仿射变换在解决有关椭圆的仿射性质问题中的应用
射影几何中仿射变换解初等几何题
利用仿射变换可以解决许多初等几何问题，下面给出它在以下几个方面的应用。 平行投影 平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质。解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平行线段之比是仿射不变量。 例1 P 是ABC ?内任一点，连结AP 、BP 、CP 并延长分别交对边于D 、E 、F 。求证： 1=++CF PF BE PE AD PD . [2] C 图1 证明：如图1，分别沿AB 和AC 方向作平行投影。P →P '、P →P ''由仿射变换保简单比不变得， DC DP BD D P AD PD '''==，所以BC P P AD PD ' ''= ， 同理 BC C P BE PE ''=，BC BP CF PF ' = ， 所以 1''''''=++=++BC BP BC C P BC P P CF PF BE PE AD PD . 例2 一直线截三角形的边或其延长线,所得的顶点到分点和分点到顶点的有向线段的比的乘积等于﹣1，其逆也真。（梅涅劳斯定理 ）[3] 分析：如图2，本题要求证明当L 、M 、N 三点共线时，1-=??NB AN MA CM LC BL 。其逆命题亦成立 。 N B A L'(L) A'C B A M M N A' L C 图2 （1）证明梅涅劳斯定理成立 由于要证明的三条线段分别处在三条直线上，不便于问题的证明，为此应用平行投影将其集中到一条直线上，自然采用原三角形的一边最简便。
如图2(a)，以MN 为投影方向，将A 、N 、M 点平行投影到直线BC 上的A '、L 、L '点，则 1''-=??=??LB L A LA CL LC BL NB AN MA CM LC BL .即原命题成立。 （2）证明逆命题成立 证明当BC 、CA 、AB 上三点L 、M 、N 满足1-=??NB AN MA CM LC BL 时，则L 、M 、N 三点共线。 设直线MN 交BC 于L '，如图2(b) ,由已知条件知，1''-=??NB AN MA CM C L BL ， 所以L '与L 重合，故L 、M 、N 三点共线。 三角形仿射等价性 因为任一三角形可以经过平行投影变成正三角形。因此，如果我们要证明一个有关三角形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明命题对正三角形成立，便可断言命题对任意三角形也成立。而正三角形是最特殊的三角形，它有很多特殊的性质可以利用，证明起来要容易得多。 例3 在ABC ?的中线AD 上任取一点P ，连接BP 、CP ，并延长BP 交AC 于E ，延长CP 交AB 于F ，求证：EF ∥BC . [4] D 'C ' D B B' 图3 证明：如图3，作仿射变换T ，使得ABC ?对应正C B A '''?，由仿射性质可知，点D 、P 、 E 、 F 相应地对应D '、P '、E '、F '，且D A ''为正C B A '''?的中线。 在正C B A '''?中D A ''也是C B ''边上的高，且B '、P '、E '与C '、P '、F '关于D A ''对称，E '、F '到C B ''的距离相等，则F E ''∥C B ''， 由于平行性是仿射不变性，因此，在ABC ?中EF ∥BC . 例4 证明G 为ABC ?重心的充要条件是：BGC AGC AGB S S S ???==.[4]
浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用(精选.)
浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用 文[1]介绍了在解决椭圆的某些综合问题时，可以利用仿射变换的办法，把椭圆变换为圆来进行研究，会使得问题的解决过程变得简化.笔者也结合自身的教学与解题实践，通过几道例题，浅谈一下仿射变换在解决椭圆综合问题中的一些用法. 例1 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，O 为坐标原点，A 为椭圆右顶点，若椭圆上存在点P (异于点A )，使得PO PA ⊥，则椭圆离心率的取值范围为________. 分析 此题中的点P 满足PO PA ⊥，即点P 在以AO 为直径的圆上，也即椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与以AO 为直径的圆有不同于点A 的公共点.利用仿射变换将椭圆变换为圆，点P 变换为点'P ，则点P 与点'P 的纵坐标之比即为椭圆短半轴与长半轴之比. 解 作仿射变换，令','a x x y y b ==，可得仿射坐标系'''x O y ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222''x y a +=，原坐标系中以AO 为直径的 圆的方程为220x ax y -+=，则0'b y a y ?=== ??，不难 求得椭圆离心率,12e ??∈ ? ??? . 说明 此题解法较多，用别的方法也不难求得本题的结果,但由上述过程我们看到，仿射变换也为我们提供了一种方便简洁的求解思路.
例2 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，12F F 、分别为椭圆左右焦点，过12F F 、作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于M N P Q 、、、四点，若当两条弦垂直于x 轴时，点M N P Q 、、、所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为________. 分析 利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时M N P Q 、、、四点分别变换为''''M N P Q 、、、四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆时，''''M N P Q 、、、四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与x 轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点12F F 、，当1OF 为多少时，能使得过12F F 、的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻， 与圆的四个交点所形成的面积最大. 解 作仿射变换，令','a x x y y b ==，可得仿射坐标系'''x O y ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222''x y a +=，点12F F 、坐标分别为 (,0)(,0)c c -、，过12F F 、作两条平行的弦分别与圆交于''''M N P Q 、、、四点.由平行四边形性质易知，三角形'''O P Q 的面积为''''M N P Q 、、、四点所形成的平行四边形面积的14 ，故只需令三角形'''O P Q 面积的最大值在弦''P Q 与x 轴垂直时取到即可.由文[2]中的结论，易得当 0,2c ??∈ ? ?? 时，三角形'''O P Q 面积的最大值在弦''P Q 与x 轴垂直时取到.故此题离心率的取值范围为02? ??，. 说明 此题的一般解法也较多，但按照常规解法则较为繁琐.而上述解法利用仿射变换把椭圆变换为圆后，由于圆中三角形面积的计算
浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用教学文案
浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用 文［1］介绍了在解决椭圆的某些综合问题时，可以利用仿射变换 的办法，把椭圆变换为圆来进行研究，会使得问题的解决过程变得简 化?笔者也结合自身的教学与解题实践，通过几道例题，浅谈一下仿 射变换在解决椭圆综合问题中的一些用法. 点，若椭圆上存在点P （异于点A ）,使得PO PA ，贝S 椭圆离心率的取 值范围为 ________ . 分析 此题中的点P 满足PO PA ，即点P 在以AO 为直径的圆上， 2 2 也即椭圆笃占1（a b 0）与以AO 为直径的圆有不同于点 A 的公共 a b 点.利用仿射变换将椭圆变换为圆，点P 变换为点P',则点P 与点P'的 纵坐标之比即为椭圆短半轴与长半轴之比. 解 作仿射变换，令x' x,y' a y ，可得仿射坐标系x'O'y'，在此 b 坐标系中，上述椭圆变换为圆x'2 y'2 a 2，原坐标系中以AO 为直径的 圆的方程为x 2 ax y 2 0，则b 上.? x ： . x o,-2，不难 a y' V a 2 x'2 \ a x' 2 求得椭圆离心率e —,1 . 2 说明 此题解法较多，用别的方法也不难求得本题的结果 ，但由上 述过程我们看到，仿射变换也为我们提供了一种方便简洁的求解思 路? 2 2 例2已知椭圆笃爲i (a b 0),印F 2分别为椭圆左右焦点， a b 过F i F 2作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于 M 、N 、P 、Q 四点，若 当两2 例1已知椭圆笃 a b 2 1(a b 0），O 为坐标原点, A 为椭圆右顶
条弦垂直于x轴时，点M、N、P、Q所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为 ________________ . 分析利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时M、N、P、Q四点分别变换为M'、N'、P'、Q'四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆时，M '、N'、P'、Q' 四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与x轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点F i F2，当OF! 为多少时，能使得过邱F2的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻，与圆的四个交点所形成的面积最大. 解作仿射变换，令x' x,y'旦y，可得仿射坐标系x'0'y'，在此 b 坐标系中，上述椭圆变换为圆x'2 y'2 a2，点F r F2坐标分别为(c,0)、(c,0)，过F「F2作两条平行的弦分别与圆交于M '、N '、P'、Q'四点?由平行四边形性质易知，三角形O'P'Q'的面积为M '、N'、P'、Q'四点所形成的平行四边形面积的1,故只需令三角形O'P'Q'面积的最大 4 值在弦P'Q'与x轴垂直时取到即可.由文［2］中的结论，易得当 c 0,-^a 时，三角形O'P'Q'面积的最大值在弦P'Q'与x轴垂直时取 2 到.故此题离心率的取值范围为0,丄. 2 说明此题的一般解法也较多，但按照常规解法则较为繁琐.而上述解法利用仿射变换把椭圆变换为圆后，由于圆中三角形面积的计算
椭圆中的伸缩变换
利用仿射变化解决椭圆问题 椭圆 )0(,12 22 2>>=+ b a b y a x 经变换?? ? ??==Y a b y X x 后变成圆2 2 2 a Y X =+，在此变换下有 以下一些性质： ○ 1点变换后，横坐标不变，纵坐标变为原来的b a 倍 ○ 2直线变换后仍然是直线，且斜率为原来的b a 倍 ○ 3平行线经变换后仍平行 ○4区域D 变换后成为D '，则面积D D S b a S '= ○ 5两平行线段的比是不变量 ○6线段PQ 经变换后变为Q P ''，则：α α2 2 22 sin cos ||||b a PQ Q P + ='' 1.求证：直线0:=++C By Ax l 与椭圆)0(,12 22 2>>=+ b a b y a x 相切的充要条件是： 222)()(C bB aA =+ 证明：作仿射变换：? ? ? ??==Y a b y X x 椭圆变为圆：222a Y X =+ 直线l 变为0:=++ 'C Y a bB AX l 直线l '与圆相切的充要条件是 圆心到直线l '的距离 a a B b A C d =+=2 222 | | 整理得：2 2 2 )()(C bB aA =+ ∴原命题得证。
2直线)(m x k y -=与椭圆： 12 22 2=+ b y a x 交于N M ,两点，试求||MN 解：过右焦点作MN 的平行线 易知：θcos 2 c a b M F += '， θ c o s 2 c a b N F -= ' θ ρ2 2 2 2 c o s 2c a ab N M -= ''= 作仿射变换?? ? ??==a bY y X x ， 椭圆变为圆：2 2 2a Y X =+ 直线MN l 变为：0=--akm bY akX 直线N M l ''变为：0=--akc bY akX 圆心到两直线的距离分别为 2 2 1)(||b ak akm d += ，2 2 2)(||b ak akc d += x y M F N A M ' N ' 弦长分别为：2 2 2 2 2 2 2 1)(2b k a b k m a a L ++-= 2 2 2 2)(1 2b ak k ab L ++= ， 长度之比是仿射不变量 ()ρ?++-= ∴2 2 2 2 22 2 b k b b k m a MN ()( ) 2 222 2 22222 2 122b k a k ab b k b b k m a ++?++-=
利用仿射变换解决与椭圆有关的高考试题
利用仿射变换解决与椭圆有关的高考试题文⑴谈及利用仿射变换可以解决一些初等几何的问题，可以使问题变得更加简洁、透彻，对笔者启发很大，笔者通过自己的教学实践感觉到利用仿射变换，可以将椭圆的有关问题转化为圆的问题，从而可以借助圆当中的一些性质解决问题，使问题的解决过程大大简化，在利用仿射变换解决相关问题时，主要利用以下几个性质：性质1变换后共线三点单比不变（即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样）； 性质2变换后保持同素性和接合性（即变换前直线与曲线若相 切，变换后仍相切）； 性质3变换前后对应图形的面积比不 变； 现以一些高考试题为例加以说明。 例1（2008年全国卷Ⅱ第22题）设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点 ⑴若6 ，求k的值； ⑵求四边形AEBF面积的最大值。 分析：此例按照常规解法较为繁杂，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆，点A、B、D、E、F分别变换为点A’、B’、D’、E’、F’，线段E’F’恰为圆的直径，根据性质1，D’分线段E’F’的比与D分线段EF 的比相同，利用圆当中的相交弦定理 ．．．．．求得D’点的坐标，再反求出D
点坐标，从而很容易求出k 值；利用性质3，可以求得四边形AEBF 与四边形A ’E ’B ’F ’的面积关系，由于四边形A ’E ’B ’F ’面积的最大值较易求出，这样也就很容易求得四边形AEBF 面积的最大值。 解：依题设得椭圆的方程为1y 4 x 22 =+ 作仿射变换，令x ’=2 x ，y ’=y ，则得仿射坐标系x ’O ’y ’，在此坐标系 中，上述椭圆变换为圆x ’2+y ’2=1，点A 、B 、D 、E 、F 分别变换为点A ’、B ’、D ’、E ’、F ’，且E ’F ’为圆的直径，E ’F ’=2，A ’(1,0)，B ’(0,1) ⑴根据性质1 ∵DF 6ED = ∴''''F D 6D E = ∴E ’D ’=7 12 D ’F ’=7 2 ∵E ’D ’·D ’F ’=A ’D ’ ·D ’B ’ A ’D ’+D ’B ’=A ’B ’= 2 ∴A ’D ’=7 2 4 D ’B ’= 7 23或A ’D ’= 7 23 D ’B ’=7 24 ∴''''B D 3 4D A =或''''D 4 3A = 由定比分点公式可得：D ’(7 374,)或D ’(7 473,) ∴D 点坐标为(7 378,)或(7 476,) ∴k=83或k=3 2 ⑵设四边形AEBF 的面积为S ，四边形A ’E ’B ’F ’的面积为S ’，E ’F ’与A ’B ’的夹角为θ，则S ’=θ??sin ''''B A F E 2 1= θsin 2≤2（当θ =2 π时取“=”号， 此时F ’ ( 2 222,)） 由于椭圆的面积为πab=2π，圆的面积为πr 2=π 根据性质3有π =π' S 2S ，故S=2S ’ ∴S ≤2 2 当且仅当F 坐标为(2 2222 ,)，即k=2 1时取“=”号 说明：由上述证明过程可知，当D ’为A ’B ’中点是时四边形A ’E ’B ’F ’的面积取到最大值，根据性质1，当D 为AB 中点时四边形AEBF 的面
椭圆经典结论
极速秒杀法-------椭圆经典结论 [结论1]：椭圆焦点三角形周长：122PFF =2a 2,=4a c MNF +周长周长； [例题]：（1）椭圆22 131 x y +=，点A,B 经过椭圆左焦点，2ABF ?的周长。 解：2AB F 周长 （2）过椭圆 221259 x y +=左焦点作直线与椭圆交于AB ，若22AF +BF =12AB ，求的值。 解：2AB =4a=12+AB AB =8F ∴周长。 [结论2]：焦点三角形离心率：1212 22F F c e a PF PF = =+；1221cos 2=PFF =PF F cos 2 e αβ αβαβ+=∠∠-（，）； [例题]：（1）过椭圆22 221x y a b +=左焦点作x 轴的垂线与椭圆交于P ，若1260F PF ∠=，求离心率。 解：121222F F c e a PF PF = === + 。 （2）过椭圆 22 112m x y +=右焦点2F 作x 轴的垂线与椭圆交于A,B ，若1ABF ?为正三角形，求椭圆方程。 解：3090 cos cos 22===830903cos cos 22 e m αβ αβ++= =- - 。 （3）已知正方形ABCD ，求以A ，B 为焦点且过C ，D 的椭圆的离心率。 解：1212212F F c e a PF PF = ===+ 。 （4）在三角形ABC 中，AB=BC ，7 cos 18 B =- ，求以A,B 为焦点，且过C 的椭圆的离心率。 解：2122 1225523 59328 3 F F t t c t AC AC e t a PF PF t =∴=∴====++ 。 （5）设22 2221 F x y a b +=以的右焦点为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M ，若1F M 与圆相切，求e. 解：1212212F F c e a PF PF = ===+。
伸缩变换观点下的椭圆
利用伸缩变换 解决圆锥曲线中的 线性问题 作者：赵呈海 天津市第一〇二中学 指导教师：马萍天津市第一〇二中学 严虹天津市第一〇二中学 纪洪伟天津市第一〇二中学 张倩天津市第一〇二中学
利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题 赵呈海天津市第一〇二中学 摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。 关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。 我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。这就是解析几何（坐标几何）。 解析几何，高考永恒的重点、难点。圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。
“数、形翻译”的能力是解析几何的核心素养。这是因为，归根结底，解析几何还是在研究几何问题。在利用坐标方法解决几何问题时，我们一般要把几何关系“翻译”成代数的语言。这种“翻译”能力的建立，要求学生对坐标系有深刻的理解，灵活运用代数与几何间的各种“桥梁”将二者建立联系、相互表达。在高中范围内，学生可以通过练习不断培养这种能力，逐渐丰富“翻译”的经验。 坐标方法固然优点重重，但是在使用“代数化”思路解决问题的程序中无法避免地会伴随计算的问题。计算往往是圆锥曲线这一难点的切实所在。其实，如果单纯只是运算的“量大”还是可以通过高强度的训练得到有效改善。但对于一些题目，即便是计算能力非常出色的学生也需要消耗大量的时间，甚至反复多次才能得解。这是由于“算理不明”所致，如果学生选择的计算策略不合理，就会走入死胡同，将运算变成了硬解，即便耗费大量努力，最终还是无法得解。可令人烦恼的，许多二次曲线中的计算涉及“算理”问题，然而，对于明晰“算理”的培养，绝不是一朝一夕所能够完成的小工程，那需要绝对大量的经验积累和一定程度的数学天赋。显然，仅凭高中教学来解决这个问题是不现实的。 为应对高考圆锥曲线计算难的问题，笔者试图在解析几何的相关领域寻找一种较为普适的方法，从而系统地解决一类问题。于是发现，利用平面伸缩变换是不错的处理方法。
18. 【圆锥曲线篇】秒杀技巧仿射变换
大招六 仿射变换 仿射变换，通俗来讲，就是将一个空间内的图形按照一定法则变换，就会在另一个空间内得到与之对应的新图形。在高考数学解析几何题目中，我们可以利用仿射变换将一部分有关椭圆的问题转化为圆的问题，这样就可以借助圆中的特有的一些性质解决问题，从而使问题的解决过程大大简化。 椭圆22 2210x y a b a b +=>>（），经过仿射变换''ax x by y =??=?，则椭圆变为了圆22(')(y')1x += 有如下对应关系： （1） 点00(,)P x y 变为00'(,)x y P a b （2） 直线斜率k 变为'a k k b = （3） 图形面积S 变为1'S S ab = （4） 点、线、面位置不变（中点依然是中点、相切依然是相切） 注：仿射变换高考中如果使用，有可能扣分，勇哥建议大家可以利用仿射变换快速得出答案，过程还是采用正常方法。 例1、 设、分别是椭圆的左、右焦点. (1)若P 是该椭圆上的一个动点,求的取值范围; (2)设,是它的两个顶点,直线与AB 相交于点D,与椭圆相交于E 、F 两点.求四边形AEBF 面积的最大值. 例2、已知圆,定点,A 是圆上的一动点,线段的垂直平分线交半径于P 点. (Ⅰ)求P 点的轨迹C 的方程; (Ⅱ)四边形EFGH 的四个顶点都在曲线C 上,且对角线EG,FH 过原点O,若,求证:四边形EFGH 的面积为定值,并求出此定值. 例3、已知A,B 分别为椭圆的左、右顶点,P 为椭圆C 上
异于A,B 两点的任意一点,直线PA,PB 的斜率分别记为, (1)求; (2)过坐标原点O 作与直线PA,PB 平行的两条射线分别交椭圆C 于点M,N,问:的面积是否为定值?请说明理由. 例4、平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为，左、 右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设椭圆22 22:144x y E a b +=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q. （ⅰ）求|| ||OQ OP 的值；（ⅱ）求ABQ ?面积最大值.
圆锥曲线——仿射变换
仿射变换 一、将坐标进行伸缩变换，实现化椭为圆 仿射变换定理一：若经过椭圆的对称中心的直线构成的直径三角形，则两条弦的斜率乘积22 a b k k BC AC -=?. 仿射变换定理二：b a S S ='（拉伸短轴）；a b S S =''（压缩长轴）. 拉伸短轴后点的坐标变化：), (),(00' 00y b a x A y x A →，横坐标不变，纵坐标拉伸b a 倍. 斜率的变化：如图纵坐标拉伸了b a 倍，故k b a k =' ，由于1''''-=?C B C A k k . 22''''a b k a b k a b k k C B C A BC AC -=?=?，'''C B A ABC S a b S ??=（水平宽不变，铅垂高缩小）. 压缩长轴后点的坐标变化：),( ),(00' 00y x a b A y x A →，纵坐标不变，横坐标缩小a b 倍. 斜率的变化：如图横坐标缩小了a b 倍，故k b a k =' ，由于1''''-=?C B C A k k . 22''''a b k a b k a b k k C B C A BC AC -=?=?，'''C B A ABC S b a S ??=（水平宽扩大，铅垂高不变）. 例1（2013·新课标）椭圆13 4:2 2=+y x C 的左、右顶点分别为21A A 、，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]1,2--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A. ??????43,21； B. ??????43,83； C. ??????1,21； D. ?? ? ???1,43. 例2（2016·北京）已知椭圆1:22 22=+b y a x C 过点)1,0(),0,2(B A 两点. （1）求椭圆C 的方程及离心率；
仿射变换
第2章 仿射变换 2．1 平行射影 知识点解析 平行射影：对应点之间的连线互相平行． 平行射影与方向有关，方向变了，就得出了另外的透视仿射． 仿射对应：有限次平行射影的复合就是一个仿射对应． 仿射变换：平面π到自身的仿射对应，称为仿射变换． 平行射影把点映成点，把直线映成直线，这叫做平行射影的保持同素性． 点与线的结合性质在平行射影下保持不变． 仿射对应也保持同素性与结合性．即，仿射对应把点映成点，把直线映成直线．若A 在 a 上，则A '在a '上． 注意：仿射对应不一定是平行射影，即，原象点与象点之间的连线不一定平行，反过来，平行射影一定是仿射对应． 解题指导 练习２－１ １． 试举例说明在一般仿射对应下，二直线上的对应点的连线不一定是平行的． 解 设1T 为1a 到2a 的平行射影，2T 为2a 到3a 的 平行射影，取3a 为1A 到2A 的延长线，取2A 与3A 重合，显 然，在1a 到3a 的仿射对应3112:a a T T →下，直线1a 和3a 上 的对应点的连线31A A 和31B B 不平行． ２．在仿射对应下，若对应点之间连线相互平行，试问仿射对应是不是平行射影？ 解 由平行射影定义，对应点之间的连线平行于已知直线l ，即与方向l 平行，又因为对应点之间的连线平行，所以，对应点之间的连线都平行于方向l ，因此，是平行射影． ３．在仿射对应下，圆的象是什么？ 解 椭圆． ２．２ 仿射不变性与不变量 1 A 2A 3A 1a 2 a 3 a 1 B 2 B 3 B 题图 第1
经过平行射影不改变的性质和数，叫做仿射不变性质和仿射不变量． 经过仿射对应，它们也是不变的． 同素性和结合性都是仿射不变性质． 仿射对应把共点的线变成共点的线． 仿射对应把共线的点变成共线的点． 定理２．１ 二直线间的平行性是仿射不变性质．即，两条平行直线经过仿射对应后仍然是平行直线． 推论２．２ 平行四边形在仿射对应下还是平行四边形．即，平行四边形经过仿射对应后仍然是平行四边形． 定义２．１ 简比（单比）． BC AC ABC = ）（ 有向线段的数量之比． （１） 当C 在A ，B 之间时，0)(