“平面向量”教材分析与教学建议

平面向量”教材分析与教学建议

一、内容与要求

（一）本章内容

向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。

向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量（向量的坐标）的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。

本章共分两大节。第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等。

第二大节是“解斜三角形” 。这一大节可以看成是向量知识的应用，内容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形应用举例和实习作业等。

正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理，教科书通过向量的数量积把三角形的边与角联系起来，推导出了这两个定理，并运用这两个定理初步解决了测量、工业、几何等方面的实际问题，特别在这一大节中，还安排了一个实习作业，从而使学生进一步了解数学在实际中的应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生由实际问题抽象出数学问题并加以解决的能力。

为扩大学生的知识面，本章中还安排了两个阅读材料，即“向量的三种类型”和“人们早期怎样测量地球的半径”。

本章重点是向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算，平面向量的数量积，线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，解斜三角形等。本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用等。

（二）本章教学要求

1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2.掌握向量的加法与减法。

3.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6.掌握线段的定比分点公式和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。

7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决斜三角形的计算问题，通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

二、新教材的特点在本章的体现

（一）注意知识的系统性与学生的可接受性相结合

我们知道，数学是一门系统性很强的学科，知识的编排要符合逻辑顺序的要求，即后面的概念要用前面的概念来定义，后面的命题要用前面的命题来证明。不允许有循环定义，也不能有循环证明，只有这样的逻辑严格性才能保证结论的正确性和确定性。

1．以学生已有的物理知识和几何内容为背景，直观介绍向量的内容。例如，在引言中用小船的位移引入向量的概念，使学生明确向量既有大小，又有方向，又如，一开始就介绍向量的几何表示

有向线段，并将几何表示贯穿向量运算的始终。再如，利用物理中功的

概念引入数量积。向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量

的数量积能有效地解决线段垂直的问题。把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题。

2 ?注意向量运算与数的运算的对比。学习向量运算与学习数的运算有类似之处：从学习顺序上看，都是先定义运算，再研究运算性质；从学习内容来看，向量运算具有与数的运算类似的良好性质。教科书既注意了向量运算与数的运算的联系，例如向量的减法类似于数

i I I I

的减法（定义向量a与向量b的差为向量a与向量b的相反向量的和），又指出向量运算与数的运算的区别，例如向量的数量积不满足结合律。通过对比，力图使学生便于理解新知识，又不至于与旧知识混淆。

3 ?教科书通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式----坐标表示式，这样就

使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，然后给出了向量的加法、减法及实数与向量

的积的坐标运算，这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，突出了数形结合的

思想。教科书在向量坐标运算的基础上，还导出了线段的定比分点坐标公式和线段的中点公

式。

4.对向量的应用要求适当。本书中除在正文中利用向量推导定比分点公式、平移公式，证明正弦定理、余弦定理以外，不要求学生独立地用向量证明平面几何题。

5.将解斜三角形的内容安排在平面向量一章中向量及其运算的后面，是因为本册书中，为使学生了解向量的一些应用，正、余弦定理是用向量证明的。这样安排比较紧凑。

6?将平面向量安排在高一第二学期末，便于向量的内容在高二年级教科书有关章节中加以运用。如：平面向量的概念与运算很容易推广到三维空间，乃至n维空间。新大纲安排

了利用空间向量作为工具处理传统的立体几何的改革方案。学好平面向量是这项改革的必备

条件。

（二）注意符合学生的认识规律

我们知道，学生的学习，是在教师指导下的一种特殊的认识过程，这一认识过程也必须

遵循从感性认识到理性认识又从理性认识回到实践的过程，这个过程反映在教学中，那就是

要从实际事例的分析中，或者对已有知识的分析、推理中，抽象出概念、推导出原理和方法，

而后举例说明这些概念、原理和方法的应用。

基于这一思想，教科书内容的编排，特别注意知识的发生过程，对概念、法则、公式、定理等的处理，不是首先呈现数学活动的结果，而是先举出学生熟悉的实物、事例、知识，或由学生动手操作，并通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括，得出结论。

对这一章中概念的处理，教科书是根据概念在教科书中的地位、作用及特点，对不同的

概念采用不同的处理方式。一些概念是通过例举反映概念实质的具体的对象，并充分发挥几

何图形的直观的特点，使学生在感性认识的基础上建立概念，并理解概念的实质，像向量的

概念等；一些概念则不仅给出严格的定义，还要分析满足定义的充要条件，要求学生理解、记忆，并通过适当的练习，让学生会用，像向量数量积的概念等。

关于向量运算，不像高等数学教材那样，从向量公理的角度引入，而是借助于几何直观，并通过与数的对比引入，这样便于学生接受。例如，关于向量的减法，是在相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法

这一章中的一些例题，教科书不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法。解题后，有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进—步考虑相关的问题。

（三）注意培养学生的思维能力

这一章教科书特别注意对学生思维能力的培养，对知识的处理，都尽量设计成让学生自

己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力，例

如，平面向量基本定理的引入，先让学生思考教科书图5-15中的向量a与向理e i、

e2之间的关系，联想到实数与向量的积这一概念，再通过作图得出a “e 2e＞最后给出了平面向量基本定理。对于解斜三角形，教科书是这样引入的：“在初中，我们已会解直角三角形，就是说，已会根据直角三角形中的边与角求出未知的边与角。那么，如何来解斜三角形呢也就是如何根据斜三角形中已知的边与角求出未知的边与角呢”通过设问，引起学生思考。

（四）注意数学思想方法的渗透

在这一章中，从引言开始，就注意结合具体内容渗透数学思想方法。例如，从帆船在大

海中航行时的位移，渗透数学建模的思想。通过介绍相等向量及有关作图的训练，渗透平移变换的思想。

由于向量具有两个明显特点一一“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形

结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题，因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想。

（五）加强了相关学科的联系

新高中数学课程为了有利于精简教学内容，提高教学效益，有利于加强数学各部分内容的相互联系与知识的综合运用，将代数、几何等内容综合编排。向量的引入，使高中数学各部分内容的联系加强了。平面向量一章中，为体现这一特点，一方面，利用相关学科的材料引出有关的数学概念和规律；另一方面，引导学生把数学知识应用到相关学科中。

（六）突出知识的应用

（1）加强向量在数学知识中的应用

平面向量由于具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，在高中数学教学内容中有广泛的应用。这一章教科书注意突出向量的工具性，很多公式都用向量来推导，如线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等。

（2）注意联系实际

我们在这一章中，把联系实际分成三个层次：

第一层次，在知识的引入上联系实际。例如，向量的概念从帆船航行的位移引入，平面向量的数量积从力作的功引入。

第二层次，引导学生用数学知识解决实际生活和生产中的问题。例如，在向量的加法之后，安排了求小船实际航行的速度的例题。在解斜三角形之后，专门安排了“解斜三角形应用举例”一节等。

第三层次，安排实习作业。安排实习作业的目的是进一步巩固学生所学知识，提高学生

分析问题解决问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，从而增强学生用数学的意识。

三、教学中应注意的问题

（一）要重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养

由于这一章是为以后学习解析几何和立体几何作准备的，所以教学时，一定要让学生学

好这一章的知识。而对于基本技能和能力，要遵循学生的认识规律，结合教学内容，选择合适的教学方法，有目的、有计划、分阶段地进行训练和培养。要随着学生对基础知识的理解的不断加深，逐步提高对基本技能和能力的要求，培养学生独立获取新知识和正确运用数学

语言进行数学交流的能力。

（二）要把握好教学要求

由于这一章是新内容，因此教学时，一定要把握好教学要求，按大纲的规定，我们把这一章知识点归类如下：