1008×4+4=4036，

故顶点A的坐标是（4036，0）．

故答案为：D．

【分析】利用已知点坐标得出等边△ABC边长为2，根据三角函数可得等边△ABC的高，顶点A的坐标分别为（4，0），（5，），（8，0），（9，），…，进而找到点的变化规律，即可得出答案。

10.【答案】C

【考点】等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=2，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB= = =2 ，∠A=45°，

∵EH⊥AB于点H，

∴△AHE是等腰直角三角形，

∴AH= AE= x，

过点B作BD∥AC交EF于点D，

则= ，= ，

∴BD= ?AE= ?x，BD= ?EC= ?（2﹣x），

∴?x= ?（2﹣x），

整理得，BG（x+2）=（2 ﹣BG）（2﹣x），

解得BG= ﹣x，

根据图形，GH=AB﹣AH﹣BG，

=2 ﹣x﹣（﹣x），

=2 ﹣x﹣+ x，

= ，

即y= ，是一条平行于x轴的直线．

故答案为：C，

【分析】先判断出△ABC是等腰直角三角形，再判断出△AHE是等腰直角三角形，然后根据勾股定理计算出AB、AH 的长度，过点B作BD∥AC交EF于点D，然后利用平行线分线段成比例得出B D：A E = B G ：A G ， B F：F C = B D：E C ，再表示出BD、然后求出BG的长度，最后根据，GH=AB﹣AH﹣BG，代入数据就可以得出y关于x的函数关系式，再根据函数相应的图像解答。

二.填空题

11.【答案】x≥0且x≠1

【考点】分式有意义的条件，二次根式有意义的条件

【解析】【解答】解：∵xx?1 有意义，

∴x≥0，x﹣1≠0，

∴实数x的取值范围是：x≥0且x≠1．

故答案为：x≥0且x≠1．

【分析】利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出即可．

12.【答案】xy（x﹣y）2

【考点】提公因式法与公式法的综合运用

【解析】【解答】解：x3y﹣2x2y2+xy3，=xy（x2﹣2xy+y2），

=xy（x﹣y）2．

【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解因式．

13.【答案】3.75

【考点】正方形的性质，平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：∵BC∥MN

∴= ，即= ，解得：BC=1

∵OB=3

∴OC=3﹣1=2

∵BC∥EF

∴= ，即= ，解得：EF=

∵PE=3

∴PF=3﹣=

∴梯形OCFP的面积为：（2+ ）×3× =3.75

故图中阴影部分面积为3.75．

【分析】根据平行线分线段成比例得出=与=,从而求出BC,OC,PE,PF,最后根据梯形的面积公式计算即可。

14.【答案】①②③④

【考点】全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：

⑴结论①正确．理由如下：

∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，

∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，

∴∠5=∠6，

∴AM=AE=BF．

易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．在△ACM与△ABF中，

，

∴△ACM≌△ABF（SAS），

∴CM=AF；

⑵结论②正确．理由如下：

∵△ACM≌△ABF，

∴∠2=∠4，

∵∠2+∠6=90°，

∴∠4+∠6=90°，

∴CE⊥AF；

⑶结论③正确．理由如下：

证法一：∵CE⊥AF，

∴∠ADC+∠AGC=180°，

∴A、D、C、G四点共圆，

∴∠7=∠2，

∵∠2=∠4，

∴∠7=∠4，

又∵∠DAH=∠B=45°，

∴△ABF∽△DAH；

证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，

∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．

在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，

∴NG=AG，

∴∠MNG=∠3，

∴∠DAG=∠CNG．

在△ADG与△NCG中，

，

∴△ADG≌△NCG（SAS），

∴∠7=∠1，

又∵∠1=∠2=∠4，

∴∠7=∠4，

又∵∠DAH=∠B=45°，

∴△ABF∽△DAH；

⑷结论④正确．理由如下：

证法一：∵A、D、C、G四点共圆，

∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，

∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．

证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，

∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2

则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．

∵△ADG≌△NCG，

∴∠DGA=∠CGN=45°= ∠AGC，

∴GD平分∠AGC．

综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．

故答案为：①②③④

【分析】结论①正确，证明△ACM≌△ABF即可；结论②正确，由△ACM≌△ABF得出∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF，结论③正确，证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论④正确，证法一：利用四点共圆，证法二：利用三角形全等。

三.综合题

15.【答案】解：（π﹣）0+ ﹣（﹣1）2017﹣tan60°；

=1+2+1﹣×

=4﹣3

=1．

【考点】立方根，实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值

【解析】【分析】利用零指数的意义，立方根的意义，-1的奇次幂及特殊锐角的三角函数值分别化简，再根据实数的运算法则进行运算即可。

16.【答案】（1）解：∵函数y1= 的图象过点A（1，4），即4= ，

∴k=4，

∴反比例函数的关系式为y1= ；

又∵点B（m，﹣2）在y1= 上，

∴m=﹣2，

∴B（﹣2，﹣2），

又∵一次函数y2=ax+b过A、B两点，

∴依题意，得，

解得，

∴一次函数的关系式为y2=2x+2

（2）解：根据图象y1＞y2成立的自变量x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．

【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题

【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数的解析式中求出K,得出反比例函数的解析式，再把B点的坐标代入反比例函数的解析式求出m的值，即求出了点B的坐标，再把A,B两点的坐标分别代入直线的解析式，求出a,b 的值，从而求出直线的解析式；

（2）根据图像的意义得出使y1＞y2成立的自变量x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．

17.【答案】（1）解：如图所示，图中点O为所求：

（2）解：△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1

（3）解：如图所示，△A″B″C″为所求：

A″（6，0）；B″（3，﹣2）；C″（4，﹣4）

【考点】作图-位似变换

【解析】【分析】（1）连接CC′并延长，连接BB′并延长，两延长线交于点O;

（2）由OB=2OB′，即可得出△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1；

（3）连接B′O并延长，使OB″=OB′,连接A′O并延长，使OA″=OA′.连接C″O并延长，使OC″=OC′,连接A″B″；A″C″；B″C″，则△A″B″C″为所求：从网格中即可求出△A″B″C″各顶点的坐标。

18.【答案】解：设平均每次的降价率为x，药品进价为a元，则：（1+100%）a（1﹣x）2=（1+28%）a，

解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不符合题意，舍去）．

答：平均每次的降价20%．

【考点】一元二次方程的应用

【解析】【分析】这是一道平均增长率的题，设平均每次的降价率为x，药品进价为a元，利用公式a(1+x)n=P(a是平均增长前的量，n是增长次数，p是增长结束达到的量）列出方程，求解检验即可。

19.【答案】解：延长AD交BC的延长线于F点，作DE⊥CF于E点．

DE=12sin30°=6；

CE=12cos30°=6 ；

∵测得1米杆的影长为2米．

∴EF=2DE=12（米），

∴BF=BC+CE+EF=20+6 +12=32+6 ，

∴电线杆AB的长度是（32+6 ）=（16+3 ）（米）．

【考点】含30度角的直角三角形，解直角三角形的应用

【解析】【分析】延长AD交BC的延长线于F点，作DE⊥CF于E点．由锐角三角函数的定义DE,CE的长度，然后根据含30角得直角三角形的边之间的关系得出EF的长，从而得出电线杆的高度。

20.【答案】（1）证明：∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∵∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB．

（2）解：∵E为AB的中点，

∴CE= AB=AE，

∴∠EAC=∠ECA；

∵∠DAC=∠CAB，

∴∠DAC=∠ECA，

∴CE∥AD；

∴△AFD∽△CFE，

∴AD：CE=AF：CF；

∵CE= AB=3，AD=4，

∴= = ，

∴=

【考点】平行线的判定，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）由角平分线的定义证明∠DAC=∠CAB，从而得出△ADC∽△ACB；

（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等量代换证明∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；进而得到△AFD∽△CFE，，根据相似三角形的性质得出AD：CE=AF：CF；进而得出答案。

21.【答案】（1）证明：延长CE交⊙O于点P，

∵CE⊥AB，

∴= ，

∴∠BCP=∠BDC，

∵C是的中点，

∴CD=CB，

∴∠BDC=∠CBD，

∴∠CBD=∠BCP，

∴CF=BF；

（2）∵CD=6，AC=8，

∴AB=10，

∴BE= =3.6，

∴CE= =4.8，设CF=x，则FE=4.8﹣x，BF=x，

∴（4.8﹣x）2+3.62=x2，

∴x= ．

【考点】勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】（1）延长CE交⊙O于点P，根据垂径定理得出及圆周角定理得出∠BCP=∠BDC，∠BDC=∠CBD，进而得出∠CBD=∠BCP，从而得出结论；

（2）根据圆周角定理及勾股定理得出AB的长，再由射影定理得出BE及CE的长，设CF=x，则FE=4.8﹣x，BF=x，根据勾股定理得出方程求解即可。

22.【答案】（1）解：设一次至少买x件，才能以最低价购买，由题意，得

200﹣（x﹣10）=160，

解得：x=50．

答：一次至少买50件，才能以最低价购买；

（2）解：由题意，得

y=x[200﹣（x﹣10）﹣120]，

y=﹣x2+90x．

，

解得10＜x≤50

（3）解：y=﹣x2+90x．

∴y=﹣（x﹣45）2+2025，

∵a=﹣1＜0，

∴抛物线的开口向下，

∴x=45时，y有最大值，在对称轴x=45的右侧，y随x的增大而减小，

∴一天甲买了46支，乙买了50支，店主却发现卖46支的钱反而比卖50支赚的钱多的原因．

当x=45时，最低售价为200﹣（45﹣10）=165（元）．

∴为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的情况下，店家应把最低价每只160元至少提高到165元

【考点】一元一次方程的应用，二次函数的应用

【解析】【分析】（1）设一次至少买x件，才能以最低价购买，则每件的价格为[200﹣（x﹣10）]元，根据降价后的价格为160元建立方程求出其解即可；

（2）根据总利润=销售数量每件的利润建立解析式即可；

（3）将抛物线的解析式化为顶点式，根据顶点式的性质就可得出结论。

23.【答案】（1）2＜AD＜8

（2）证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示：

同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），

∴BM=CF，

∵DE⊥DF，DM=DF，

∴EM=EF，

在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，

∴BE+CF＞EF

（3）解：BE+DF=EF；理由如下：

延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：

∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，

∴∠NBC=∠D，

在△NBC和△FDC中，，

∴△NBC≌△FDC（SAS），

∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，

∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，

∴∠BCE+∠FCD=70°，

∴∠ECN=70°=∠ECF，

在△NCE和△FCE中，，

∴△NCE≌△FCE（SAS），

∴EN=EF，

∵BE+BN=EN，

∴BE+DF=EF．

【考点】三角形三边关系，全等三角形的判定与性质

【解析】【解答】（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图①所示：

∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD，

在△BDE和△CDA中，，

∴△BDE≌△CDA（SAS），

∴BE=AC=6，

在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，

∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，

∴2＜AD＜8；

故答案为：2＜AD＜8；，

【分析】（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，由SAS证出△BDE≌△CDA，由全等三角形的性质得出BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即可求出AD的取值范围；

（2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM即可得出结论；

（3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证出∠NBC=∠D，由SAS证出△NBC≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，证出∠ECN=70°=∠ECF，再由SAS证出△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出结论。