高等数学讲义(一)
高等数学基础
高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。
第1讲 函数
1.2 函数
要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。 一、常量与变量 先看几个例子： 圆的面积公式
2πr S =
自由活体的下落距离
202
1gt t v s +
= 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。变量可以视为实属集合（不止一个元素）。
二、函数的定义
定义1.1 设D 是一个非空数集。如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为
)(x f y =
并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。 实数集合
},)(;{D x x f y y Z ∈==
称为函数f 的值域。
看看下面几个例子中哪些是函数：
}6,3,1{=X
f
}9,8,6,2{=Y
f 是函数，且
2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f
定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ?。
}7,6,3,1{=X
}9,8,6,2{=Y
f 不是函数。 }6,3,1{=X
}9,8,6,2{=Y
f 是函数，且
2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f
定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。
}6,3,1{=X
}9,8,6,2{=Y
f 不是函数。
由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。
例1 求函数x y -=1的定义域。 解 在实数范围内要使等式有意义，有
01≥-x
即
f
f
f
1≤x
所以函数的定义域为]1,(-∞。
例2 求函数2411
x x
y -+-=
的定义域。 解 在实数范围内要使第一个等式有意义，有
01≠-x 即
1≠x
在实数范围内要使第二个等式有意义，有
042≥-x 或 42≤x
即
2≤x 或 22≤≤-x
所以函数的定义域为]2,1()1,2[ -。
三、函数表示法
函数表示法主要有以下三种 ⒈解析法
用数学式子表示变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为解析法。例如
2x y =
x y sin =
?
?
?>-≤+=0,10
,1)(x x x x x f ⒉图形法
在平面直角坐标系中满足一定条件的曲线图形，也可以确定一个函数关系，这种表示函数的方法称为图形法。例如
表示一天内温度随时间变化的函数关系。
⒊列表法
在实际应用中把一系列自变量值及其相对应的函数值列成表，这种表示函数的方法称为列表法。如对数函数表、三角函数表等等。
四、函数的几种属性 ⒈单调性
请看下面两个图
左边的图形表示，函数值随自变量的增加而增加，就称函数单调增加，数学上描述为：如果当任意的),(,21b a x x ∈且21x x <时，恒有
)()(21x f x f <
则称函数)(x f 在区间),(b a 内是单调上升的或单调增加的。
右边的图形表示，函数值随自变量的增加而减少，就称函数单调减少，数学上描述为：如果当任意的),(,21b a x x ∈且21x x <时，恒有
)()(21x f x f >
则称函数)(x f 在区间),(b a 内是单调下降的或单调减少的。
⒉奇偶性
请看下面两个图
左边的函数图形关于y 轴对称，就称函数是偶函数，数学上描述为：如果函数)(x f y =的定义域D 以原点为对称，且恒满足等式)()(x f x f =-，则称)(x f
是
偶函数。
右边的函数图形关于原点对称，就称函数是奇函数，数学上描述为：如果函数)(x f y =的定义域D 以原点为对称，且恒满足等式)()(x f x f -=-，则称)(x f 是奇函数。
例3 判断下列函数的奇偶性： ⑴x x f =)(； ⑵)1,1(11lg
)(-∈+-=x x
x
x f
解 ⑴由绝对值的性质，对任意x 有
)()(x f x x x f ==-=-
由此可知)(x f 是偶函数。
⑵由对数函数的性质，对任意)1,1(-∈x 有
1
)11lg(11lg )(1)(1lg
)(-+-=-+=-+--=-x x x x x x x f
)(11lg x f x
x
-=+--= 由此可知)(x f 是奇函数。
判断函数的奇偶性也可以利用以下结论： 偶函数加减偶函数是偶函数 奇函数加减奇函数是奇函数 偶函数乘偶函数是偶函数 奇函数乘奇函数是偶函数 奇函数乘偶函数是奇函数
例如，x x y sin +=是奇函数，x x y cos =也是奇函数。 1.3 初等函数
要了解初等函数，首先从以下开始
一、基本初等函数
我们将以下几类函数称为基本初等函数，它们是 ⒈常数函数 R c c y ∈=
常数函数的图形如下
⒉幂函数 R x y ∈=αα
幂函数的图形如下
⒊指数函数
1,0≠>=a a a y x
指数函数的图形如下
⒋对数函数
1,0log ≠>=a a x y a
对数函数的图形如下
⒌三角函数 正弦函数 x y sin = 余弦函数 x y cos = 正切函数 x y tan = 余切函数 x y cot =
正弦、余弦、和正切函数的图形分别是
⒍反三角函数
反正弦函数 x y arcsin = 反余弦函数 x y arccos = 反正切函数 x y arctan =
反正弦、反余弦、和反正切函数的图形分别是
二、函数的复合运算
在介绍函数的复合运算之前，先介绍函数的四则运算：设)(x f ，)(x g 是两个函数，定义域分别为1D ，2D ，如果21D D D =不是空集，那么在D 上可以得到以下函数
)()(x g x f + )()(x g x f - )()(x g x f ? )(/)(x g x f
这里要注意，最后一个函数)(/)(x g x f 的定义域要在D 中去掉使0)(=x g 的点。
除了函数的四则运算外，再看下面复杂一些的运算，如函数
x y sin lg =
可以看作由函数u y lg =和x u sin =构成的，这种构成方式就是一种新的运算。一般地，由两个函数)(u f y =和)(x g u =构成的对应规则))((x g f y =称为f 和g 这两个函数的复合函数。
三、初等函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算而成，能用一个解析式表示的函数称为初等函数。
函数
?
?
?>+≤=0,10
,sin )(x x x x x f 不是初等函数，这类函数称为分段函数。
第2讲 极限与连续
微积分的主要研究对象是函数，它所使用的一个重要工具就是我们要在下面介绍的——极限。极限的严格描述奠定了微积分的理论基础，而微积分学几乎所有的重要概念都以不同的极限形式来表示。
2.2 函数的极限
一、极限的概念
首先让我们看看反正切函数x y arctan =的图形
当自变量x 向∞+变化时，函数值在向2
π
靠近。而且x 向∞+充分接近时，函数值可以和
2
π
任意靠近。我们将x 向∞+充分接近说成x 趋于∞+，记为+∞→x 。一般地，当自变量x 趋于∞+时，如果函数)(x f 的函数值和某个常数A 任意靠近，我们就称函数)(x f 当x 趋于∞+时以A 为极限（或称当x 趋于∞+时，)(x f 的极限是A ）。记为
A x f x =+∞
→)(lim 或 )()(+∞→→x A x f
如我们在开始看到的情形就是
2
π
arctan lim =
+∞
→x x 类似可以得到B x f x =-∞
→)(lim ，仍以反正切函数为例，有
2
πarctan lim -
=-∞
→x x 再一次观察反正切函数x y arctan =的图形，当自变量x 向点0=x 变化时，函数值在向0靠近。而且x 向点0=x 充分接近时，函数值可以和0任意靠近。我们将x 向点0=x 充分接近说成x 趋于0，记为0→x 。一般地，当自变量x 趋于0x 时，如果函数)(x f 的函数值和某个常数A 任意靠近，我们就称函数)(x f 当x 趋于0x 时以A 为极限（或称当x 趋于0x 时，)(x f 的极限是A ）。记为
A x f x x =→)(lim 0
或 )()(0x x A x f →→
这样我们就得到
0arctan lim 0
=→x x
极限A x f x x =→)(lim 0
的直观意义可以用下面的图形说明
函数在一点的极限可能存在，也可能不存在，如函数x
y 1
sin
=当0→x 时的极限就不存在，我们也可以从图形中看出
再看下面这个图形
可以看出，这个函数当1→x 时没有极限，但当x 从大于1的方向趋于1时，函数值与
5.2任意接近。一般地，当自变量x 从大于0x 的方向趋于0x 时，如果函数)(x f 的函数值和
某个常数A 任意靠近，就称A 为)(x f 在点0x 的右极限，记为
A x f x x =+→)(lim 0
类似可以给出)(x f 在点0x 的左极限，记为B x f x x =-
→)(lim 0
。如此一来我们就有了以下结论 )(lim 0
x f x x →存在的充分必要条件是)(lim 0
x f x x +→和)(lim 0
x f x x -
→都存在，且
)(lim )(lim 0
x f x f x x x x +
-→→=
二、极限的运算法则
为了方便地计算函数的极限，我们不加证明地给出极限的运算法则： 若)(lim x f ，)(lim x g 存在，则有
)(lim )(lim )]()(lim[x g x f x g x f ±=± )(lim )(lim )]()(lim[x g x f x g x f ?=? c x f c x cf )(lim )](lim[=为常数
)
(lim )
(lim ])()(lim[
x g x f x g x f = （假定0)(lim ≠x g ） 例1 求6
2
3lim 222-++-→x x x x x 。
解 观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则，但对表达式经适当整理后就可以应用极限的四则运算法则，
)
3)(2()
1)(2(lim
623lim 2222+---=-++-→→x x x x x x x x x x 5
1)3(lim )1(lim 31lim 2
2
2=+-=+-=→→→x x x x x x x
例2 求5
23
2lim 22-+-++∞→x x x x x 。
解 观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则，但对表达式经适当整理后就可以应用极限的四则运算法则，
2
2
225
12321lim 5232lim x x x x x x x x x x -+-+
=-+-++∞→+∞→ 2
1002001)512(lim )3
21(lim 22=-+-+=-+-+=
+∞→+∞→x
x x x x x
只有极限的四则运算法则对解决的计算还是不够的，接下来我们大家介绍两个重要的极限。
2.3 两个重要极限
我们先给出两个重要的极限公式
1sin lim
0=→x
x
x
e )1
1(lim =+∞→x x x 之所以说这是两个重要极限，一方面因为它们出自于两个极限存在定理，另外在后面
求基本初等函数的导数时需要用到。
在这里我们只给出第一个极限的证明，为此先不加证明地给出一个极限存在定理
夹逼定理 设在0x 的某领域内（可不包含点0x ）有
)()()(x h x f x g ≤≤
且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0
，则)(lim 0
x f x x →存在且
A x f x x =→)(lim 0
下面就来证明第一个重要极限，先看一下下面这张图
图中的圆周是单位圆周，圆心角AOB ∠的弧度是x ，则有 线段BD 的长度为x sin AB 弧的长度为x
线段AE 的长度为x tan 当2
π
0<
从而有 x x x x sin 1 1sin cos << 从而有 1sin cos << x x x 当+ →0x 时，1cos lim 0 =+ →x x ，由夹逼定理得 1sin lim 0 =+ →x x x 由于x x x tan ,,sin 都是奇函数，因此当02 π <<- x 时，有 )tan()sin(0x x x -<-<-< 即 x x x tan sin 0-<-<-< 从而有 x x x x sin 1 1sin cos -<-<- 从而有 1sin cos << x x x 当- →0x 时，11lim cos lim 0 ==- -→→x x x ，由夹逼定理得 1sin lim 0 =- →x x x 最后得到 1sin lim 0=→x x x 例3 求x x x 3sin lim 0→。 解 本题不能直接应用第一个重要极限公式，需要作适当变换。注意到x 趋于0时，x 3也趋于0，有 313)3() 3sin(lim 333sin 3lim 3sin lim 000=?===→→→x x x x x x x x x 例4 求3 2) 3sin(lim 23 ---→x x x x 。 解 本题不能直接应用第一个重要极限公式，需要作适当变换。注意到x 趋于3时， )3(-x 趋于0，有 ) 1(1 )3()3sin(lim )1)(3()3sin(lim 32)3sin(lim 3323 +?--=+--=---→→→x x x x x x x x x x x x 4 1 411)1(1lim )3()3sin(lim 33=?=+?--=→→x x x x x 2.4 无穷小量与无穷大量 定义2.5 极限为零的量称为无穷小量。 定理2.1 A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是 )()(x A x f α+= 其中)(x α是无穷小量。 利用极限的运算法则很容易得到无穷小量的如下性质 ⒈有限个无穷小量的代数和是无穷小量。 ⒉有限个无穷小量的乘积是无穷小量。 ⒊无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量。 ⒋任意常数与无穷小量的乘积是无穷小量。 例5 求x x x 1sin lim 0 →。 解 前面我们已经知道，x 1 sin 当0→x 时极限不存在，但它是有界变量，而x 是无穷小量。由无穷小量的性质3知x x 1 sin 是无穷小量，即 01 sin lim 0=→x x x 如果)(,)(x g x f 都是无穷小量，而 ) () (x f x g 仍然是无穷小量，这是称)(x g 是关于)(x f 的高阶无穷小量，记为))(()(x f o x g =。 如果) (1 x f 是无穷小量，那么称)(x f 为无穷大量。例如x 1当0→x 时就是无穷大量。 2.5 函数的连续性 先看看下面的图形 以上几个函数的图形在点1=x 都存在不同形式的“断裂”，但归纳起来，这些情况属于要么)(x f 在1=x 的极限不存在，要么)(x f 在1=x 的极限不等于在该点的函数值。 定义2.6 设函数)(x f 在0x x =的一个邻域内有定义，且等式)()(lim 00 x f x f x x =→成立， 则称)(x f 在点0x 处连续，0x 称为函数)(x f 的连续点。若0x 不是)(x f 的连续点，则0x 称为函数)(x f 的间断点。 例6 判断设函数 ???≤>=0 ,0,e )(x x x x f x 在点0=x 处是否连续。 解 因为在点0=x 处有 0)(lim 0=- →x f x 1)(lim 0=+ →x f x 可知)(lim 0 x f x →不存在，由定义2.6可知)(x f 在点0=x 处不连续，即0=x 是)(x f 的间断 点。 如果函数)(x f 在),(b a 区间内的每个点都连续，则称)(x f 在区间),(b a 内连续。 可以证明基本初等函数在它们的定义域内都是连续的，而函数的四则运算和复合运算仍保持函数的连续性，因此我们可以得出结论：初等函数在其定义域内是连续的。 高等数学基础 高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。 第1讲 函数 1.2 函数 要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。 一、常量与变量 先看几个例子： 圆的面积公式 2πr S = 自由活体的下落距离 202 1gt t v s + = 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。变量可以视为实属集合（不止一个元素）。 二、函数的定义 定义1.1 设D 是一个非空数集。如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为 )(x f y = 并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。 实数集合 },)(;{D x x f y y Z ∈== 称为函数f 的值域。 看看下面几个例子中哪些是函数： }6,3,1{=X f }9,8,6,2{=Y f 是函数，且 2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f 定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ?。 }7,6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不是函数。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 是函数，且 2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f 定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不是函数。 由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。 例1 求函数x y -=1的定义域。 解 在实数范围内要使等式有意义，有 01≥-x 即 f f f 定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解． 3.考查曲边梯形面积的求解． 4.与几何概型相结合考查． 1．定积分 (1)定积分的相关概念：在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所 示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质：①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t，则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)| b a，即∫b a f(x)d x＝F(x) |b a＝F(b)－F(a)． 课前预测： 1.∫421 x d x等于( ) A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2 高等数学简明二阶微分方程讲义 作者：齐睿添 ————微分方程的理论帮助了很多工程学,物理学中实际 问题的解决 讨论0. 欧拉公式 欧拉公式在二阶线性齐次常系数方程通解的推导和其非齐次方程的自由项为三角函数时的求解过程中有重要的应用. 讨论1. 二阶常系数线性齐次微分方程 实际问题1. 如图，在水平光滑平面上有一物体在弹簧和阻尼器的牵拉下往复运动.阻力f的大小与物体运动速率成正比，阻力f的方向与速度方向相反（f=-cv）. 物体的位置随时间如何变化？ 设位置函数x=x(t) 已知: F弹=-kx,f=-cv 故由牛顿第二定律: 合力=-kx-cv=ma 即a+(c/m)v+(k/m)x=0 得到微分方程： 记 得到形如下式的方程（*） 这便是一个二阶常系数线性齐次微分方程. 其通解如下表所示: 特征方程 (上表的具体推导与证明详见教材P174-177) 可以发现其通解形式是符合物块运动的直观直觉的. 1）如果阻力很大，弹簧弹性弱，那么物块晃动两下很快就会停止. 这种情况下,列出方程的通解应是表中第一条或者第二条. 例如:取m=1kg, k=3, c=4, 一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 我们依照数学习惯将时间(自变量)记为x, 将位置(因变量）记为y. 那么方程为: . 特征方程为，有两个不相等实根 通解为 把初值条件带入 求得 故该例的解为 图像 2)如果阻力很小,弹簧的弹性很强,那么物块将反复往返震荡,幅度随时间越来越小.这种情况下方程通解应是上表第三条. 例如: 取m=1kg,c=3,k=4,一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 即为 带入初值条件 C_1=1/2, C_2=-17根号7/14 图像为 第一部分函数极限连续 历年试题分类统计及考点分布 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。 一、 求分段函数的复合函数 例1 (1988, 5分) 设2 (),[()]1x f x e f x x ?==-且()0x ?≥,求()x ?及其定义 域。 解: 由2 ()x f x e =知2 () [()]1x f x e x ? ?==-,又()0x ?≥, 则()0 x x ?= ≤. 例2 (1990, 3分) 设函数 1,1 ()0,1 x f x x ?≤?=?>??,则[()]f f x =1. 练习题: (1)设 1,1, ()0,1,(),1,1, x x f x x g x e x ??求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这 两个函数的图形。 (2) 设 20,0,0,0, ()(), ,0,,0, x x f x g x x x x x ≤≤??==??>->??求 [()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x . 二、 求数列的极限 方法一 利用收敛数列的常用性质 一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。 性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。 性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。 性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞ =,且0a >(或0a <),那么存在 0n N + ∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <). 性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,, lim lim n n n n x a y b →∞ →∞ ==那么 (1)()lim n n n x y a b →∞ ±=±; (2)lim n n n x y a b →∞ ?=?; (3)当0()n y n N + ≠∈且0 b ≠时,lim n n n x a y b →∞ = . 考研数学辅导书比较，一个比较经典的帖子，重温一下。 1.李永乐考研数学复习全书 题型很全面，内容很充实（线代和概率很不错，微积分稍逊）难度要高于真题，所谓的简单是命题的风格 很常规，没有什么剑走偏锋让人一下傻眼的题，考研真题不正是这样的吗？ 做熟练（我不知道怎么叫做透哈）120以上真不难，135以上就要看临场发挥。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.陈文灯考研数学复习指南 个别题其实已经很陈旧了，难度也有被夸大的嫌疑。很大一部分也是注重基础的题只是不像全书加以强调 和总结，微积分部分题型归纳很好，个别题有难度（真不多），但有助于锻炼思维。线代和概率内容显单 薄。 PS：无穷级数，积分，不等式证明，泰勒公式，中值定理等是精华，做过思路会很清晰。传说，考高分要 做指南，我想，是因为指南在你有一定基础之后，能对你的思维有一个提炼吧。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3.蔡燧林考研数学标准全书 微积分部分例题精华，讲解很深入，给人醍醐灌顶的感觉。所谓精华就是不会边边角角都涉及到的意思， 所以还是要做点非精华的练习（比如全书？？^_^） 线代一般，概率一般，纸张一般，印刷一般。 ps ：章后练习很多，但一定要做，那个也是精华。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4.水木艾迪微积分通用讲义 配合水木的视频，很好的哈。把解题中的疑难提出来，然后列举例题加以解决分析。章前的知识点讲解也 很好，选题很也典型。总之，比全书微积分要好，值得一读。 PS：多元微分，一元微积分非常好。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5.赵达夫高等数学辅导讲义 体例不好，一堆知识点，一堆练习，一堆解答。章后练习选题还是很好的，不一定很难，但非常典型。但 PS：只靠这一本书是不够的。是不是叫不给力？ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6.黄庆怀高等数学辅导教材 同学们骂我书托吧，我做了这么多书，最想推荐的就是这本了。 体例好，内容全，例题典型，归纳完整，练习题保质保量。唯一稍差是讲解不够（全书和标 微积分初步 一、微积分的基本概念 1、极限 极限指无限趋近于一个固定的数值 两个常见的极限公式 0sin lim 1x x x →= *1lim 11x x x →∞??+= ??? 2、导数 当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。 0'lim x dy y y dx x ?→?==? 导数含义，简单来说就是y 随x 变化的变化率。 导数的几何意义是该点切线的斜率。 3、原函数和导函数 对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数。 00()()'()lim lim x x y y x x y x y x x x ?→?→?+?-==?? 4、微分和积分 由原函数求导函数：微分 由导函数求原函数：积分 微分和积分互为逆运算。 例1、根据导函数的定义，推导下列函数的导函数 （1）2y x = （2） (0)n y x n =≠ （3）sin y x = 二、微分 1、基本的求导公式 （1）()'0 ()C C =为常数 （2）()1' (0)n n x nx n -=≠ （3）()'x x e e = *（4）()'ln x x a a a = （5）()1ln 'x x = *（6）()1log 'ln a x x a = （7）()sin 'cos x x = （8）()cos 'sin x x =- （9）()21tan 'cos x x = （10）()21cot 'sin x x = **（11）() arcsin 'x = **（12）()arccos 'x = **（13）()21arctan '1x x =+ **（14）()2 1arccot '1x x =-+ 2、函数四则运算的求导法则 设u =u (x )，v =v (x ) （1）()'''u v u v ±=± （2）()'''uv u v uv =+ （3）2'''u u v uv v v -??= ??? 例2、求y=tan x 的导数 3、复合函数求导 对于函数y =f (x )，可以用复合函数的观点看成y =f [g (x)]，即y=f (u )，u =g (x ) 'dy dy du y dx du dx == 即：'''u x y y u = 例3、求28(12)y x =+的导数 例4、求ln tan y x =的导数 三、积分 1、基本的不定积分公式 下列各式中C 为积分常数 （1） ()kdx kx C k =+?为常数 （2）1 (1)1n n x x dx C n n +=+≠-+? 第三章 一元函数积分学 §3．1 不定积分 甲 内容要点 一．基本概念与性质 1．原函数与不定积分的概念 设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立，则称()x F 为()x f 在区间 I 上的原函数，()x f 在区间I 中的全体原函数称为()x f 在区间I 的不定积分，记以()?dx x f 。其中?称 为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积函数，()dx x f 称为被积表达式。 2．不定积分的性质 设 ()()C x F dx x f +=?，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。 则（1）()()C x F dx x F +='? 或 ()()? +=C x F x dF （2） ()[]()x f dx x f ='? 或 ()[]()dx x f dx x f d =? （3）()()? ? =dx x f k dx x kf （4） ()()[]()()???±=±dx x g dx x f dx x g x f 3．原函数的存在性 设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数。例如() ?dx x 2sin ，() ?dx x 2 cos ， ?dx x x sin ，?dx x x cos ，?x dx ln ，dx e x ?-2 等。被积函数有原函数， 但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。 二．基本积分公式 1．C x dx x ++= ?+1 1 ααα ()，实常数1-≠α 2． ?+=C x dx x ln 1 3．?+=C a a dx a x x ln 1 ()1,0≠>a a C e dx e x x +=? 4．? +=C x xdx sin cos 5．? +-=C x xdx cos sin 6．C x dx x xdx +== ??tan cos 1 sec 22 7．C x dx x xdx +-==??cot sin 1csc 2 2 8．C x xdx x +=? sec sec tan 9．C x xdx x +-=? csc csc cot 10．C x xdx +-=? cos ln tan 11．C x xdx +=? sin ln cot 12．C x x xdx ++=? tan sec ln sec 13．C x x xdx +-=? cot csc ln csc 14． ? +=-C a x x a dx arcsin 2 2 ()0>a 15． C a x a x a dx +=+?arctan 122 ()0>a 16． C x a x a a x a dx +-+=-?ln 2122 ()0>a 17． C a x x a x dx +±+=±? 222 2ln () 0>a 第一讲 极限与连续 主要内容概括（略） 重点题型讲解 一、极限问题 类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）???? ? ?+-++?+?∞→)12)(12(1 531311lim n n n Λ； （2）1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π； （3）∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限： （1）???? ??++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim Λ； 3．求下列极限： （1）??? ? ??++++++∞→2222221 211 1lim n n n n n Λ； （2）n n n n !lim ∞ →； （3）∑ =∞ →++ n i n n i n 1 2 11 lim 。 类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限： （1）)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n Λ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限： （1）( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+； （3）) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→?? ? ??++； （4）2 1cos lim x x x ?? ? ?? ∞ →； 类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限： （1）) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→； （3）]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ； （4）)tan 1 1(lim 220x x x -→； 第一部分函数极限连续 函数、极限、 连续 函数极限连续 函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质 函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质 函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点 性性唯一性 函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断 性有界性局部有界性点 收敛数列的函数极限的 保号性局部保号性 数列极限四函数极限与数 则运算法则列极限的关系 极限存在准函数极限四 则则运算法则 夹逼准则两个重要极 限 单调有界准无穷小的比 则较 高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小 历年试题分类统计及考点分布 考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计 运算法则极限准则阶 年份 1987 1988 5 3 8 1989 1990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 1998 1999 2000 5 5 2001 2002 2003 4 4 8 2004 4 4 2005 2006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。 课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤） 2、课程内容 此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。 3、主讲师资 汤家凤——主讲高等数学、线性代数。 著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 4、讲义： 6页（电子版） 文都网校 2011年5月27日 公开课二：定积分理论 一、实际应用背景 1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。 （1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -???= ， 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i t f S ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f S ?=∑=→)(lim 1 ξλ 2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。 （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i x f A ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f A ?=∑=→)(lim 1 ξλ。 二、定积分理论 （一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数， （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作 i n i i x f ?∑=)(1 ξ； （3）取}{m a x 1i n i x ?=≤≤λ， 若i n i i x f ?∑=→)(lim 1 ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为) (x f 在],[b a 上的定积分，记 ? b a dx x f )(，即?b a dx x f )(i n i i x f ?=∑=→)(lim 1 ξλ。 第三章 中值定理与导数的应用 ?????? ? ? ?? ?? ?? ??????????? ?????????????? ??必要条件求解函数的性态，充分渐近线凹凸性，拐点单调性，极值，最值—求极限—洛必达法则—应用数，求极限证明，确定无穷小的阶泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理中值定理 第一节 微分中值定理 极值:设) f在0x的某一邻域) (x U内有定义，若 (0x 对一切) ) ( (0x f≤,则 f≥)) x f ( U (0x x ( x∈有) f (0x ) 称) (x f的极f在0x取得极小（大）值，称0x是) (x 小（大）值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。 费马引理：设) f在0x (x f'存在， (0x x=取极值，又) 则0)(0='x f 。 在0x x =取极值的必要条件：可导的极值点导数必为零。 驻点：若0)(='a f ，则称a x =为)(x f 的驻点。 可导的极值点一定为驻点，但是驻点不一定为极值点。 定理1（罗尔定理）： 条件： ①)(x f 在],[b a 上连续； ②在),(b a 可导； ③)()(b f a f = 结论： 一定存在),(b a ∈ξ， 使得0)(='ξf 。 几何意义：设AB 是 （1）定义在],[b a 上的光滑曲线)(x f y =； （2）若除端点外处处有不垂直于x 轴的切线； （3）两端点纵坐标相等 则在AB 上至少存在一点C ，其切线是水平的． 即两端点同高的连续曲线内至少有一点的切线是水平的．（如图所示） 第一章 函数、极限、连续 §1.1 函数 一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性) 1. 0 () (0)()2() ()a a a f x a f x dx f x dx f x ->?? =???? ?当为奇函数当为偶函数 口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。 2. 在(a,b )内，若()0f x '>，则()f x 单调增加 若()0f x '<，则()f x 单调减少 口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负 例1 求1 51 [()ln(.x x I x x e e x dx --= +-+? 解 1()x x f x e e -=-是奇函数， ∵112()(),()ln(x x f x e e f x f x x --=-=-=+是奇 函数， ∵ 222()ln(ln f x x -=-+ = 2ln1ln(()x f x =-=- 因此()ln(x x x e e x --是奇函数。 于是1 1 6 61 2027 I x dx x dx -= +== ? ?。 例2 设()()F x f x '=，则下列结论正确的是 (A)若()f x 为奇函数，则()F x 为偶函数。 (B)若()f x 为偶函数，则()F x 为奇函数。 (C)若()f x 为周期函数，则()F x 为周期函数。 (D)若()f x 为单调函数，则()F x 为单调函数。 解 (B)不成立，反例3 2 (),()13 x f x x F x ==+ (C)不成立，反例()cos 1,()sin f x x F x x x =+=+ (D)不成立，反例2 ()2,()(,)f x x F x x ==-∞+∞在内 (A)成立。 证明 0 ()(0)(),x F x F f t dt f =+ ? 为奇函数， 高等数学讲义 目录 第一章函数、极限、连续 (1) 第二章一元函数微分学 (24) 第三章一元函数积分学 (49) 第四章常微分方程 (70) 第五章向量代数与空间解析几何 (82) 第六章多元函数微分学 (92) 第七章多元函数积分学 (107) 第八章无穷级数（数一和数三） (129) 第一章 函数、极限、连续 §1.1 函数 (甲) 内容要点 一、函数的概念 1．函数的定义 2．分段函数 3．反函数 4．隐函数 二、基本初等函数的概念、性质和图象 三、复合函数与初等函数 四、考研数学中常出现的非初等函数 1．用极限表示的函数 (1) )(lim x f y n n ∞→= (2) ),(lim x t f y x t →= 2．用变上、下限积分表示的函数 (1) ?= x a dt t f y )( 其中)(t f 连续，则)(x f dx dy = (2) ?= )()(21)(x x dt t f y ?? 其中)(),(21x x ??可导，)(t f 连续， 则2211[()]()[()]()dy f x x f x x dx ????''=- 五、函数的几种性质 1． 有界性：设函数)(x f y =在X 内有定义，若存在正数M ，使X x ∈都有M x f ≤)(，则称)(x f 在X 上是有界的。 2． 奇偶性：设区间X 关于原点对称，若对X x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 在X 上是奇函数。 若对X x ∈，都有()()f x f x -=，则称)(x f 在X 上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y 轴对称。 3． 单调性：设)(x f 在X 上有定义，若对任意X x X x ∈∈21,，21x x <都有)()(21x f x f < )]()([21x f x f >则称)(x f 在X 上是单调增加的[单调减少的]；若对任意1x X ∈，2,x X ∈12x x <都有1212()()[()()]f x f x f x f x ≤≥，则称)(x f 在X 上是单调不减[单调不增] （注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。） 01高等数学讲义(汪诚义)第一章24页 新东方在线高等数学讲义 主讲：汪诚义 欢迎使用新东方在线电子教材 目录 第一章函数、极限、连续 (1) 第二章一元函数微分学 (24) 第三章一元函数积分学 (49) 第四章常微分方程 (70) 第五章向量代数与空间解析几何 (82) 第六章多元函数微分学 (92) 第七章多元函数积分学 (107) 第八章无穷级数（数一和数三） (129) 第一章函数、极限、连续 §1.1 函数 (甲) 内容要点 一、函数的概念 1．函数的定义2．分段函数3．反函数4．隐函数 二、基本初等函数的概念、性质和图象 三、复合函数与初等函数 四、考研数学中常出现的非初等函数 1．用极限表示的函数 (1) ?Skip Record If...? (2) ?Skip Record If...? 2．用变上、下限积分表示的函数 (1) ?Skip Record If...?其中?Skip Record If...?连续，则?Skip Record If...? (2) ?Skip Record If...?其中?Skip Record If...?可导，?Skip Record If...?连续， 则?Skip Record If...? 五、函数的几种性质 1．有界性：设函数?Skip Record If...?在X内有定义，若存在正数M，使?Skip Record If...?都有?Skip Record If...?，则称?Skip Record If...?在X上是有界的。 2．奇偶性：设区间X关于原点对称，若对?Skip Record If...?，都有?Skip Record If...?，则称?Skip Record If...?在X上是奇函数。 若对?Skip Record If...?，都有?Skip Record If...?，则称?Skip Record If...?在X上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于?Skip Record If...?轴对称。3．单调性：设?Skip Record If...?在X上有定义，若对任意?Skip Record If...?，?Skip Record If...?都有?Skip Record If...? ?Skip Record If...?则称?Skip Record If...?在X上是单调增加的[单调减少的]；若对任意?Skip Record If...?，?Skip Record If...??Skip Record If...?都有?Skip Record If...?，则称?Skip Record If...?在X上是单调不减[单调不增] （注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。） 4．周期性：设?Skip Record If...?在X上有定义，如果存在常数?Skip Record If...?，使得任意?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，都有?Skip Record If...?，则称?Skip Record If...?是周期函数，称T为?Skip Record If...?的周期。 由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。(乙) 典型例题 一、定义域与值域 例1 设?Skip Record If...?的定义域为?Skip Record If...?（?Skip Record If...?）求?Skip Record If...?的定义域 解：要求?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?， 考研高数精华知识点总结：极限的运算 高等数学是考研数学考试中容最多的一部分，分值所占比例也最高。为此我们为大家整理分享了考研高数精华知识点总结之闭区间连续函数的性质。凯程考研将第一时间满足莘莘学子对考研信息的需求，并及时进行权威发布，敬请关注! 凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由海洋教授、鑫教授、卢营教授、王洋教授、武金教授、释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的 辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，海洋、鑫教授、方浩教授、卢营教授、浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程。在凯程官方的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 凯程考研历年战绩辉煌，成就显著！ 在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下国最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人，占五道口金融学院录取总人数的约50%，五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如，2014年状元武玄宇,2013年状元少华，2012年状元马佳伟，2011年状元玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连，总计达到150人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的博等10人，北大法学考研王少棠，北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院，另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人，创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人，中传家威勇夺中传新闻传播硕士状元，王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元，（他们的经验谈视频在凯程官方有公布，随时可以查看播放。）对于如此优异的成绩，凯程辅导班班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。 《高等数学辅导讲义》练习题解答 第五章 多元函数微分学 1.应选（B）.,)0,(x e x f =该函数在0=x 处不可导，则)0,0(x f ′不存在；,),0(2 y e y f =该函数在0=y 处不可导，则)0,0(y f ′存在； 2.应选（D）. 由b y x f a y x f y x =′=′),(,),(0000知，一元函数),(),,(00y x f y x f 分别在 00,y y x x ==处连续，则),,(),(lim 0000 y x f y x f x x =→).,(),(lim 0000 y x f y x f y y =→ 3.应选（B）. ,000lim )0,0(0=Δ?=′→Δx f x x ,00 0lim )0,0(0=Δ?=′→Δx f y y 220 000)()(lim ])0,0()0,0([)]0,0(),([lim y x y x y f x f f y x f y x y x y x Δ+ΔΔΔ=Δ′+Δ′??ΔΔ→Δ→Δ→Δ→Δρ不存在， 则),(y x f 在点)0,0(处不可微，故应选（B）. 4.应选（D）. ,00)(1sin )(lim )0,0(220 =Δ?ΔΔ=′→Δx x x f x x ,00)(1sin )(lim )0,0(2 2 0=Δ?ΔΔ=′→Δy y y f y y 2 22 2220 0)()()()(1 sin ))()((lim ] )0,0()0,0([)]0,0(),([lim y x y x y x y f x f f y x f y x y x y x Δ+ΔΔ+ΔΔ+Δ=Δ′+Δ′??ΔΔ→Δ→Δ→Δ→Δρ ,0=则),(y x f 在点)0,0(处可微.当)0,0(),(≠y x 时， 2 222221 cos 21sin 2),(y x y x x y x x y x f x ++? += ,01sin 2lim 22) 0,0(),(=+→y x x y x 2222)0,0(),(1 cos 2lim y x y x x y x ++→不存在， 则 ),(lim ) 0,0(),(y x f x y x →不存在，即偏导数),(y x f x 在点)0,0(处不连续，故应选（D）. 5.应选（D）.由 0),(,0),(??y y x f x y x f 可知,),(y x f 关于变量x 是增函数,而关于变量y 是减函数,当 2121,y y x x ><时, ).,(),(),(112122y x f y x f y x f >> 第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 （甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义 设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量)()(00x f x x f y -?+=?。如果极限 x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0 x x y =' ， x x dx dy =， )(x x dx x df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在，则 称函数)(x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则 000 ()() ()lim x x f x f x f x x x →-'=- 我们也引进单侧导数概念。 右导数：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x + ++→?→-+?-'==-? 左导数：0 000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x - --→?→-+?-'==-? 则有 )(x f 在点0x 处可导)(x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。 切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-高等数学讲义(一)
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