图像面积在解题中的应用
图像“面积”在解题中的应用
上海市崇明中学 吴士玉 地址：崇明县鼓浪屿路801号 邮编：202150 利用图像来解决物理问题是常见的一种方法，而图像法解题中有一类是利用图像“面积”来解决问题的。在利用图像法来处理问题时，若能有意识的利用图像“面积”的物理意义来解题，将会给问题的解决带来极大的方便。下面就介绍几类图像“面积”在物理解题中的应用。
一．t v -图像“面积”表示物体的位移
在直线运动中，我们常利用t v -图像来解题。在t v -图像中，图像与横轴所围的面积就表示物体的位移。对一些较复杂的运动过程，如能结合t v -图像加以分析，即可快速解决问题。
例题：A 、B 两个物体从同一高度同时开始运动，A 做竖直上抛运动，B 做简谐振动（起点为B 的平衡位置），且同时到达同一个最高点。下列关于两物体在运动过程中的速度大小关系，正确的是（ ）
A ．
B A v v > B ．B A v v <
C ．先B A v v <后B A v v >
D ．先B A v v >后B A v v < 解析：此题中B 做非匀变速运动，无法建立运动学公式来比较，所以可以尝试运用ν～t 图像来分析。先画出竖直上抛的A 物体的运动
图线（匀减速运动），然后根据题
意：两者的运动时间相同，运动位移相同，如图1即可得出D 选项正
确。 二．s F -图像的“面积”表示作用力F 做的功
功的大小也可以用图像来描述，图2表示恒力做功的情况，图中横坐标为物体的位移s ，纵坐标为在位移方向上的作用力F ，画出的图像（水平线）反映力与位移的关系，该图叫做F —s 图。图线下的阴影面积就表示力F 在位移S 方向上做的功。
例题：已知在弹性限度内弹簧的弹力与形变量成正比，即Kx F =，试画出弹簧的弹力随位移变化的图像，并利用该图像计算弹簧在伸长了1x 的过程中弹力做的功。 解析：据公式Kx F =可知，弹簧所受的弹力F 与形变量x 成正比，图像应为一过坐标原点的倾斜直线，如图3所示。当形变量为1x 时，对应的弹力11Kx F =，则图线与横轴所围的面积为图中阴影部分即表示弹力做的功，21112
1
21kx kx x W =??=
。 三．V p -图像“面积”表示气体做功、确定某状态的温度
对于气体而言，气体在等压膨胀过程中对外做功W 应该等于压强P 乘以增加的体积△V
，
V
A
不符合位移相等 符合题意 图1 图2
图3
1Kx
据V P L PS L F W ?=?=?=，可知P-V 图像中，图像跟横轴所围的面积表示气体做的功。利用PV 乘积亦可确定气体在某状态下的温度。
例题：如图4所示，一定质量的理想气体，由状态A 沿直线AB 变化到B ，判断在此过程中，该气体对外界做功还是外界对气体做功？并求出功的大小。 解析：据V p -图像可知，该气体从A 状态到B 状态的体积在膨胀，因此气体对外做功。由图像得出该气体对外做功即为图线AB 与横轴围成的面积的大小。即
()J W 400101310)13(2
1
35=?-??+=
-。故气体对外做功为400J 。
例题：如图5所示，为一定质量的理想气体状态变化的P —V 图，气体由状态A 经状态B 、C 、D 再回到A ；已知状态A 的温度T A =150K ，则状态B 、C 、D 的温度分别为多少开？
解析：由理想气体状态方程可知C T PV =，所以
C PV T =。只要确定了PV 值，即可确定各状态的温度，而PV
值就是V p -图像中过某点作两坐标轴的垂线与坐标轴围成的
“面积”，因C V P T A A A 1==，故K T V P T A B B B 450313==?==；
K T C C V P T A c c c 900623==?==；K T C V P T A D D D 900661==?==。
四．I U -图像的面积表示电功率的大小
例题：如图6所示，直线A 为电源的路端电压U 与电流I 的关系图像，直线B 是电阻R 两端的电压U 与电流I 的图像。用该电源与电阻R 组成闭合电路，则电源的输出功率为多少瓦？电源的效率为多少？ 解析：据题可知两图线的交点M 所对应的电压2V 即为路端电压，则矩形OCMD 的面积即表示电源的输出功率（外电路消耗的功率）4W 22UI =?==出P ；则电源的总功率即为矩形OEND 的面积，6W 23EI =?==总P ，故该电源的效率为%7.6664P P ===总出η。 五．自构图像面积解题
在平时的练习中，有些习题用公式法往往不易解决，但若能据题构造相应的物理量间的
关系图像，再利用图像“面积”来解答，将会变得很容易。
例题：一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v 的大小与距老鼠洞中心的距离s 成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s 1=1米的A 点时，速度大小为v 1=20cm/s ，问当老鼠到达距老鼠洞中心s 2=2米的B 点时，其速度大小v 2是多少？老鼠从A 点到达B 点所用的时间t 为多少秒？
解析：
老鼠的运动既不是匀速直线运动，也不是匀变速直线运动，无法直接用公式求出
图4
2 3 4 5 图
5
I/A
1 2 3 4 5 6
图6
时间。据题可知s k v =
，即可得s v
~1
图像是一条过原点的直线，如图7所示。图像跟横轴所围的面积的单位为s v
?1
的单位
“秒”，与利用t v -图像求位移类比，可得图像与横轴所围面积（阴影部分）值即为所求时间t 。由图可得s=2m 时，老鼠的速度为10cm/s ，在1m-2m 之间图像与横轴包围的梯形面积即为所求的时
间。所以老鼠从A 到B 的时间s s t 5.72
11.012.01
=???? ??+=。
例题：A 、B 两点相距s ，将s 平分为n 等份。今让一物体(可视为质点)从A 点由静止开始做加速度为a 的匀加速运动，但每过一个等分点，加速度
都增加n
a 。试求该物体到达B 点的速度。
解析：对匀变速直线运动而言，存在公式as v v t 220
2=-，所以在加速度a 与位移s 的图像中，图像与横轴所围的面积
表示2
2
2o
t v v -。首先建立以加速度a 为纵轴，以位移s 为横
轴的直角坐标系，根据题意作a-s 图像如图8所示。图像跟
横轴所围的面积等于图中各个矩形面积之和。面积=
n
n as a n n a n s n a a n s n a a n s a n s 21312-=??? ??-+++??? ??++??? ??++ ，所以
??? ??
-==n as v B 132面积。
2
.011.01图7
n n
n n a+ a+
a+ 图8
面积法在平面几何问题求解中的巧妙应用
平面几何问题的证明——面积法（教案） 教学目的：掌握面积法在平面几何解题中的巧妙应用 教学重点：1、三角形、凸四边形面积公式的推导 2、面积法在平面几何解题中的巧妙应用 教学内容： 2002年，张景中院士推出《新概念几何》，其中对三角学作了全新的处理，他把边长为 1、夹角为α的菱形的面积定义为αsin ，由此研究正弦的性质，到处理余弦，用面积的方法证明大量的平面几何问题，把三角学和几何学打成一片，别具一格，极有新意。 张院士指出：抓住面积，不但能把平面几何课程变得更容易学，而且使几何问题求解变得更有趣味。 在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或面积比表示有关的几何量或其比，从而把要论证的几何量之间的关系转化为有关面积之间的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，这就是面积法。 一、为运用面积法解题，我们需要一些面积公式： 1、设ABC ?中，角C B A ,,所对的边依次为c b a ,,，又a h 为a 边上的高，R 为其外接圆半径，r 为其内切圆半径，)(21c b a p ++= ，则 （1）a ABC ah S 21=?； （2）A bc S ABC sin 21?=?; （3）R abc S ABC 4=?; (4)A C B a S ABC sin 2sin sin 2?=?; (5)rp S ABC =?； (6)))()((c p b p a p p S ABC ---= ?。（海伦公式） 2、在凸四边形ABCD 中，边长分别为d c b a ,,,，两对角线长为,,f e 两对角线夹角θ，且)(2 1d c b a l +++= ，则： （1）θsin 21?=ef S ABCD (2) 2222222)(441d b c a f e S ABCD --+-= (3)))()()((d l c l b l a l S ABCD ----= （当D C B A ,,,四点共圆时） (4)?2cos ))()()((?-----=abcd d l c l b l a l S ABCD ，2D B +=?或2C A +=? 引理1：圆内接四边形ABCD 的四边是,,,,d DA c CD b BC a AB ====则四边形ABCD 的面积 ]1[ ))()()((d p c p b p a p S ABCD ----=，)(21d c b a p +++= 。
最新几何图形计算公式汇总
小学数学图形计算公式 （C ：周长 S ：面积 a ：边长、长 、底、上底、棱长 b: 宽 、下底 h: 高 d ：直径 r ：半径 V:体积 ） 1、长方形周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 长方形面积=长×宽 S=ab 2、正方形周长＝边长×4 C = 4a 正方形面积=边长×边长 S = a×a = a 2 3、平行四边形面积=底×高 s=ah 4、三角形面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积 ×2÷底 h = 2s ÷a 三角形底=面积 ×2÷高 5、梯形面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 6、圆的周长=直径×圆周率=2×圆周率×半径 C=лd=2лr d=C π r=C 2π 圆的面积=半径×半径×圆周率 S = πr 2 环形的面积=外圆的面积-内圆的面积 S 环=π（R 2-r 2） 7、长方体的棱长总和 = 长×4 + 宽×4 + 高×4 =（长 + 宽 + 高）×4 长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S = 2( ab + ah + bh ) 长方体体积=长×宽×高 = 底面积×高 V=abh = sh 8、正方体的棱长总和=棱长×12 正方体表面积=棱长×棱长×6 S 表 = a×a×6 = 6a 2 正方体体积=棱长×棱长×棱长=底面积×高 V = a×a×a = a 3 = sh 9、圆柱的侧面积=底面周长×高 s 侧=ch=πdh=2πrh 圆柱表面积=侧面积+底面积×2 s 表=s 侧+s 底×2 圆柱体积=底面积×高 V 柱 = sh =πr 2h 10、圆锥体体积=底面积×高×13 V 锥 = 13 sh = 1 3 πr 2h 小学数学图形计算公式 （C ：周长 S ：面积 a ：边长、长 、底、上底、棱长 b: 宽 、下底 h: 高 d ：直径 r ：半径 V:体积 ） 1、长方形周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 长方形面积=长×宽 S=ab 2、正方形周长＝边长×4 C = 4a 正方形面积=边长×边长 S = a×a = a 2 3、平行四边形面积=底×高 s=ah 4、三角形面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积 ×2÷底 h = 2s ÷a 三角形底=面积 ×2÷高 5、梯形面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 6、圆的周长=直径×圆周率=2×圆周率×半径 C=лd=2лr d=C π r=C 2π 圆的面积=半径×半径×圆周率 S = πr 2 环形的面积=外圆的面积-内圆的面积 S 环=π（R 2-r 2） 7、长方体的棱长总和 = 长×4 + 宽×4 + 高×4 =（长 + 宽 + 高）×4 长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S = 2( ab + ah + bh ) 长方体体积=长×宽×高 = 底面积×高 V=abh = sh 8、正方体的棱长总和=棱长×12 正方体表面积=棱长×棱长×6 S 表 = a×a×6 = 6a 2 正方体体积=棱长×棱长×棱长=底面积×高 V = a×a×a = a 3 = sh 9、圆柱的侧面积=底面周长×高 s 侧=ch=πdh=2πrh 圆柱表面积=侧面积+底面积×2 s 表=s 侧+s 底×2 圆柱体积=底面积×高 V 柱 = sh =πr 2h 10、圆锥体体积=底面积×高×13 V 锥 = 13 sh = 1 3 πr 2h 中小学教师信息技术考试理论试题 一选择题（40分，每一题1分） 1.下面选项是对信息的实质的理解和说明,其中错误的选项是________. A. 信息就是计算机的处理对象 B. 信息就是关于事物运动的状态和规律的知识 C. 信息就是信息,既不是物质,也不是能量 D. 信息就是人类同外部世界进行交换的内容的名称 2. 信息技术在教学中常用作获取学习资源的工具,人们常说,"因特网是知识的海洋".
最新各种图形面积计算公式
各种图形面积计算公式 1、长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2 2、正方形的周长=边长×4 C=4a 3、长方形的面积=长×宽S=ab 4、正方形的面积=边长×边长S=a.a= a 5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2 6、平行四边形的面积=底×高S=ah 7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2 8、直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2 9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr 10、圆的面积=圆周率×半径×半径?=πr 11、长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2 12、长方体的体积=长×宽×高V =abh 13、正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a 14、正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a.a.a= a 15、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高S=ch 16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 S=2πr +2πrh=2π(d÷2) +2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π) +Ch 17、圆柱的体积=底面积×高V=Sh V=πr h=π(d÷2) h=π(C÷2÷π) h
18、圆锥的体积=底面积×高÷3 V=Sh÷3=πr h÷3=π(d÷2) h÷3=π(C÷2÷π) h÷3 19、长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高 V=Sh 各种图形体积计算公式 平面图形 名称符号周长C和面积S 1、正方形a—边长C＝4a S＝a2 2、长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 3、三角形a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角 其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 4、四边形d,D－对角线长 α－对角线夹角S＝dD/2·sinα 5、平行四边形a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角S＝ah ＝absinα 6、菱形a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a2sinα 7、梯形a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh
图像面积在解题中的应用
图像“面积”在解题中的应用 上海市崇明中学 吴士玉 地址：崇明县鼓浪屿路801号 邮编：202150 利用图像来解决物理问题是常见的一种方法，而图像法解题中有一类是利用图像“面积”来解决问题的。在利用图像法来处理问题时，若能有意识的利用图像“面积”的物理意义来解题，将会给问题的解决带来极大的方便。下面就介绍几类图像“面积”在物理解题中的应用。 一．t v -图像“面积”表示物体的位移 在直线运动中，我们常利用t v -图像来解题。在t v -图像中，图像与横轴所围的面积就表示物体的位移。对一些较复杂的运动过程，如能结合t v -图像加以分析，即可快速解决问题。 例题：A 、B 两个物体从同一高度同时开始运动，A 做竖直上抛运动，B 做简谐振动（起点为B 的平衡位置），且同时到达同一个最高点。下列关于两物体在运动过程中的速度大小关系，正确的是（ ） A ． B A v v > B ．B A v v < C ．先B A v v <后B A v v > D ．先B A v v >后B A v v < 解析：此题中B 做非匀变速运动，无法建立运动学公式来比较，所以可以尝试运用ν～t 图像来分析。先画出竖直上抛的A 物体的运动 图线（匀减速运动），然后根据题 意：两者的运动时间相同，运动位移相同，如图1即可得出D 选项正 确。 二．s F -图像的“面积”表示作用力F 做的功 功的大小也可以用图像来描述，图2表示恒力做功的情况，图中横坐标为物体的位移s ，纵坐标为在位移方向上的作用力F ，画出的图像（水平线）反映力与位移的关系，该图叫做F —s 图。图线下的阴影面积就表示力F 在位移S 方向上做的功。 例题：已知在弹性限度内弹簧的弹力与形变量成正比，即Kx F =，试画出弹簧的弹力随位移变化的图像，并利用该图像计算弹簧在伸长了1x 的过程中弹力做的功。 解析：据公式Kx F =可知，弹簧所受的弹力F 与形变量x 成正比，图像应为一过坐标原点的倾斜直线，如图3所示。当形变量为1x 时，对应的弹力11Kx F =，则图线与横轴所围的面积为图中阴影部分即表示弹力做的功，21112 1 21kx kx x W =??= 。 三．V p -图像“面积”表示气体做功、确定某状态的温度 对于气体而言，气体在等压膨胀过程中对外做功W 应该等于压强P 乘以增加的体积△V ， V A 不符合位移相等 符合题意 图1 图2 图3 1Kx
八年级数学面积法解题
初二数学---面积法解题 【本讲教育信息】 【讲解容】——怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题 【教学目标】 1. 使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。 2. 培养学生分析问题、解决问题的能力。 【 重点、难点】： 重点：证明面积问题的理论依据和方法技巧。 难点：灵活运用所学知识证明面积问题。 【教学过程】 （一）证明面积问题常用的理论依据 1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。 5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 6. 三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的。 1 4 7. 1 4三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的。 8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。 （二）证明面积问题常用的证题思路和方法 1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。 2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。 3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。 4. 还可以利用面积解决其它问题。 【典型例题】 （一）怎样证明面积问题 1. 分解法 例1. 从△ABC 的各顶点作三条平行线AD 、BE 、CF ，各与对边或延长线交于D 、E 、F ，求证：△DEF 的面积＝2△ABC 的面积。 F E A B D C 分析：从图形上观察，△DEF 可分为三部分，其中①是△ADE ，它与△ADB 同底等 高，故S S ADE ADB ??= ②二是△，和上面一样，ADF S S ADF ADC ??=
五年级奥数平面几何图形的面积计算.
第17讲平面图形的计算（一） 例1．图中的甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 例2．计算右图的面积。（单位：厘米） 例3．如图，已知四条线段的长分别是：AB=2厘米，CE=6厘米，CD=5厘米，AF=4厘米，并且有两个直角。求四边形ABCD的面积。 例4．右图是两面三刀个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：分 米） 例5．下页左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10，中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么，有草部分（阴影部分）的面积有多大？（单位：米）
练习与思考 1．求图中阴影部分的面积。 2．求图中阴影部分的面积。 3．下左图的长方形中，三角形ADE与四边形DEBF和三角形CDF的面积分别相等，求三角形DEF的面积。 4．四中平等四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形BCE的直角边EC长8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求CF的长。 5．图中三角形的高为4，面积为16；长方形的宽为6，长方形的面积是三角形面积的多少倍？
6．如图，长方形的长是8，宽是6，A和B是宽的中点，求长方形内阴影部分的面积。 7．如图，BC长为5，求画斜线的两个三角形的面积之和。 8．上右图是两个一样的直角三角形重叠在一起，按照图上标出的数，计算阴影部分的面积。 9．右图是一块长方形草地，长方形长为16，宽为12，中间有一条宽为2的道路，求草地（阴影部分）的面积。
简便计算作业（12月23日）： 1.996+19.97+199.8 2.89?4.68+4.68?6.11+4.68 75?4.7+15.9?25 平均数问题作业（12月23日）： 1.已知九个数的平均数是7 2.去掉一个数之后，余下的数的平均数是78。去掉的数是多少？ 2.甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植树18棵，甲、丙两组平均每组植树17棵，乙、丙两组平均每组植树19棵。三个小组各植树多少棵？ 3.五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？ 4.把五个数从小到大排列，其平均数是38。前三个数的平均数是27，后三
高考物理高考物理图像法解决物理试题解题技巧讲解及练习题
高考物理高考物理图像法解决物理试题解题技巧讲解及练习题 一、图像法解决物理试题 1．图甲为某电源的U I -图线，图乙为某小灯泡的U I -图线，则下列说法中正确的是（ ） A ．电源的内阻为5Ω B ．小灯泡的电阻随着功率的增大而减小 C ．把电源和小灯泡组成闭合回路，小灯泡的功率约为0.3W D ．把电源和小灯泡组成闭合回路，电路的总功率约为0.4W 【答案】D 【解析】 【详解】 A ．根据闭合电路欧姆定律变形： U E Ir =- 可得图像与纵轴的交点表示电动势，图像斜率的大小表示内阻，根据甲图电动势为： 1.5V E = 内阻为： 1.0 1.5 5ΩΩ0.33 r -== A 错误； B ．根据乙图可知电流越大，小灯泡功率越大，根据欧姆定律变形得： U R I = 可知乙图线上某点与原点连线的斜率为电阻，所以小灯泡的电阻随着功率的增大而增大，B 错误； C ．把电源和小灯泡组成闭合回路，将甲、乙两图叠加到一起：
-曲线的交点即小灯泡的电压、电流，根据图像读数： 两U I U≈ 0.125V I≈ 0.28A 所以，小灯泡的功率为： ==?≈ P UI 0.1250.28W0.035W C错误； D．回路中的总功率为： ==?≈ 1.50.28W0.42W P EI 总 D正确。 故选D。 2．如图是某质点运动的速度图象，由图象得到的正确结果是 A．0～1 s内的平均速度是2 m/s B．0～2 s内的位移大小是4 m C．0～1 s内的运动方向与2 s～4 s内的运动方向相反 D．0～1 s内的加速度大小大于2 s～4 s内加速度的大小 【答案】D 【解析】0～1s内质点做匀加速直线运动，其平均速度为初末速度之和的一半即： ，故A错误；在v-t图象中，图线与坐标轴所围的面积大小等于位移：，故B错误；速度的正负表示速度的方向，则知0～1s 内的运动方向与2～4s内的运动方向相同，故C错误；速度图象的斜率等于加速度，则知0～1s内的加速度大于2～4s内的加速度，故D正确。所以D正确，ABC错误。 3．将质量为m＝0.1 kg的小球从地面竖直向上抛出，初速度为v0＝20 m/s，小球在运动中所受空气阻力与速率的关系为f＝kv，已知k＝0.1 kg/s．其在空气的速率随时间的变化规律
在三角形中巧用面积法解题
在三角形中巧用面积法解题 所谓面积法是指借助图形面积自身相等的性质、可拆分的性质和可比的性质进行解题的一种方法。在中学阶段它是数学中一种常用的解题方法。并且具有解题便捷快速、简单易懂等特点。现分类举例如下,希望同学们在今后的做题中有所启发。 一、利用面积自身相等的性质解题 例1 如图，在直角三角形ABC 中，AB=13,AC=12,BC=5,求AB 边上的高AD 的长。 C A B D 例2 在A B C 中，AB ＞AC,BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，试判断BF 和CE 的大小关系，并说明理由。 D F C B E A 。 小结：利用一个图形面积自身相等的性质解题，就是从不同的角度使用面积公式来表示同一个图形的面积，列出等式求出未知的量。 二、利用面积的可比性解题 例3 如图，由图中已知的小三角形的面积的数据，可得A B C 的面积为 。 D C B A 小结：我们知道等底等高的两三角形的面积相等，等底不等高的两三角形面积的比等于其对应高的比，等高而不等底的两三角形面积的比等于其对应底的比。 三、利用面积的可分性解题 例 4 如图，已知等边三角 ABC ，P 为A B C 内一点，过 P 作 ,,,PD BC PE AC PF AB ABC ⊥⊥⊥ 的高为h.试说明P D P E P F h ++=。
A B C D P F E 小结：用面积的可分性解题，一般要将图形分成若干个小三角形，利用其整体等于部分之和建立关于条件和结论的关系式，从而方便快捷地解决问题。 现提供部分习题供同学们练习： 1、如图，已知A B C 和B D C ，AC 与BD 交于点ｏ，且直线AD ∥BC,图中四个小三角形的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，试判断2S 和4S 的大小关系，并说明理由。 D B A O C S4 S3 S1 S2 2、如图，四边形ABCD 中，对角线BD 上有一点O ，OB ：OD=3：2,S A O B =6,S C O D =1,试求S A O D 与S B O C 的面积比。 D A C B O 3、 如图，P 是等腰三角形ABC 底边BC 上的任一点，PE AB ⊥于E,PF AC ⊥于F ，BH 是等腰三角形AC 边上的高。猜想：PE 、PF 和BH 间具有怎样的数量关系？ B C 4、其它练习题见《培优竞赛新方法》112-116部分习题。
初二数学-面积法解题
初二数学---面积法解题 【本讲教育信息】 【讲解内容】——怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题 【教学目标】 1. 使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。 2. 培养学生分析问题、解决问题的能力。 【 重点、难点】： 重点：证明面积问题的理论依据和方法技巧。 难点：灵活运用所学知识证明面积问题。 【教学过程】 （一）证明面积问题常用的理论依据 1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。 5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 6. 三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的。 1 4 7. 1 4三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的。 8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。 （二）证明面积问题常用的证题思路和方法 1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。 2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。 3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。 4. 还可以利用面积解决其它问题。 【典型例题】 （一）怎样证明面积问题 1. 分解法 例1. 从△ABC 的各顶点作三条平行线AD 、BE 、CF ，各与对边或延长线交于D 、E 、F ，求证：△DEF 的面积＝2△ABC 的面积。
F E A B D C 分析：从图形上观察，△DEF 可分为三部分，其中①是△ADE ，它与△ADB 同底等 高，故S S ADE ADB ??= ②二是△，和上面一样，ADF S S ADF ADC ??= ③三是△AEF ，只要再证出它与△ABC 的面积相等即可 由S △CFE ＝S △CFB 故可得出S △AEF ＝S △ABC 证明：∵AD//BE//CF ∴△ADB 和△ADE 同底等高 ∴S △ADB ＝S △ADE 同理可证：S △ADC ＝S △ADF ∴S △ABC ＝S △ADE +S △ADF 又∵S △CEF ＝S △CBF ∴S △ABC ＝S △AEF ∴S △AEF +S △ADE +S △ADF ＝2S △ABC ∴S △DEF ＝2S △ABC 2. 作平行线法 例2. 已知：在梯形ABCD 中，DC//AB ，M 为腰BC 上的中点 求证：S S ADM ABCD ?= 1 2 分析：由M 为腰BC 的中点可想到过M 作底的平行线MN ，则MN 为其中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为h A B S S S MN h S AMD DMN AMN ABCD ???=+= ?=121 2 证明：过M 作MN//AB ∵M 为腰BC 的中点 ∴MN 是梯形的中位线 设梯形的高为h MN DC AB = +2 则S MN h ABCD =? 又 S S S MN h AMD AMN MND ???=+= ?1 2
简单几何图形的面积计算
第二讲 简单几何图形的面积计算 一．常用的基本公式： 1．正方形的边长为a ，则正方形的面积是S =a 2； 2．长方形的长与宽分别是a 、b ，则长方形的面积是S =a ×b 。 3．平行四边形的底边长为a ，高为h ，则面积是S =a ×h 。 4．三角形的三条边长分别为a 、b 、c ，在它们上的高分别是h a 、h b 、h c ， 则三角形的面积S =a ×h a ÷2= b ×h b ÷2= c ×h c ÷2。 5．梯形的上底为a ，下底为b ，高为h ，则梯形的面积是(a +b )×h ÷2。 6．圆的半径为r ，则圆的面积是S =π×r 2。其中π=3.14159265…。 二．几种常用的求面积的方法： 1．直接利用公式计算； 2．列出方程求图形的面积； 3．添加辅助线计算图形面积； 4．利用割补的办法变化图形，计算图形的面积。 5．用相等面积变换计算图形的面积。（同底等高问题，等底等高问题） 三．例题讲解： 例1．如图，一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个长方形的面积分别是15、18、30公顷，则图中阴影部分的面积是 公顷。 解：由题意知，a ×c =15，b ×c =18，b ×d =30， 所以a ×d =(a ×c )×(b ×d )÷(b ×c )=15×30÷18=25(公顷)。 例2．如图所示，三角形ABC 是直角三角形，ACD 是以A 圆心，AC 为半径的扇形，图中阴影部分的面积是 。（π取3.14） 6cm 6cm D C B A 解：阴影部分的面积是三角形面积减去扇形的面积， 三角形ABC 的面积=6×6÷2=18，扇形的面积是圆的面积的八分之一， 所以扇形面积是π×6×6÷8=4.5×π=14.13， 所以阴影部分的面积是18–14.13=3.87（平方厘米）。
在三角形中巧用面积法解题
.在三角形中巧用面积法解题
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
专题：在三角形中巧用面积法解题 （一）证明面积问题常用的理论依据 1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。 5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 （二）证明面积问题常用的证题思路和方法 1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。 2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。 3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。 4. 还可以利用面积解决其它问题。 一、利用面积自身相等的性质解题 例1 如图，在直角三角形ABC 中，AB=13,AC=12,BC=5,求AB 边上的高AD 的长。 C A B D 。例3 如图，由图中已知的小三角形的面积的数据，可得ABC 的面积为 。 F E D C B A O 25 35 30 40 小结：我们知道等底等高的两三角形的面积相等，等底不等高的两三角形面积的比等于其对应高的比，等高而不等底的两三角形面积的比等于其对应底的比。 三、利用面积的可分性解题 例 4 如图，已知等边三角ABC ，P 为ABC 内一点，过P 作 ,,,PD BC PE AC PF AB ABC ⊥⊥⊥的高为h.试说明PD PE PF h ++=。 A B C D P F E
小学几何图形面积计算综合
几何图形 一．视图和对称图形 1.如图，将图沿线折成一个立方体，它共顶点的三个面上的数字之积最大是________。（15年高新） 2.如图，一个几何体上半部分为正四棱锥，下半部分为正方体，且一个面涂有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（）。（14年工大） 3. 一个正方形积木（如图），每两个相对的面数字之和是9，请在这个正方形积木的展开图上填入适当的数字。（11年高新） 4.下面( )号图是正方体的展开图。（16年交大） 5.有一个用正方体木块搭成的立体图形，从前面看和从左面看分别是如下图形， 则要摆成这样的立体图形，至少要用( )个正方体木块。（13年交大） A.7块 B．无法确定 C.5块 D.6块 6. 在下面形状的硬纸片中，把它按照虚线折叠，能折成一个正方体的是( ) 。（16年交大） 7. 如果用口表示一个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体
叠加，那么右图是由7个立方体叠加的几何体，从上面观察可画出的平面图形是( )。（15年工大） 8. 下列图形中为正方体的平面展开图的是( )。 9. 从各个不同的方向观察如图所示的实物几何体，不可能看到的视图是( ) 。（16年工大） 10.一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图(从上面看)与主视图(从前面看)如图所示，则组成这个几何图形的小正方块最多有( )。 A.7个 B.6个 C.5个 D.4个 11.国庆期间举行“我们是中国人，我们爱自己的祖国”活动，小明自己刻一枚如图所示的印章，下面四个图案中用这枚印章印制的是（）。（16年交大） 12.如图，把一次性纸杯沿着它侧面的粘贴缝剪开，则它的侧面展开图可能是下面的( ) 。（16年工大）
高中物理图像法解题方法专题指导
高中物理图像法解题方法专题指导 一、方法简介 图像法是根据题意把抽像复杂的物理过程有针对性地表示成物理图像，将物理量间的代数关系转变为几何关系，运用图像直观、形像、简明的特点,来分析解决物理问题,由此达到化难为易、化繁为简的目的. 高中物理学习中涉及大量的图像问题，运用图像解题是一种重要的解题方法．在运用图像解题的过程中,如果能分析有关图像所表达的物理意义,抓住图像的斜率、截距、交点、面积、临界点等几个要点,常常就可以方便、简明、快捷地解题. 二、典型应用 1.把握图像斜率的物理意义 在v-ｔ图像中斜率表示物体运动的加速度,在s－t图像中斜率表示物体运动的速度，在U-Ｉ图像中斜率表示电学元件的电阻，不同的物理图像斜率的物理意义不同. 2.抓住截距的隐含条件 图像中图线与纵、横轴的截距是另一个值得关注的地方,常常是题目中的隐含条件. 例1、在测电池的电动势和内电阻的实验中，根据得出 的一组数据作出Ｕ-I图像,如图所示,由图像得出电池的 电动势E＝＿＿_＿__ V，内电阻ｒ=＿_＿＿＿＿_ Ω. 3．挖掘交点的潜在含意 一般物理图像的交点都有潜在的物理含意,解题中 往往又是一个重要的条件,需要我们多加关注．如:两个物体的位移图像的交点表示两个物体“相遇”． 例２、Ａ、Ｂ两汽车站相距6０ kｍ，从A站每隔10 mｉｎ向B站开出一辆汽车，行驶速度为６０ km／h．（1)如果在A站第一辆汽车开出时，B站也有一辆汽车以同样大小的速度开往A站,问B站汽车在行驶途中能遇到几辆从Ａ站开出的汽车?(２)如果B站汽车与Ａ站另一辆汽车同时开出,要使B站汽车在途中遇到从A站开出的车数最多,那么Ｂ站汽车至少应在A站第一辆车开出多长时间后出发(即应与A站第几辆车同时开出）?最多在途中能遇到几辆车?(3）如果B站汽车与Ａ站汽车不同时开出,那么B站汽车在行驶途中又最多能遇到几辆车? 例３、如图是额定电压为100伏的灯泡由实验得到的伏安 特曲线,则此灯泡的额定功率为多大?若将规格是“１０0 v、 1０0 Ｗ”的定值电阻与此灯泡串联接在10０v的电压上,设 定值电阻的阻值不随温度而变化，则此灯泡消耗的实际功率为 多大？ 4.明确面积的物理意义
2013年中考数学解题方法及提分突破训练：面积法专题
解题方法及提分突破训练：面积法专题 ，那么点B′的坐标是（） A. (-2,3) B.(2，-3) C.(3，-2)或(-2,3) D.(-2,3)或(2，-3) 3．（2012 呼和浩特）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体的侧面积为cm．Array 4.（2012?潍坊）如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连接EC、BD． （1）求证：△ABD∽△ACE； （2）若△BEC与△BDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状
二名词释义 平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。面积问题主要涉及以下两部分内容： （一）怎样证明面积相等。以下是常用的理论依据 1.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2.同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3.平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4.同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。 5.三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 1 6.三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的 4 1 7.三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的 4 8.有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。 （二）用面积法解几何问题（常用的解题思路） 1.分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。 2.作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。 3.利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。 4.还可以利用面积解决其它问题。 三典题示例 （一）怎样证明面积问题 1. 分解法 例1. 从△ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF，各与对边或延长线交于D、E、F，求证：△DEF的面积＝2△ABC的面积。 分析：从图形上观察，△DEF可分为三部分，其中①是△ADE，它与△ADB同底等
六年级平面图形的面积计算总复习题
小学六年级数学总复习（十） 班级_______姓名__________ 得分__________ 复习内容：①平面图形的周长计算②平面图形的面积计算 一、填空 1. （）就是这个图形的周长，计算周长用（）单位。 （），叫做它们的面积，计算面积用（）单位。 2.填表： ①图形名称长宽周长面积 2.4米0.5米 长方形 1.8分米10分米 15厘米300平方厘米 边长4.5厘米 正方形18分米 ②图形名称底（厘米）高（厘米）面积（平方厘米） 8.5 4 平行四边形7.6 30.2 三角形 2.7 1.4 7 21 上底24 梯形下底32 224 ③图形名称半径直径周长面积 3厘米 圆 1分米 12.56米 3. 一个平行四边形的面积是18平方分米，与它等底等高的三角形面积是（）平方厘米 4. 一张长10分米，宽6分米的长方形纸片，最多能剪（）个直径为2分米的圆片。 5. 用3个边长是10厘米的正方形拼成一个长方形，长方形的面积是（），周长是 （）。 6. 圆的半径扩大5倍，它的直径扩大（）倍，周长扩大（）倍，面积扩大（）倍。 7. 一个半圆直径是4厘米，它的周长是（）厘米，面积是（）平方厘米。 8. 一张正方形纸上下对折，再左右对折，得到的图形是（）形，它的面积是原正方形的
() ()，它的周长是原正方形的() ()。 9. 在右图1中，∠1 = 30°，∠2 =（）。 10. 在右图2中，正方形的面积是9平方分米， 这个圆的周长是（）厘米，面积是 （）平方厘米。 1. 右图中长方形面积（）平行四边形面积。 A、大于 B、小于 C、等于 D、不能确定 2. 用一条长16厘米的铁丝围成一个长方形，如果长和宽都是质数，它的面积是（）平 方厘米。 A、6 B、10 C、15 D、21 3. 右图由六个边长为1厘米的正方形组成的 长方形，阴影部分的面积是（）。 A、6平方厘米 B、3平方厘米 C、1.5平方厘米 D、1平方厘米 4. 在一个正方形中画一个最大的圆，它们的周长比较：（）。 A、一样长 B、圆的周长长 C、正方形的周长长 D、无法确定 A 5. 如右图所示，AD = 1/2DC，AE = BE，那么 三角形ABC的面积是三角形ADE面积的 D （）倍。 E A、6 B、5 C、4 D、3 B C 三、先测量计算下面图形周长和面积所需要的数据（精确到0.1厘米），再分别 计算出它们的周长和面积。
浅析高中物理解题中图像法的应用
浅析高中物理解题中图像法的应用 高中物理知识的深度和广度较初中来说都有所增加，学生普遍反映物理知识学习较为困难，因此，在物理教学时引入新颖又清晰明确的解题方法是帮助学生解决物理问题，提高学生学习兴趣和积极性的好方法。图像法是利用图像来描述物理问题，找到规律并解决问题，这也是一种能力，因此在平时教学过程中教师应当注重培养学生使用图像法解题的能力。文章围绕图像法在高中物理解题中的应用展开论述。 标签：高中物理；解题；图像法应用 一、图像法概述 所谓图像法是一种特殊形象的数学语言工具，可以利用图像表达各种现象的过程以及规律。在物理习题中通常需要数学运算，因此将这种数学语言工具引入物理解题教学是帮助简化物理问题的有效方法。使用图像法能够将文字叙述的物理定律转化为用图像描述，其中有许多种图像类型，如过程分析、模型分析、受力分析等图像形式，利用图像使抽象的物理问题更加形象化、使复杂问题简单化、静态问题动态化。这种方法的可取之处还在于它是利用物理知识与数学语言以及信息技术等多种学科技术结合得出的综合体，因此，图像法的教学不仅帮助学生解决了物理难题，还培养了学生的科学思维能力和综合素质。 二、图像法在物理解题中的应用 高中物理解题中所涉及到的图像法很多，下面介绍三种典型类型：一是线形图像。线形图像是利用数学中函数的性质，分为正负比例关系和一次函数关系两种。线形图像是物理解题中应用最为广泛的一种，可以帮助学生研究物理习题中的定性分析，也可以表示两个物理量之间的关系。例如：牛顿第二定律中，当m 一定时，其合外力F与加速度a成正比例关系，就可以用线形图像进行直观的表示。二是抛物线形图像。抛物线图像是高中阶段接触的数学语言，主要用于平抛运动的轨迹以及匀变速运动等，在高中物理习题中，大多数用于对定性物理量的研究。例如：物理学中v-t图像抛物线的应用。三是正、余弦图像。使用正弦或余弦图像来解决物理问题主要是用于处理带有波动性质的图像，且具有一定的周期性质。正、余弦图像主要应用在关于力学的物理习题解答中，例如：在机械运动和机械波、交流电与变流点和电磁震荡与电磁波中的物理习题都能够利用正、余弦图像找到相关的的特征量，进而解答问题。 三、图像法在物理解题中的意义 首先，利用图像法能够形象地将解题过程化繁为简。利用图像法能够直观地表现出各物理量之间的关系，将抽象的文字叙述变得更加形象生动，还能够利用图像简化解题过程，使思路清晰一目了然，因此在解题过程中是一种较为灵活的方法，广受师生的喜爱。其次，图像法能够帮助掌握变化规律。利用图像法可以
几种不规则图形面积的解题方法
对于不规则图形面积的计算问题，一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决。常用的基本方法有： 1. 直接求面积：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出组合图形面积。 例1：求下图阴影部分的面积（单位：厘米）。 解答： 通过分析发现它就是一个底是2、高是4的三角形，其面积直接可求为： （平方厘米） 2.相加、相减求面积：这种方法是将组合图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加或相减求出该图形的面积。 例2：正方形甲的边长是5厘米，正方形乙的边长是4厘米，阴影部分的面积是多少？ 解答： 两个正方形的面积：5×5+4×4=41（平方厘米） 三个空白三角形的面积和：（5+4）×5÷2+4×4÷2+5×（5-4） ÷2=33（平方厘米） 阴影部分的面积：41-33=8（平方厘米） 除了以上这两种方法，还有其他的几种方法，同学们不妨了解了
解。 3．等量代换求面积：一个图形可以用与它相等的另一个图形替换，如果甲乙大小相等，那么求出乙的大小，就知道甲的大小；两个图形同时增加或减少相同的面积，它们的差不变。 例3：平行四边形ABCD的边BC长8厘米，直角三角形ECB的直角边EC长为6厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8平方厘米，平行四边形ABCD的面积是多少? 解答： 阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8平方厘米，分别加上梯形FBCG,得出的平行四边形ABCD比三角形EBC的面积大8平方厘米。 平行四边形ABCD的面积:8×6÷2+8=32(平方厘米) 4.借助辅助线求面积：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法求面积。 例4：下图中，CA=AB=4厘米,三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米,CD的长是多少? 解答: 结合已知条件看图，很难有思路，连接DA,就可以发现：三角形ABE 比三角形CDE的面积大2平方厘米,分别加上三角形DAE得到的三角形ABD 比三角形CDA的面积大2平方厘米。 （4×4÷2-2）×2÷4=3（厘米）