2014年北京市海淀区中考数学一模试题及答案

海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习 2014．5

一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1．13

-的绝对值是

A ． 3-

B ． 3

C ． 13

- D ． 1

3

2． 据教育部通报，2014年参加全国硕士研究生入学考试的人数约为1720000． 数字1720000用科学记数法表示为

A ．517.210?

B ．61.7210?

C ．51.7210?

D ．70.17210? 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A B C D

4．一个不透明的盒子中放有4个白色乒乓球和2个黄色乒乓球，所有乒乓球除颜色外完全相

同，从中随机摸出1个乒乓球，摸出黄色乒乓球的概率为

A ．23

B ．12

C ．13

D ．1

6

5．如图，AB 为⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，AB=8，OC =3，则⊙O 的半径长为 A ．3 C ．4 D ．5

6．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数x 与方差2

s ：

根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁

7．如图，在ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于E ，∠BED=150°，则∠A 的大小为 A ．150° B ．130° C ．120°

D ．100°

8．如图，点P 是以O 为圆心， AB 为直径的半圆的中点，AB=2，等腰直角三角板45°角的顶点与点P 重合， 当此三角板绕点P 旋转

时，它的斜边和直角边所在的直线与直径AB 分别相交于C 、D 两点．设线段AD 的长为x ，线段BC 的长为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的

函数关系的图象大致是

A B C D 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式：24xy x -= ．

10．已知关于x 的方程

220x x a -+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_________．

11．如图，矩形台球桌ABCD 的尺寸为2.7m ?1.6m ，位于AB 中点处的台球E

沿直线向BC 边上的点F 运动，经BC 边反弹后恰好落入点D 处的袋子中，则BF 的长度为 m.

E D

C

B

A F E

D

C

B A 1.6m

2.7m

12．在一次数学游戏中，老师在A B C 、、三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为0a ，0b ，

0c ，记为0G =（0a ，0b ，0c ）. 游戏规则如下： 若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从

糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作. 若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束. n 次操作后的糖果数记为

n G =（n a ，n b ，n c ）．

（1）若0G =（4，7，10），则第_______次操作后游戏结束；

（2）小明发现：若0G =（4，8，18），则游戏永远无法结束，那么2014G =________． 三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．计算：0(3π)-++?60tan

211

()3

--

14． 解不等式组：49132.2x x x x >-??

?+>??，

15． 已知2340x x +-=，求代数式2(3)(3)(23)x x x +++-的值．

16．如图，在△ABC 中，∠ACB =90o， D 是AC 上的一点，且AD=BC ，DE ⊥AC 于D ， ∠EAB =90o． 求证：AB=AE ．

E

D

C

B A

17．列方程（组）解应用题：

某市计划建造80万套保障性住房，用于改善百姓的住房状况. 开工后每年建造保障性住房的套数比原计划增加25%，结果提前两年保质保量地完成了任务. 求原计划每年建造保障性住房多少万套？

18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ax a =-（a 为常数）的图象与y 轴相交于点

A ，与函数2

(0)y x x

=>的图象相交于点B (m ，1)． （1）求点B 的坐标及一次函数的解析式；

（2）若点P 在y 轴上，且△PAB 为直角三角形，请直接写出点P 的坐

标．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19． 如图，在△ABC 中，∠ACB =90o，∠ABC =30o，BC

=，以AC 为边在△ABC 的外部作等边△ACD ，连接BD ． （1）求四边形ABCD 的面积； （2）求BD 的长．

A

B

C

D

20． 社会消费品通常按类别分为：吃类商品、穿类商品、用类商品、烧类商品，其零售总额是反映居民生活水平的一项重要数据．为了了解北京市居民近几年的生活水平，小红参考北京统计信息网的相关数据绘制了统计图的一部分：

（1）北京市2013年吃类商品的零售总额占社会消费品零售总额的百分比为 ； （2）北京市2013年吃类商品零售总额约为1673亿元，那么当年的社会消费品零售总额

约为 亿元；请补全条形统计图，并标明相应的数据．．．．．．．

； （3）小红根据条形统计图中的数据，绘制了北京市2010至2013年社会消费品零售总额

年增长率统计表（如下表），其中2013年的年增长率为 （精确到1%）；请你估算，如果按照2013年的年增长率持续增长，当年社会消费品零售总额超过10000亿元时，最早要到 年（填写年份）．

北京市2010至2013年社会消费品零售总额年增长率统计表

21．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC 、AC 分别交于D 、E 两点， DF ⊥AC 于F ．

（1）求证：DF 为⊙O 的切线； （2）若3

cos 5

C =

，CF =9，求AE 的长． 5310

6229

6900

7703

总额/亿元

年份

吃类商品

8.7%

64.1%

7.2%

用类商品

穿类商品

烧类商品

北京市2009至2013年社会消费品

零售总额统计图 北京市2013年各类社会消费品

零售总额分布统计图

22．阅读下面材料：

在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD 的边长为2，折叠菱形纸片，将B 、D 两点重合在对角线BD 上的同一点处，折痕分别为EF 、GH ．当重合点在对角线BD 上移动时，六边形AEFCHG 的周长的变化情况是怎样的？ 小明发现：若∠ABC =60°，

①如图1，当重合点在菱形的对称中心O 处时，六边形AEFCHG 的周长为_________； ②如图2，当重合点在对角线BD 上移动时，六边形AEFCHG 的周长_________（填“改变”或“不变”）.

请帮助小明解决下面问题：

如果菱形纸片ABCD 边长仍为2，改变∠ABC 的大小，折痕EF 的长为m ． （1）如图3，若∠ABC =120°，则六边形AEFCHG 的周长为_________；

（2）如图4，若∠ABC 的大小为2α，则六边形AEFCHG 的周长可表示为________．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2()y mx m n x n =-++（0m <）的图象与y 轴正半轴交于A 点．

（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；

（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧的交点为点B ，若45ABO ∠=，将直线

AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式； （3）在（2）的条件下，设M (,)p q 为二次函数图象上的一个

动点，当30p -<<时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．

24．在△ABC 中，AB=AC ，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0180α<<，

连接AD 、BD ．

（1）如图1，当∠BAC =100°，60α=时，∠CBD 的大小为_________； （2）如图2，当∠BAC =100°，20α=时，求∠CBD 的大小；

（3）已知∠BAC 的大小为m （60120m <<），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请

直接写出α的大小．

D

C

B

A

A

B

C

25．对于平面直角坐标系x Oy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（

b

a

k

+，ka b+）（其中k

为常数，且0

k≠），则称点P'为点P的“k属派生点”．

例如：P（1，4）的“2属派生点”为P'（1+4

2

，214

?+），即P'（3，6）．

（1）①点P（-1，-2）的“2属派生点”P'的坐标为____________；

②若点P的“k属派生点”P'的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P的坐

标____________；

（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P'点，且△OPP'为等腰直角三角形，则k的值为____________；

（3）如图, 点Q的坐标为（0，），点A在函数y=0

x<）的图象上，且点A

是点B的“，当线段B Q最短时，求B点坐标．

海淀区九年级第二学期期中测评

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13. 解：0(3π)-++?60tan 21

1()3

-=4 ………………5分

14. 解：∴原不等式组的解集为31x -<<. …………………………………………………5分

15. 解： 2(3)(3)(23)x x x +++-∴原式()

233x x =+=34=12.

? …………5分

16. 证明：

17. 解：设原计划每年建造保障性住房x 万套. ………………………………………1分

根据题意可得:

8080

2(125%)x x

-=+ ． ……………………………………………2分 解方程，得 8x =. …………………………………………………………………3分 经检验:8x =是原方程的解，且符合题意．

………………………………………4分

答：原计划每年建造保障性住房8万套． ……………………………………………5分

18．解：（1）∵B (1)m ,

在2

(0)y x x =>的图象上，∴一次函数的解析式为 1.y x =- ……3分

（2）P 点的坐标为（0，1）或（0，3）． ……………………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19． 解：（1）∵在△ABC 中，∠ACB =90o，∠ABC =30o，BD =

∴1

cos ,2

BC ABC AC AB AB ∠=

=,90903060BAC ABC ∠=-∠=-=. 14,42cos 2

BC AB AC ABC =

===

?=∠. ………1分

∵△ACD 为等边三角形，

∴2AD CD AC ===,60DAC ∠=

.

过点D 作DE AC ⊥于E ， 则sin 2sin603DE AD DAC =∠=?=∴ABC ACD ABCD S S S =+

△△四边形11

22

AC BC AC DE =

?+?112222=???= …3分

（2）过点D 作DF AB ⊥于F .

∵180180606060DAF BAC DAC ∠=-∠-∠=--=, ∴sin 2sin603DF AD DAF =?∠==cos 2cos601AF AD DAF =?∠==. ………………………………………4分

∴415BF AB AF =+=+=． ∵DF AB ⊥，

∴在Rt BDF △中，22222528BD DF BF =

+=+=.

∴BD = …………………………………………………………………5分

20． 解：（1）20.0%； ……………………………………………………………………1分

（2）8365; ……………………………………………………………………………2分

………………………………………………3分

（3）9%，2016． …………………………………………………………………………5分 21． 解：（1）连接,OD AD .∵AB 是⊙O 的直径，∴90ADB ∠=.

又∵AB AC =，∴D 为BC 的中点. 又∵O 为AB 的中点，∴OD //AC .

∵DF ⊥AC ，∴DF ⊥OD .

又∵OD 为⊙O 的半径，∴DF 为⊙O 的切线．…2分 （2）∵DF ⊥AC ，9CF =,

∴cos CF C CD =.∴3

915cos 5

CF CD C =

=÷=.…3分 ∵90ADB ∠=，∴90ADC ∠=.∴cos CD

C AC

=.

∴3

1525cos 5

CD AC C =

=÷=. . …………4分 连接BE .∵AB 是⊙O 的直径，∴90AEB ∠=.又∵DF ⊥AC ，∴DF //BE .

∴

1CF CD EF BD

==.∴9EF CF ==.∴25997AE AC EF CF =--=--=． ……5分 5310

6229 6900

7703 总额/亿元 年份

北京市2009至2013年社会消费品

零售总额统计图

8365

22． 解：①6；………………………………………………………………………………1分 ②不变. ……………………………………………………………………………2分

（1

） ……………………………………………………………………3分 （2）4+4sin α． ………………………………………………………………5分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23． 解：（1）令2()=0mx m n x n -++，则

22=()4=()m n mn m n ?+--. ………………………………………………………1分

∵二次函数图象与y 轴正半轴交于A 点，

∴(0,)A n ，且0n >. 又0m <，∴0m n -<. ∴2=()0m n ?->.

∴该二次函数的图象与x 轴必有两个交点．………………………………………2分

（2）令2()=0mx m n x n -++，解得：121,n

x x m

==．

由（1）得

0n

m

<，故B 的坐标为（1，0）. ………………………………………3分 又因为45ABO ∠=，所以(0,1)A ，即=1n .

则可求得直线AB 的解析式为1y x =-+.

再向下平移2个单位可得到直线:1l y x =--． …………………………………4分 （3）由（2）得二次函数的解析式为2(1)1y mx m x =-++

∵M (,)p q 为二次函数图象上的一个动点， ∴2(1)1q mp m p =-++.

∴点M 关于x 轴的对称点M '的坐标为(,)p q -. ∴点M '在二次函数2(1)1y mx m x =-++-上.

∵当30p -<<时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，

当0p =时，1q =；当3p =-时，124q m =+； ……………………………5分 结合图象可知：(124)2m -+≤，

解得：1

2m ≥-，………………………………………………………………………6分

∴m 的取值范围为1

02

m -≤<．……………………………………………………7分

2

24．解：（1）30°；……………………………… ………………………………………1分 （2）如图作等边△AFC ，连结DF 、BF ．

∴AF=FC=AC ， ∠F AC=∠AFC=60°

. ∵∠BAC =100°，AB=AC ，

∴∠ABC =∠BCA =40°

. ∵∠ACD =20°，

∴∠DCB=20°

. ∴∠DCB=∠FCB=20°. ① ∵AC=CD ，AC=FC ， ∴DC=FC . ② ∵BC=BC ，③

∴由①②③，得 △DCB ≌△FCB ，

∴DB=BF ， ∠DBC=∠FBC. ∵∠BAC =100°， ∠F AC=60°，

∴∠BAF =40°

. ∵∠ACD =20°，AC=CD ，

∴∠CAD=80°. ∴∠DAF=20°

. ∴∠BAD=∠F AD=20°

. ④ ∵AB=AC ， AC=AF ， ∴AB= AF . ⑤ ∵AD= AD ，⑥

∴由④⑤⑥，得 △DAB ≌△DAF . ∴FD= BD . ∴FD= BD=FB .

∴∠DBF=60°

. ∴∠CBD=30°

. ………………………………………………………………………4分 （3）120m α=?-, α=60° 或 240m α=?-

.

……………………………7分

25. 解：（1）①（-2，-4）; ……………………………………………………………1分

②答案不唯一，只需横、纵坐标之和为3即可，如（1，2） .……………3分

（2）±

1； ……………………………………………………………………………5分 （3）设B （a ，b ）.

∵B 的“A ，

∴A （

a ，

b +）. ………………6分

∵点A 还在反比例函数y =

∴

a b -+()

∴212b ()=.

∵0b >

∴b =

∴b =

+.

∴B 在直线y +上．…………………7分

过Q 作y +的垂线Q B 1,垂足为B 1，

∵(0,Q ，且线段BQ 最短， ∴1

B 即为所求的B 点，

∴易求得3(2B .…………………………………………………………8分

注：其他解法请参照给分.