数学,半角公式
第4讲 倍角、半角公式
北京四中 苗金利
考纲导读
1． 会用两角和与差的正弦、余弦公式推导倍角、半角公式，了解它们的 内在联系。
2． 解决比较简单的应用问题，体会换元思想、方程思想的运用。 知识要点
复习和差角的三角函数公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+
sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-
cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-
cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+
典型例题分析
例1、求证下列等式成立：
（1）sin 22sin cos ααα=?；
（2）2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-．
（3）22tan tan 21tan ααα
=
-； （4）21cos sin 22
αα-=； （5）21cos cos 22
αα+=； （6）21cos tan 21cos ααα
-=+； （7）sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+；
（8）sin sin )a A b A A ?++， 其中
cos ?=sin ?． 例2、求值：
（2）已知3sin()1225π
θ-=，求cos()6πθ-． （3）已知sin()4
m π
α+=，求sin 2α． 例3、 已知22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，求：
（1）f (x )的最大值以及取得最大值的自变量的集合；
（2）f (x )的单调区间．
例4、当3[,]44
x ππ∈时，求下列函数的值域 （1）cos2sin y x x =+；
（2）sin cos sin cos y x x x x =+-；
（3）3sin 4cos y x x =+．
静电场及其应用精选试卷测试卷(解析版)
静电场及其应用精选试卷测试卷（解析版） 一、第九章静电场及其应用选择题易错题培优（难） 1．如图所示，y轴上固定有两个电荷量相等的带正电的点电荷，且关于坐标原点O对称。某同学利用电场的叠加原理分析在两电荷连线的中垂线（x轴）上必定有两个场强最强的点A、'A，该同学在得到老师的肯定后又在此基础上作了下面的推论，你认为其中正确的是（） A．若两个点电荷的位置不变，但电荷量加倍，则x轴上场强最大的点仍然在A、'A两位置 B．如图(1)，若保持两个点电荷的距离不变、并绕原点O旋转90°后对称的固定在z轴上，则x轴上场强最大的点仍然在A、'A两位置 C．如图(2)，若在yoz平面内固定一个均匀带正电圆环，圆环的圆心在原点O。直径与(1)图两点电荷距离相等，则x轴上场强最大的点仍然在A、'A两位置 D．如图(3)，若在yoz平面内固定一个均匀带正电薄圆板，圆板的圆心在原点O，直径与(1)图两点电荷距离相等，则x轴上场强最大的点仍然在A、'A两位置 【答案】ABC 【解析】 【分析】 【详解】 A．可以将每个点电荷（2q）看作放在同一位置的两个相同的点电荷（q），既然上下两个点电荷（q）的电场在x轴上场强最大的点仍然在A、A＇两位置，两组点电荷叠加起来的合电场在x轴上场强最大的点当然还是在A、A＇两位置，选项A正确； B．由对称性可知，保持两个点电荷的距离不变、并绕原点O旋转90°后对称的固定在z轴上，则x轴上场强最大的点仍然在A、'A两位置，选项B正确； C．由AB可知，在yOz平面内将两点电荷绕O点旋转到任意位置，或者将两点电荷电荷量任意增加同等倍数，在x轴上场强最大的点都在A、A＇两位置，那么把带电圆环等分成一些小段，则关于O点对称的任意两小段的合电场在x轴上场强最大的点仍然还在A、A＇两位置，所有这些小段对称叠加的结果，合电场在x轴上场强最大的点当然还在A、A＇两位置，选项C正确； D．如同C选项，将薄圆板相对O点对称的分割成一些小块，除了最外一圈上关于O点对称的小段间距还是和原来一样外，靠内的对称小块间距都小于原来的值，这些对称小块的合电场在x轴上场强最大的点就不再在A、A＇两位置，则整个圆板的合电场在x轴上场强最大的点当然也就不再在A、A＇两位置，选项D错误。 故选ABC。
数学,半角公式
第4讲 倍角、半角公式 北京四中 苗金利 考纲导读 1． 会用两角和与差的正弦、余弦公式推导倍角、半角公式，了解它们的 内在联系。 2． 解决比较简单的应用问题，体会换元思想、方程思想的运用。 知识要点 复习和差角的三角函数公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 典型例题分析 例1、求证下列等式成立： （1）sin 22sin cos ααα=?； （2）2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-． （3）22tan tan 21tan ααα = -； （4）21cos sin 22 αα-=； （5）21cos cos 22 αα+=； （6）21cos tan 21cos ααα -=+； （7）sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+； （8）sin sin )a A b A A ?++， 其中 cos ?=sin ?． 例2、求值： （2）已知3sin()1225π θ-=，求cos()6πθ-． （3）已知sin()4 m π α+=，求sin 2α． 例3、 已知22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，求： （1）f (x )的最大值以及取得最大值的自变量的集合； （2）f (x )的单调区间． 例4、当3[,]44 x ππ∈时，求下列函数的值域 （1）cos2sin y x x =+； （2）sin cos sin cos y x x x x =+-； （3）3sin 4cos y x x =+．
符号大全 常用符号公式含义
符号大全常用符号公式含义 数学物理里面的公式符号读法： Α α：阿尔法Alpha Β β：贝塔Beta Γ γ：伽玛Gamma Γ δ：德尔塔Delte Δ ε：艾普西龙Epsilon Ε δ ：捷塔Zeta Δ ε：依塔Eta Θ ζ：西塔Theta Ι η：艾欧塔Iota Κ θ：喀帕Kappa ∧ι：拉姆达Lambda Μ κ：缪Mu Ν λ：拗Nu Ξ μ：克西Xi Ο ν：欧麦克轮Omicron ∏ π：派Pi Ρ ξ：柔Rho ∑ ζ：西格玛Sigma Τ η：套Tau Υ υ：宇普西龙Upsilon Φ θ：fai Phi Φ χ：器Chi Χ ψ：普赛Psi Ψ ω：欧米伽Omega 符号大全： （1）数量符号：如:i，2＋i，a，x，自然对数底e，圆周率∏。
（2）运算符号：如加号（+），减号（-），乘号（×或·），除号（÷或／），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（），对数（log，lg，ln），比（∶），微分（d），积分（∫）等。 （3）关系符号：如“=”是等号，“≈”或“ ”是近似符号，“≠”是不等号，“＞”是大于符号，“＜”是小于符号，“ ”表示变量变化的趋势，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“‖”是平行符号，“?”是垂直符号，“∝”是正比例符号，“∈”是属于符号等。 （4）结合符号：如圆括号“（）”方括号“[]”，花括号“{}”括线“—” （5）性质符号：如正号“+”，负号“-”，绝对值符号“‖” （6）省略符号：如三角形（△），正弦（sin），X的函数（f(x)），极限（lim），因为（∵），所以（∴），总和（∑），连乘（∏），从N个元素中每次取出R个元素所有不同的组合数（C ），幂（aM），阶乘（！）等。 符号意义 ∞ 无穷大 PI 圆周率 |x| 函数的绝对值 ∪集合并 ∩ 集合交 ≥ 大于等于 ≤ 小于等于 ≡ 恒等于或同余 ln(x) 以e为底的对数 lg(x) 以10为底的对数 floor(x) 上取整函数 ceil(x) 下取整函数 x mod y 求余数
高一数学课本所有公式
数学公式 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB 数列： 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 解三角形： 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b*2=a*2+c*2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 平面图形计算公式 弧长计算公式：L=n π r／180 扇形面积公式：s扇形=nπr*2／360=lr／2 正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n 正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长 正三角形面积√3a／4 a表示边长 秦九韶三角形中线面积公式: S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 （其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.） 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2
高中物理高二物理上学期精选试卷测试卷附答案
高中物理高二物理上学期精选试卷测试卷附答案 一、第九章 静电场及其应用选择题易错题培优（难） 1．如图所示，竖直平面内固定一倾斜的光滑绝缘杆，轻质绝缘弹簧上端固定，下端系带正电的小球A ，球A 套在杆上，杆下端固定带正电的小球B 。现将球A 从弹簧原长位置由静止释放，运动距离x 0到达最低点，此时未与球B 相碰。在球A 向下运动过程中，关于球A 的速度v 、加速度a 、球A 和弹簧系统的机械能E 、两球的电势能E p 随运动距离x 的变化图像，可能正确的有（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】CD 【解析】 【分析】 【详解】 令A 、B 小球分别带电量为1q 、2q ，释放A 球时A 、B 间距为r ，弹簧的劲度系数为K 。则 A ．在小球A 运动到最低点的过程中，受力分析如图所示 加速阶段有 12 2 sin ()kq q ma mg θKx r x =- -- 减速阶段有
12 2 sin ()kq q ma Kx mg θr x = +-- 所以小球先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，越向下运动，弹力和电场力越大，所以减速阶段速度减小的更快，速度减为零的时间更短，和加速阶段不对称，A 错误； B ．小球做加速度减小的加速运动时， 122 sin ()kq q K a g θx m r x m =- -- 对a 求导则 1232d d ()kq q a K x m r x m =-- 则加速阶段，加速度随着运动距离x 的增加而减小，且加速减小得越来越快（即a -x 曲线越来越陡峭）。 同理，减速阶段 122sin ()kq q K a x g θm r x m = +-- 123 2d d ()kq q a K x m m r x =-- 在减速阶段加速度运动距离x 的增加而减加而增大，且加速度增加得越来越慢（即a -x 曲线越来越平缓），故B 错误； C ．小球向下运动过程中，由于要克服电场力做功，所以球A 和弹簧系统的机械能E 逐渐减小，越靠近B 小球，电场力越大，机械能减小的越快，所以图像的斜率的绝对值越来越大，C 正确； D ．小球向下运动过程中，电场力做负功，所以电势能逐渐增大，越靠近B 小球，电场力越大，电势能增大的越快，所以图像的斜率越来越大，D 正确。 故选CD 。 2．某老师用图示装置探究库仑力与电荷量的关系。A 、B 是可视为点电荷的两带电小球，用绝缘细线将A 悬挂，实验中在改变电荷量时，移动B 并保持A 、B 连线与细线垂直。用Q 和q 表示A 、B 的电荷量，d 表示A 、B 间的距离，θ（θ不是很小）表示细线与竖直方向的夹角，x 表示A 偏离O 点的水平距离，实验中（ ）
三角恒等变换半角公式
三角恒等变换 3.2.2半角公式 教学目标： 要求学生能较熟练地运用倍角公式推 导半角公式，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力 教学重点：半角公式的应用 教学过程 一、复习引入 二倍角公式：αααcos sin 22sin =；)(2αS ααα2 2 sin cos 2cos -=；)(2αC 1cos 22 -=αα2 sin 21-= α αα2 tan 1tan 22tan -= ；)(2αT 二、讲解新课 1、半角公式
α ααα ,2 cos 12cos ,2cos 12sin +±=-±= α α ααα sin cos 1cos 1sin 2tan -= += 证：1?在 αα2 sin 212cos -= 中，以α 代2α，2α代α 即得： 2 sin 21cos 2α α-= ∴ 2 cos 12sin 2α α -= 2?在 1cos 22cos 2 -=αα 中，以α 代2α， 2 α 代α 即得： 12 cos 2cos 2-=α α ∴
2 cos 12cos 2α α += 3?以上结果相除得：α +α -= αcos 1cos 12tan 2 4? 2tan 2cos 2sin 2 cos 2 sin 2) 2sin 21(1sin cos 12ααα α α α α α == --=- 2tan 2 cos 2sin 12cos 212cos 2 sin 2cos 1sin 2α αα ααα α α ==-+= + 2、例子 1如果｜cos θ｜＝51，2 5π ＜θ＜3π,则
sin 2 的值等于 2设5π＜θ＜6π且cos 2θ＝a ,则sin 4 θ 等于 3．tan 12π－cot 12 π 的值等于 4．设25sin 2 ｘ＋sin ｘ－24＝0且ｘ是第 二象限角，求tan 2 x 小结：运用倍角公式推导半角公式，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力
倍角公式和半角公式-拔高难度-讲义
倍角公式和半角公式 知识讲解 一、倍角公式 sin 22sin cos ααα=； 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=- 2 2tan tan 21tan α αα = - 3 sin 33sin 4sin ααα=-；3 cos34cos 3cos ααα=-；32 3tan tan tan 313tan αα αα -=- 二、半角公式 1cos sin 2 2α α-=± ；1cos cos 22αα +=±； 1cos 1cos sin tan 2 1cos sin 1cos α ααα ααα --=± == ++ 三、万能公式 2 2tan 2sin 1tan 2 α αα = +；22 1tan 2cos 1tan 2 ααα -= +；2 2tan 2tan 1tan 2 α αα =- 四、公式的推导 sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+= 22cos2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=?-?=- 再利用22sin cos 1αα+=，可得： 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααα αααααα +=+= =-?-
sin 2tan 2 cos 2 αα α ===sin 2sin sin 1cos 22 2tan 2 sin cos 2sin cos 2 22 αα α α αα ααα-=== sin 2cos sin sin 22 2tan 2 1cos cos 2cos cos 2 22 αα α α αα ααα===+ 【说明】这里没有考虑 cos sin 2 2 α α ==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出 来单独讨论一下． 五、综合运用 1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用 1）并项功能： 2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=± 2）升次功能 ： 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 3）降次功能： 2 21cos 21cos 2cos ,sin 22 αα αα+-= = 2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有： 1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异， 比如：3015453060452? ?=?-?=?-?= , ()()22 α ααββαββ=-+=+-=? ()()()()ππ 2()()44 ααβαβαββααα=++-=+--=+-- ()()222βαβαβαααβα? ?-=-+=-=-- ?? ? π π π π π π 244362 αααααα?????????? +-=++-=++-= ? ? ? ? ??????????? π3ππ2ππ5ππ443366αααααα????????????++-=++-=++-= ? ? ? ? ? ?????????????
倍角公式与半角公式-常考题型专题练习(机构专用)
启迪思维 点拨方法 开发潜能 直线提分 倍角公式与半角公式 考向一 直接求值 1、若sin α＝1 3 ，则cos2α＝( ) A.89 B.79 C ．－79 D.－89 答案：B 2、若sin α－cos α＝2，则sin 2α等于( ) A ．2 B.12 C ．1 D ．－1 所以(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝2，所以sin 2α＝－1. 3、 2sin 2α1＋cos 2α ·cos 2α cos 2α等于( ) A ．tan α B ．tan 2α C ．1 D.1 2
4、已知角α的终边经过点(2,4)，则cos2(α= ) A ．35- B ．35 C ．35 ± D ． 45 【解答】解：角α的终边经过点(2,4)， 故选：A ． 5、已知θ为第二象限角，且1sin 4θ= ，则3cos(2)(2 π θ+= ) A ． 78 B ．78 - C D ． 故选：D ． 6、若3cos22sin()4παα=+，3(,)2 π απ∈，则sin 2α的值为( ) A ． B ． C ．79 - D ． 79
故选：D ． 7、已知1 cos 3α=-，则cos2(α= ) A ．79 - B ．89 - C ． 79 D ．89 故选：A ． 考向二 公式逆用 1、设α是第二象限角，4tan 3α=- ，且sin cos 22αα <，则cos 2 α=（ ） A ．5 - B C ． 35 D ． 35
【答案】A 2、已知7cos 25θ=- ，(),2θ∈ππ，则sin cos 22 θθ +=（ ） A ．75 - B ．7 5 C ．15 - D ． 15 【答案】D 【解析】 (,2θ∈π1cos 2θ+- 3、若θ∈????π4，π2，sin 2θ＝37 8 ，则sin θ等于( ) A.3 5 B.45 C.74 D.34 4、已知(,0)2απ∈- ，4cos 5 α=，则tan 2α =（ ）
三角函数半角公式
三角函数半角公式 复习重点:半角角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 复习难点:半角公式的应用 复习内容: 倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即，进一步得到半角公式: 降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan也可表示sinα, cosα, tanα，即: ，，这组公式叫做“万能”公式. 教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.
例3．化简求值:(1) csc10°-sec10°(2) tan20°+cot20°-2sec50° 解:(1) csc10°-sec10° (2) tan20°+cot20°-2sec50° 例4．求:sin220°+cos250°+sin30°sin70° 解:sin220°+cos250°+sin30°sin70° 例5．已知:.求:cos4θ+sin4θ的值. 解:∵, ∴, 即，
(完整版)半角公式含答案
课时作业28 半角的正弦、余弦和正切 时间：45分钟 满分：100分 一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．设2π<θ<3π，cos θ2＝a ，则cos θ 4等于( ) A. 1＋a 2 B ．－1－a 2 C ．－ 1＋a 2 D. 1－a 2 解析：∵2π<θ<3π，∴π<θ2<3π2，π2<θ4<3π4，θ2为第三象限的角，θ 4为第二象限的角， 故cos θ 4＝－1＋cos θ22＝－ 1＋a 2. 答案：C 2．θ为第三象限的角，且sin θ2－cos θ2＝1－sin θ，那么θ 2是( ) A ．第二象限的角 B ．第二或第三象限的角 C ．第三象限的角 D ．第四象限的角 解析：θ是第三象限的角，则θ 2是第二或第四象限的角，1－sin θ＝ 1－2sin θ2cos θ 2＝ (sin θ2－cos θ2)2 ＝? ??? ??sin θ2－cos θ2＝sin θ2－cos θ 2，
∴sin θ2≥cos θ 2.故选A. 答案：A 3．设α∈(π，2π)，则1－cos (π＋α) 2 ＝( ) A ．sin α2 B ．cos α2 C ．－sin α 2 D ．－cos α 2 解析：∵α∈(π，2π)，∴α2∈(π 2，π)． ∴ 1－cos (π＋α) 2 ＝1＋cos α 2＝ cos 2 α2＝－cos α2. 答案：D 4．设a ＝2 2(sin56°－cos56°)，b ＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°， c ＝1－tan 240°30′1＋tan 2 40°30′，d ＝12(cos80°－2cos 250°＋1)，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( ) A ．a >b >d >c B ．b >a >d >c C ．d >a >b >c D ．c >a >d >b 解析：a ＝sin56°cos45°－cos56°sin45° ＝sin(56°－45°)＝sin11°＝cos79°， b ＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°＝sin40°(－sin38°)＋cos40°cos38°＝cos(40°＋38°)＝cos78°，
三角函数中万能公式总结
两角和与差的三角函数 三角函数基本公式总结 1 .和、差角公式 sin （.二 I ） = sin ： cos - 二 cos ： sin ; cos （.二 l ） = cos ： cos 『■一 sin ： sin ; tg （ ：「）=1rg ：tg[ 2.二倍角公式 sin2： = 2sin ： cos ： cos 2： =cos 2 ： - sin :--2cos 2 ： -1 = 1 - 2sin 2 ：； 2tg : tg2 "1『 3.降幕公式 sin ： cos ： =^sin2： 2 sin 2 : 1 -cos2： 2 1 cos 2： cos : 4.半角公式 1 -cos- a sin — = 2 . 2 a cos —-二 2 1 cos ： 丄 a 丄 ‘1 — cosa tg -- y 2 sin -■ 1 - cos- 1 cos ： 1 COS -： ： sin 二 5.万能公式 CL si …玉 1-tg 2 cos ：= tg ： 2 a 1-tg 2 6.积化和差公式 1 sin ： cos ［sin （二 b ■■-'） sin 「--）］ 2 cos ： cos ： =1 ［cosp I '） cos （= ' 「'）］ ； 2 cos ： sin : sin ： sin - 1 -［sin （二 1 '-J - sin （：——：）］; 2 「［［COS （二 I '）「COS （工 ’「'）］. 2
7.和差化积公式 ? a + P a - P o a + P a - P sin t "si n - -2sin ----- cos ----- ; sin： - si n - - 2cos -- sin一 2 2 2 2 A ot + P a - P R a + P . a - P cos土11cos - - 2cos -- cos ----- : cos： -cos - - -2sin ---- sin ----- 2 2 2 2 倍角、半角的三角函数 二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即 9 7 2 2 sin 2a = 2sin a cos cos = cos a - sin a = 2 cos cs -1 = 1 - 2siri a, tan 2a = 由此可继续导出三倍角公式?观察角之间的联系应该是解决三角变换的一个关键?二倍角公式中余弦公式有三种形式，采用哪种形式应根据题目具体而定 倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式?推导过程中 a 11 —cos a a I l-l-cos c a 11 —cos a sin —= 土」------------ ,cos ——-土J--------- ”tan ——二±J ------ 2 V 2 2^2 2 Vl + coscE 降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个 原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于2所在 ◎ 1 - coga sin 门 tan —= ------- = ------- 的象限.而半角的正切可用a的正弦、余弦表示，即：- -」丄 1 -2 tan a 1 - tan，a 可得到一组降次公式，即二二 j a1 斗cos oe CO￡ —= --------- 2 2进一步得到半角 公式:
高中数学北师大版必修4《二倍角的正弦、余弦和正切》word导学案
第5课时二倍角的正弦、余弦和正切 1.能够根据和角的正弦公式、余弦公式、正切公式导出二倍角的正弦公式、余弦公式和正切公式. 2.能够根据倍角公式得出半角公式,了解倍角公式和半角公式的内在联系. 3.能够使用倍角公式进行简单的三角恒等变换. 2002年8月,在北京召开了国际数学家大会,大会会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小 正方形的面积是,你能求出sin2θ-cos2θ的值吗? 问题1:二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α= (α为任意角); (2)cos 2α=cos2α- = -1=1- (α为任意角); (3)tan 2α= (α≠+kπ,且α≠+ ,k∈Z). 问题2:半角的正弦、余弦、正切公式 sin= ;cos= ; tan= = = . 问题3:如何根据倍角公式导出半角公式? 单角和倍角是相对的,α是的倍角,在问题1中如果使用这个关系,则得到 cos2=,sin2=,把这个式子开方得cos=±,sin=±,再根据同角三角函数关 系可得tan=±,符号由所在象限决定.对正切的半角公式又有tan====,这组公式称为半角公式. 问题4:二倍角公式与和(差)角公式有什么内在联系?
1.sin cos 的值为(). A. B. C. D. 2.等于(). A.-cos 1 B.cos 1 C.cos 1-sin 1 D.sin 1-cos 1 3.= . 4.请回答《创设情境》中的问题. 直接利用二倍角、半角等公式进行化简或求值 将下列三角函数式进行化简或求值: (1)8sin cos cos cos; (2)-; (3)(sin+cos)(sin-cos); 二倍角或半角公式在三角函数中的综合运用 已知sin α+cos α=,α∈(0,),sin(β-)=,β∈(,). (1)求sin 2α和tan 2α的值; (2)求cos(α+2β)的值. 已知角的某种三角函数值求值或角 已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为tan α,tan β,且α,β∈(-,),则tan的值是.
和差公式二倍角公式及半角公式
三 角 函 数 1．两角和与差的三角函数 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±=。 2．二倍角公式 αααcos sin 22sin =； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα =-。 3.半角公式： 22cos 1sin 2αα-=,22cos 1cos 2αα+=，2sin 2cos 12αα=-，2cos 2cos 12αα=+ sin 2α =cos 2α= sin 1cos tan 21cos sin α αααα-===+ 4．辅助角公式 | ()sin cos sin a x b x x ?+=+， sin cos ??==其中 5.积化和差公式： ()()[]βαβαβ-++=sin sin 21cos sin a , ()()[]βαβαβ--+=sin sin 2 1sin cos a ()()[]βαβαβ-++= cos cos 21cos cos a , ()()[]βαβαβ--+-=cos cos 21sin sin a 6. 和差化积公式： sin sin 2sin cos 22αβ αβ αβ+-+=, sin sin 2cos sin 22αβ αβ αβ+--=
cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+=, cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=- 例题： 例1． 已知α∈( 2π,π)，sin α=53,则tan(4 πα+)的值. ， 例2．sin163°sin223°+sin253°sin313°的值. 例2． 已知0cos cos 1 sin sin =+=+βαβα，，求cos ）的值（βα+。 ￥ 例3． 若的值求，x x x x x tan 1cos 22sin ,471217534cos 2-+<<=??? ??+πππ。 ' 例5．已知正实数a,b 满足的值，求a b b a b a 158tan 5sin 5cos 5cos 5sin ππππ π=-+。
人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换--半角公式》课后训练习题(无答案)
- 1 - 《三角恒等变换—半角公式》 一、选择题 1．设2πθπ<<，1cos 3 θ=-，则sin 2 θ=（ ） A ． 3 B ．3- C ． 3 D ．3 ± 2．若322ππα-<<- 的结果是（ ） A ．sin 2 α B ．cos 2 α C ．sin 2 α- D ．cos 2 α - 3．已知4sin ,5 αα=- 是第三象限角，则tan 2α =（ ）. A ．2± B ．1 2 ± C ．2- D ．12 - 4．已知3(π, π),2sin 21cos 22ααα∈=-，则tan 2 α =（ ） A ．32- B ． 3 2 C ． 12 - D ．1 2 - 5．3sin ,sin 205 θθ= <，则tan 2θ 的值为（ ） A ． 1 2 B ．12 - C ． 13 D ．3 6 ） A ．sin 40? B ．sin50? C ．cos130? D ．cos50?± 7．如果1|cos |5 θ= ， 532πθπ<<，那么sin 2θ 的值为（ ） A ．5- B ． 5 C ．5 - D ． 5 8．若1|cos |5θ= ， 742 πθπ<<，则cos 2θ 的值为（ ） A B ． C D ．
- 2 - 9．已知α为锐角，3cos 5α= ，则tan 42πα?? += ??? （ ） A ． 1 3 B ． 12 C ．2 D ．3 10．2sin18m =，若24m n += ，则22cos 271 ?=-（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 11．设α是第二象限角，4tan 3α=- ，且sin cos 22αα <，则cos 2 α=（ ） A ．5 - B C ． 35 D ． 35 12．已知π7cos 2625α??-=- ?? ?，π02α<<，则πcos 12α? ?-= ?? ?（ ） A ． 3 5 B ． 35 C ． 45 D ．45 - 二、填空题 13．若 3,2αππ?? ∈ ???，化简：1111cos 22222 α++=______. 14．若4sin 5α 且α是第二象限的角，则πcot()=42α -_________. 15．若35sin ,352πθθπ=<<，那么sin 2 θ =_____________. 16．已知225sin sin 240αα+-=，α为第二象限角，则cos 2 α =________ 三、解答题 17．已知sin 7 α=，,2παπ?? ∈ ???. （1）求2 sin 2 α 的值； （2）若sin()14 a β+=，0,2πβ??∈ ???，求β的值.
倍角公式和半角公式一
倍角公式和半角公式一-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
倍角公式和半角公式一 目标认知： 学习目标： 1．能从两角和差公式导出二倍角的正弦，余弦，正切公式； 2．能运用倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出半角公式，积化和差，和差化积公式）； 3．体会换元思想，化归思想，方程思想等在三角恒等变换中的作用． 学习重点： 倍角公式及其变形． 学习难点： 倍半角公式变形及应用． 内容解析： 1．倍角公式 在和角公式中令=，即得二倍角公式： ； ； ． 注意： （1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三 角函数之间的互化问题． （2）“倍角”的意义是相对的，不局限于与的形式．例如与， 与等，也为 引出半角作准备． （3）二倍角公式的记忆可联想相应的和角公式． （4）二倍角的正切公式成立的条件：． （5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）． （6）公式的逆用及变形：．
2．半角公式 由倍角公式变形得到： ；；； 前两个公式在化简中多用于降次，而开方即得到半角公式： ；；； 其中正负号由的象限确定． 借助倍角公式还可得到另一个半角公式：，好处在 于可以不必考虑正负． 3．积化和差与和差化积（整理的方向，适当换元） （1）积化和差： （2）和差化积： 本周典型例题： 1．已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值．解析：∵∴
∴sin2a = 2sinacosa = cos2a = tan2a = 2．已知，求． 解析：注意公式的选择，避开不必要的计算和讨论． =． 3．求值： （1）；（2）； （3）；（4）；（5）cos20°cos40°cos80°； 解析：（1）=； （2）＝； （3）＝； （4）＝； （5）cos20°cos40°cos80° = 注意：关注（5）的结构特点．
高一数学公式大全
两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 降幂公式 （sin^2）x=1-cos2x/2 （cos^2）x=i=cos2x/2 万能公式 令tan(a/2)=t sina=2t/(1+t^2) cosa=(1-t^2)/(1+t^2) tana=2t/(1-t^2) 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα
3.2 简单的三角恒等变换 学案(含答案)
3.2 简单的三角恒等变换学案（含答案） 3.2简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法. 2.了解三角恒等变换的特点.变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法. 3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简.求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用知识点一半角公式 sin21cos2，cos21cos2，tan21cos1cossin1cos1cossin.思考半角公式对任意角都适用吗答案不是，要使得式子有意义的角才适用知识点二 辅助角公式辅助角公式asinxbcosxa2b2sinx.其中tanba1若k，kZ，则tan2sin1cos1cossin恒成立2辅助角公式asinxbcosxa2b2sinx，其中所在的象限由a，b的符号决定，与点a，b同象限3sinx3cosx2sinx6.提示 sinx3cosx212sinx32cosx2sinx3.题型一应用半角公式求值例1已知sin45，523，求cos2和tan 2.考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值解sin45，且523，cos1sin23 5.54232，cos21cos255.tan2sin1cos 2.反思感悟利用半角公式求值的思路1看角若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角
公式求解2明范围由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围3选公式涉及半角公式的正切值时，常用tan2sin1cos1cossin，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦.余弦值时，常先利用sin221cos2，cos221cos2计算4下结论结合2求值跟踪训练1已知cos33，为第四象限角，则tan2的值为________考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案262解析方法一用tan21cos1cos来处理因为为第四象限角，所以2是第二或第四象限角所以tan 20.所以tan21cos1cos133133231284312622262.方法二 用tan21cossin来处理因为为第四象限角，所以sin0.所以sin1cos211363.所以tan21cossin13363262.方法三 用tan2sin1cos来处理因为为第四象限角，所以sin0.所以sin1cos211363.所以tan2sin1cos63133633262.题型二三角函数式的化简例2化简2cos212tan4sin24.考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值解 2cos212tan4sin24cos22cos4sin4sin24cos2sin22cos2cos2 1.反思感悟三角函数式化简的要求.思路和方法1化简的要求能求出值的应求出值尽量使三角函数种数最少尽量使项数最少尽量使分母不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数2化简的思路对于和式，基本思路是降次.消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二
(完整版)两倍角与半角公式与万能公式.doc
两倍角公式、半角公式、万能公式 ① sin( ) sin cos cos sin ; ② cos( ) cos cos sin sin ; ③ tan( ) tan tan 令1 tan tan 二倍角公式： ① sin 2 2sin cos ； ② cos2 cos2 sin 2 2 cos2 1 1 2sin 2 ； ③ tan 2 2 tan 1 tan 2 两倍角公式中 sin 2 2 sin cos 是两个函数之积，可在(sincos ) 2 中产生。两倍角是“相对的” ，应该广义地理解。 如 cos4 cos2 2 sin 2 2 2 cos2 2 1 1 2 sin 2 2 tan( ) 2tan 2 等等tan 2 1 2 升次公式： sin2 1 cos2 、 cos2 1 cos2 ； 2 2 见到平方就降次，降次角加倍 降次公式： 1 cos 2 cos2 2 1 cos 2 sin 2 2 见到 1 cos 、 1 cos 就升次，升次角减半并项公式 : 1 sin 2 = (sin cos ) 2 半角公式： sin =±1 cos , 2 2 cos =±1 cos , 2 2 1
tg =± 1 cos = sin = 1 cos . 2 1 cos 1 cos sin 半角公式中的正负号如何选取？依照左边的函数值而定。 2 如果给你象限角，如I ，的终边在第几象限？公式前的号如何选取？ 2 如果给你区间角，如 3 ,4 ，的终边在第几象限？公式前的号如何选取？ 2 如果给你三角比值，如sin cos 0 的终边在第几象限？公式前的号如何选取？tan cos ， 0 2 半角的正切公式中的后两个tg = sin =1 cos 前面没有正负号， 2 1 cos sin 万能公式：（并非万能，仅是用tan 可将 sin 、 cos 、 tan 都表示出来的含义） 2 sin α = 2 tan 2 ， 1 tan2 2 1 tan 2 cos α = 2 , 1 tan2 2 2 tan tan α = 2 1 tan2 2 题型一、求值问题 补充问题 已知 cos( ) 1 ， sin( ) 2 ，且 4 2 ， 4 2 9 2 3 4 求 cos( ) 的值 解：考虑目标角和已知角的关系：（）—（）= 22 2 再运用两倍角公式求值 题型二、化简问题 2