一元二次方程的概念

一元二次方程的概念
一元二次方程的概念

一元二次方程的概念

知识点:

一、一元二次方程的定义:

含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程称为一元二次方程。

识别一元二次方程必须抓住三个方面: (1)整式方程

(2)含有一个未知数

(3)未知数的最高次数是2次

【例】下列方程中哪些是一元二次方程?哪些不是?说说你的理由. (1)16x 2= (2)0125x 2=--x (3)032x 2=-+y

(4)03x

1

2=-+x (5)0x 2= (6)052x 24=--x

二、一元二次方程的一般形式:02

=++c bx ax (a ≠0)

一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,都能化成如下的形式:02=++c bx ax (a ≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中2ax 是二次项,a 是二次项系数,bx 是一次项,b 是一次项系数,c 是常数项. 【整理】2ax 是二次项,a 是二次项系数,

bx 是一次项,b 是一次项系数, c 是常数项.

例1.把6)4)(3(-=-+x x 化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数,一次

项系数和常数项。

例2.指出 mx 2-nx-mx+nx 2=p 二次项,一次项,二次项系数,一次项系数, .

练习:把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出二次项系数,一次项,常数项。

①()x x x x 3422

-=- ②()()2

21248-+=+x x x

③12132=+-x x ④

()0p 2

2≠+-=++-n m q nx mx nx mx

小结:理解一元二次方程以下方面入手:

(1)一元:只含有一个未知数,"元"的含义就是未知数 (2)二次:未知数的最高次数是2,注意二次系数不等于0. (3)方程:方程必须是整式方程,这是判断的前提。

方程的解的定义: 使方程两边左右相等的未知数的值,叫做这个方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

例如:x=2,x=3都是一元二次方程x 2-5x+6=0的根。

练习巩固:

1.关于x 的方程mx 2-3x= x 2-mx+2是一元二次方程,则m___________.

2.方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是____________________,二次项系数是____,一次项系数是____, 常数项是______.

3.方程x 2=1的解为______________. 4.方程3 x 2

=27的解为______________. x 2

+6x+____=(x+____)2

, a 2

±____+

4

1=(a ±____ )2 5.关于x 的一元二次方程(m+3) x 2

+4x+ m 2

- 9=0有一个解为0 , 则m=______. 二.选择题:

6.在下列各式中

①x 2

+3=x; ②2 x 2

- 3x=2x(x- 1) – 1 ; ③3 x 2

- 4x – 5 ; ④x 2

=- x

1+2 7.是一元二次方程的共有( )

A 0个

B 1个

C 2个

D 3个 8.一元二次方程的一般形式是( )

A x 2

+bx+c=0 B a x 2

+c=0 (a ≠0 ) C a x 2

+bx+c=0 D a x 2

+bx+c=0 (a ≠0) 9.方程3 x 2+27=0的解是( )

A x=±3

B x= -3

C 无实数根

D 以上都不对 10.方程6 x 2- 5=0的一次项系数是( ) A 6 B 5 C -5 D 0

11.将方程x 2- 4x- 1=0的左边变成平方的形式是( )

A (x- 2)2

=1 B (x- 4)2

=1 C (x- 2)2

=5 D (x- 1)2

=4

12.关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0,则a 值为( )

A 、1

B 、1-

C 、1或1-

D 、1

2

14.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______.

15. 解方程: (1)(x+5)2=16 (2) 8(3 -x )2 –72=0

作业: 一、填空

1.一元二次方程化为一般形式为: ,二次项

系数为: ,一次项系数为: ,常数项为: 。

2.关于x 的方程,当 时为一元一次方程;当 时为一元二次方程。

3.已知直角三角形三边长为连续整数,则它的三边长是 。

4. ; 。

5.直角三角形的两直角边是3︰4,而斜边的长是15㎝,那么这个三角形的面积是 。 6.若方程的两个根是和3,则的值分别为 。 7.若代数式与的值互为相反数,则的值是 。 8.方程与的解相同,则= 。

9.当 时,关于的方程可用公式法求解。 10.若实数满足,则

= 。 11.若,则= 。

12.已知的值是10,则代数式的值是 。

12)3)(31(2

+=-+x x x 023)1()1(2

=++++-m x m x m m m ++x x 32+=x (2)-2

x x (2=+2

)02

=++q px x 2-q p ,5242

--x x 122

+x x 492

=x a x =2

3a t x 032

=+-t x x b a ,022

=-+b ab a b

a

8)2)((=+++b a b a b a +1322++x x 1642

++x x

二、选择

1.下列方程中,无论取何值,总是关于x 的一元二次方程的是( ) (A ) (B )

(C ) (D ) 2.若与互为倒数,则实数为( ) (A )±

(B )±1 (C )± (D )±

3.若是关于的一元二次方程的根,且≠0,则的值为( ) (A ) (B )1 (C ) (D )

4.关于的一元二次方程的两根中只有一个等于0,则下列条件正确的是( )

(A ) (B ) (C ) (D ) 5.关于的一元二次方程有实数根,则( )

(A )<0 (B )>0 (C )≥0 (D )≤0 6.已知、是实数,若,则下列说法正确的是( )

(A )一定是0 (B )一定是0 (C )或 (D )且 7.若方程中,满足和,则方程的根是( )

(A )1,0 (B )-1,0 (C )1,-1 (D )无法确定 三、解方程

1. 选用合适的方法解下列方程

(1) (2)

02=++c bx ax x x ax -=+2

210)1()1(2

22=--+x a x a 03

1

2

=-+=

a x x 12+x 12-x x 2

1

222m x 02

=++m nx x m n m +1-2

1

-

21x 02=++m nx x 0,0==n m 0,0≠=n m 0,0=≠n m 0,0≠≠n m x 02

=+k x k k k k x y 0=xy x y 0=x 0=y 0=x 0=y 02

=++c bx ax )0(≠a c b a ,,0=++c b a 0=+-c b a )4(5)4(2

+=+x x x x 4)1(2

=+

(3) (4)

四、解答题

1. 已知等腰三角形底边长为8,腰长是方程的一个根,求这个三角

形的腰。

2. 已知一元二次方程有一个根为零,求的值。

2

2)21()3(x x -=+31022

=-x x 02092

=+-x x 043712

2=-+++-m m mx x m )(m

一元二次方程的概念

一元二次方程的概念 知识点: 一、一元二次方程的定义: 含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程称为一元二次方程。 识别一元二次方程必须抓住三个方面: (1)整式方程 (2)含有一个未知数 (3)未知数的最高次数是2次 【例】下列方程中哪些是一元二次方程?哪些不是?说说你的理由. (1)16x 2= (2)0125x 2=--x (3)032x 2=-+y (4)03x 1 2=-+x (5)0x 2= (6)052x 24=--x 二、一元二次方程的一般形式:02 =++c bx ax (a ≠0) 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,都能化成如下的形式:02=++c bx ax (a ≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中2ax 是二次项,a 是二次项系数,bx 是一次项,b 是一次项系数,c 是常数项. 【整理】2ax 是二次项,a 是二次项系数, bx 是一次项,b 是一次项系数, c 是常数项. 例1.把6)4)(3(-=-+x x 化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数,一次 项系数和常数项。 例2.指出 mx 2-nx-mx+nx 2=p 二次项,一次项,二次项系数,一次项系数, . 练习:把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出二次项系数,一次项,常数项。 ①()x x x x 3422 -=- ②()()2 21248-+=+x x x ③12132=+-x x ④ ()0p 2 2≠+-=++-n m q nx mx nx mx 小结:理解一元二次方程以下方面入手: (1)一元:只含有一个未知数,"元"的含义就是未知数 (2)二次:未知数的最高次数是2,注意二次系数不等于0. (3)方程:方程必须是整式方程,这是判断的前提。

一元二次方程计算题_解法练习题(四种方法)

一元二次方程解法练习题 一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812 =-x 二、 用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 3 、9642=-x x 三、 用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、223 14y y -= 3、y y 32132=+ 4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、02322=--x x

四、 用因式分解法解下列一元二次方程。 1、x x 22= 2、 x 2+4x -12=0 3、0862=+-x x 4、03072=--x x 五、用适当的方法解下列一元二次方程。(选用你认为最简单的方法) 1、()()513+=-x x x x 2、x x 5322=- 3、2 260x y -+= 4、01072=+-x x 5、()()623=+-x x 6、()()03342 =-+-x x x

7、()02152 =--x 8、0432=-y y 10、()()412=-+y y 11、()()1314-=-x x x 12、()025122 =-+x 13、22244a b ax x -=- 14、36 31352=+x x 15、()()213=-+y y 16、)0(0)(2≠=++-a b x b a ax 17、03)19(32 =--+a x a x 18、012=--x x 19 、02932=+-x x 20、02222=+-+a b ax x

一元二次方程的定义教案

第二章一元二次方程 1 认识一元二次方程 第1课时一元二次方程的定义 【知识与技能】 探索一元二次方程及其相关概念,能够辨别各项系数,能够从实际问题中抽象出方程知识. 【过程与方法】 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型,体会方程与实际生活的联系. 【情感态度】 通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 【教学重点】 一元二次方程的概念. 【教学难点】 如何把实际问题转化为数学方程. 一、情境导入,初步认识 问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形,然后将四周突出的部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形? 问题2:一个长为10米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米,如果梯子的顶端下滑1米,那么梯子的底端滑动多少米? 你能设出未知数,列出相应的方程吗? 【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境,又是本课一种很自然的引入,为本课的探究活动做好铺垫. 二、思考探究,获取新知

你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗? (1)(100-2x)(50-2x)=3600 (2)(x+6)2+72=102 【教学说明】 分组合作、小组讨论,经过讨论后交流小组的结论,可以发现上述方程都不是所学过的方程,特点是两边都是整式,且整式的最高次数是2. 【归纳结论】方程的等号两边都是整式,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程; 一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0) 这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项,a是二次项的系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项. 活动中教师应重点关注: (1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点; (2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义; (3)强调定义中体现的3个特征: ①整式;②一元;③2次. 【教学说明】 让学生充分感受所列方程的特点,再通过类比的方法得到定义,从而达到真正理解定义的目的. 三、运用新知,深化理解 1.下列方程是一元二次方程的有. (1)x2+1/x-5=0(2)x2-3xy+7=0 (3)=4(4)m3-2m+3=0 x2-5=0(6)ax2-bx=4 (5) 2 解答:(5) 2.已知方程(m+2)x2+(m+1)x-m=0,当m满足_______时,它是一元一次方程;当m满足_______时,它是一元二次方程. 解析:当m+2=0,即m=-2时,方程是一元一次方程;当m+2≠0,即m≠

(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题

一元二次方程解法及其经典练习题 方法一:直接开平方法(依据平方根的定义) 平方根的定义:如果一个数 的平方等于a ( ),那么这个数 叫做a 的平方根 即:如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4..25)1(412=+x 5.(2x +1)2=(x -1)2. 6.(5-2x )2=9(x +3)2. 7..063)4(22 =--x 方法二:配方法解一元二次方程 1. 定义:把一个一元二次方程的左边配成一个 ,右边为一个 ,然后利用开平方数求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤:(1) (2) (3) 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x

方法三:公式法 1.定义:利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导:用配方法解方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0) 解:二次项系数化为1,得 , 移项 ,得 , 配方, 得 , 方程左边写成平方式 , ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况: (1)当b 2-4ac>0时,=1x , =2x (2)当b 2-4ac=0时,==21x x 。 (3)b 2-4ac<0时,方程根的情况为 。 3.由上可知,一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定,因 (1)式子ac b 42-叫做方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0)根的 ,通常用字母 “△” 表示。当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根; 当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根; 当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 (2)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c = 0,当ac b 42-≥0时,?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根.这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法. 4.公式法解一元二次方程的步骤:(1) (2) (3) (4) (5) 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+

一元二次方程定义及其解法

班级姓名课题一元二次方程定义及其解法(配方法) 一、目标导航 1.掌握一元二次方程的定义及a,b,c的含义; 2.掌握配方法解一元二次方程的方法. 二、教学重难点 重点:1.掌握一元二次方程的定义及a,b,c的含义; 2.掌握配方法解一元二次方程的方法. 难点:配方法解一元二次方程. 三、走进教材 知识点一:一元二次方程的定义 1.一元二次方程的定义:方程两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最

高次数为2的方程叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式:()200ax bx c a ++=≠,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数,bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数,c 叫做常数项。举例:2230x x +-= 3. 一元二次方程的解:能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。 自主练习: 下列方程中,是一元二次方程的有 。(填序号) ①2 5x =; ②30x y +-=; ③253302x x +-=; ④2(5)2x x x x +=-; ⑤23580x x -+=; ⑥2 04y y -=。 知识点二:配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程的思路:降次,即把二次降为一次,把一元二次方程转化为一元一次方程,化未知为已知,化繁为简,这是转化思想的体现。

2. 配方法:利用配方法将一个一元二次方程的左边配成完全平方形式,而右边是 一个非负数,即把一个方程转化成()2 x n p +=(p≥0)的形式,这样解方程的方法叫做配方法。 3. 配方法具体操作: (1)对于一个二次三项式,当二次项系数为1时,配上一次项系数一半的平方就可以将其配成一个完全平方式,举 例:解方程2230 +-=, x x (2)当二次项系数不为1时,首先把二次项系数化为1,方程两边除以二次项系数,然后再利用(1)的步骤完成配 方。举例:解方程22230 +-=。 x x 4. ()2 += x n p x n p +=(p≥0)的解法:对于方程()2

第二章 一元二次方程单元测试题及答案

4 13=+x x 一元二次方程单元检测 姓名 ___ 一、精心选一选(每题3分,共30分): 1、下列方程是一元二次方程的是( ) A 、12=+y x B 、()32122 +=-x x x C 、 D 、022=-x 2、关于x 的一元二次方程02 =+k x 有实数根,则( ) A 、k <0 B 、k >0 C 、k ≥0 D 、k ≤0 3、把方程2 830x x -+=化成()2 x m n +=的形式,则m 、n 的值是( ) A 、4,13 B 、-4,19 C 、-4,13 D 、4,19 4、已知直角三角形的两条边长分别是方程2 14480x x -+=的两个根,则此三角形的第三边是( ) 108 A B C D 、6或8 、 10或、 或、 5、若关于x 的一元二次方程 ()22110a x x a -++-=的一个根是0,则a 的值是( ) A 、 1 B 、 -1 C 、 1或-1 D 、1 2 6.方程x 2 =3x 的根是( ) A 、x = 3 B 、x = 0 C 、x 1 =-3, x 2 =0 D 、x 1 =3, x 2 = 0 7、若方程02 =++c bx ax )0(≠a 中,c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ,则方程的根是( ) A 、1,0 B 、-1,0 C 、1,-1 D 、无法确定 8、已知0652 2=+-y xy x ,则x y :等于 ( ) A 、2131或 B 、32或 C 、16 1 或 D 、16或 9、方程x 2 -4│x │+3=0的解是( ) A 、x=±1或x=±3 B 、x=1和x=3 C 、x=-1或x=-3 D 、无实数根 10、使用墙的一边,再用13m 的铁丝网围成三边,围成一个面积为20m 2 的长方形,求这个长

一元二次方程基本概念

一元二次方程基本概念 1、基本概念: 方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程(等式),叫做一元二次方程. 一般地,任何一个关于x的一元二次方程,?经过整理,?都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式. 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项. 2、解方程常用方法: (1). 直接开平方法: 由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=转化为应用直接开平方法解 形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n= (2).配方法: 左边不含有x的完全平方形式、左边是非负数的一元二次方程可化为左边是含有x的完全平方形式、右边是非负数、可以直接降次解方程得方程。 转化过程如下: x2-64x+768=0 移项→x2-64x=-768 两边加( 64 2 )2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2-64x+322=-768+1024 左边写成平方形式→(x-32)2=?256 ? 降次→x-32=±16 即x-32=16或x-32=-16 解一次方程→x1=48,x2=16 可以验证:x1=48,x2=16都是方程的根 例1.解下列方程 (1)x2+6x+5=0 (2)2x2+6x-2=0 (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0 分析:我们已经介绍了配方法,因此,我们解这些方程就可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方.

解:(1)移项,得:x 2+6x=-5 配方:x 2+6x+32=-5+32(x+3)2=4 由此可得:x+3=±2,即x 1=-1,x 2=-5 (2)移项,得:2x 2+6x=-2 二次项系数化为1,得:x 2+3x=-1 配方x 2+3x+(32)2=-1+(32)2(x+32)2=54 由此可得x+32=x 132,x 232 (3)去括号,整理得:x 2+4x-1=0 移项,得x 2+4x=1 配方,得(x+2)2=5 x+2=x 1,x 2 总结用配方法解一元二次方程的步骤. (1)移项; (2)化二次项系数为1; (3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方; (4)原方程变形为(x+m )2=n 的形式; (5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解. (3)公式法: 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)且b 2-4ac ≥0,它的两个根 x 1=2b a -+, x 2=2b a - 解:移项,得:ax 2+bx=-c 二次项系数化为1,得x 2+ b a x=- c a 配方,得:x 2+b a x+(2b a )2=-c a +(2b a )2 即(x+2b a )2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0 直接开平方,得:x+2b a =±2a

15道九年级一元二次方程计算题【附详细过程】

15道九年级一元二次方程计算题1、解方程:x2—2x—1=0. 2、解方程: 3、解方程:x2+x-+1=0. 4、解方程: 5、用配方法解方程: 6、解方程:3 ( x - 5 )2 = 2 ( 5- x ) 7、解方程:. 8、 9、解方程:(x -1)2 + 2x (x - 1) = 0 10、解方程:. 11、用配方法解方程:。 12、解方程:. 13、解方程:x2-6x+1=0. 14、用配方法解一元二次方程: 15、解方程:.

参考答案 一、计算题 1、解:a=1,b=-2,c=-1 B2-4ac=(-2)2-4*1*(-1)=8 X= 方程的解为x=1+ x=1- 2、原方程化为 ∴ 即 ∴, 3、解:设x2+x=y,则原方程变为y-+1=0. 去分母,整理得y2+y-6=0, 解这个方程,得y1=2,y2=-3. 当y=2 时,x2+x=2,整理得x2+x-2=0, 解这个方程,得x1=1,x2=-2. 当y=-3 时,x2+x=-3,整理得x2+x+3=0, ∵△=12-4×1×3=-11<0,所以方程没有实数根.经检验知原方程的根是x1=1,x2=-2.

4、解:移项,得配方,得 ∴∴ (注:此题还可用公式法,分解因式法求解,请参照给分)5、)解:移项,得x2 +5x=-2, 配方,得 整理,得()2= 直接开平方,得= ∴x1=,x2= 6、解: 7、解: ∴或 ∴, 8、

9、解法一: ∴, 解法二: ∵a = 3,b = 4,c = 1 ∴ ∴ ∴, 10、解:- -两边平方化简, 两边平方化简. -- 解之得--- 检验:将. 当 所以原方程的解为- 11、解:两边都除以2,得。

一元二次方程及根的定义

一元二次方程及根的定 义 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2,求另一个根及 的值. 思路点拨:从一元二次方程的解的概念入手,将根代入原方程解的值,再代回原方程,解方程求出另一个根即可. 解:将代入原方程,得 即 解方程,得 当时,原方程都可化为 解方程,得. 所以方程的另一个根为4,或-1. 总结升华:以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题,解这类问题关键是要抓住“根”的概念,并以此为突破口. 举一反三: 【变式1】已知一元二次方程的一个根是,求代数式 的值. 思路点拨:抓住为方程的一个根这一关键,运用根的概念解题. 解:因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以.

. 总结升华:“方程”即是一个“等式”,在“等式”中,根据题目的需要,合理地变形,是一种对代数运算综合要求较高的能力,在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程: (1)3-27x2=0; (2)4(1-x)2-9=0. 解:(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程: (1);(2). 解:(1)由, 得, ,

, 所以, 故. (2)由, 得, , , 所以 故 4.用公式法解下列方程: (1);(2);(3). 解:(1)这里 并且 所以, 所以,. (2)将原方程变形为, 则 , 所以,

所以. (3)将原方程展开并整理得, 这里, 并且, 所以. 所以. 总结升华:公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点,要求熟练掌握,它对我们的运算能力有较高要求,也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程: (1);(2); (3). 解:(1)将原方程变形为, 提取公因式,得, 因为,所以 所以或, 故 (2)直接提取公因式,得 所以或,(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得

一元二次方程单元综合测试题(含答案)

第二章 一元二次方程单元综合测试题 一、填空题(每题2分,共20分) 1.方程1 2x (x -3)=5(x -3)的根是_______. 2.下列方程中,是关于x 的一元二次方程的有________. (1)2y 2+y -1=0;(2)x (2x -1)=2x 2;(3)21 x -2x=1;(4)ax 2+bx+c=0;(5) 12 x 2 =0. 3.把方程(1-2x )(1+2x )=2x 2-1化为一元二次方程的一般形式为________. 4.如果 2 1 x -2x -8=0,则1x 的值是________. 5.关于x 的方程(m 2-1)x 2+(m -1)x+2m -1=0是一元二次方程的条件是________. 6.关于x 的一元二次方程x 2-x -3m=0?有两个不相等的实数根,则m?的取值范围是定______________. 7.x 2-5│x │+4=0的所有实数根的和是________. 8.方程x 4-5x 2+6=0,设y=x 2,则原方程变形_________ 原方程的根为________. 9.以-1为一根的一元二次方程可为_____________(写一个即可). 10.代数式1 2x 2+8x+5的最小值是_________. 二、选择题(每题3分,共18分) 11.若方程(a -b )x 2+(b -c )x+(c -a )=0是关于x 的一元二次方程,则

必有(). A.a=b=c B.一根为1 C.一根为-1 D.以上都不对 12.若分式 2 2 6 32 x x x x -- -+ 的值为0,则x的值为(). A.3或-2 B.3 C.-2 D.-3或2 13.已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8,则x2+y2的值为(). A.-5或1 B.1 C.5 D.5或-1 14.已知方程x2+px+q=0的两个根分别是2和-3,则x2-px+q可分解为().A.(x+2)(x+3)B.(x-2)(x-3) C.(x-2)(x+3)D.(x+2)(x-3) 15已知α,β是方程x2+2006x+1=0的两个根,则(1+2008α+α2)(1+2008β+β2)的值为(). A.1 B.2 C.3 D.4 16.三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x2-6x+8=0的解,?则这个三角形的周长是(). A.8 B.8或10 C.10 D.8和10 三、用适当的方法解方程(每小题4分,共16分) 17.(1)2(x+2)2-8=0;(2)x(x-3)=x;

一元二次方程的概念及解法

题型切片(四个)对应题目 题 型 目 标 一元二次方程的概念例1;例2;演练1;例8 直接开平方法解一元二次方程例3;例4;演练2; 配方解一元二次方程例5;例6;演练3;演练4; 因式分解法解一元二次方程例7;演练5. 模块一一元二次方程的概念 知识互联网 一元二次方程的基本解法 题型切片

定 义 示例剖析 一元二次方程定义:只含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否是一元二次方程,必须符合以下四个标准: ⑴整式方程. ⑵方程中只含有一个未知数. ⑶化简后方程中未知数的最高次数是2. ⑷二次项的系数不为0 22210x x -+= 此方程满足: 整式方程; 只含有一个未知数x ; x 的最高次数是2,系数是2 所以这个方程是一个一元二次方程. 一元二次方程的一般式:20ax bx c ++=()0a ≠. 其中2ax 为二次项,其系数为a ;bx 为一次项,其系数为b ;c 为常数项. 一元二次方程22210x x -+=, 其中221a b c ==-=,,. 一元二次方程的根: 如果0x 满足2000(0)ax bx c a ++=≠,则0x 就是方程 20(0)ax bx c a ++=≠的一个根. 1满足2110-=,则1是方程20x x -=的一个根.0满足2000-=,则0是方程20x x -=的另一个根.∴0,1是方程20x x -=的两个根,表示为12=0, =1x x 一元二次方程都可化成如下形式: 20ax bx c ++=(0a ≠) . 1.“可化成”是指对整式方程进行去分母,去括号,移项、合并同类项等变形. 2.一般形式中,b 、c 可以是任意实数,而二次项系数0a ≠,若0a =,方程就不是一元二次方程了,也未必是一次方程,要对b 进行讨论. 3.要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式,然后确定a 、b 、c 的值,不要漏掉..符号.. . 4.项及项的系数要区分开. 建议 强调掌握一元二次方程一般形式对学习一元二次方程很重要,这种从形式上认识数学概念的方法,在今 后学习基本初等函数时也要使用. 【例1】 1. 判断下列方程是不是一元二次方程. 【例2】 ⑴ 2210x kx --=(k 为常数) ⑵ 4 13 x =+ ⑶ 210x -=; 【例3】 ⑷ 250x = ⑸ 20x y += ⑹ ()()2 2 33x x +=-; 【例4】 夯实基础 知识导航

(完整word版)100道一元二次方程计算题

(1)x 2 =64 (2)5x 2 - 5 2 =0 (3)(x+5)2=16 (4)8(3 -x )2 –72=0 (5)2y=3y 2 (6)2(2x -1)-x (1-2x=0 (7)3x(x+2)=5(x+2) (8)(1-3y )2+2(3y -1)=0 (9)x 2+ 2x + 3=0 (10)x 2+ 6x -5=0 (11) x 2-4x+ 3=0 (12) x 2 -2x -1 =0 (13) 2x 2 +3x+1=0 (14) 3x 2 +2x -1 =0 (15) 5x 2 -3x+2 =0 (16) 7x 2 -4x -3 =0 (17) x 2 -x+12 =0

x 2-6x+9 =0 0142 =-x 2、2)3(2 =-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 0662 =--y y 2、x x 4232=- 3、9642=-x x 4 、0542=--x x 5、01322 =-+x x 6、07232=-+x x 0822=--x x 4、01522 =+-x x 1、x x 22= 2、0)32()1(2 2 =--+x x 3、0862 =+-x x 4、 2 2)2(25)3(4-=+x x 5、0)21()21(2=--+x x 6、0)23()32(2=-+-x x

1、()()513+=-x x x x 2、x x 5322 =- 3、2 260x y -+= 4、01072 =+-x x 5、()()623=+-x x 6、()()03342 =-+-x x x 7、()02152 =--x 8、0432=-y y 9、03072 =--x x 10、()()412=-+y y 11、()()1314-=-x x x 12、()025122 =-+x 17、()()213=-+y y 20、012 =--x x 21、02932 =+-x x 23、 x 2+4x -12=0 25、01752 =+-x x 26、1852 -=-x x

一元二次方程概念和解法测试题

一元二次方程概念与解法测试题 姓名: 得分: ⑤2 2230x x x +-=;⑥x x 322 +=;⑦231223x x -+= ;是一元二次方程的是 。 1. 把下列一元二次方程化成一般形式,并写出相应的二次项系数、一次项系数、常数项: 3.下列关于x 的方程中,一定是一元二次方程的是( ) A .2(2)210m x x ---= B .2530k x k ++= C 21203x --= D.22 340x x +-= 4、已知关于x 的一元二次方程5)12(2 =+--a x a x 的一个解为1,则a= 。 5.方程22(4)(2)310m x m x m -+-+-=,当m = 时,为一元一次方程; 当m 时,为一元二次方程。 6.已知关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个解是0,则m = 。 8、2 2 ___)(_____6+=++x x x ; 2 2 ____)(_____3-=+-x x x 9、方程0162 =-x 的根是 ; 方程 0)2)(1(=-+x x 的根是 ; 10、如果二次三项式16)122 ++-x m x ( 是一个完全平方式,那么m 的值是_______________. 11、下列方程是关于x 的一元二次方程的是( ); A 、02 =++c bx ax B 、 2112 =+x x C 、122 2-=+x x x D 、)1(2)1(32+=+x x 12、方程()()2 4330x x x -+-=的根为( ); (A )3x = (B )125x = (C )12123,5 x x =-= (D )1212 3,5x x == 13、解下面方程:(1)()2 25x -=(2)2 320x x --=(3)2 60x x +-=,较适当的方法分别为( ) (A )(1)直接开平法方(2)因式分解法(3)配方法(B )(1)因式分解法(2)公式法(3)直接开平方法 (C )(1)公式法(2)直接开平方法(3)因式分解法(D )(1)直接开平方法(2)公式法(3)因式分解法

《一元二次方程》单元教材分析

《一元二次方程》单元教材分析 一. 教学内容: 复习目标:(辅导时各位老师要学生掌握的点,每节课可以视情况巩固两点) ⑴了解一元二次方程的有关概念. ⑵能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、?因式分解法解一元二次方程. ⑶会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况. ⑷知道一元二次方程根与系数的关系,并会运用它解决有关问题. ⑸能运用一元二次方程解决简单的实际问题. ⑹了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想. 二. 基础知识回顾 1. 方程中只含有_______?个未知数,?并且未知数的最高次数是_______,?这样的______的方程叫做一元二次方程,通常可写成如下的一般形式:_____ __()其中二次项系数是______,一次项系数是______,常数项是________. 例如:一元二次方程7x-3=2x2化成一般形式是________?其中二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是________. 2. 解一元二次方程的一般解法有 ⑴_________;⑵________;⑶?_________;?⑷?求根公式法,?求根公式是______________. 3. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是____________,当_______时,它有两个不相等的实数根;当_________时,它有两个相等的实数根;当_______时,?它没有实数根.例如:不解方程,判断下列方程根的情况: ⑴x(5x+21)=20 ⑵x2+9=6x ⑶x2-3x=-5 4. 设一元二次方程x2+px+q=0的两个根分别为x1,x2,则x1+x2=_______,x1·x2=______. 例如:方程x2+3x-11=0的两个根分别为x1,x2,则x1+x2=________;x1·x2=_______. 5. 设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1,x2,则x1+x2=?_______,?x1·x2=________. 三. 重点讲解 1. 了解一元二次方程的概念,对有关一元二次方程定义的题目,要充分考虑定义的三个(强调是三个)特点,即①是整式方程(重点强调);②化简后只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2. 2. 解一元二次方程时,应根据方程特点,灵活选择解题方法,先考虑能否用直接开平方法和因式分解法,再考虑用公式法. (通过教材课后习题的演练,可以很明显的发现利用十字相乘法解方程时二次项系数时常不是一,而有些学生十字相乘法中对于二次项系数不为一的题目会无所适从,不妨多加练习,但厦门近三年的中考中没有出现过类似的题目) 3 .一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=≠的根的判别式正反都成立.利用其可以 ⑴不解方程判定方程根的情况(有根,有两个根,有两个不同的根分别代表⊿的取值范围); ⑵根据参系数的性质确定根的范围(有两正根,两负根,一根正一根负,只有一个根大于某常数); 针对只有一个根大于某一常数的题型举例如下: ⑶解与根有关的证明题(判断三角形的形状,某一恒等式证明). 举例如下: 4. 一元二次方程根与系数的应用很多:⑴已知方程的一根,不解方程求另一根及参系数;⑵已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数;⑶已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程. 5. 能够列出一元二次方程解应用题.能够发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题,并正确地用语言表述问题及其解决过程.

一元二次方程的概念说课稿

21.1 一元二次方程说课稿 各位评委老师好: 我今天说课的题目内容是:一元二次方程。这节课我将从教材、目标、教法、过程、板书这五方面进行分析。 一、教材的地位和作用 一元二次方程是新人教版九年制义务教育课本中九年级上第21 章的第一节内容,是中学数学的主要内容之一,在初中数学中占有重要地位。通过一元二次方程的学习,可以对已学过实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固,同时又是今后学习二次函数、可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式等知识的基础。此外,学习一元二次方程对其它学科有重要意义。本节课是一元二次方程的概念,是通过丰富的实例,让学生建立一元二次方程,并通过观察归纳出一元二次方程的概念。一、内容和内容解析 二、教学目标 根据大纲的要求、本节教材的内容和学生已有的知识经验,确定本节课的三维目标:知识与能力目标:(1)继续体会方程是刻画数量关系的一个有效数学模型;(2)理解一元二次方程的概念,一般形式,会将一元二次方程化成一般形式,正确识别一般形式中的项和系数; (3)培养学生观察、类比、归纳的能力。 过程与方法目标:引导学生分析实际问题中的数量关系,回顾一元一次方程的概念,组织学生讨论,让学生自己抽象出一元二次方程的概念情感、态度与价值观:通过数学建模的分析、思考过程,激发学生学数学的兴趣,体会做数学的快乐,培养用数学的意识。 3、教学重点与难点 要运用一元二次方程解决生活中的实际问题,首先必须了解一元二次方程的概念,而概念的教学又要从大量的实例出发。教学重点:理解一元二次方程的概念,掌握它的一般形式。教学难点:;一元二次方程的概念,正确识别一般式中的项及系数。 三、教法、学法: 因为学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程及相关概念,所以本节课我主要采用启发式、类比法教学。教学中力求体现“问题情景--- 数学模型----------- 概念归纳” 的模式。指导学生从具体的问题情景中抽象出数学问题,建立数学方程,从而突破难点。同时学生在现实的生活情景中,经历数学建模,经过自主探索和合作交流的学习过程,产生积极的情感体验,进而创造性地解决问题,有效发挥学生的思维能力。 四、教学过程设计1.创设情境,引入新知 请同学们阅读本章的章前问题--- 雕像的黄金分割问题,并回答:

《一元二次方程》单元测试题及答案

《一元二次方程》单元测检测试题 班级 姓名 一、选择题 (每题3分) 1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) +bx+c=0 C.(x+3)(x-2)=x+5 23 2057 x +-= 2下列方程中,常数项为零的是( ) +x=1 =12; (x 2-1)=3(x-1) (x 2+1)=x+2 3.一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) { A. 23162x ??-= ???; B.2 312416x ? ?-= ???; C. 2 31416x ? ?-= ?? ?; D.以上都不对 4.关于x 的一元二次方程()2 2 110a x x a -++-=的一个根是0,则 a 值为( ) A 1 B 1- C 1或1- D 1/2 5.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A. 11 B. 17 C. 17或19 D. 19 6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 22870x x -+=的两个根,则这个直角三角形的斜边长是( ) A B 、3 C 、6 D 、9 7.使分式256 1 x x x --+ 的值等于零的x 是( ) 或6 - 8.若关于y 的一元二次方程ky 2-4y-3=3y+4有实根,则k 的取值范围是( ) >-7/4 ≥-7/4 且k ≠0 ≥-7/4 >7/4 且k ≠0 9.已知方程22=+x x ,则下列说中,正确的是( ) A 方程两根和是1 B 方程两根积是2 C 方程两根和是1- D 方程两根积比两根和大2 10.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) (1+x)2=1000 +200×2x=1000 +200×3x=1000 [1+(1+x)+(1+x)2]=1000 二、填空题:(每小题4分) ( 11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便. 12.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为____ ____. 13.22____)(_____3-=+-x x x 14.若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______.

一元二次方程的概念整理

一元二次方程的概念整理: 1. 一元二次方程的概念: (1)注意一元二次方程定义中的三个条件:有一个未知数,含未知数的最高次是2,整式方程,是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。 (2)强调:要先把一元二次方程化为一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),才能确定a 、b 、c 的值。 一元一次方程与一元二次方程的区别和联系 2. 一元二次方程的解法: 熟练地解一元一次方程和一元二次方程是学好其他方程的关键,一元二次方程的解法是本章的重点。 一元二次方程的基本解法有四种: (1)直接开平方法: ()它是以平方根的概念为基础,适合于形如,类型的方程。 ax b c a c +=≠≥200() (2)配方法: ()先把二次项系数化为,再对进行配方,即在方程两边同时加上一次 项系数一半的平方,就能配出一个含有未知数的一次式的完全平方式,变形为:的形式,再直接开平方解方程。 1x px p x m n n 22 220+?? ?? ?+=≥() (3)公式法: 用配方法推导求根公式,由此产生了第三种解法公式法,它是解一元二次方程的主要方法,是解一元二次方程的通法。

关键是把方程整理成一元二次方程的一般形式,确认、、的值(特别要注意正、负号),求出的值(以便决定有无必要代入求根公式), 若,则代入求根公式。a b c b ac b ac x b b ac a ?=--≥=-±-22 244042 (4)因式分解法: 适用于方程左边易于分解,而右边是零的方程。 我们在解一元二次方程时,要注意根据方程的特点,选择适当的解法,使解题过程简捷些。一般先考虑直接开平方法,再考虑因式分解法,最后考虑公式法。 对于二次项系数含有字母系数的方程,要注意分类讨论。 3. 一元二次方程根的判别式: 一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式△=b 2-4ac 的意义,在于不解方程可以判别根的情况,还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。 4. 一元二次方程的根与系数的关系: ()已知、是一元二次方程++=的两个根,那么,,,逆命题也成立。x x ax bx c a x x b a x x c a 122121200≠+=-?= 一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用: (1)已知方程的一根,求另一个根和待定系数的值。 (2)不解方程,求某些代数式的值。 (3)已知两个数,求作以这两个数为根的一元二次方程。 (4)已知两数和与积,求这两个数。 (5)二次三项式的因式分解。 …… 运用根与系数的关系,可以大大缩减了复杂的运算量,避免进行无理数的计算。 注意:在应用根与系数的关系时,不要忽略隐含条件。?≥≠???00a 5. 二次三项式的因式分解: 在实数范围内分解二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0),可先用求根公式求出方程ax 2+bx +c =0的两个根x 1、x 2,然后写成ax 2+bx +c =a (x -x 1)(x -x 2)。当a ≠1时,分解时注意不要忘了a 。 ()()例如:x x x 2555-=+- 6. 可化为一元二次方程的分式方程的解法: 解分式方程的常用方法是去分母,换元法转化为整式方程求解。 解分式方程时,一定要注意验根,验根后要写结论。

一元二次方程200道计算题练习

一元二次方程200道计算题练习 1、)4(5)4(2+=+x x 2、x x 4)1(2=+ 3、22)21()3(x x -=+ 4、31022=-x x 5、(x+5)2=16 6、2(2x -1)-x (1-2x )=0 7、x 2 =64 8、5x 2 - 5 2=0 9、8(3 -x )2 –72=0 10、3x(x+2)=5(x+2) 11、(1-3y )2+2(3y -1)=0 12、x 2+ 2x + 3=0 13、x 2+ 6x -5=0 14、x 2-4x+ 3=0 15、x 2 -2x -1 =0 16、2x 2+3x+1=0 17、3x 2+2x -1 =0 18、5x 2-3x+2 =0 19、7x 2-4x -3 =0 20、 -x 2-x+12 =0 21、x 2-6x+9 =0 22、(3x+2)2=(2x-3)2 23、x 2-2x-4=0 24、x 2-3=4x 25、3x 2+8 x -3=0 26、(3x +2)(x +3)=x +14 27、(x+1)(x+8)=-12 28、2(x -3) 2=x 2-9 29、-3x 2+22x -24=0 30、(2x-1)2 +3(2x-1)+2=0 31、2x 2-9x +8=0 32、3(x-5)2 =x(5-x) 33、(x +2) 2=8x 34、(x -2) 2=(2x +3)2 35、2720x x += 36、24410t t -+= 37、()()24330x x x -+-= 38、2631350x x -+= 39、()2 231210x --= 40、2223650x x -+= 41. (x -2) 2=(2x-3)2 42. 43. 3(1)33x x x +=+ 44. x 2 45. ()()0165852=+---x x 46. 47. 4(x-3)2=25 48. 24)23(2=+x 49. 25220x x -+= 50. 51. 52. 01072=+-x x 53. -x 2+11x -24=0 54. 2x (x -3)=x -3. 55. 3x 2+5(2x+1)=0 56. (x +1) 2-3 (x +1)+2=0 57. 22(21)9(3)x x +=- 58. 59.. 60. 21302x x ++= 61. 4 )2)(1(13)1(+-=-+x x x x 62. 2)2)(113(=--x x 63. x (x +1)-5x =0 .64. 3x (x -3) =2(x -1) (x +1). 65. (x+1)2﹣9=0. 042=-x x 51)12(2 12=-y 012632=--x x 2230x x --=

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