0有理数学的运算知识结构图

新课标人教版

七年级数学上册有理数的运算

知识结构框图如下：

代数中有理数的主要内容是有理数的概念和有理数的运算，正确理解概念，熟练掌握运算是学好这一部分知识的关键和主要标志，下面就让我们针对这两点具体看一下如何学习，怎样学习才能把有理数这部分知识给学好。

一、要正确理解有理数的几个概念

有理数一章的主要概念有：正数和负数、相反数、倒数、绝对值、数轴。此外还有两数同号（异号）、非负数、非负整数、奇偶数，以及乘方（幂）、近似数与有效数字等概念。正确理解上述概念，是学好代数的基础。不要死背概念，要做到真正理解，才会真正运用。

1.要正确理解与运用相反数、倒数和绝对值三个重要概念

第一，掌握定义，并能根据定义正确而迅速地回答诸如下述问题：

例1.求下列各数的相反数、倒数与绝对值：

注意零没有倒数，a与-b是否有倒数要进行讨论。

第二，掌握定义的其它描述形式。

诸如设a，b是两个有理数，那么a，b互为相反数的条件是a+b=0（即a=-b），ab 互为倒数的条件是a×b=1.

第三，根据定义，掌握相反数、倒数、绝对值的一些基本性质。

如（1）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是其自身。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。

（2）正数或者负数的绝对值是正数，零的绝对值是零。因此：

①任何一个有理数的绝对值是非负数，如果用a表示有理数，那么必有|a|>0或|a|=0，即|a|≥0.

②非零的有理数的绝对值一定是正数，即当a≠0时，有|a|>0.

第四，善于利用数轴，直观、形象地理解相反数与绝对值这两个概念，并能熟练地对有理数大小进行比较。

2.要理解两数同号，两数异号的准确含义

“两数同号”就是两数同时为正数，或者同时为负数，“两数异号”就是有一个为正数，另一个为负数。

ab两数同号的条件是a·b>0，它包含两种情况：

①a>0且b>0；

②a<0且b<0.

两数异号的条件是a·b<0，它也包含两种情况：

①a>0且b<0；

②a<0且b>0.

3.要注意某些概念的扩充

初一学生学习数，范围由非负有理数（正有理数和零）扩充到有理数，要注意小学中某些概念的相应的扩充。如奇数和偶数这两个概念，在小学，偶数可表示为2n（n表示正整数）。奇数可表示为2n-1（n表示正整数）。在整数范围有：正整数包括（正）奇数和（正）偶数。中学里的整数，仍包括奇数和偶数，不过要注意：这里的奇数（2n-1）包含正奇数（1，2，3，…）与负奇数（-1，-2，-3…）两类。偶数（2n）包含正偶数（2，4，6，…），负偶数（-2，-4，-6，…）与零三类。

二、要熟练掌握有理数的运算

中学里的有理数运算跟小学里学过的数的运算不同，它不仅要求出数值的大小，而且还要确定结果的符号，掌握好有理数的运算，做到熟练而准确，是学习代数这一章的中心任务，它是学好整个代数的基础。这里关键有两条：一是掌握有理数的运算法则，二是掌握有理数的运算律。

要掌握好加、减、乘、除与乘方五种运算法则，有理数的加法法则是按两数同号、两数异号、有零三种情况分别规定的，其中异号两数相加，是难点所在，要提醒学生格外留心。要解决这个难点，就必须掌握好绝对值的概念。此外，特别是省略加号的代数和，要有正确的理解和合理运算，在进行有理数运算时，运算规律是不可少的。

例2 计算：11-39.5+10-2.5-4+19

解：原式=11+10+19-39.5-2.5-4 （加法交换律）

=[（11+19）+10]+[（-39.5-2.5）-4] （加法结合律，减法法则）

=40-46 （加法法则）

=-6.

在计算这一类题时，初学者应在每一步的后面注明运算依据，这对学习是大有好处的。对于含有加、减、乘、除和乘方混合运算的题目，要注意运算顺序。先“乘方”，再乘除，最后算加减。

知识扩展——有理数的历史

有理数其实是一块很古老的数学知识，早在公元前17世纪，为了满足日常生活中对除法运算的需要，古埃及人就已经开始使用有理数中的分数了，中国的《九章算术》中也有对分数各种运算的记载，所以说人类跟有理数打了很长时间的交道了。