(全国通用)2020版高考数学二轮复习 第二编 专题三 数列 第3讲 数列的综合问题练习 理
第3讲 数列的综合问题
「考情研析」 1.从具体内容上，数列的综合问题，主要考查：①数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式．②以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围． 2.从高考特点上，常在选填题型的最后两题及解答题第17题中出现，分值一般为5～8分.
核心知识回顾
数列综合应用主要体现在以下两点：
(1)以数列知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式、解析几何的交汇处命题，主要考查利用函数观点、不等式的方法解决数列问题，往往涉及与数列相关的不等式证明、参数的范围等．
(2)以数列知识为背景的新概念、创新型问题，除了需要用到数列知识外，还要运用函数、不等式等相关知识和方法，特别是题目条件中的“新知识”是解题的钥匙，此类问题体现了即时学习，灵活运用知识的能力．
热点考向探究
考向1 数列与函数的综合问题
例 1 (2019·上海市青浦区高三二模)已知函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b (a ，b ∈R )，且不等式|f (x )|≤2019|2x －x 2
|对任意的x ∈[0,10]都成立，数列{a n }是以7＋a 为首项，公差为1的等差数列(n ∈N *
)．
(1)当x ∈[0,10]时，写出方程2x
－x 2
＝0的解，并写出数列{a n }的通项公式(不必证明)；
(2)若b n ＝a n ·? ??
??13an (n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *
，都有S n 求m 的取值范围． 解 (1)因为x ∈[0,10]时，易知方程2x －x 2 ＝0的解为x ＝2，x ＝4， 由不等式|f (x )|≤2019|2x －x 2 |对任意的x ∈[0,10]都成立，可得? ?? ?? |f (2)|≤0， |f (4)|≤0， 即? ?? ?? f (2)＝4＋2a ＋b ＝0， f (4)＝16＋4a ＋b ＝0，解得? ?? ?? a ＝－6， b ＝8， 所以f (x )＝x 2 －6x ＋8，又数列{a n }是以7＋a ＝1为首项，公差为1的等差数列，所以a n ＝n . (2)由(1)知b n ＝a n ·? ????13an ＝n ·? ?? ??13n ， 所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1·13＋2·? ????132＋3·? ????133＋…＋n ·? ?? ??13n ，① 1 3S n＝1· ? ? ?? ?1 3 2＋2· ? ? ?? ? 1 3 3＋3· ? ? ? ?? 1 3 4＋…＋n· ? ? ?? ?1 3 n＋1，② ①－②得， 2 3 S n＝ 1 3 ＋ ? ? ?? ?1 3 2＋ ? ? ?? ?1 3 3＋…＋ ? ? ?? ?1 3 n－n· ? ? ?? ?1 3 n＋1＝ 1 3? ???? 1－ 1 3n 1－ 1 3 －n·? ? ?? ?1 3 n＋1＝ 1 2? ???? 1－ 1 3n － n 3n＋1 ， 整理得，S n＝ 3 4 － 2n＋3 4·3n ，由 2n＋3 4·3n >0可得S n< 3 4 ， 由S n 3 4 . 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化． 已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a＝(S n,1)，b＝? ? ?? ? 2n－1， 1 2 ，满足条件a∥b. (1)求数列{a n}的通项公式； (2)设函数f(x)＝? ? ?? ?1 2 x，数列{b n}满足条件b1＝1，f(b n＋1)＝ 1 f(－b n－1) . ①求数列{b n}的通项公式； ②设c n＝ b n a n ，求数列{c n}的前n项和T n. 解(1)∵a∥b，∴ 1 2 S n＝2n－1，S n＝2n＋1－2. 当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n；当n＝1时，a1＝S1＝2，满足上式， ∴a n＝2n. (2)①∵f(x)＝? ? ?? ?1 2 x，f(b n＋1)＝ 1 f(－1－b n) ， ∴ ? ? ?? ?1 2 b n＋1＝ 1 ? ? ?? ?1 2 －1－bn ，∴ 1 2bn＋1 ＝ 1 21＋bn . ∴b n＋1＝b n＋1，即b n＋1－b n＝1.又∵b1＝1，∴{b n}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴b n＝n. ②c n ＝b n a n ＝n 2n ，T n ＝121＋222＋…＋n －12n －1＋n 2 n ， 两边同乘 12得，12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1， 上述两式相减得12T n ＝121＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12? ? ???1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1， ∴T n ＝2－ n ＋2 2 n (n ∈N * )． 考向2 数列与不等式的综合问题 例2 (2019·云南玉溪第一中学高三第五次调研)若数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1>0且2S n ＝a 2 n ＋a n (n ∈N * )． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a n >0，令b n ＝4 a n (a n ＋2) ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n 最小值． 解 (1)当n ＝1时，2S 1＝a 2 1＋a 1，又a 1>0，则a 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝ a 2n ＋a n 2－ a 2n －1＋a n －1 2 ， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0?a n ＝－a n －1或a n ＝a n －1＋1， ∴a n ＝(－1) n －1 或a n ＝n (n ≥2)， 又a 1＝1满足上式，∴a n ＝(－1)n －1 或a n ＝n ，n ∈N * . (2)由a n >0，∴a n ＝n ，b n ＝ 4n (n ＋2)＝2? ????1 n －1n ＋2， T n ＝2??????? ????1－1 3＋? ????12－1 4＋? ????13－1 5＋…＋? ????1 n －1 n ＋2＝2? ?? ??1＋1 2－1 n ＋1－1 n ＋2＝3－4n ＋6 (n ＋1)(n ＋2) <3，若T n (1)数列中的不等式证明，大多是不等式的一端为一个数列的前n 项和，另一端为常数的形式，证明的关键是放缩：①如果不等式一端的和式可以通过公式法、裂项法、错位相减法求得，则先求和再放缩；②如果不等式一端的和式无法求和，则要通过对数列通项的合适放缩使之能够求和，这时先放缩再求和，最后再放缩． (2)注意放缩的尺度：如1 n 2< 1n (n －1)，1n 2<1 n 2－1 . (2019·安徽黄山高三第二次质检)已知数列??? ? ?? n a n －1的前n 项和S n ＝n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝2n ＋1(a n －1)2(a n ＋1－1) 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：对于任意的n ∈N * ，都有 T n <1. 解 (1)因为S n ＝n ， ① 当n ≥2时，S n －1＝n －1， ② 由①－②，得 n a n －1 ＝1，故a n ＝n ＋1， 又因为a 1＝2适合上式，所以a n ＝n ＋1(n ∈N * )． (2)证明：由(1)知，b n ＝ 2n ＋1(a n －1)2(a n ＋1－1)2＝2n ＋1n 2(n ＋1)2＝1n 2－1(n ＋1)2，T n ＝? ????112－122＋? ?? ??122－132＋…＋???? ??1 n 2－1(n ＋1)2＝1－1(n ＋1)2，所以T n <1. 考向3 奇(偶)数项和问题 例3 设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N * . (1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n . 解 (1)证明：由条件，对任意n ∈N * ，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，因而对任意n ∈N * ，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2. 又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1.故对一切n ∈N * ，a n ＋2＝3a n . (2)由(1)知，a n ≠0，所以 a n ＋2 a n ＝3. 于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列； 数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列． 因此a 2n －1＝3 n －1 ，a 2n ＝2×3 n －1 . 于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3 n －1 )＋2(1＋3＋…＋3 n －1 ) ＝3(1＋3＋…＋3 n －1 )＝3(3n －1)2 ， 从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3(3n －1)2－2×3n －1＝32 (5×3n －2 －1)． 当n 为偶数时，数列中的奇数项与偶数项相同，分别为n 2项；当n 为奇数时，数列中的奇 数项比偶数项多一项，此时偶数项为 n －1 2 项，奇数项为 n －1 2 ＋1＝ n ＋1 2 项． 已知函数f (x )＝ln x ＋cos x －? ?? ??6π－92x 的导数为f ′(x )，且数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝nf ′? ?? ?? π6 ＋3(n ∈N *)． (1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； (2)若对任意n ∈N * ，都有a n ＋2n 2 ≥0成立，求a 1的取值范围． 解 f ′(x )＝1x －sin x －6π＋92，则f ′? ????π6＝4，故a n ＋1＋a n ＝4n ＋3. (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd ， 由a n ＋1＋a n ＝4n ＋3得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n ＋3，解得d ＝2，a 1＝5 2. (2)由a n ＋1＋a n ＝4n ＋3得a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋7，两式相减得a n ＋2－a n ＝4， 故数列{a 2n －1}是首项为a 1，公差为4的等差数列；数列{a 2n }是首项为a 2，公差为4的等差数列， 又a 1＋a 2＝7，a 2＝7－a 1， 所以a n ＝? ?? ?? 2n －2＋a 1(n 为奇数)， 2n ＋3－a 1(n 为偶数). ①当n 为奇数时，a n ＝2n －2＋a 1，a n ＋2n 2 ≥0，则有a 1≥－2n 2 －2n ＋2对任意的奇数n 恒成立， 令f (n )＝－2n 2 －2n ＋2＝－2? ????n ＋122＋52 ，n 为奇数， 则f (n )max ＝f (1)＝－2，所以a 1≥－2. ②当n 为偶数时，a n ＝2n ＋3－a 1，a n ＋2n 2 ≥0，则有a 1≤2n 2 ＋2n ＋3对任意的偶数n 恒成立， 令g (n )＝2n 2 ＋2n ＋3＝2? ????n ＋122＋52 ，n 为偶数，则g (n )min ＝g (2)＝15，故a 1≤15. 综上，a 1的取值范围是[－2,15]． 真题押题 『真题模拟』 1．(2019·齐齐哈尔高三二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝120，a 2－a 1， a 4－a 2，a 1＋a 2成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设T n 为数列???? ??1S n 的前n 项和，求满足T n >15 22的最小的n 值． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 10＝120得10a 1＋45d ＝120,2a 1＋9d ＝24， 由a 2－a 1，a 4－a 2，a 1＋a 2成等比数列， 得d (2a 1＋d )＝4d 2 且d ≠0， ∴2a 1＝3d ，∴a 1＝3，d ＝2， ∴等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)·2＝2n ＋1. (2)∵S n ＝na 1＋n (n －1)d 2 ＝n (n ＋2)， ∴1 S n ＝ 1n (n ＋2)＝12? ?? ??1 n －1n ＋2， ∴T n ＝12? ????1－13＋12－14＋13－1 5＋…＋1n －1n ＋2＝12? ????1＋12－1n ＋1－1n ＋2， 由T n >1522得1n ＋1＋1n ＋2<3 22，n (3n －35)>60， ∴n 的最小值为14. 2．(2019·河北衡水中学高三下学期一调)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足1 S n －1 － 1 S n － 1 S n S n －1 ＝0，a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)在数列{a n }的前100项中，是否存在两项a m ，a t (m ，t ∈N * ，且m 三 项成等比数列？若存在，求出所有的m ，t 的取值；若不存在，请说明理由． 解 (1)因为 1 S n －1 － 1 S n － 1 S n S n －1 ＝0， 所以 S n －S n －1＝1，所以数列{S n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以S n ＝1＋(n －1)×1＝n ， 所以S n ＝n 2 . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2 －(n －1)2 ＝2n －1. 又2×1－1＝1＝a 1，所以a n ＝2n －1(n ∈N * )． (2)若1a 2，1a m ，1 a t 三项成等比数列， 则1a 2×1a t ＝? ????1a m 2，即13×12t －1＝? ????12m －12， 即(2m －1)2 ＝3(2t －1)． 因为t ≤100，所以(2m －1)2 ≤597，又m ∈N * ，所以2m －1≤24，所以m ≤12. 又2m －1为3的奇数倍，所以m ＝2,5,8,11， 验证得? ?? ?? m ＝5，t ＝14，? ?? ?? m ＝8， t ＝38，? ?? ?? m ＝11， t ＝74. 3．(2019·浙江高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝4，a 4＝S 3.数列{b n }满足：对每个n ∈N * ，S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝ a n 2 b n ，n ∈N *，证明：c 1＋c 2＋…＋c n <2n ，n ∈N * . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ， 由题意得? ?? ?? a 1＋2d ＝4， a 1＋3d ＝3a 1＋3d ，解得? ?? ?? a 1＝0， d ＝2. 从而a n ＝2n －2，n ∈N * .所以S n ＝n 2 －n ，n ∈N * . 由S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列，得 (S n ＋1＋b n )2 ＝(S n ＋b n )(S n ＋2＋b n )． 解得b n ＝1d (S 2n ＋1－S n S n ＋2)．所以b n ＝n 2＋n ，n ∈N * . (2)证明：c n ＝ a n 2b n ＝ 2n －2 2n (n ＋1)＝ n －1n (n ＋1) ，n ∈N * . 我们用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，c 1＝0<2，不等式成立； ②假设当n ＝k (k ∈N * )时不等式成立，即c 1＋c 2＋…＋c k <2k .那么，当n ＝k ＋1时， c 1＋c 2＋…＋c k ＋c k ＋1<2k ＋ k (k ＋1)(k ＋2) <2k ＋ 1k ＋1<2k ＋2k ＋1＋k ＝2k ＋2(k ＋1－k )＝2k ＋1， 即当n ＝k ＋1时不等式也成立． 根据①和②，不等式c 1＋c 2＋…＋c n <2n 对任意n ∈N * 成立． 『金版押题』 4．已知函数f (x )＝3cosπx －sinπx (x ∈R )的所有正的零点构成递增数列{a n }(n ∈N * )． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝? ????12n ? ????a n ＋23，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)f (x )＝3cosπx －sinπx ＝2cos ? ????πx ＋π6， 由题意令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋1 3 (k ∈Z )． 又函数f (x )的所有正的零点构成递增数列{a n }，所以{a n }是以1 3为首项，1为公差的等差 数列，所以a n ＝n －23 (n ∈N * )． (2)由(1)知b n ＝? ????12n ? ????a n ＋23＝n ·? ?? ??12n ， 则T n ＝1·? ????121＋2·? ????122＋3·? ????123＋…＋(n －1)·? ????12n －1＋n ·? ?? ??12n ，① 12T n ＝1·? ????122＋2·? ????123＋3·? ????124＋…＋(n －1)·? ????12n ＋n ·? ?? ??12n ＋1，② ①－②得，12T n ＝12＋? ????122＋? ????123＋…＋? ????12n －n ·? ????12n ＋1＝12－? ????12n · 1 21－12 －n ·? ?? ??12n ＋1 ＝1－(n ＋ 2)·? ????12n ＋1，所以T n ＝2－(n ＋2)? ?? ??12n . 配套作业 1.(2019·北京市海淀区高三4月模拟)已知等差数列{a n }的公差d ＝2，且a 2＋a 5＝2，{a n }的前n 项和为S n . (1)求{a n }的通项公式； (2)若S m ，a 9，a 15成等比数列，求m 的值． 解 (1)因为a 5＋a 2＝2，d ＝2，所以2a 1＋5d ＝2a 1＋10＝2，所以a 1＝－4，所以a n ＝2n －6. (2)S m ＝(a 1＋a m )m 2＝m 2 －5m ，又a 9＝12，a 15＝24， 因为S m ，a 9，a 15是等比数列，所以a 2 9＝S m a 15， 所以m 2 －5m －6＝0，m ＝6或m ＝－1， 因为m ∈N *，所以m ＝6. 2．设数列{a n }的前n 项和是S n ，若点A n ? ?? ??n ，S n n 在函数f (x )＝－x ＋c 的图象上运动，其中 c 是与x 无关的常数，且a 1＝3. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝aan ，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值． 解 (1)因为点A n ? ?? ?? n ，S n n 在函数f (x )＝－x ＋c 的图象上运动，所以S n n ＝－n ＋c ，所以S n ＝－n 2 ＋cn . 因为a 1＝3，所以c ＝4，所以S n ＝－n 2 ＋4n ，所以a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5(n ≥2)． 又a 1＝3满足上式，所以a n ＝－2n ＋5(n ∈N * )． (2)由(1)知，b n ＝aan ＝－2a n ＋5＝－2(－2n ＋5)＋5＝4n －5，所以{b n }为等差数列，所以 T n ＝n (b 1＋b n )2 ＝2n 2 －3n ， 当n ＝1时，T n 取最小值，所以T n 的最小值是T 1＝－1. 3．(2019·广东东莞高三二调)已知数列{a n }满足a 2＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，设b n ＝a n ＋1. (1)求a 1，a 3； (2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1. 解 (1)数列{a n }满足a 2＝3，a n ＋1＝2a n ＋1， 当n ＝1时，a 2＝2a 1＋1，解得a 1＝1. 当n ＝2时，解得a 3＝7. (2)当n ＝1时，b 1＝2，所以 b n ＋1b n ＝a n ＋1＋1 a n ＋1 ＝2(常数)， 则数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列． (3)由(1)和(2)得a n ＝2n －1， 所以a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(21 ＋23 ＋…＋2 2n ＋1 )－(n ＋1)＝2(4n ＋1 －1) 4－1 －(n ＋1)＝ 8×4n －3n －5 3 . 4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1 3，3S n ＋1＝S n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝log 1 3a n ，数列{a n ·b n }的前n 项和为T n ，求T n . 解 (1)当n ＝1时，3S 2＝43，a 2＝1 9 ，∴3a 2＝a 1； 当n ≥2时，3S n ＝S n －1＋1，∴3a n ＋1＝a n (n ≥2)，故数列{a n }是以13为首项，1 3为公比的等比 数列，则a n ＝13×? ????13n －1＝? ?? ??13n . (2)由(1)知b n ＝log 13a n ＝n ，则a n ·b n ＝n ·? ?? ??13n . 从而T n ＝1×13＋2×? ????132＋…＋(n －1)×? ????13n －1＋n ·? ????13n ，① 13T n ＝1×? ????132＋2×? ????133＋…＋(n －1)×? ????13n ＋n ·? ?? ??13n ＋1，② 由①－②得，23T n ＝13＋? ????132＋…＋? ????13n －n ·? ????13n ＋1 ＝13×?????? 1－? ????13n 1－13－n ·? ?? ??13n ＋1， 因此T n ＝34－14(2n ＋3)·? ?? ??13n . 5．(2019·衡水第二中学高三上学期期中)已知等差数列{a n }与公比为正数的等比数列{b n }满足b 1＝2a 1＝2，a 2＋b 3＝10，a 3＋b 2＝7. (1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)若c n ＝b n ＋1 (a n ＋b n )·(a n ＋1＋b n ＋1) ，求数列{c n }的前n 项和S n . 解 (1)由题意a 1＝1，b 1＝2. 设公差为d ，公比为q ，则? ?? ?? 1＋d ＋2q 2 ＝10， 1＋2d ＋2q ＝7，解得? ?? ?? d ＝1， q ＝2. 故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，b n ＝b 1·q n －1 ＝2n . (2)因为c n ＝b n ＋1 (a n ＋b n )·(a n ＋1＋b n ＋1) ， 所以c n ＝2n ＋1(2n ＋n )(2n ＋1 ＋n ＋1)＝12n ＋n －1 2n ＋1＋n ＋1 ， 故S n ＝ 121＋1－122＋2＋122＋2－123＋3＋…＋12n ＋n －12n ＋1＋n ＋1＝13－12n ＋1 ＋n ＋1 . 6．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N * )． (1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1 ln 2 ，求数列 ???? ?? a n b n 的前n 项和T n . 解 (1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2.所以d ＝a 8－a 7＝2. 所以S n ＝na 1＋ n (n －1) 2 d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n . (2)f ′(x )＝2x ln 2，f ′(a 2)＝2a 2ln 2，故函数f (x )＝2x 的图象在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝2a 2ln 2(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2 . 由题意得，a 2－ 1ln 2＝2－1ln 2 ，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b n ＝n 2n . 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ， 2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2 n －1. 因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝ 2 n ＋1 －n －2 2 n . 所以，T n ＝ 2n ＋1 －n －2 2 n . 7．(2019·安徽六安第一中学高三模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边，其面积S ＝3，B ＝60°，a 2 ＋c 2 ＝2b 2 ，在等差数列{a n }中，a 1＝a ，公差d ＝b .数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋1＝0，n ∈N * . (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n . 解 (1)S ＝12ac sin B ＝12ac ·3 2＝3，∴ac ＝4， 又a 2 ＋c 2 ＝2b 2 ，b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2ac cos B ， ∴b 2＝ac ＝4，∴b ＝2， 从而(a ＋c )2＝a 2＋c 2 ＋2ac ＝16，得a ＋c ＝4， ∴a ＝c ＝2， 故可得??? ?? a 1＝2，d ＝2， ∴a n ＝2＋2(n －1)＝2n . ∵T n －2b n ＋1＝0， ① ∴当n ＝1时，b 1＝1； 当n ≥2时，T n －1－2b n －1＋1＝0， ② ①－②，得b n ＝2b n －1(n ≥2)， ∴数列{b n }为等比数列，∴b n ＝2n －1 . (2)由(1)得c n ＝2n ·2 n －1 ＝n ·2n ， ∴S n ＝a 1·b 1＋a 2·b 2＋…＋a n ·b n ＝1×21 ＋2×22 ＋3×23 ＋…＋n ·2n ， ③ ∴2S n ＝1×22 ＋2×23 ＋3×24 ＋…＋n ·2 n ＋1 ， ④ ③－④得－S n ＝1×21 ＋(22 ＋23 ＋ (2) )－n ·2n ＋1 ， 即－S n ＝(1－n )2 n ＋1 －2，∴S n ＝(n －1)2 n ＋1 ＋2. 8．(2019·贵州凯里第一中学高三下学期模拟)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 4＝84－a 5， a 8＝36. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，求 S n ＋20 n 的最小值． 解 (1)由a 3＋a 4＝84－a 5，得a 4＝28， ∴由??? ?? a 1＋3d ＝28，a 1＋7d ＝36， 得????? a 1＝22， d ＝2， 即数列{a n }的通项公式为a n ＝22＋(n －1)×2＝2n ＋20. (2)由(1)得，S n ＝22n ＋n (n －1) 2 ×2＝n 2 ＋21n ， ∴ S n ＋20n ＝n ＋20n ＋21，令f (x )＝x ＋20x ＋21，n ∈N * ， f ′(x )＝1－20 x 2，当x ∈(0,25)时，f ′(x )<0； 当x ∈(25，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )在(0,25)上单调递减，在(25，＋∞)上单调递增， 又n ∈N * ，f (4)＝f (5)＝30， ∴当n ＝4或5时，f (n )取到最小值30，即 S n ＋20 n 的最小值为30. 数列类解答题 (12分)已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N * ，满 足S n ＝1 3 a 1(a n －1)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足a n b n ＝log 2a n ，数列{b n } 的前n 项和为T n ，求证：T n <8 9 . 解题思路 (1)根据S n －S n －1＝a n (n ≥2)及递推关系式化简得a n 和a n －1的关系式，从而求出 a n ；(2)采用错位相减法求T n ，从而证明结论． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝13a 1(a 1－1)＝13a 21－1 3a 1， ∵a 1≠0，∴a 1＝4.(2分) ∴S n ＝43(a n －1)，∴当n ≥2时，S n －1＝4 3(a n －1－1)， 两式相减得a n ＝4a n －1(n ≥2)，(4分) ∴数列{a n }是首项为4，公比为4的等比数列，∴a n ＝4n .(6分) (2)证明：∵a n b n ＝log 2a n ＝2n ，∴b n ＝2n 4n ，(7分) ∴T n ＝241＋442＋643＋…＋2n 4n ， 14T n ＝242＋443＋644＋ (2) 4 n ＋1，(8分) 两式相减得34T n ＝24＋242＋243＋244＋…＋24n －2n 4n ＋1＝2? ????14＋142＋143＋1 44＋…＋14n －2n 4n ＋1＝ 2×14? ? ???1－14n 1－14 －2n 4n ＋1＝23－23×4n －2n 4n ＋1＝23－6n ＋83×4n ＋1.(10分) ∴T n ＝89－6n ＋89×4n <89 .(12分) 1．正确求出a 1的值给2分． 2．利用a n 与S n 的关系构造等比数列给2分． 3．写出数列{a n }的通项公式给2分． 4．求出数列{b n }的通项公式给1分． 5．采取错位相减法给1分． 6．两式相减后的正确化简计算给2分． 7．放缩法证明不等式给2分． 1．由a n 与S n 的关系求通项公式，易忽略条件n ≥2而出错． 2．错位相减法中两式相减后，一定成等比数列的有n －1项，整个式子共有n ＋1项． 3．放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，放的过大或过小都不能达到证明的目的． [跟踪训练] (2019·沈阳模拟)(12分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，S 2 n ＝a n ? ????S n －12(n ≥2)． (1)求S n ； (2)设b n ＝ S n 2n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)当n ≥2时，由S 2 n ＝a n ? ????S n －12得， S 2n ＝(S n －S n －1)? ? ? ??S n －12， 整理得，S n －1－S n ＝2S n －1S n ?1S n －1 S n －1 ＝2，(3分) 又1S 1＝1 a 1 ＝1， ∴数列???? ?? 1S n 是以2为公差、以1为首项的等差数列，则 1 S n ＝1＋2(n －1)，故S n ＝ 1 2n －1 .(6分) (2)由(1)知，b n ＝S n 2n ＋1＝1 (2n －1)(2n ＋1) ＝12? ?? ??12n －1－12n ＋1，(9分) ∴T n ＝12??????? ????1－13＋? ????13－15＋? ????15－17＋…＋? ????12n －1－12n ＋1＝12? ????1－12n ＋1＝n 2n ＋1.(12分) 2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 数学（文科） 第I 卷（共50分） 本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合{}24A x x =<< ，()(){}130B x x x =--< ，则A B = （A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,4 2、若复数z 满足1z i i =- ，其中i 为虚数单位，则z = （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+ 3、设0.6 1.50.60.6,0.6, 1.5a b c === ，则,,a b c 的大小关系是 （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）b a c << （D ）b c a << 4、要得到函数sin 43y x π??=- ???的图象，只需将函数sin 4y x =的图象 （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右12 π平移个单位 （C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3 π个单位 5、设m R ∈ ，命题“若0m > ，则方程2 0x x m +-= 有实根”的逆否命题是 （A ）若方程20x x m +-=有实根，则0m > （B ） 若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤ （C ） 若方程20x x m +-=没有实根，则0m > （D ） 若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤ 6、为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图。考虑以下结论: ①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气 温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气 2017年高考数学山东卷（理科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1、设函数24x y -=的定义域为A ，函数)1ln(x y -=的定义域为B ，则=B A （ ） A 、（1，2） B 、（1，2] C 、（－2，1） D 、[－2，1） 2、已知R a ∈，i 是虚数单位，若i a z 3+=，4=?z z ，则=a （ ） A 、1或－1 B 、7或7- C 、3- D 、3 3、已知命题p ：0>?x ，0)1ln(>+x ；命题q ：若b a >，则22b a >，下列命题为真命题的是（ ） A 、q p ∧ B 、q p ∧ C 、q p ∧ D 、q p ∧ 4、已知x 、y 满足约束条件?? ???≥+≤++≤+-0305303x y x y x ，则y x z 2+=的最大值是（ ） A 、0 B 、2 C 、5 D 、6 5、为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为a x b y +=，已知225101=∑=i i x ，160010 1=∑=i i y ，4=b ，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ） A 、160 B 、163 C 、166 D 、170 6、执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为7，第二次 输入的x 值为9，则第一次、第二次输出的a 值分别为（ ） A 、0，0 B 、1，1 C 、0，1 D 、1，0 7、若0>>b a ，且1=ab ，则下列不等式成立的是（ ） A 、)(log 212b a b b a a +<<+ B 、b a b a b a 1)(log 2 2+<+< C 、a b b a b a 2)(log 12<+<+ D 、a b b a b a 21)(log 2<+<+ 8、从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次， 每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ） A 、185 B 、94 C 、95 D 、9 7 2017年山东省高考数学试卷（文科） 一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合M={x||x﹣1|＜1},N={x|x＜2},则M∩N=（） A．（﹣1,1）B．（﹣1,2）C．（0,2）D．（1,2） 2．（5分）已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=（） A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2 3．（5分）已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 4．（5分）已知cosx=,则cos2x=（） A．﹣ B．C．﹣ D． 5．（5分）已知命题p:?x∈R,x2﹣x+1≥0．命题q:若a2＜b2,则a＜b,下列命题为真命题的是（） A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q 6．（5分）若执行右侧的程序框图,当输入的x的值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为（） A．x＞3 B．x＞4 C．x≤4 D．x≤5 7．（5分）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（） A．B． C．πD．2π 8．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位:件）．若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为（） A．3,5 B．5,5 C．3,7 D．5,7 9．（5分）设f（x）=若f（a）=f（a+1）,则f（）=（） A．2 B．4 C．6 D．8 10．（5分）若函数e x f（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增,则称函数f（x）具有M性质,下列函数中具有M性质的是（）A．f（x）=2x B．f（x）=x2C．f（x）=3﹣x D．f（x）=cosx 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分 11．（5分）已知向量=（2,6）,=（﹣1,λ）,若,则λ=． 12．（5分）若直线=1（a＞0,b＞0）过点（1,2）,则2a+b的最小值为．13．（5分）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为． 14．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数,且f（x+4）=f（x﹣2）．若当x∈[﹣3,0]时,f（x）=6﹣x,则f（919）=． 绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案卸载试卷上无效。 3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式： 如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B). 第Ⅰ卷（共50分） 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的 （1） 已知集合A={X|X 2-4X+3<0}，B={X|2 山东省2017年普通高校招生(春季)考试 数学试题 注意事项: 1.本试卷分卷一(选择题)和卷二(非选择题)两部分。满分120分，考试时间为120分钟。考生请在答题卡上答题。考试结束后，去诶能够将本试卷和答题卡一并交回。 2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01。 卷一（选择题，共60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的字母选项代号选出，并填涂在答题卡上。） 1.已知全集{}1,2U =，集合{}1M =，则U C M 等于 ( ) （A ）? （B ） {}1 （C ） {}2 （D ）{}1,2 2. 函数y = 的定义域是( ) （A ）[2,2]- （B ） (,2][2,,2)-∞-+∞-U （C ）(2,2)- （D ）(,2)(2,,2)-∞-+∞-U 3.下列函数中，在区间(,0)-∞上为增函数的是( ) （A ）y x = （B ） 1y = （C ）1 y x = （D ）y x = 4.已知二次函数()f x 的图像经过两点(0,3),(2,3)，且最大值是5，则该函数的解析式是 ( ) （A ）2()2811f x x x =-+ （B ） 2()281f x x x =-+- （C ）2 ()243f x x x =-+ （D ）2 ()243f x x x =-++ 5. 在等差数列{}n a 中, 15a =-，3a 是4和49的等比中项，且30a <，则5a 等于( ) （A ）18- （B ） 23- （C ）24- （D ）32- 6. 已知(3,0),(2,1)A B ，则向量AB uuu r 的单位向量的坐标是 ( ) （A ）(1,1)- （B ） (1,1)- （C ）(22 - （D ）22 - 7. 对于命题,p q ，“p q ∨”是真命题是“p 是真命题”的 ( ) （A ）充分比必要条件 （B ） 必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 8.函数2cos 4cos 1y x x =-+的最小值是（ ） （A ）3- （B ） 2- （C ）5 （D ）6 9.下列说法正确的是（ ） （A ）经过三点有且只有一个平面 （B ） 经过两条直线有且只有一个平面 （C ）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直 （D ）经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 10. 过直线10x y ++=与240x y --=的交点，且一个方向向量(1,3)v =-r 的直线方程是 （ ） （A ）310x y +-= （B ） 350x y +-= （C ）330x y +-= （D ）350x y ++= 11.文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（ ） （A ）72 （B ） 120 （C ）144 （D ）288 12.若,,a b c 均为实数，且0a b <<，则下列不等式成立的是（ ） （A ）a c b c +<+ （B ）ac bc < （C ）22a b < （D <13. 函数3()2,()log kx f x g x x ==，若(1)(9)f g -=，则实数k 的值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）－1 （D ）－2 14. 如果3,2a b a ==-r r r ，那么a b ?r r 等于（ ） （A ）－18 （B ）－6 （C ）0 （D ）18 15. 已知角α终边落在直线3y x =-上，则cos(2)πα+的值是（ ） （A ）35 （B ）45 （C ）35± （D ）45 ± 2016年山东省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求. 1．若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 解：复数z满足2z+=3﹣2i， 设z=a+bi， 可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i． 解得a=1，b=﹣2． z=1﹣2i． 故选：B． 2．设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（） A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞） 解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞）， B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1）， ∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）． 故选：C． 3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（） A．56 B．60 C．120 D．140 解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7， 故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140， 故选：D 4．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（） A．4 B．9 C．10 D．12 解：由约束条件作出可行域如图， ∵A（0，﹣3），C（0，2）， ∴|OA|＞|OC|， 联立，解得B（3，﹣1）． ∵， ∴x2+y2的最大值是10． 故选：C． 5．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（） A．+πB．+πC．+πD．1+π 解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥， 半球的直径为棱锥的底面对角线， 由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=． 故R=，故半球的体积为：=π， 棱锥的底面面积为：1，高为1， 故棱锥的体积V=， 故组合体的体积为：+π， 2019年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 注意事项： 1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。 3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式： 锥体的体积公式：V=1 3 Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。 如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件A,B独立，那么P（AB）=P（A）·P （B）。 第I卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1 若复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 2 已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA ）B为 A {1,2,4} B {2,3,4} C {0,2,4} D {0,2,3,4} 3 设a＞0 a≠1 ，则“函数f(x)= a3在R上是减函数”，是“函数g(x)=(2-a) 3x在R上是增函数”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 （4）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为 （A）7 （B）9 （C）10 （D）15 （5）的约束条件 2x y4 4x-y-1 + ? ? ? ≤ ≥ ，则目标函数z=3x-y的取值范围是 （A ） （B） 3 ,1 2 ??--???? 2015年山东省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）（2015?山东）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4） 考点：交集及其运算． 专题：集合． 分析：求出集合A，然后求出两个集合的交集． 解答：解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}， 则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）． 故选：C． 点评：本题考查集合的交集的求法，考查计算能力． 2．（5分）（2015?山东）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（） A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数． 分析：直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可． 解答： 解：=i，则=i（1﹣i）=1+i， 可得z=1﹣i． 故选：A． 点评：本题考查复数的基本运算，基本知识的考查． 3．（5分）（2015?山东）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（） A． 向左平移单位B． 向右平移单位 C． 向左平移单位D． 向右平移单位 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：直接利用三角函数的平移原则推出结果即可． 解答： 解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]， 要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位． 故选：B． 点评：本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点． 4．（5分）（2015?山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（） A． ﹣a2B． ﹣a2 C． a2 D． a2 考点：平面向量数量积的运算． 专题：计算题；平面向量及应用． 分析： 由已知可求，，根据=（）?=代入可求解答：解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°， ∴=a2，=a×a×cos60°=， 则=（）?== 故选：D 点评：本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题 5．（5分）（2015?山东）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（） A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，1）C．（1，4）D．（1，5） 考点：绝对值不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用． 分析：运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当x＜1，②当1≤x≤5，③当x＞5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可． 解答：解：①当x＜1，不等式即为﹣x+1+x﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x＜1； ②当1≤x≤5，不等式即为x﹣1+x﹣5＜2，得x＜4，故1≤x＜4； ③当x＞5，x﹣1﹣x+5＜2，即4＜2不成立，故x∈?． 综上知解集为（﹣∞，4）． 故选A． 点评：本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属于中档题． 6．（5分）（2015?山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则 a=（） A．3B．2C．﹣2 D．﹣3 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 2008年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）（2008山东）满足M{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合M 的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（5分）（2008山东）设z的共轭复数是，若，，则等于（）A．i B．﹣i C．±1D．±i 3．（5分）（2008山东）函数y=lncosx（）的图象是（） A．B．C．D． 4．（5分）（2008山东）设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则a的值为（） A．3 B．2 C．1 D．﹣1 5．（5分）（2008山东）已知，则的值是（）A． B．C．D． 6．（5分）（2008山东）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（） A．9πB．10πC．11πD．12π 7．（5分）（2008山东）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（） A． B． C．D． 8．（5分）（2008山东）如图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字．从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（） A．304.6 B．303.6 C．302.6 D．301.6 9．（5分）（2008山东）展开式中的常数项为（） A．﹣1320 B．1320 C．﹣220 D．220 10．（5分）（2008山东）4．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 11．（5分）（2008山东）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（） A．10B．20C．30D．40 12．（5分）（2008山东）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象过区域M的a的取值范围是（） A．[1，3]B．[2，]C．[2，9]D．[，9] 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）（2008山东）执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的 2010年山东省高考数学试卷（文科） 2010年山东省高考数学试卷（文科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1、（2010?山东）已知全集U=R，集合M={x|x2﹣4≤0}，则C U M=（） A、{x|﹣2＜x＜2} B、{x|﹣2≤x≤2} C、{x|x＜﹣2或x＞2} D、{x|x≤﹣2或x≥2} 2、（2010?山东）已知，其中i为虚数单位，则a+b=（） A、﹣1 B、1 C、2 D、3 3、（2010?山东）（山东卷文3）函数f（x）=log2（3x+1）的值域为（） A、（0，+∞） B、[0，+∞） C、（1，+∞） D、[1，+∞） 4、（2010?山东）在空间，下列命题正确的是（） A、平行直线的平行投影重合 B、平行于同一直线的两个平面平行 C、垂直于同一平面的两个平面平行 D、垂直于同一平面的两条直线平行 5、（2010?山东）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（） A、﹣3 B、﹣1 C、1 D、3 6、（2010?山东）在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数的平均值和方差分别为（） A、92，2 B、92，2.8 C、93，2 D、93，2.8 7、（2010?山东）设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的（） A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 8、（2010?山东）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为 ，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（） A、13万件 B、11万件 C、9万件 D、7万件 2015年山东省高考数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）已知集合A={x |x 2﹣4x +3＜0}，B={x |2＜x ＜4}，则A ∩B=（ ） A ．（1，3） B ．（1，4） C ．（2，3） D ．（2，4） 2．（5分）若复数z 满足z 1?i =i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ） A ．1﹣i B ．1+i C ．﹣1﹣i D ．﹣1+i 3．（5分）要得到函数y=sin （4x ﹣π3 ）的图象，只需要将函数y=sin4x 的图象（ ）个单位． A ．向左平移π12 B ．向右平移π12 C ．向左平移π3 D ．向右平移π3 4．（5分）已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=60°，则BD →?CD →=（ ） A ．﹣32a 2 B ．﹣34a 2 C ．34a 2 D ．32a 2 5．（5分）不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣5|＜2的解集是（ ） A ．（﹣∞，4） B ．（﹣∞，1） C ．（1，4） D ．（1，5） 6．（5分）已知x ，y 满足约束条件{x ?y ≥0 x +y ≤2y ≥0 ，若z=ax +y 的最大值为4，则a= （ ） A ．3 B ．2 C ．﹣2 D ．﹣3 7．（5分）在梯形ABCD 中，∠ABC=π2 ，AD ∥BC ，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．2π3 B ．4π3 C ．5π3 D ．2π 8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ） （附：若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P （μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%） A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18% D ．31.74% 9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y 轴反射后与圆（x +3）2+（y ﹣2） 2018年山东省高考数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（） A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 2．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4） 3．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位． A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 4．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（） A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a2 5．（5分）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（） A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，1）C．（1，4） D．（1，5） 6．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 7．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π 8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（） （附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%） A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74% 9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（） A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣ 10．（5分）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（） A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）观察下列各式： C=40； C+C=41； C+C+C=42； C+C+C+C=43； … 照此规律，当n∈N*时， C+C+C+…+C= ． 12．（5分）若“?x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为． 13．（5分）执行右边的程序框图，输出的T的值为． 2015年山东高考文科数学试题及答案解析 第I 卷（共50分） 本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合{} 24A x x =<< ，()(){} 130B x x x =--< ，则A B = （A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,4 2、若复数z 满足 1z i i =- ，其中i 为虚数单位，则z = （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+ 3、设0.6 1.50.60.6,0.6, 1.5a b c === ，则,,a b c 的大小关系是 （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）b a c << （D ）b c a << 4、要得到函数sin 43y x π?? =- ?? ? 的图象，只需将函数sin 4y x =的图象 （A ）向左平移 12π个单位 （B ）向右12π平移个单位 （C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3 π 个单位 5、设m R ∈ ，命题“若0m > ，则方程2 0x x m +-= 有实根”的逆否命题是 （A ）若方程2 0x x m +-=有实根，则0m > （B ） 若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤ （C ） 若方程20x x m +-=没有实根，则0m > （D ） 若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤ 6、为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数 据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图。考虑以下结论： ①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 数学（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的. 1．（5分）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（） A．（1，2）B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1） 2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z?=4，则a=（） A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D． 3．（5分）已知命题p：?x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（） A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q 4．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（） A．0 B．2 C．5 D．6 5．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之 间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知x i=225，y i=1600， =4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（） A．160 B．163 C．166 D．170 6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（） A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0 7．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（） A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+ C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜ 8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D． 9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A 10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（） A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞） C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11．（5分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=．12．（5分）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是（） 新农村建设后，种植收入减少 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 新农村建设后，养殖收入增加一倍 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 7某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） A.5 B.6 C.7 D.8 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC。△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概 率分别记为,则（） 17(12分) 2020年普通高等学校招生全国统一考试 数学(山东卷) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2 故不同的安排方法共有12 6561060C C ?=?=种. 故选：C 4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 90° 【分析】 画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角. 【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥.. 由于40,//AOC m CD ∠=?，所以40OAG AOC ∠=∠=?， 由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=?， 所以40BAE OAG ∠=∠=?，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=?. 故选：B 2020年山东高考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 A ．62% B ．56% C ．46% D ．42% 6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天 7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ?的取值范围是 A ．()2,6- B ．()6,2- C ．()2,4- D ．()4,6- 8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞ D ．1,0]3][[1,- 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。 9．已知曲线22:1C mx ny +=. A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 10．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= 机密☆启用前 山东省2015年普通高校招生（春季）考试 数学试题 注意事项： 1. 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 2. 本次考试允许使用函数型计算机，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01. 卷一（选择题，共60分） 一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项 中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题．．卡． 上） 1．若集合A ＝{1，2，3}，B ＝{1，3}，则 A ∩B 等于（ ） （A ）{1，2，3} （B ）{1，3} （C ） {1，2} （D ）{2} 2．不等式|x －1|＜5的解集是 （A ）(－6，4) （B ）（－4，6） （C ） (－∞, －6)∪(4, ＋∞) （D ）(－∞, －4 )∪（6，＋∞) 3．函数y ＝x +1 +1 x 的定义域为（ ） （A ）{x | x ≥－1且x ≠0} （B ）{x |x ≥－1} （C ）{x|x ＞－1且x ≠0} （D ）{x |x ＞－1} 4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5．在等比数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝3，则a 6等于（ ） （A ）-5 （B ）5 （C ）-9 （D ）9 6.如图所示，M 是线段OB 的中点，设向量→OA ＝→a ，→OB →→ ）2015年山东省高考文科数学试题及答案(word版)
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