以不变应万变滚动圆问题方法研究初探
“以不变应万变”——滚动圆问题规律初探
祁斌
（江苏省盐城市明达中学 224002）
近年来在中学数学教科书和竞赛中我们经常会遇到与圆的滚动有关的问题，如北师大版九年级（下）130页试一试提到的问题：取两枚大小相同的硬币，将其中一枚固定在桌上，另一枚沿着固定硬币的边缘无滑动滚动一周，那么滚动的硬币自身转了多少圈？浙江教育出版社出版的九年义务教育初中数学第六册97页有如下一题： ⊙O 与⊙O ′内切，两圆的半径分别为3cm 和1cm ，令⊙O ′沿着⊙O 顺时针方向滚动。已知滚动时⊙O ′绕⊙O 转动了3周，求随之运动所经过的路程。诸如此类的问题学生感到难以理解，教师不知如何解释，笔者深入研究了一下,发现这类问题其实是有规律可寻的。
首先，必须搞清楚滚动和普通意义上的转动并不是同一回事。滚动其实是一种复合运动，至少包括两种运动：一是滚动圆本身的自转（自转是指一个圆绕着自己的圆心转动）；另外还有滚动圆沿另一个几何图形的平移或旋转。由于在滚动过程中动圆除圆心外，其余各点相对于另一几何图形的运动轨迹是变化的，因此很难把握其规律，而圆心相对于另一几何图形的运动轨迹很容易确定，故解决圆的滚动问题的关键在于抓住滚动前后的动圆圆心轨迹，其类型大体有以下几种，现举例说明： 一、圆沿直线滚动的问题
例1如图1，一个半径为 r 米的圆沿直线方向从A 地滚动到B 地，若线段AB 长m 米，则该圆在滚动过程中自转了几圈？
图1
简析
圆在沿直线方向从A 地滚动到B 地的过程中，圆心到直线AB 的距离始终保持不变，易证得四边形ABO ′O 是矩形，所以AB ＝OO ′＝m,此时圆心轨迹是与直线AB 平行且到直线AB 距离等于r 的一条线段OO ′，其长为m ，而圆自转一圈，圆心向前移动距离为2πr, 因此圆在滚动过程中自转了
r
m
2圈。 二、圆沿凸多边形边缘滚动的问题
例2如图2，一个半径为 r 圆沿着某一凸五边形ABCDE 外侧边缘（圆和边相切）作无滑动滚动一周回到原来位置已知五边形周长为m,问圆自转了几圈？
A B
图２
简析 如图2，圆在绕凸五边形ABCDE 滚动过程中，其圆心到多边形各边（包括顶点）的距离保持不变，始终等于r ，圆心绕多边形边缘滚动的路径由两部分组成：五边形周长加上在多边形各顶点处所经过的弧线长。
易证，所有弧线长和刚好等于圆周长，圆自身所转的圈数是圆心经过的路径长除以圆自身周长，故圆转动了
r
r
m ππ22+周.设想一下，如果把图2中的五边形ABCDE 沿点A 处剪开并展开，仿造上面的第一种情形，圆的运动路径可以转化为沿直线运动且圆心所经过的路径长为OO ′的长，见图3 , 即OO ′＝m+2πr . 而圆自转一圈，圆心向前移动距离为2πr, 因此圆在滚动过程中自转了
r
r
m ππ22+圈.类似的对于一般的凸n 边形,上面的结论同样成立。
图3
三、动圆绕定圆滚动的问题
例3 如图4 ⊙O 与⊙O ′外切于点A ，已知 ⊙O 和⊙O ′的半径分别为 R 、r ，若⊙O ′绕着⊙O 边缘滚动一周回到初始位置，问⊙O ′自转了几圈？
图4
简析 ⊙O ′绕着⊙O 边缘滚动的一周回到初始位置过程中圆心O ′到O 点的距离始终保持不变，长为R ＋r ，此时滚动圆圆心O ′的运动轨迹是以O 为圆心，R ＋r 长为半径的圆，其周长为2π（R ＋r ），⊙O ′自身所转的圈数是圆心经过的路径长除以⊙O ′的自身周长，故圆转动了
r
r R ππ2)
(2+圈。如果把图4中的⊙O 沿切点A 处剪开并展开，仿造上面的第一种情
形，圆的运动路径可以转化为沿直线运动，见图5, 即O ′//
o ＝2π（R+r ），而圆自转一圈，圆心向前移动距离为2πr, 因此圆在滚动过程中自转了
r
r R ππ2)
(2+圈.
图5
例4 如图6,⊙O 与⊙O ′内切于点A ，已知 ⊙O 和⊙O ′的半径分别为 R 、r （R ≥r ），若⊙O ′绕着⊙O 边缘滚动一周回到初始位置，问⊙O ′自转了几圈？
简析 ⊙O ′绕着⊙O 边缘滚动的一周回到初始位置过程中圆心O ′到O 点的距离始终保持不变，长为 R －r ，此时滚动圆圆心O ′的运动轨迹是以O 为圆心，R －r 长为半径的圆，其周长为2π（R －r ），⊙O ′自身所转的圈数是圆心经过的路径长除以⊙O ′的自身周长，故圆转动了
r
r R ππ2)
(2-圈。如果把图6中的⊙O 沿切点A 处剪开并展开，仿造上面的第一种情
A
形，圆的运动路径可以转化为沿直线运动，见图7, 即O ′//
o ＝2π（R －r ），而圆自转一圈，圆心向前移动距离为2πr, 因此圆在滚动过程中自转了
r
r R ππ2)
(2-圈.
图7
综上所述，滚动圆相关问题的关键在于确定滚动圆圆心的运动路径，假设滚动圆圆心的运动路径为m,其半径为r ，自转圈数为n ，我们不难得出如下关系：n=
r
m
π2.由此本文开头提到的两个问题就很容易解决了:设硬币的半径为r, 滚动的硬币的圆心经过的路径长为2π（r+r ）=4πr ，故滚动的硬币自身转了
224=r
r
ππ圈。而另一问题中⊙O ′绕⊙O 转动了3周，其圆心经过的路径长为3×2π（3－1）=12π，故⊙O ′运动所经过的路程为12π.
2021高考语文二轮专题复习【统考版】精炼：专题八病句辨析与修改：练透类型,以不变应万变
专题八病句辨析与修改：练透类型，以不变应万变 授课提示：对应学生用书107页 近两年全国卷把语病的考查置于具体语境中，要求选出修改最恰当的一项。考查形式虽然有所变化，但和以往的考查没有本质区别，所考病句类型一般不会超出六种类型。其中，“搭配不当、成分残缺或赘余、结构混乱”等类型设题的频率仍会较高。“搭配不当”依然居首。 一、病句辨析五法 (一)语感审读法 语感审读法就是充分调动平时阅读的经验，从感性上察觉语句的毛病。当我们在审读一个句子时感觉到别扭，这个句子往往就有毛病。着重在别扭处仔细比较、分析则可以快速地推测其语病。答题步骤如下： 第一步初读四个选项，在感觉“别扭” 处进行标注。 第二步对比筛选，假定一个选项是“正 确”的。 第三 步 深入分析，验证排除，得出答案。 1．文中画横线的句子有语病，下列修改最恰当的一项是() 戏曲的创新必须以传承为基础，是传承中的创新，而不是眼花缭乱甚至任性妄为的创新，才能探索出一条能够被大多数观众接受的创新之路来。 A．而不是眼花缭乱甚至任性妄为的创新，这样才能探索出一条能够被大多数观众接受的创新之路来。
B．而不是令人眼花缭乱甚至任性妄为的创新，这样才能探索出一条能够被大多数观众接受的创新之路来。 C．而不是令人眼花缭乱甚至任性妄为的创新，才能探索出一条能够被大多数观众接受的创新之路来。 D．而不是眼花缭乱甚至任性妄为的创新，这样我们才能探索出一条能够被大多数观众接受的创新之路来。 解析：“眼花缭乱”不能直接作定语，而要在前面加上“令人”，因而排除A项、D项。根据句意，最后一句前加上指示代词“这样”来指代前面的内容，才能使语意更加明确，而不显得冗长突兀，排除C项。 答案：B (二)紧缩分析法 紧缩分析法就是运用简化成分的手段，先将句子中的附加成分抽取出来，保留主干，检查主干是否有问题；如果主干没问题，就再检查局部，看修饰语和中心词之间以及修饰成分内部是否有问题。答题步骤如下： 第一 步 分析句子，找出主语、谓语、宾语等成分。 第二 步 对主干成分进行检查，确认主干成分是否残缺，主谓、动 宾、主宾是否搭配。 第三 步 如果主干没有问题，便检查句子的枝叶成分。重点检查有 没有定语和中心词、状语和中心词、中心词和补语搭配不当的问题，有没有定语、状语或补语残缺的问题。 2．文中画横线的句子有语病，下列修改最恰当的一项是() 近年来，从南京上海“吴良材”案，到“中国商标第一案”王老吉红绿品牌之争，再到“稻香村”对簿公堂，国内“老字号”商标归属的争夺战不断升温，无不是历史的矛盾在现实利益纠缠中爆发。市场有纠纷很正常，但人们更加期待法律亮剑，终审能够定纷止争；更加盼望商道彰显，双方可以合作共赢，让“老字
以不变应万变滚动圆问题方法研究初探
“以不变应万变”——滚动圆问题规律初探 祁斌 （江苏省盐城市明达中学 224002） 近年来在中学数学教科书和竞赛中我们经常会遇到与圆的滚动有关的问题，如北师大版九年级（下）130页试一试提到的问题：取两枚大小相同的硬币，将其中一枚固定在桌上，另一枚沿着固定硬币的边缘无滑动滚动一周，那么滚动的硬币自身转了多少圈？浙江教育出版社出版的九年义务教育初中数学第六册97页有如下一题： ⊙O 与⊙O ′内切，两圆的半径分别为3cm 和1cm ，令⊙O ′沿着⊙O 顺时针方向滚动。已知滚动时⊙O ′绕⊙O 转动了3周，求随之运动所经过的路程。诸如此类的问题学生感到难以理解，教师不知如何解释，笔者深入研究了一下,发现这类问题其实是有规律可寻的。 首先，必须搞清楚滚动和普通意义上的转动并不是同一回事。滚动其实是一种复合运动，至少包括两种运动：一是滚动圆本身的自转（自转是指一个圆绕着自己的圆心转动）；另外还有滚动圆沿另一个几何图形的平移或旋转。由于在滚动过程中动圆除圆心外，其余各点相对于另一几何图形的运动轨迹是变化的，因此很难把握其规律，而圆心相对于另一几何图形的运动轨迹很容易确定，故解决圆的滚动问题的关键在于抓住滚动前后的动圆圆心轨迹，其类型大体有以下几种，现举例说明： 一、圆沿直线滚动的问题 例1如图1，一个半径为 r 米的圆沿直线方向从A 地滚动到B 地，若线段AB 长m 米，则该圆在滚动过程中自转了几圈？ 图1 简析 圆在沿直线方向从A 地滚动到B 地的过程中，圆心到直线AB 的距离始终保持不变，易证得四边形ABO ′O 是矩形，所以AB ＝OO ′＝m,此时圆心轨迹是与直线AB 平行且到直线AB 距离等于r 的一条线段OO ′，其长为m ，而圆自转一圈，圆心向前移动距离为2πr, 因此圆在滚动过程中自转了 r m 2圈。 二、圆沿凸多边形边缘滚动的问题 例2如图2，一个半径为 r 圆沿着某一凸五边形ABCDE 外侧边缘（圆和边相切）作无滑动滚动一周回到原来位置已知五边形周长为m,问圆自转了几圈？ A B
圆的认识知识点总结
圆的认识知识点总结 圆的认识知识点总结? 圆的定义：圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。相关定义: 1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。 2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。 3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。直径所在的直线是圆的对称轴。4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。 5 圆上任意两点间的部分
叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。 6 两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。7 弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=……在实际应用中，一般取π≈。11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。 12 圆是一个正n边形，边长无限接近0但不等于0。圆的集合定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。? 圆的字母表示：以点O 为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。圆—⊙；半径—r或R；弧—⌒；
新时代,以不变应万变
新时代，以不变应万变 尊敬的各位评委，亲爱的朋友们，大家下午好： 今天我演讲的题目是： 我们每个人都有初心，那么在演讲开始之前，首先我想问大家一个问题，你们的初心是什么？在今天的演讲现场我看到了来自各行各业的精英们，也许医护人员的初心是救死扶伤；教师的初心是教书育人；新闻工作者的初心是弘扬正能量；那么我的初心是什么呢？直至我看到这几张图片后，我才明白了！ 请大家看我背后的大屏幕！这是百年前的中国，有那么一群人，他们在苦苦的追寻，用手中的笔，用演说，用白话文，那个时候，他们的初心是让中国醒过来，大家再看我身后的另一张图片，这是97年前的中国，又有那么一群人，他们出生入死，在南湖的红船上，他们的初心是让中国站起来。再看40年前的中国，还有那么一群人，他们用知识武装头脑，用劳动创造生活。那时候，他们的初心是让中国富起来，而今，党的十九大胜利召开，中国特色社会主义进入新时代。作为基层食药监管员，我的初心是保障平定县人民的饮食用药安全。 不忘初心，方得始终。的确是这样的，回想起三年前，刚刚踏入食药监管的大门，我便踏上了走村入户之路，为了
保障全县人民的饮食用药安全，食药监管的前辈们，需要在每天早晨早早起床，坐公交车到达村口，徒步深入到村里的每一家经营单位，向他们宣传食品安全知识，告诉他们应该如何合法经营，如何快速方便的办理相关证件，如何在经营过程中保护村里百姓的饮食用药安全。就这样，一步又一步，风里来雨里去，食药监人用脚步践行着每一份责任，大家走遍了每一家被监管单位，这些经营单位也从最开始的抵触和排斥，慢慢的开始转变为接受和支持我们的工作，这就是我们食药人的初心，难道这样的初心不值得我们去学习吗？ 我恳请在场所有的朋友们，鼓动你们的双手，向这些食药监管的前辈们表示感谢，感谢他们一年又一年的付出，感谢他们夜以继日的奉献，真的，真的！谢谢你们！ 你听（音频），实施食品安全战略让人民吃的放心，这不正再一次验证了我们食药人的初心吗？ 十九大胜利闭幕后，全国各地、各级党组织掀起了学习贯彻落实十九大精神的热潮，我们再一次深入到各个经营户，根据实际情况，力所能及的帮助他们解决在生产、生活中所面临的问题和困难；改进食药监管思路。在活动中我们的食药监人，有的为经营户讲解食品安全操作规范；有的俯下身子为经营户整理货架，清理垃圾；有的为经营户重新安排、合理布局，有的为经营户建制度、定规范。走在新时代的关键时刻，我们深知知行合一才是真正的学懂、弄通、做实。
2018智慧树《职业生涯规划——体验式学习》最新完整答案
2018智慧树《职业生涯规划——体验式学习》答案 绪论 1【多选题】(20分)AC 这门课与传统学习方式有哪些不一样 A.老师与学生是师生更是朋友 B.有很多理论 C.老师讲的是资料和信息，只是作为参考，重要的是我的生涯由我自己来决定 D.只要按照老师讲的去做，就可以了 2【单选题】(20分)C 什么是积极的心态 A.让父母来帮忙自己做决定 B.用拖延的方式静待时机 C.主动出击 D.以不变应万变 3【判断题】(20分)A 这门课最重要的是帮助我们了解自己、认识自己到成为自己。 A.对 B.错 4【多选题】(20分)ABCD 学习职业生涯规划前后有哪些心态的对比 A.成功和成长 B.听妈妈爸爸老师说和我的生涯我来决定 C.理直气壮和理直气和 D.在学习生活工作间取舍和在学习生活工作间平衡 5【单选题】(20分)D 数字化时代对生涯规划的改变，在这个知识点中主要指的是什么 A.一带一路的工作机会 B.由impossible变为I’mpossible C.从生气到争气 D.从简历到生涯电子档案CareerElectronicPortfolio 6【判断题】(20分)A 开放的心态的核心就是输出，而不完全是在吸收。 A.对 B.错 第1章 1【单选题】(20分)A 数字化时代有“四种人”，以下哪种人不属于数字化时代 A.数字人民 B.数字移民 C.数字原住民 D.数字公民 2【判断题】(20分)A 我们的年代跟父母爷爷奶奶是不一样的，所以需要我们自己来做好职业生涯的抉择。 A.对 B.错 3【单选题】(20分)D
以下哪个内容不属于“职业生涯与就业创业指导”的内容 A.事业 B.志业 C.职业 D.学业 4【判断题】(20分)B 人生规划就是要学会做事。 A.对 B.错 5【判断题】(20分)B 生涯规划基本上是从西方传来的，是属于舶来品。 A.对 B.错 第2章 1【多选题】(20分)AC 活在当下是什么 A.不要为倒翻的牛奶去哭泣 B.说了要做，但是可以缓一缓 C.把每一天都当做余生的第一天去过 D.不能服从你的冲动 2【单选题】(20分)D 濒死五阶段的顺序是什么 A.沮丧、否认、妥协（讨价还价）、愤怒、接受 B.沮丧、愤怒、否认、妥协（讨价还价）、接受 C.愤怒、否认、妥协（讨价还价）、沮丧、接受 D.否认、愤怒、妥协（讨价还价）、沮丧、接受 3【多选题】(20分)CD 下面哪句话是正确的 A.活人的事情都还没照顾好，没必要去管死人的事情。 B.探讨死亡教育、临终关怀，是不吉利的，是忌讳的。 C.临终关怀是百益而无一害的。 D.不知死，焉知生之可贵。 4【判断题】(20分)A 人没有办法选择我们怎么生、我们生在哪里，但是我们人都有一个权力，帮助我们家人选择如何有尊严地离开。 A.对 B.错 5【判断题】(20分)A 黄天中老师常常提到，教育是良心事业，要帮助值得帮助的每一位学生成为自己！ A.对 B.错 第3章 1【多选题】(20分)ABCD 这门课建议具备的生存能力有哪些 A.了解整个世界，具全球化的视野和与世界不同文化、文明沟通的能力。 B.跳出思维的局限，即拥有创新力、独创力和批判性思考的能力。 C.懂得灵活运用新信息，即具有信息搜集、分析和解决问题的能力。 D.发展良好的人际关系能力，即具有良好的合作力。
华师大版数学九年级下册《圆》知识点总结
圆 1．圆的认识 （1）当一条线段OA绕着它的一个端点O在平面内旋转一周时，它的另一个端点A的轨迹叫做圆。或到一个定点的距离等于定长的点的集合。这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”。 （2）线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AC为直径。 （3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段AB、BC、AC都是圆O中的弦。 （4）圆上任意两点间的部分叫做弧。如曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记作BC、BAC其中像弧BC这样小于半圆周的圆叫做劣弧。像弧BAC，这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。 （3）圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。如∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。 2．圆的对称性 （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。 在同圆或等圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等。 在同圆或等圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。 （2）圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 3．垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。4．圆周角 （1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。 （2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。 90°的圆周角所对的弦是圆的直径。 （3）同圆或等圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。 （4）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。 5．点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点圆心O的距离为d，则 > （1）点在圆外?d r = （2）点在圆上?d r < （3）点在圆内?d r 6．（1）过一点可以画无数个圆； 过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上； 过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。 （2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点。 （3）一个三角形的外接圆是唯一的。 7．直线与圆的位置关系 （1）如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离。 （2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点． （3）如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线．
圆的知识点总结及典型例题.
圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 1
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； （2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； （3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1. 已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB ＝，ON＝1，求MN的长； ②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。 解：①∵AB ＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN ＝ ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2 ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1 ②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴∠AOM＝60° 2
圆的滚动问题教学内容
圆的滚动问题
精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 圆的滚动问题 1．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等， 那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（ ） A ． 4 B ．5 C ．6 D ．10 2．（2012?漳州）如图，一枚直径为4cm 的圆形古钱币沿着直线滚动一 周，圆心移动的距离是（ ） A ． 2πcm B ． 4πcm C ． 8πcm D ． 16πcm 3．如图，画有脸谱的圆与⊙O 的半径相等，并绕⊙O 按逆时针方向做无滑动的滚动 （⊙O 固定），则其中四个位置完全正确的是（ ） 4．如图，有5枚大小相同的圆形硬币，相互连接排列在一条直线上．将第1枚硬币从位置⊙O 1沿着第2、3、4、5枚硬币的边沿上方滚动，最后停留在位置⊙O 6上，那么，滚动的硬币自身转了（ ）圈． A ． 2 B ． 2 C ． 2 D ． 3 5．如图，等边三角形的边长与和圆的周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三 角形的三边作无滑动滚动，直至回到原出发位置时，则该圆转了（ ） A ．3圈 B ．5圈 C ．4圈 D ．2圈 6．如图，⊙O 沿凸n 边形的外侧（圆和边相切）无滑动地滚动一周回到原来的位置， 当⊙O 和凸n 边形的周长相等时，那么⊙O 自身转动了（ ）圈． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 7．一个圆作滚动运动（如图），它从位置A 开始，在与它相同的其它六个圆上部滚动，到达B 位置（六个圆的圆心与A 、B 在同一直线上），则该圆上某一定点绕其圆心共滚过的圈数为（ ）圈． A ． 2 B ． C ． D ． A ． B ． C ． D ．
以不变应万变作文650字
以不变应万变作文650字 太阳东升西落，月有阴晴圆缺，世间的万物无时无刻都在改变。面对着这个正一步步改变的世界，我们一边奔路一边思考着，我们应何去何从？ 茅盾文学奖获得者麦家老师说过：“世界天天新，日日变，我要做一个慢的人、旧的人。当世界变得眼花缭乱，我要继续做一个不变的人，一个气定神闲的人，在人们都追名逐利时，我要敢于后退，安于孤独的角落，继续写作。”面对着这个变幻莫测的世界，麦家老师选择了不变，以不变应万变。只要自己保持着一颗纯真、善良的心，就能征服这个变化的世界。他也曾迷茫，也曾随着欲望奔走，他曾用十一年的时间写了他人生中的一部巨作《解密》却用了三个月写过一部30万字的长篇，他在追赶速度时迷失过，但他终没有丢失自我，没有让他身上的本色随世界改变而改变。 面对着社会这片大森林，不少人都在其中迷失了方向，我们每天都能听到有些名人，在成明之后被欲望冲昏头脑，随着世界的改变而随波逐流，然而也有那么一些人却不曾改变过，日新月异，他们却仍就用他们的善良努力着，而江一燕就是他们其中的一员。 江一燕是著名的演员，然而有些人并不知道，她也是大山里的一名支教老师，是大山里的孩子们的小江老师。在参加《朗读者》节目时主持人问她为什么坚持去支教呢，她说她的坚持来自小时候她的舞
蹈老师。她的坚持让她成为了娱乐圈的一股清流。她的坚持让她在这个改变的世界里学会不改变自己，做原来的自己，做真实的自己。 麦家、江一燕都是成功的人，成功的人能在社会的风沙中认清自我，不被狂风而袭走。但平凡的我们也可以。面对着中国式过马路，面对着网络流言，面对着“扶不扶”问题你是否依然保持着自我，是否依然不变。以不变应万变是一种处理问题的方式，是一种处世态度。 当清晨第一缕阳光照向大地时，就是一个全新的，改变的一天，面对着这个改变的世界，你是否已准备好出发，以不变应万变。
人教版 六年级数学 第五单元 圆 知识归纳
人教版六年级数学知识归纳 第五单元圆 丁嘴学校吴长岭 一、圆的认识 圆是由曲线围成的封闭的平面图形 （一）圆的各部分名称 1、圆心：用圆规画出圆以后，针尖固定的一点就是圆心，通常用字母O表 示，圆心决定圆的位置 2、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 3、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。 直径是一个圆内最长的线段 （二）圆心和半径的作用：圆心O确定圆的位置半径r 确定圆的大小（三）圆规画圆的方法：（1）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离；（2）把有针尖的一只脚固定在一点上；（3）把装有铅笔尖的一只脚绕这个固定点旋转一周，就可以画出一个圆。 （四）圆的主要特征 1、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等， 所有的直径都相等。 2、在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的1/2。 d 用字母表示为：d=2r或 2 3、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆是 轴对称图形且有无数条对称轴 二、圆的周长 1、围成圆的曲线的长叫做圆的周长 2、圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母π(pai) 表示，计算时通常取3.14. 3、圆的周长的意义：圆的周长是指围成圆的曲线的长。直径的长短决定圆周长的大小。 4、圆的周长的计算公式：如果用C表示圆的周长，那么C=πd或C=2πr。 5、圆的周长计算公式的应用： （1）已知圆的半径，求圆的周长：C=2πr。 （2）已知圆的直径，求圆的周长：C=πd。
中考圆知识点经典总结
圆知识点学案 考点一、圆的相关概念 1、圆的定义 在一个平面，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2、圆的几何表示 以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB） （2）直径 经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD） 直径等于半径的2倍。 （3）半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 考点三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 考点四、圆的对称性 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 考点六、圆周角定理及其推论 1、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 考点七、点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d
一材多用,以不变应万变
一材多用,以不变应万变 [小引] 作文备考准备什么材料?如何发挥其使用价值?尤其是以最少的材料应对多种文题和题型，可谓考场作文出奇制胜的秘密武器。 [精心打造具有个人特色的应试作文材料示例] 临近除夕，一个没有双臂的中年男子，迎着腊月的寒风，坐在成阳市中华路人行道上，伸出赤裸的右脚，用脚趾握着毛笔，蘸了一下墨汁，在一张长条红纸上，写下了“先天下之忧而忧”。等他写出下联后，我便在一片喝彩声中将这副对联买到了手。我把它摆在客厅的大茶几上面当字帖，并找出文房四宝进行临摹。可是，毛笔在我的手里却不听使唤，好不容易模仿出来，却惨不忍睹。 (选自车宁《日记》) [灵活运用一个特色备考材料模拟临场应试异题作文示范] 一、叙述类 记忆犹新的那件事 成阳市陕科大附中初三车宁 临近除夕，天空阴沉沉的。腊月的风虽然不大，却吹快了行人的脚步。我戴着耳罩、口罩和棉手套，跟随父亲去书店寻找可以使我的字立马改观的字帖。突然，我看见一个没有双臂的中年男子，坐在街道的一侧写春联。 他的右脚像黄土地上干巴巴的土块，粗糙龟裂的脚趾努力握住一支蘸满了墨汁的毛笔。那笔仿佛有灵性似的，随着脚的摆动，自如挥洒，一会儿，“先天下之忧而忧”几个苍劲有力的大字便跃然纸上。我看得目瞪口呆，佩服得五体投地。不顾寒风凛冽，我聚精会神地欣赏他写字。等他写完下联，我抢先一步抓在手里，问：“叔叔，这副多少钱?”他的助手回答：“5块。”我没有和父亲商量，递出买字帖的钱。与父亲“抬”着这两联墨迹未干、墨香四溢的书法新品，我犹如满载战利品的将军，凯旋而归。一进门，我就在客厅的大茶几上摆上字帖，并找来纸和笔墨，准备像它的创作者那样潇洒写一回。可是，毛笔在我的手里却不听使唤，想写出个像样儿的字都难。好不容易模仿出来，几乎就是两行墨迹。无奈，我只得把人家用脚写出来的对联挂在房间书柜的两边，作为宝鉴来三省吾身。 春节收获的珍贵礼物，并非压岁钱，也不是突然长高了一厘米，而是这幅残疾人用脚写的字帖——它时刻提醒我熟能生巧，勤能补拙，只要努力，一切皆有可能。 虽然好几年过去了，但那位用脚写春联的自强不息者始终浮现在我的眼前，他那身残志坚、吃苦耐劳的精神时时刻刻鞭策着我，催我奋进。 [点评] 为了扣合“记忆犹新”，作者采用顺叙的写法，叙写了残疾人用脚写春联的场面和自己临摹的情景，表达对残疾者的钦佩之情和他对自己的影响。六要素齐全，细节生动，颇为感人。
如何求圆的滚动圈数
龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/067597853.html, 如何求圆的滚动圈数 作者：曹经富 来源：《初中生(三年级)》2009年第11期 在各种考试中,经常出现求圆滚动圈数问题. 我们对此类问题,经常感到束手无策. 其实,只要观察并发现圆滚动的规律,便能找到解决问题的突破口. 一、圆滚动的数量关系 原型1 如图1,把⊙O放在一条长度等于其周长的线段上,从一个端点无滑动地滚动到另一 端点,⊙O将转动圈. 分析:如图1,圆滚动一周,在直线上经过的路程为圆的周长2πr,即AB=2πr,则圆心经过的路 程OO′=2πr,圆在直线上滚动一圈,即圆自身转动了一圈. 圆在直线上滚动的规律: 圆转动的圈数=■ 二、知识拓展与应用 变式1 如图2,⊙A的半径为r,⊙O的半径为4r,⊙A从图上所示的位置出发,绕⊙O作无滑动的滚动,使⊙A的圆心返回到原来的位置,则⊙A滚动的圈数是 . 分析:两圆内切,OA=4r-r=3r,圆心A所经过的路程长为2π×3r=6πr,而⊙A的周长为2πr. 圆A转动的圈数=■=■=3. 变式2 在变式1中,将两圆内切改为外切,如图3,圆A又会滚动几圈? 分析:因两圆外切,OA=4r+r=5r,圆心A所经过的路程长为2π×5r=10πr,而⊙A的周长为2πr. 圆A转动的圈数=■=■=5. 变式3 如图4,若把⊙O放在边长等于圆O周长的正三角形ABC上,⊙O沿C→B→A→C的线路无滑动地滚动一周回到原来的位置,则⊙O将滚动几圈,并说明理由. 分析:如图4,当⊙O1滚动到⊙O2时,圆转了1周,从⊙O2转到⊙O3位置时,还需转动■ 周,⊙O回到原来位置,要转动4周.
初二数学知识点归纳：圆的认识
初二数学知识点归纳：圆的认识 初二数学知识点归纳：圆的认识 圆的定义： 圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。 在一个个平面内，线段A绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段A 叫做半径。 相关定义: 1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。 2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。 3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。直径所在的直线是圆的对称轴。 4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是
小于180度的弧。 6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。 7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。 8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。 9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=3141926……在实际应用中，一般取π≈314。11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。 12 圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但不等于0。 圆的集合定义： 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。 圆的字母表示： 以点为圆心的圆记作“⊙”，读作”。 圆—⊙； 半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）； 弧—⌒； 直径—d ； 扇形弧长—L ； 周长—；
关于一个圆绕等圆群滚动一周解法的探讨
1 关于一个圆绕等圆群滚动一周解法的探讨 仙桃 吴乃华 在2003年“《小学生数学报》杯”江苏省第三届小学生探索与应用能力竞赛的决赛试题中，有这样一道题： “右图1，有6个完全相同的圆，其中A 、B 、C 、D 、E 被固定在玻璃桌面上，第6个圆F 紧贴着A 、B 、C 、D 、E 这五个固定的圆，慢慢地 沿着顺时针方向滚动，滚动的过程中不发生任何滑动。当 圆F 再滚回到出发点P 时，它自身绕圆心旋转了多少 圈？”（此题也是2011年第十一届“中环杯”六年级决 赛试题） 十多年来，在互联网上，关于这道题的解答，五花八门，众说纷纭，让人莫衷一是。 这类一圆绕等圆群滚动一周的问题，与一圆在直线上滚动既有相似之处，又有本质上的区别。相似之处是指：动圆圆周滚动的长度等于它圆心轨迹的长度，也就是说，解答这类圆滚动的问题，都得要从研究动圆圆心轨迹的长度入手；不同的是：在直线上滚动，只是朝一个方向运行，不改变运行的角度，而在圆上滚动，动圆从定圆的某一相切点出发，滚动一圈，然后不改变朝向地回到出发时的位置，滚动的圆在运行的过程中，随时随地都在改变它的运行的角度。 其实，解答圆在圆上作无滑动地滚动的问题，只要把握了研究动圆圆心运动轨迹的这个根本，解答的途径不是唯一的。 纵观这些解答，他们只关注动圆的圆周与定圆的切点所经过的路径，而忽略了动圆是围绕定圆“公转”的基本事实。 下面我们以本题为例，探讨一个圆绕等圆群滚动一周的一般解法； 引例：如图，两个圆形纸片，圆A 的半径是圆B （画有人像的） 半径的5倍。如果让B 纸片绕A 纸片无滑动地滚一圈，那么B 纸 片一共转了 周。 【解】：根据圆A 的半径是圆B 半径的5倍，设B 圆的半径 为1厘米，则A 圆的半径为5厘米，B 圆圆心绕A 圆滚动轨迹的半
圆的认识 -- 知识点归纳
圆的认识 圆的定义： 圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。 在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 相关定义: 1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。 2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。 3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。直径所在的直线是圆的对称轴。 4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。 5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。 6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。 7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。 8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。
9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=3.14159265……在实际应用中，一般取π≈3.14。 11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。 12 圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但不等于0。 圆的集合定义： 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。 圆的字母表示： 以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。 圆—⊙； 半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）； 弧—⌒； 直径—d ； 扇形弧长—L ； 周长—C ； 面积—S。 圆的性质: （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。 圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
以不变应万变_高一作文
以不变应万变 太阳东升西落，月有阴晴圆缺，世间的万物无时无刻都在改变。面对着这个正一步步改变的世界，我们一边奔路一边思考着，我们应何去何从？ 茅盾文学奖获得者麦家老师说过：“世界天天新，日日变，我要做一个慢的人、旧的人。当世界变得眼花缭乱，我要继续做一个不变的人，一个气定神闲的人，在人们都追名逐利时，我要敢于后退，安于孤独的角落，继续写作。”面对着这个变幻莫测的世界，麦家老师选择了不变，以不变应万变。只要自己保持着一颗纯真、善良的心，就能征服这个变化的世界。他也曾迷茫，也曾随着欲望奔走，他曾用十一年的时间写了他人生中的一部巨作《解密》却用了三个月写过一部30万字的长篇，他在追赶速度时迷失过，但他终没有丢失自我，没有让他身上的本色随世界改变而改变。 面对着社会这片大森林，不少人都在其中迷失了方向，我们每天都能听到有些名人，在成明之后被欲望冲昏头脑，随着世界的改变而随波逐流，然而也有那么一些人却不曾改变过，日新月异，他们却仍就用他们的善良努力着，而江一燕就是他们其中的一员。 江一燕是著名的演员，然而有些人并不知道，她也是大山里的一名支教老师，是大山里的孩子们的小江老师。在参加《朗读者》节目时主持人问她为什么坚持去支教呢，她说她的坚持来自小时候她的舞蹈老师。她的坚持让她成为了娱乐圈的一股清流。她的坚持让她在这
个改变的世界里学会不改变自己，做原来的自己，做真实的自己。 麦家、江一燕都是成功的人，成功的人能在社会的风沙中认清自我，不被狂风而袭走。但平凡的我们也可以。面对着中国式过马路，面对着网络流言，面对着“扶不扶”问题你是否依然保持着自我，是否依然不变。以不变应万变是一种处理问题的方式，是一种处世态度。 当清晨第一缕阳光照向大地时，就是一个全新的，改变的一天，面对着这个改变的世界，你是否已准备好出发，以不变应万变。
最新滚动问题中圆的圈数的探讨资料
精品文档 滚动问题中圆的圈数的探讨 一 问题的提出 一位学生向我提出了一个问题；将两枚同样大小的硬币放在桌子上，其中一枚硬币A 固定，而另一枚硬币B 则沿着硬币A 边缘无滑动滚动一圈回到初始位置，这时滚动的硬币B 滚动（）圈。 A.1圈 B.1.5圈 C.2圈 D.2.5圈 看完题目，我不加思考的说，圆滚动一圈，选择A 答案。 学生看着我说，有两位老师说答案是2圈，加上你有2位老 师说答案是一圈，许多学生认为是一圈。听了学生的叙述， 我有些不知所措，于是对他说，我再仔细的思考思考，然后回答你。 进过很长的一段时间，我突然想起这个问题与一个关于 圆滚动的中考题颇为相似，查找资料发现2009年河北省的中 考题与学生问的题目有联系。原题的部分叙述为（1）如图1， ⊙O 从⊙O1的位置出发，沿AB 滚动到⊙O2的位置，当AB=c 时，⊙O 恰好自转1圈；（2）如图2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A-B-C 滚动，在点B 处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O 绕点B 旋转的角 ∠O1BO2=n °，⊙O 在点B 处自转（）圈． 看到这个中考题后，我恍然大悟，原来圆在折线上 滚动存在一个旋转角的问题，而圆在直线上滚动不存在 旋转角。我把人们非常熟悉的圆在直线上滚动的规律， 想当然的运用到物体在圆周上或者曲线上滚动的情形， 实际上这两者却有着重大区别。 观察图1，圆在线段AB 上滚动一周，在直线上经过 的路程为圆的周长即AB ，也可以认为是O 1O 2的长度,圆 在直线上滚动一周，圆自身转动了一圈。 观察图2，当圆滚动到圆O 1的位置时，圆在B 处无滑动的旋转到圆O 2的位置，也就是圆以B 点为圆心，圆的半径旋转过一个角度，即∠O 1BO 2 。因为O 1B ⊥BD, O 2B ⊥BC,所以∠O 1BO 2=∠DBC 。因此圆在折线外侧上滚动，在经过折点的过程中，圆心O 从O1的位置自转到O2的位置旋转过的角度等于折线内角的补角（图2中∠ABC 的补角n °）。实际上圆在折线上运动经过折点时自转n/360圈。 现在以一个容易理解的题目来理解圆在折线上滚动的问题。 例1：一个正方形的边长和与它相切的一个圆周长相 等，将此圆从某一位置沿此正方形的各边做无滑动旋转， 直至回到原来的位置，则这个圆旋转的圈数为多少？ 圆从圆O1的位置旋转到O2的位置，恰好旋转过的角 度是90°，也就是∠DCB 的补角的度数。在顶点C 处，圆 旋转了90°/360°=1/4圈,在顶点B 处，圆旋转了1/4圈, 在顶点A 处，圆旋转了1/4圈, 在顶点D 处，圆旋转了1/4圈。在4个顶点处共旋转过了1圈，在四条边上共滚动了 4圈，所以圆一共滚动5圈。 A D
以不变应万变的开头方式
以“不变应万变”的开头方式 一篇好的申论文章，既要抓住给定材料的主题，又要符合作答要求，更要有自己独特的写作视角，且要开宗明义指出文章主题。鲜明的主题主要体现在文章的开头部分，因此考生要学会在文章的开头部分简单明了、单刀直入地点明文章的总论点。然而文章写作，尤其是文章的开头，对于很多考生来讲是一大拦路虎，基本处于无从下笔或者大篇抄袭给定材料的状态，那怎样才能突出主题，很顺畅的切入主题呢?怎样才能写出一篇既符合作答要求和给定资料又突出个性的文章开头呢?怎样才能给阅卷人留下深刻印象从而对你的文章一见钟情呢?接下来中公教育专家带各位考生走进“以不变应万变”的转折递进式开头模式。 转折递进式开头模式，也称对比式开头模式，此种开头模式可以列式为：归纳概括现状(围绕主题提出积极方面+围绕主题提出消极方面)+进行简要分析(分析原因、影响、意义、危害)+围绕主题提出中心论点。其中对于现状的归纳概括可以围绕主题从积极和消极两个方面进行阐释，这样既能突出主题又能起到对比的效果，使主题更加突出，更加鲜明，通过正反对比使文章跌宕起伏，耐人寻味;中间的分析部分对于广大考生来讲就十分灵活，考生可以根据自己对文章的理解和侧重点进行对原因、影响、意义等的分析，不必做到面面俱到，可以详略得当，重点突出，考生可以根据实际情况进行个性化阐释，最后，画龙点睛之笔就是提出文章总论点，回扣主题。这样写文章的开头既能严格执行作答要求又能灵活突出自己的个性，写出一篇合规又精彩的文章开头。 【案例展示】 文化建设是推动新农村建设的“引擎” 新农村建设步伐持续加快的背景下，农村经济取得了翻天覆地的变化。广大农民的生活状况得到了很大的改善，对精神文化生活的需求欲望越来越强烈。(积极方面)然而，由于文化基础设施落后、文体活动相对贫乏等原因造成当前农村文化建设还是跟不上农民的需求。(消极方面)这不仅造成影响了农民本身还危害了农村社会风气，对于新农村的精神文明建设也有很大负面影响。(影响分析)因此，加强农村文化建设，在现阶段显得十分的必要和紧迫。(亮明总论点) 以上就是运用转折递进式模式的开头，既能体现考生对于材料的把握，也能亮明文章的观点，能够迅速抓住考官的眼球。但是要提醒的考生的是，模式只是一种方法，各位考生切记不能一味依赖模式，要学会在模式的基础上写出自己的特色，如此才能真正突破文章写作的障碍。通辽分校近期开课课程请致电咨询或加微信号：tloffcn 地址：华申时代广场B座南门东侧中公教育 我们的qq群号为：238849214 更多阅读资料请登录：https://www.360docs.net/doc/067597853.html,