北京四中高考数学总复习 对数与对数函数知识梳理教案
【考纲要求】
1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化,对数的运算性质、换底公式与自然对数;
2.掌握对数函数的概念、图象和性质.
3.正确使用对数的运算性质;底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用.
4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习,培养观察、分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法;
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、对数概念及其运算
我们在学习过程遇到2x =4的问题时,可凭经验得到x=2的解,而一旦出现2x =3时,我们就
无法用已学过的知识来解决,从而引入出一种新的运算——对数运算.
(一)对数概念:
1.如果()01b
a N a a =>≠,且,那么数
b 叫做以a 为底N 的对数, 记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.
2.对数恒等式:log log a b N a a N a N N b ?=?=?=?
3.对数()log 0a N a >≠,且a 1具有下列性质:
(1)0和负数没有对数,即0N >;
(2)1的对数为0,即log 10a =;
(3)底的对数等于1,即log 1a a =.
(二)常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数,N N lg log 10简记作. 对数与对数函数
图象与性质
对数运算性
质 对数函数的图
像
与
对
数
的
概
念 指对互化
运
算
以e 为底的对数叫做自然对数, log ln e N N 简记作.
(三)对数式与指数式的关系
由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示.
由此可见a ,b ,N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.
(四)积、商、幂的对数
已知()log log 010a a M N a a M N >≠>,且,、
(1)()log log log a a a MN M N =+;
推广:()()12
1212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、 (2)log log log a a a M M N N
=-; (3)log log a a M M αα=.
(五)换底公式
同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在a>0, a ≠1, M>0的前提下有:
(1) )(log log R n M M n a a n ∈=
令 log a M=b , 则有a b =M , (a b )n =M n ,即n b n M a =)(,
即n a M b n log =,即:n a a M M n log log =. (2) )1,0(log log log ≠>=
c c a M M c c a ,令log a M=b , 则有a b =M , 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c b c
即M a b c c log log =?, 即a
M b c c log log =, 即)1,0(log log log ≠>=c c a
M M c c a
当然,细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出,但在解决某些问题(1)又有它的灵活性. 而且由(2)还可以得到一个重要的结论:
)1,0,1,0(log
1log ≠>≠>=b b a a a
b b a . 考点二、对数函数及其图像、性质
1.函数y=log a x(a>0,a ≠1)叫做对数函数.
2.在同一坐标系内,
当a>1时,随a 的增大,对数函数的图像愈靠近x 轴;
当0 (1)对数函数y=log a x(a>0,a ≠1)的定义域为(0,+∞),值域为R (2)对数函数y=log a x(a>0,a ≠1)的图像过点(1,0) (3)当a>1时,0(1)log 0(1)0(01)a x x x x >>??==??<< a 0(x 1)0a 1log x 0(x 1)0(0x 1)<>??<<==??>< 当时, 【典型例题】 类型一、指数式与对数式互化及其应用 例1.将下列指数式与对数式互化: (1)2log 83=;(2)13log 92=-;(3)3log 3x =; (4)45625=;(5)1133-=;(6)21164-??= ???. 【解析】(1)328=;(2)2193-??= ??? ;(3)33x =; (4)5log 6254=;(5)31log 13=-;(6)14 log 162=-. 【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 举一反三: 【变式】求下列各式中x 的值: (1)642log 3 x =- (2)log 86x = (3)lg100=x (4)2-ln e x = 【解析】(1)2 223()323331(64)(4) 4416x --?--=====; (2)1 11166366628()(8)(2)2x x x ====== ,所以 (3)10x =100=102,于是x=2; (4)由222ln ln 2x e x x e e e x --=-===-,得,即所以. 类型二、对数运算法则的应用 例2.求值 (1) log 89·log 2732 (2)9 1log 81log 251log 32log 53264??? (3))36log 4 3log 32(log log 421 22++ (4)(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52) 【解析】(1)原式=9 1035322log 3log 532233=?=?. (2)原式=103 log 2log 5log 2log 253322526-=--- (3)原式=1222223log (5log log 6)4 -++ 22223log (5log log 6)log 834 =-+== (4)原式=(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52) 22251 (3log 5log 5log 5)(3log 2)3=++ 52133log 2log 5133 =?= 举一反三: 【变式】已知:log 23=a , log 37=b ,求:log 4256=? 【解析】∵ 3log 12log 23= ∴a 12log 3=, 33342333log 56log 7log 8log 56log 42log 7log 6 +==+ 3333log 73log 2log 71log 2 +=++ 1 31 13+++=+++ =a ab ab a b a b 类型三、对数函数性质的综合应用 例3.已知函数)2(log )(2 21x x x f +-= (1)求函数)(x f 的值域;(2)求)(x f 的单调性 【解析】 222221122 212 212212 (1)-202002 02-2(2)(0,1] log (-2)log 10 log (-2)[0,). (2)-2(02)log -20,11,2log x x x x x x y x x x x x x y x x u x x x v u u x x v u +>∴-<∴<<<<=+=--∈∴+≥=∴=++∞=+<<==+=∴由题得当时,函数的值域为设函数在()上是增函数, 在()上是减函数。 是减函数 由复合函数的单调性得函数f(212 log (-2) 0,11,2x x +x)=在()上是减函数,在()上是增函数。 举一反三: 【变式】已知f(log a x)=) 1()1(22--a x x a (a>0且a ≠1),试判断函数f(x)的单调性. 【解析】设t=log a x(x ∈R + , t ∈R). 当a>1时,t=log a x 为增函数,若t 1 ∴ f(t 1)-f(t 2)=)1() 1)(()1() 1()1()1(221212122222121-+-=-----a x x x x x x a a x x a a x x a , ∵ 0 当0 ∴ 不论a>1或0 例4.求函数y=2 1log (-x 2 +2x+3)的值域和单调区间. 【解析】设t=-x 2+2x+3,则t=-(x-1)2 +4. ∵ y=2 1log t 为减函数,且0 ∴ y ≥4log 2 1=-2,即函数的值域为[-2,+∞). 再由:函数y=21log (-x 2+2x+3)的定义域为-x 2 +2x+3>0,即-1 ∴ t=-x 2 +2x+3在(-1,1)上递增而在[1,3)上递减,而y=21log t 为减函数. ∴ 函数y=21log (-x 2 +2x+3)的减区间为(-1,1),增区间为[1,3). 例5. 判断下列函数的奇偶性. (1)1-()lg ;1x f x x =+ (2)())f x x =. 【解析】由1-0-111x x x ><<+可得 所以函数的定义域为:(-1,1)关于原点对称 又1111()lg lg()-lg ()111x x x f x f x x x x -+---====--++ ()()f x f x -=-即 所以函数1-()lg 1x f x x =+是奇函数; 【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式,函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性,不能轻易直接下结论,而应注意对数式的恒等变形. (2)0x x R >∈可得 所以函数的定义域为R 关于原点对称,又 (-))f x x == )-()x f x === 即f(-x)=-f(x);所以函数())f x x =是奇函数. 【总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难,函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧,要求掌握. 例6.已知函数h(x)=2x (x ∈R),它的反函数记作g(x),A 、B 、C 三点在函数g(x)的图象上, 它们的横坐标分别为a ,a+4,a+8(a>1),记ΔABC 的面积为S. (1)求S=f(a)的表达式; (2)求函数f(a)的值域; (3) 判断函数S=f(a)的单调性,并予以证明;(4)若S>2,求a 的取值范围. 【解析】(1)依题意有g(x)=log 2x(x>0). 并且 A 、B 、C 三点的坐标分别为 A(a , log 2a), B(a+4, log 2(a+4)), C(a+8, log 2(a+8)) (a>1). ∴A ,C 中点D 的纵坐标为 21〔log 2a+log 2(a+8)〕 ∴ S=2 1|BD|·4·2=4|BD|=4log 2(a+4)-2log 2a-2log 2(a+8). (2)把S=f(a)变形得: S=f(a)=2〔2log 2(a+4)-log 2a-log 2(a+8)〕=2log 2)8()4(2 ++a a a =2log 2(1+a a 8162+). 由于a>1时,a 2+8a>9, ∴1<1+a a 8162+<925, 又函数y=log 2x 在(0,+∞)上是增函数, ∴ 0<2log 2(1+a a 8162+)<2log 2925, 即0 25. (3)S=f(a)在定义域(1,+∞)上是减函数, 证明如下:任取a 1,a 2,使1 21816a a +) =16( 1212228181a a a a +-+) =16·)8)(8() 8)((1212222121a a a a a a a a ++++-, 由a 1>1,a 2>1,且a 2>a 1, ∴ a 1+a 2+8>0, 22a +8a 2>0, 21a +8a 1>0, a 1-a 2<0, ∴ 1<1+222816a a +<1+1 21816a a +, 再由函数y=log 2x 在(0,+∞)上是增函数,于是可得f(a 1)>f(a 2) ∴ S=f(a)在(1,+∞)上是减函数. (4)由S>2,即得?? ???>>++??????>>++12)8()4(12)8()4(log 222