第8讲：二次函数专题讲座.docx

（聚焦 2008 ）第 8 讲：二次函数专题讲座

（一）二次函数的解析式的三种形式

（1）标准式： y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ）；

（2）顶点式： y=a （ x+m ）2 +n （ a≠0 ）；

（3）两根式： y=a （ x － x 1）（ x－ x 2）（ a ≠ 0 ）

【例 1】已知二次函数y=f（ x）同时满足条件：（1）f（ 1+x）= f（1－ x）；

（2） y=f （ x）的最大值是１５；（ 3） f （ x）＝０的两根立方和等于１７。求 y＝ f （ x）的解析式。

（二）二次函数的基本性质

（ 1）二次函数f（ x）=a x2 +bx+c （ a ≠０）的图像是一条抛物线，对称

轴方程为 x ＝－

b

，顶点坐标是（－

b

，

4ac b2

）。2a2a4ac

当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－b

] 上递减，在 [ －

b

，2a2a

＋∞ ) 上递增。

当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数在(－∞，－b

] 上递增，在 [ －

b

，2a2a

＋∞ ) 上递减。

（ 2）直线与曲线的交点问题：

①二次函数f（ x）=ax 2 +bx+c（ a ≠０），当＝ b2－４ ac＞0时，图像与 x 轴有两个交点Ｍ１（x１，０）Ｍ２（x２，０），于是

｜Ｍ１Ｍ２｜＝｜ x１－ x２｜＝。

| a |

②若抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）与直线y=mx+n，则其交点由二方程组成的方程组的解来决定，而方程组的解由一元二次方程ax 2 +bx+c =mx+n ，即 px 2 +qx+r=0的解来决定，从而将交点问题归结为判定一元二

次方程的判别式的符号决定。

特别地，抛物线与x 轴的交点情况由ax 2 +bx+c=0的解的情况决定，于是也归结为判定一元二次方程ax 2 +bx+c = 0的判别式的符号问题。

当 = b 2 － 4ac>0 时，方程 ax 2 +bx+c=0 有两个不同的实数根，即对

应的抛物线与 x 轴有两个交点，此时二次函数的图像被

x 轴截得的弦长

L=|x 2 － x 1 |= ( x 2

x 1 ) 2

( x 2 x 1 ) 2 4x 1 x 2

。

| a |

当 = b 2 － 4ac=0 时，方程 ax 2 +bx+c=0

有两个相等的实数根，即对 应的抛物线与 x 轴只有一个交点，此时抛物线与

x 轴相切。

当 = b 2 － 4ac<0 时，方程 ax 2 +bx+c=0

无实数根，即对应的抛物线

与 x 轴有无交点，此时二次函数的图像恒在

x 轴上方或者下方。

【例２】已知函数

f （ x ） =ax 2 +bx+c 的图像经过点（１，１） ，（３，

５）且 f （０） ＞０，求 a ， b ，c 使该函数的最小值最大。

（三）二次函数闭区间上的最值问题

（１）二次函数 y=f （ x ）在闭区间上必有最值，且它只能在区间的端

点与二次函数图像的顶点处取得最值。

（２）二次函数 y=f （ x ）在闭区间上必有最值受制于对称轴与区间的

相对位置关系，为此有下列四种情形：

①对称轴和区间均是静态的；②对称轴是动态的，但区间是静态的；

③对称轴是静态的，但区间均是动态的；④对称轴和区间均是动态的。

（３）二次函数

y=f （ x ） =ax 2 +bx+c （ a>0 ）在闭区间 [m ，n] 上的最

值：

①若 x

b m ，则 y=f （ x ）在区间 [m ， n] 上是增函数，此时必有

2a

f （ m ）≤ f （ x ）≤ f （ n ）；

②若 m

x b n ，则 y=f （ x ）的最小值为 [f(x)] min =f( －

b

2a )，但

2a

最大值应视对称轴与区间端点的距离而定；

③若 m x b

m

n

2a

，则 y=f （ x ）的最大值为 [f(x)] max =f(n) ；

④若

m

n

b 2

x

n ，则 y=f （ x ）的最大值为 [f(x)] max =f(m) ；

2

2a

b

n ，则 y=f （x ）在区间 [m ，n] 上是减函数，此时必

（ 3）若 x

2a

有 f （ n ）≤ f （ x ）≤ f （ m ）。

（４）二次函数在闭区间上的最值求解步骤： ①配方； ②作图； ③截断。

注：关键是关心对称轴是否一定在所给的区间内。 【例３】已知函数

y ＝－ x 2

+ax －

a

＋

1

在区间［０，１］上的最大

4

2

值是２，求实数

a 的值。

【例４】（２００３年全国高考试题）已知

a 为实数，函数

y ＝ x 2+ ｜ x

－ a ｜＋１， x ∈Ｒ。

（１）讨论 y ＝ f （ x ）的奇偶性；

（２）求 y ＝f （x ）的最小值。

（四）设 x １ ，x ２ 是实系数一元二次方程

ax 2 +bx+c ＝０（ a ＞ 0）的两个

实数根，则 x １ ， x ２ 的分布范围与二次方程系数之间的关系，如下表所示：

一元二次方程根的分布

图像

充要条件

y

＞ 0

x １ ＜ x ２ ＜k

f （ k ）

f （ k ）＞ 0

x 1 O

x 2 k

x

－ b ＜k

y

f （ k ）

k ＜x １＜ x ２

x 1

O

x

k

2

x

2a

＞ 0

f （ k ）＞ 0

－

b

＜ k 2a

y

x １ ＜ k ＜ x ２

x １ ， x ２∈（ k １ ，k ２）

x １， x ２ 有且仅有一个在

（ k １ ，k ２ ）

k

x

x 1 O

x 2

f （ k ）＜ 0

y

Δ≥ 0

x 1

x

f （ k 1）＞ 0

x 2 k 2

k 1O

f （k 2）＞ 0

k 1＜－ b

＜ k 2

f （

2a ）＜0或

y

k 1 ）· f （

k 2

f （k 1 ） =0

k 1 k 2

x

1 ＜－

b ＜

k

1

k 2

O

2a

2

f （ k 2 ） =0

k 1 k 2

＜－ b ＜ k 2

2

2a

【点拨】 四个二次之间的关系的实质是二次函数、

一元二次不等式、 一

元二次方程和一元二次二项式之间的联系：

一元二次不等式、 一元二次方程

和一元二次二项式均可融汇在二次函数之中。

（ 1）一元二次不等式 ax 2+bx+c ＞ 0 或 ax 2 +bx+c ＜ 0 与对应的二次函数的关系：当 f （ x ）=0 时，即为关于 x 的一元二次方程；

（ 2）一元二次方程 [f （ x ）=0] 与对应的二次函数的关系主要是一元二次方程的根的分布问题，对这类问题的思考应注意以下几个方面：

①二次函数的开口方向； ②方程的根所在区间的端点； ③对称轴； ④判

别式；⑤二次函数的图像与 x 轴的交点。

【例 5】已知集合 A={（ x ，y ）|x 2+mx － y+2=0} 与 B={（ x ，y ）|x － y+1=0 ，

0≤ x ≤ 2} ，若 A ∩ B ≠φ，求实数 m 的取值范围。

【例 6】若对任意实数

x ， sin 2x+2kcosx － 2k －2＜ 0 恒成立，求实数 k

的取值范围。

（五）在数学应用题中， 某些量的变化通常是遵循一定规律的， 这些规律就是我们所说的函数， 建立函数模型解决应用题时， 以二次函数最为常见，同时还涉及到二次函数的最值问题。

【例 7】某商场以 100 元 / 件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的同一价格出售，销售有淡季和旺季之分，标价越高，购买的人数越少，我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格，市场调查发现：

（ 1）购买人数是羊毛衫标价的一次函数；

（ 2）旺季的最高价格是淡季的最高价格的

3 倍；

2

（ 3）旺季时， 商场以 140 元 / 件的价格出售能获得最大利润，

试问羊毛

衫的标价应定为多少？

【例 8】已知某企业的原有产品，每年投入

x 万元，可获得的年利润可

表示为函数： P （ x ）=－

1

（x － 30）2+8（万元）。现开发一个回报率高科

100

技含量高的新产品，根据预测，新产品每年投入

x 万元，可以获得的利润 Q

（ x ） =－

99

（100－ x ）2

+

257

（ 100－x ）（万元）。新产品开发从“十五”

100

5

计划的第一年开始， 用两年的时间完成。 这两年， 每年从 100 万元的生产准

备资金中，拿出

80 万元来投入新产品的开发，从第三年开始，这

100 万元

完全用于新旧两种产品的投入。

（ 1）为了解决资金缺口， 第一年初向银行贷款

1000 万元，利率为 5.5%

（不计复利） ，第五年底一次性就向银行偿还本息共多少万元； （ 2）从新产品投产的第三年开始，从

100 万元的生产准备资金中，新

旧两种产品各应投入多少万元，才能使利润最大？

（ 3）从新旧 品的五年最高 利 中拿出 70%来，能否 清 行的 款？

（六）二次函数是一 非常重要的函数，它的 性和最 等特性决

定了它与不等式的内在 系，

二次函数与不等式的巧妙 合是高考命 的一

个新 向。

【例 9】 二次函数

f （ x ）=x 2 +bx+c （ b 、 c ∈ R ），不 α、β 任何

数恒有

f （ sin α）≥ 0， f （2+cos β）≤ 0。

（ 1）求 ： b+c=-1 ；

（ 2）求 ： c ≥3；

（ 3）若 f （ sin α）的最大

8，求 b 、 c 的 。

【分析】（ 1）依据 意

f （ sin α）≥ 0，f （ 2+cos β）≤ 0 于α、β

任何 数恒成立， 不妨令

sin α=1、 cos β=－ 1，

b+c+1≥ 0， b+c+1

≤ 0，即 b+c=－ 1。

（ 2）由 -1 ≤ cos β≤ 1 可以取 cos β =1，于是 f （ 3）=3b+c+9≤ 0???? （ 1），又 b=－ 1－ c ，从而代入（ 1）得， 6≤ 2c ，即 c ≥3。

（ 3）f （sin α） =sin 2

α+bsin α +c=（ sin α + b

）2

+c-

b 2

，于是由 b+c=

2 4

－ 1 且 c ≥3 得， b ≤－ 4，即

b ≥ 2，且－ 1≤ sin α≤ 1，从而当 sin α=－ 1

2

， f （ sin α） =8，所以 1－ b+c=8。

故 b=-4 ， c=3。

注意：本 是利用三角函数的有界性。

【例 10】已知二次函数 y= f （ x ）=ax 2 +bx+c 的 像 点（－

1，0），

是否存在常数 a 、b 、c ，使不等式 x ≤ f （ x ）≤

x 2

1

一切 数

x 都成立？

2

（ 1）求 f （ 1）的 ；

（ 2）求 y=f （ x ）的解析式；

（ 3） n 1 ＞ 2n 。

k 1

f ( k) n 2

（七）二次函数的图像问题：

（1 ）y=ax 2 +bx+c （ abc ≠ 0 ），尽管如此，但由于二次函数的二次项

的系数 a 相等，所以二次函数图像形状，开口方向完全相同，只不过位置不同

而已，从而系数 a 决定二次函数的图像形状和开口方向，且 a 的符号决定开口方向， |a|决定抛物线开口的大小，即

当 a ＞0 时， a 越大，抛物线张口越小； a 越小，抛物线张口越大；

当 a ＜0 时， |a|越大，抛物线张口越小；|a|越大，抛物线张口越小。

（ 2）在直角坐标系中，二次函数的图像是一条以x= — b/2a为对称轴的抛物线。

注意：该命题的逆命题不成立，但下述命题是成立的：对称轴是 y 轴（或平行于 y 轴）的抛物线所对应的函数是二次函数。

（ 3）顶点坐标（－b， 4ac b2）。

2a4a

（ 4）二次函数的图像过坐标原点c=0 ，而当 x=0 时， y=c 称为二次函数在 y 轴上的截距，任何一个二次函数的图像与y 轴必相交且交点坐标为（ 0 ，c ）。

（ 5）二次函数与 x 轴的交点的横坐标是对应的一元二次方程f（x）=0的实数根。

（6）设二次函数 y=ax 2 +bx+c （a ≠ 0 ），则

①当 a>0 且 <0 时， f （ x） >0 恒成立；②当

a<0 且 <0 时， f （ x） <0 恒成立。

(八)二次函数图像的平移与旋转：

（ 1 ）上下平移：将二次函数的图像上下平移时，顶点坐标的原象不变，像增大或减小；此时仅需解析式加上（向上）或减去（向下）一个常数即可。

（2）左右平移：顶点坐标的原象改变，像的大小不变；

（3）旋转：二次函数 y=a（ x+h）2+k（a≠ 0）的图像绕顶点（－ h ，k ）

旋转 180 0 后所得的二次函数

y=a （ x+h ） 2+k （a ≠ 0）。

（九）二次函数的奇偶性：

二次函数为偶函数 b=0；若 b ≠ 0 ，则二次函数为非奇非偶函数。（十）二次函数的单调性 （实质： 二次函数的单调区间是利用对称轴来

划分的）：

（ 1）当 a>0 时，抛物线的开口向上， 函数 y=f （ x ）在区间 ( －∞，－

b

]

2a

上单调递减；在（－

b

， +∞）上单调递增；此时函数在

x= － b

处取得

4ac b 2 2a

2a

最小值

4a

；

（ 2）当 a ＜ 0 时，抛物线的开口向下，函数

y=f （ x ）在区间（－∞，

－

b

] 上单调递增；在（－

b

， +∞）上单调递减；此时函数在

x= －

b

2a

4ac b 2

2a

2a

处取得最大值

4a

。

四、重要结论： （函数图像的凹凸性）

已 知 二 次 函 数 f （ x ） =x 2 +ax+b ， 则 对 任 意 的 x 1 ， x 2 ， 都 有

f ( x 1

x 2 ) ≤ f (x 1 ) f ( x 2 ) 。

2

2

注：命题中并未明确指出 a 、b 的范围，表明所求证的式子与

a 、

b 的值

无关，抓住此特征，该命题则可改编为下列命题：

1、若 a=0，试比较 f (

x 1

x 2 ) 与 f (x 1 ) f (x 2 ) 的大小；

2 2 2、若 a=1，试比较 f (

x 1

x 2 ) 与 f (x 1 ) f (x 2 ) 的大小；

2 2

3、是否存在常数 a ，使得 f (

x 1

x 2

)

f (x 1

)f (x 2

)

成立？若成立，

2

2

请求出 a 的取值范围；若不成立，请说明理由。

答案：存在常数

a ，使 f (

x 1

x 2

)

f (x 1 )

f ( x 2 )

成立，且 a

的范围

2

2

是 (－∞， 0]。

4、已知函数 f（ x）具有性：f (x

1

x

2)≤

f ( x

1

)

f (x2 ) ，出

22

，

3

函数：（ 1）y=x 2；（ 2）y=2x；（ 3） y=log2x ；（ 4）y=cosx ，x∈[]；（ 5）

22

y=tanx ， x∈ [0 ， ] 。在函数定域内具有个性的函数有：（ 1）（ 2）2

（ 4）（ 5）。

1、作下列函数的像：（ 1）y=x 2－ 2x－3,x ∈ R；（ 2）y=x2－ 2x－ 3,x ∈ [ －

1,2] ；（ 3）y=x 2－ 2|x| － 3；（4） y=|x 2－ 2x－ 3| 。

2、作下列函数的像，并指出函数的区：

（ 1）y=|x 2+3x－4| ；（ 2）y= － x2+2|x|+3；（ 3） y=

x21。x2

式 1：如，在直角坐系内有三点O（ 0， 0）、 A （1， 0）、B （ 0，1），点 C 在段 OB 内，当点在第一象限的抛物y=ax2+bx+c （ a≠0）点 A 和点 C ，判断下列各的符号，并明理由。（1）a；（2）b；（3）

c；（ 4） b2－ 4ac；（ 5） a+b+c；（ 6） a－ b+c；（ 7）a+b+1。

式 2：已知二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的像如：

（1）确定 a、b、 c 和 b2-4ac 的符号；

（2）求 OA ?OB 的；

（3）当 OA=OC ，求 a、 b、之的关系。

2

k的取范。

5、如果方程 1+x-2x =k 在－ 1≤ x≤1 上有数解，求

式引申 1：当 m怎的数，方程 x2－ 4|x|+5=m有四个不相等的数根？

式引申 2：利用二次函数的像，方程 x2－ 2|x|=a－1 解的个数；

6、就 m的取范，方程x2－4|x|+3=m 的根的个数。

式引申：已知方程 |x 2－4x+3|=mx 有四个不相等的根，求数m范。

分析：方程 |x2－ 4x+3|=mx有四个不相等的根，就是直y=mx 与y=|x 2-4x+3| 的像有四个公共点。

直 l ：y=kx 与 y=f （ x）的像有三个公共点，0

令=（ k-4 ）2－12=0，解得 k=4±2 3 。

当 k=4+2 3 时，方程（ * ）的二根 x 1=x 2=

3 （1， 3）不满足条件；

当 k=4－ 2 3 时，方程（ * ）的二根 x 1=x 2= 3 ∈（ 1，3）满足条件。

故 M={m|0＜ m ＜4-2 3 } 。

例 1、对任意实数 m ，函数 y =x 2－ mx+5m －2 的图像恒经过一个定点，

求此定点的坐标。

例 2、设函数 y= x 2

+x+ 1

的定义域为 [n ，n+1] （ n ∈ N ），则 f （ x ）的值

2

域内有（

）个整数。

答案：。全 265

例 4、（ 1）试确定函数 f （ x ） = a （ 2）求函数 f （ x ） = log a (2x 2

2

b ( x 2 x) （ 0

5x 3) 的单调区间。

注：总结（ 1）、（ 2）的结论。

例 5、已知函数 y=x 2 +（ lga+2 ）x+lgb ，f （ -1 ）=2 ，当 x ∈ R 时， f （ x ）

≥ 2x 恒成立，求实数 a 的值，并求此时

y=f （ x ）的最小值。全 285

例 6、已知二次函数 y=x 2 lga+2x+4lga 的最大值为 3 ，求实数 a 的值。

全 293

例 7、（1）若函数 y=lg （ x 2 +2x+a 2 ）的定义域为 R ，求实数 a 的取值

范围。

（ 2）若函数 y=lg （ x 2 +2x+a 2 ）的值域为 R ，求实数 a 的取值范围。注意：总结上面两题的结论。

例 8、已知二次函数 y=f （ x ）的二次项系数为负数且对任意

x 恒有 （f 2-x ）

=f （ 2+x ）成立，试解不等式 f [log 1 (x

2

x

1

)]

f [lo

g 1 (2x

2

x

5

)] 。

2

2

2

8

全 320

例 9 、 已 知 x 满 足 不 等 式 2(log 2 x) 2

7 log 2 x 3

0 。 求 函

数

x

x

的最值。全 320

y (log

2

4

)(log 2 2 )

例 10、已知函数 y= 2(log 2 x) 2

a log 2 (x 2)

b 在 x=1/2 时有最小值

1，试确定 a 、 b 的值。全 323

例 11、设 a ≥ 0，b ≥ 0，且 x+2y=1/2 。求 M= M

log 1 (8xy 4 y 2 1)

2 的最值。全 323

例 12、已知 f （ x ） = log 4 ( x 2

2x 3) 。

（ 1）求 y=f （ x ）的定义域；

（ 2）求 y=f （ x ）的单调区间；

（ 3）求函数 y= f （ x ）的最大值，并求最大值时的 x 值。

例 1、已知函数 y=2x 2－ 6x+3， x ∈ [－ 1，1]的最小值是（

）。黑

变式：已知函数 y=f （ x+1） =x 2

+x+1 ，则 f （x ）的最小值是（

） （A ）0

（B ）1

（ C ）-1/4

（D ）

3/4 火印

例 2、已知关于 x 的函数 y=x 2 － 2mx+m － 1 ，它的最小值为 f （m ），

试求 f （ m ）在闭区间 [0 ，2] 上的最值。黑

变式 1：求二次函数 y=x 2 － 2ax+a － 2 的图像与 x 轴的两个交点间距离

的最小值，并求出最小值对应的

x 上的值。

例 3、若实数 x 、 y 满足 x 2 +4 y 2 =4x ，求 S= x 2 + y 2 的值域。

精析：依据 x 2 +4 y 2 =4x 得， 4 y 2 =4x-x 2 + ≥ 0，于是 0 ≤x ≤ 4 。 又 S= x 2 + y 2

=S= x

2

4x x

2

3

( x 2) 2

1 ，于是利用二次函数

4

4

3

3

的图像可知：

当 x=4 时， S max =16 ；当 x=0 时， S min =0 ，故 S= x 2 +y 2 的值域为 [0 ，

16] 。

变式：已知 3x 2 +2y 2 =9x ，求 x 2 + y 2 的最大值与最小值。

注：基本思想方法是化多元为一元。

例 4、已知次函数y=ax2 +2ax+1在 [－3 ， 2] 上有最大值 4 ，求实数 a

的值。黑

例 5、已知函数 y=x2－ 2x+3 （ a ≠ 0 ）在闭区间 [0 ， m] 上有最大值 3 ，

最小值 2 ，则实数 m 的取值范围是（）

（ A）（ B）[0 ，2]（C ）[1 ，2]（ D ）

,2] [1, )(答案：。

例 6、已知函数 y=－ x 2 +2ax+1-a在区间 [0 ， 1] 上有最大值 2 ，求实数

a 的值。黑

变式 1：设函数y=x 2 +ax+3 ，当 x ∈ [－ 2 ，2] 时恒有 f（ x）≥ a，求实

数 a 的取值范围。黑

变式 2：设函数y=4x 2－ 4ax+1-a在区间[0，2]上的最小值 3 ，求实数a的所有值。

例 7、已知函数y=

1 x 213，当定义域为[a，b]时，值域为[2a，2b]

22

（ a＜ b），求 a、 b 的值。

变式 1：已知二次函数y=ax2 +bx （ a、 b 为常数，且a≠ 0），满足条件：

（1）f （ -x+5 ）=f （ x-3 ），（ 2）关于方程 f（ x ） =x 有相等的实数根。

（1）试求 y=f （x ）的解析式；

（2）是否存在常数 m、 n（ m＜ n），使得 y=f （ x）的定义域为 [m ， n]时，值域为 [2m ，2n]，如果存在，求出m、n 的值；如果不存在，说明理由。

火印

变式 2：是否存在常数a，使函数 y=ax 2 +（ 2a － 1 ）x+1 在区间 [－3，2

2] 上有的最大值 3 。如果存在，求出 a 的值；如果不存在，说明理由。

例 8、已知二次函数 y=ax2 +bx+c （ a>0 且 b ≠ 0 ）。

（1）若 |f （ 0 ）|=|f （ 1 ） |=f （－ 1 ） |=1 ，求二次函数的解析式及最小值；

（2）若 |b| ≤ a，|f （0 ） | ≤ 1 ， |f （ 1 ）| ≤ 1， f（－ 1 ）| ≤ 1 ，当 |x|≤1 时，证明： |f （x） | ≤ 5/4 。黑

例 9、已知函数 y=x2 -2x+2 ， x∈ [t ， t+1] 的最小值为 g（ t），求 g（ t）的解析式。

例 10、已知二次函数f（ x） =x 2 +ax+b （ a 、b ∈ R）的定义域为[－ 1 ，

2] 。

（ 1）记 |f （x ） | 的最大值为M ，求证： M ≥1；2

（ 2）求出（ 1）中 M=1

时， f （ x）的解析式。2