高一必修五教材分析与教学建议

必修五教材分析

第一章解三角形教材分析

本章中，学生应该在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系（即正余弦定理），并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

地位与作用：本章知识是初中解直角三角形的继续，通过本章内容的学习，学生就能够系统地掌握解三角形的完整知识。可以从数量的角度认识三角形，使三角成为研究几何问题的重要工具。是中学许多数学知识的交汇点（向量，平面几何，三角，解析几何，立体几何）。通过用解三角形的方法解决有关的实际问题，可以培养学生的数学应用意识，使学生逐渐形成用数学的思维方式去解决问题、认识世界的意识。

《标准》与《大纲》要求的对比与说明：

（课标在边角恒等变换的“变”上有所弱化，更加重视在“解”上做文章，更加注重几何度量。大纲注重结果的运用，课标更加重视定理的探索过程，重视对学生数学理性思维的培养，教学中不要直接给出定理进行证明，让学生从中体会发现和探索数学知识的思想方法。）

近几年北京高考题（解三角形部分）分析：

课时安排建议：

1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）

1.2应用举例（约4课时）

1.3习题与小结（约1课时）

教学重难点：

教学重点：

1．正弦定理与余弦定理的探究与发现；

2．依据所学数学知识设计测量方法，应用正弦定理和余弦定理进行几何测量。

教学难点：

1．已知“两条边及一边对角”确定三角形的情况；

2．解三角形在实际问题中的应用；将实际问题转化为数学问题也是学生面临的一个难题。

教学建议：

1．重视对学生问题意识和探究意识的培养和探究方法的训练。

教学中，启发学生不断提出问题，研究问题。教材最突出的特点是对学生问题意识、探究意识以及探究能力的培养与探究方法的训练。对正、余弦定理的学习要重结论但更重过程与方法，应侧重于结论的探究与形成的过程，和探究思想与方法的运用。根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。

2．重视对学生应用意识与应用能力的训练。

已知“两条边及一边对角”确定三角形的情况；

※2013年 (理)15．在ABC △中，3a =

，b =2B A ∠=∠． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求c 的值．

3．用好教材、打好基础。

近几年的高考已经把重点转移到对基础和基本技能的考查上。所以要用好教材、打好基础犹为重要。关于例习题的选配与训练的层次:(1)正弦、余弦定理的理解与巩固性练习；(2)依据问题的已知条件特征，对正弦定理和余弦定理的识别与选择性使用练习；(3)三角形内的简单三角变换问题，如三角形内恒等式的证明、三角形形状的判断等。要适当控制练习题目的难度，重视揭示三角形本身所蕴涵的边角关系，引导学生掌握定理的结构。体会正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，强化方程思想与数形结合的思想，淡化三角变换，避免单纯的恒等变形和过分的技巧性训练。

4．要重视数学思想方法。

引入正弦定理与余弦定理时，要注意突出量化思想；推证正弦定理与余弦定理时，要突出由特殊到一般的归纳思想；运用正弦定理、余弦定理解三角形时， 突出函数与方程的思想，将正弦定理、余弦定理视作方程或方程组，处理量与量之间的关系。

5．初、高中解三角形问题对比和衔接。

初中学过哪些？中考什么要求，学生掌握到什么程度？

6．重视数学文化。2017北京卷考试说明发布（2017年1月10日）凸显数学文化考查，引领素养导向。

在考试内容及要求部分，删去“几何证明选讲”的内容。这部分内容考查的

2

()cos sin 12,cos 2cos 1.3sin 3

sin sin()sin cos cos sin sin 5.sin A A B A B A B ABC C A B A B A B a C

c A

===∠=∠=-===?=+=+==

=解：由Ⅰ知所以又因为所以在中,所以

是初中平面几何的知识，而高考中几何的主要知识内容在立体几何和解析几何中均有体现，不需要再单独列为专题考查，删除以减少重复考查，强化学科体系的导向。考试内容删去“几何证明选讲”模块并不意味着要削弱对推理论证能力的考查。在“参考样题”部分替换三个样题，理科一个，文科两个；文理科共八个样题的“说明”部分作了修改，首次明确提出对数学文化、学科核心素养的考查，与时俱进，体现时代要求，在保持稳定的前提下做好继承，在体现前瞻性中实践创新。

7．数学建模思想。

教育部《普通高中数学课程标准》修订组组长首师大王尚志教授提到中学数学六大核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。1962年的大纲提出了运算、空间想象、逻辑推理三大能力；本世纪初的高中数学的课改大纲发展为抽象概括、逻辑推理、空间想象、运算求解、数据处理五大能力。而数学建模目前仍然是短板。短板应当补齐。数学建模强调应用。

第二章数列教材分析

数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。在本模块中，学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。

地位与作用：数列是一种特殊的函数，它与函数等知识有着密切的联系，又是函数知识的延续与完备。数列是学生后续学习高等数学的基础，数列有着广泛的应用，是反映自然规律的一种模型。本章内容突出对学生数学思维能力的培养，通过归纳、类比、递推等方法的应用突出合情推理能力的培养；通过通项公式、递推公式、前n项和公式等内容培养学生的演绎能力。数列与其它板块知识有着广泛联系，有很强的综合性，是高中数学培养学生综合能力的好素材。《标准》与《大纲》要求的对比与说明：

课标对递推关系有所弱化，在授课时不要在递推关系上花费太多的时间。更加注重数列与函数的关系，在教学中要始终灌输函数思想（函数是源，数列是流）。

近几年北京高考题（数列）分析：

课时安排建议：

2.1数列的概念（约2课时）

2.2等差数列（约2课时）

2.3等差数列的前n项和（约2课时）

2.4等比数列（约2课时）

2.5等比数列的前n项和（约2课时）

小结（约2课时）

教学重难点：

重点：数列的概念，等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。

难点：符号化表示的理解；等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的推导及它们的综合应用。

教学建议：

1．把握好本章的教学要求。

例如在学习数列的递推公式时。可根据学生情况作如下层次的处理：

（1）简单了解。因为课程标准未作要求。（2）根据递推公式写出数列的前几项，猜想它的一个通项公式（会用数学归纳法证明）。（3）由递推公式求通项公式。

2．加强本章内容与函数的联系。

（1）数列概念与函数概念的联系；

（2）等差数列与多项式函数

等差数列前n项和求最值的方法：

法一：通项入手（2014北京理） 12．若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，

7100a a +<，则当n =_______时，{}n a 的前n 项和最大．

法二：前n 项和公式入手45页例4：已知等差数列2454377

，

，的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值．

总结归纳，让学生心中有数，如：何时有最大值，何时有最小值，有1个还是2个值，可结合函数图象理解。

练1．在等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 9，则S n 取最大值时，n ＝________.

练2．数列{a n }是等差数列，若a 11

a 10＜－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得

最小正值时，n ＝______.

（3）等比数列与指数型函数的联系。

3．注意等差数列与等比数列的对比，突出两类数列的基本特征。

等差、等比数列性质不必总结过多，只需让学生通过练习体会即可。熟练掌握通解通法。

（1）熟记公式，知三求二，方程的思想。

（2）数列{}n a ，通项n a 和n S 之间的关系：111

2n n

n a n a S S n -=?=?-≥?，，．

容易忽视n=1的情况，常数项不是零二次式的是从第二项开始的等差数列。 （3）定义证明等差数列、等比数列．（通项、求和、中项） （4）数列求和。都在习题中出现：

从分析数列的通项公式入手，把握n a 的特征是解数列求和题的关键。掌握数列求和的常用方法，明确各种方法的数列特征．其实等差、等比数列求和公式的推导分别为数列求和的重要方法：倒序相加法、错位相减法。等比数列求和公式蕴含分类讨论的思想，教学过程中让学生动手推导有助于加深对等差、等比数列的认识。常用方法：公式法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法。

（5）构造数列

4．注重探究，让学生有参与，有获得感。 ①揭示其思维过程，注意推导的思路与方法； ②倒序相加的本质是避免对项数奇偶性讨论。

5．注意渗透一些重要的数学思想方法。

类比思想（等差和等比）归纳思想（归纳数列的通项公式）方程思想（求首项和公差、比）数形结合（等差数列前n项等）由特殊到一般6．数学文化与实际应用。

远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯．”（选自明朝著名数学家吴敬《九章算法比类大全》）

今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末日织一尺，计织三十日，问共织几何？解法：并初、末织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。解法就是等差数列前n项和第一个公式。

第三章不等式教材分析

通过具体情境感受不等关系，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。

地位与作用：不等量关系和等量关系都是反映客观世界中的量与量之间最基本的数学关系。它与方程一样，都是解决数学问题的重要工具，在数学研究和解决实际问题中起着同样重要的作用。不等式在中学数学中有着广泛的应用，它与数、式、方程、函数、导数等知识有着密切的关系，例如讨论方程或方程组解的情况；研究函数的定义域、值域、单调性、最值；讨论曲线的分布范围等都需要用到不等式的相关知识。因此，不等式在中学数学中有着重要的地位，也是进一步学习数学的基础之一。

《标准》与《大纲》要求的对比与说明：

近几年北京高考题（不等式）分析：

课时安排建议：

3.1不等关系（约2课时）

3.2一元二次不等式及其性质（约3课时）

3.4基本不等式（约3课时）

小结与复习（约3课时）

教学重难点：

教学重点：

1．不等式的性质；

2．解一元二次不等式，突出数形结合的思想；

3．基本不等式证明及其应用。

教学难点：

1．用不等式（组）表示不等关系；

2．“三个二次的关系”；

3．应用基本不等式求最值。

教学建议：

（一）不等关系与不等式

1．引导学生进一步挖掘一些现实生活中的素材，通过分析其中的基本数量关系，让学生学会用不等式表示不等关系。

由于课标对本节内容的定位是用不等式表示和研究客观事物的不等关系，因此，教材特别强调构建实际问题情景，因此，我们要通过现实生活和数学中的大量实例，引导学生了解不等式（组）的实际背景，感受不等关系的普遍性和学习

不等式知识的重要性，初步体会用不等式刻画各种不等关系的方法，在从实际背景抽象出数学模型的过程中（数学建模），使学生体会知识的形成过程。

2．建议在教学中不要对这些性质的证明作过多的纠缠，而应该在说明这些性质的合理性上举例说明。

在不等式的性质的教学时，要注意不等式性质成立的条件，注意区分不等式性质单向（放缩法）与双向性（等价性）（双向性质是解不等式的基础，而证明不等式既可用单向性质也可用双向性质）；例如双向性：

（1）0a b a b >?-> 0a b a b =?-=

0a b a b ?< （3）a b a c b c >?+>+

例1对实数d c b a ,,,，判断下列命题的真假．

（1）若b a >，则2

2b a > （2）若b a >，则b a >

（3）若

0>>d

c

b a ，则b

c a

d > （4）若d c b a >>>>0，则bc ad > 例2已知：a 是三个正数a b c 、、中最大的数，且d

c

b a =，求证：

c b

d a +>+.

例3已知：22πβαπ≤<≤-，求：2

,2β

αβα-+的范围．

（二）一元二次不等式的解法

1．加强不等式与函数与方程的联系，突出数形结合的思想。

在一元二次不等式解集的讨论中，强调函数思想、数形结合思想的应用，而不是简单地告诉学生一个解题程序。在这个过程中，帮助学生认识到“不等”与“相等”之间有着不可分割的内在联系；在总结解法时，既要条理清晰，操作简便，又要关注对“特例”的处理。

2．简单的含参的一元二次不等式解法，简单的二次不等式恒成立问题（结合学生实际情况，分层次，不可一步到位）。

“区间根问题”、“二次函数在区间上的最值问题”以及“二次不等式在区间上恒成立的问题”，由于这些问题会涉及到含参数的问题，因此要注意把握尺度，做到循序渐进。

建议适当补充一些可以转化为二次不等式的不等式求解问题，如简单的分式不等式，简单的高次不等式，重点体会等价转化的思想。

（三）基本不等式

基本不等式出现的比较突然，学生不易接受，因此在引入之后要从多方面进行解释，加强理解。

利用基本不等式求最值是本课的教学核心；关注运用要点：一正，二定，三相等，要注意“等”的重要性和必要性，与对勾函数的联系；重视实际应用题的教学。

基本不等式仅限于二元均值不等式，不必推广到三个以上变量的情形。