第一章函数与极限复习提纲
第一章函数与极限复习提纲
一、函数
知识点:1、函数的定义域、性质的判断(有界性、奇偶性、单调性、周期性) 2、基本初等函数的表示形式 3、复合函数的分解必须会!! 4、函数关系的建立
如1、下列函数中属于偶函数的是( D. )
A. x x y sin +=;
B. x x y sin 2+=; C . x x y cos +=; D. x x y cos 2+=。 2、下列复合函数由哪些基本初等函数构成? (1)x x f 2ln )(= 解:u y ln =,x u 2= (2)x y 2cos = 解:2u y = ,x u cos = (3)5)13(+=x y 解:5u y =, 13+=x u (4)3
2
1-=
x y 解:3
1u y =,12-=x u
(5)x y 2cos ln = 解:u y ln =,v u cos =,x v 2=
3、旅客乘坐火车时,随身携带物品,不超过20公斤免费;超过20公斤部分,每公斤收费0.20元;超过50公斤部分再加收50%。试列出收费与物品重量的函数关系式。
解 0,
0.2(20), 2050
0.3(50)6, 50
x y x x x x ≤≤??
=-<≤??-+>?
4、某公司生产某种产品,总成本为C 元,其中固定成本为200元,每多生产一单位产品,成本增加10元,又设该产品价格P 与需求量x 之间的关系为2
25x
P -=,求x 为多少时公司总利润最大?
解 成本函数C (x )=固定成本+可变成本 所以x x C 10200)(+=
收入函数x x x x x p x R 2521
)225()(2+-=?-
=?= 利润函数200152
1)10200(2521)()()(2
2-+-=+-+-=-=x x x x x x C x R x L
令015)('=+-=x x L 得15=x
因为驻点唯一,又根据01)("<-=x L 可知函数最大值存在,所以当15=x 时,()
L x
取得最大值,即每天生产15单位时,才能获得最大利润。
二、极限
知识点:1、)(lim x f x ∞
→存在?)(lim x f x +∞
→与)(lim x f x -∞
→存在且相等。
)(lim 0
x f x x →存在?)(lim 0
x f x x +→与)(lim 0
x f x x -→都存在且相等。
2、函数在一点的极限存在与否与函数在这点有无定义无关;即使函数在此点
由定义,函数在此点极限存在与否也和它的函数值无关;还要知道极限符号的含义
3、极限的四则运算:六种结论
4、电子系的同学还应该注意求极限中还有第二章的洛必达法则哟
(1)若多项式n n x c x c x c c x P ++++=2210)(,则对于任意实数a 有)()(lim a P x P a
x =→
(2)若)(x P ,)(x Q 表示多项式函数,且0)(0≠x Q ,则有)
()
()()(lim
000x Q x P x Q x P x x =
→。 (3)对于)()
(lim
0x Q x P x x →,若0)(lim ,)
0()(lim 0
=≠=→→x Q a a x P x x x x ,则∞=→)
()
(lim
0x Q x P x x
即
0a
型的极限为0 (4)对于0
型的,此时先约去零因子,再求极限,对于有理式消零因子的办法是用平方
差或立方差、立方和公式;对于无理式消零因子的办法是分母或分子有理化 (5)当∞→x 时,有理分式函数的极限有以下结果。
=++++++--∞→m m m n n n x b x b x b a x a x a 110110lim 00
0,,,
n m a n m b n m ?
?=???∞>?。 利用上面的结果求有理分式当∞→x 时的极限非常方便。
4、两个重要极限的 (1)1sin lim
0=→x x x 类型0
0型 等价形式1sin lim 0=→x x
x
推广形式:0lim ,1sin lim
==αα
α
在某过程
在某过程
x x (2)e 11lim =??
? ??+∞→x
x x 类型∞
1型 等价形式()e 1l i m 1
0=+→x x x
推广形式:()e 1lim 1
=+αα在某过程
x ,0lim =α在某过程
x
如1、)(x f 在点0x 处有定义是它在该点处存在极限的(D )条件
A. 充分;
B. 必要; C . 充要; D. 无关。 2、下列变量中( D )是无穷小量 A.cos(x-1) (x →1) B.)(1∞→-
x e
x
C.lnx (+
→0x ) D.ln(x+1) (x →0) 3、=+-++∞
→7
345
23
2lim
x x x x x ( A ) A.
0; B. ;∞ C.
1
;4
D. 4. 4、
x
x x 25sin lim
→=( C ) A .
1 ; B .
2
5; C .
5
2; D .
0.
5、
x
x x 20
)
1(lim -→=( C )
A . e ;
B .
e 1; C . 21e
; D .
2e
6、说明()2
lim 5x f x →=的含义:当2→x 时,函数)(x f 无限趋近5 .
7、331)3(sin lim sin )3(lim 00=?=+=+→→x x x x
x x x x
8、计算 x
x x
x 2)3(
lim +∞
→。 6
322)31(lim )31(lim )3(lim ?∞→∞→∞→+=+=+x
x x x x x x
x x x 663])31(lim [e x x
x =+=∞→
9、计算 2
lim(1)x
x x →-。
1
1
2(2)2
2()
()0
lim(1)lim[1()]
[lim[1()]
]x x x
x x x x x x e ?-----→→→-=+-=+-=
10、计算 3
1
lim
3
x x →-
3
313x x x →→=-
332
12
x x →→====
11、计算x x x 32tan lim
0→。
3
213212cos 13222sin lim 2cos 32sin lim 32tan lim 000=??=??==→→→x x x x x x x x x x x 12、下列等式正确的是( D )
A. sin lim 1x x x →∞=; (正确应是sin lim 0x x
x →∞=用到页无穷小性质3)
B. 0sin 2lim 22x x x →=;(正确应是0sin 2lim
12x x
x
→=用到重要极限第一个) C . 01lim sin 1x x x →=; (正确应是01
lim sin 0x x x
→=用到页无穷小性质3)
D. 1lim sin 1x x x →∞=。(1sin
lim 11
x x x
→∞=重要极限第一个)
14、计算极限 ()
21sin 1lim
1
x x x →-- 解 ()()()21
11sin 1sin 1sin 1111
lim lim lim 11(1)(1)1122
x x x x x x x x x x x →→→---==?=?=--+-+ 15、已知15
lim(1)x
x kx e →+=,则K=( B ) A .
15; B . 5. ; C . 1
5
- ; D . 5- 16、若当 x 0→时,与x 2sin 等价的无穷小是(B )
A . x ; B. 2x ; C .
x
1; D. 2
x 。 知识点 等价无穷小 ;重要极限第一个。
三、连续
知识点:1、若函数)(x f 满足
(1)在c x =点有定义;(2))(lim x f c
x →存在;(3))()(lim c f x f c
x =→。
则称函数)(x f 在c x =点连续;否则称函数)(x f 在c x =点间断。 (注意三个条件缺一不可) 2、间断点的求法
(1)函数的非定义点,即使函数解析式无意义的点
(2)分段函数的分段点无极限点与有极限但不等于此点函数值的点
如:1、设函数00)1()(1
=≠?????-=x x k
x x f x 在x=0处连续,则k= 1
-e
解 易知)(x f 定义域为),(+∞-∞
11
1
)1(1
1
])1[(lim )
1(lim )1(lim )(lim ---→-?-→→→=-=-=-=e x x x x f x x x
x x
x x
k f =)0(,
因为)(x f 在x=0处连续,所以1
)0()(lim -→===e k f x f x
2、确定2
32,2
()2,2
x x f x x x ?+=?
+≥??,在2x =处连续性。 解:易知, ()f x 的定义域为),(+∞-∞ 因为8)23(lim )(lim 2
2
=+=--→→x x f x x ;
6)2(lim )(lim 22
2
=+=+
+→→x x f x x . 所以)(lim )(lim 2
2
x f x f x x +
-→→≠,故)(lim 2
x f x →不存在 所以()f x 在2x =不连续. 3、设函数=)(x f 2
32,2
2,2
x x x b x +?
+≥? 在2x =处连续,问b 应取何值。 解因为()2
2
2
lim lim (2)42x x f x x b b ++
→→=+=+ ()2
2
lim lim(32)8x x f x x --
→→=+= 若要
要使()f x 在2x =处连续,则()()()2
2
lim lim 2x x f x f x f +-
→→== 即428b +=
所以2b =
4、x
x x x f --=221
)(;
解 要使x x x x f --=221)(有意义,需 02
≠-x x ,即0≠x 且1≠x
所以0=x 和1=x 点是x
x x x f --=221
)(的间断点
5、下列命题,( B ) 是正确的。
A.)(x f 在0x x =处有定义, 则)(x f 在0x 处连续。
B.)(x f 在0x x =处连续, 则)(x f 在0x 处有极限。 c. )(x f 在0x x =处连续, 则)(x f 在0x 处可导。 D. )(x f 在0x x =处有极限, 则)(x f 在0x 处有定义
6、)(x f 在点0x 处存在极限是它在该点处连续的(B )条件
A. 充分非必要;
B. 必要非充分; C . 充要; D. 无关。
第一章函数与极限复习提纲
第一章函数与极限复习提纲 一、函数 知识点:1、函数的定义域、性质的判断(有界性、奇偶性、单调性、周期性) 2、基本初等函数的表示形式 3、复合函数的分解必须会!! 4、函数关系的建立 如1、下列函数中属于偶函数的是( D. ) A. x x y sin +=; B. x x y sin 2+=; C . x x y cos +=; D. x x y cos 2+=。 2、下列复合函数由哪些基本初等函数构成? (1)x x f 2ln )(= 解:u y ln =,x u 2= (2)x y 2cos = 解:2u y = ,x u cos = (3)5)13(+=x y 解:5u y =, 13+=x u (4)3 2 1-= x y 解:3 1u y =,12-=x u (5)x y 2cos ln = 解:u y ln =,v u cos =,x v 2= 3、旅客乘坐火车时,随身携带物品,不超过20公斤免费;超过20公斤部分,每公斤收费0.20元;超过50公斤部分再加收50%。试列出收费与物品重量的函数关系式。 解 0, 0.2(20), 2050 0.3(50)6, 50 x y x x x x ≤≤?? =-<≤??-+>? 4、某公司生产某种产品,总成本为C 元,其中固定成本为200元,每多生产一单位产品,成本增加10元,又设该产品价格P 与需求量x 之间的关系为2 25x P -=,求x 为多少时公司总利润最大? 解 成本函数C (x )=固定成本+可变成本 所以x x C 10200)(+= 收入函数x x x x x p x R 2521 )225()(2+-=?- =?= 利润函数200152 1)10200(2521)()()(2 2-+-=+-+-=-=x x x x x x C x R x L 令015)('=+-=x x L 得15=x 因为驻点唯一,又根据01)("<-=x L 可知函数最大值存在,所以当15=x 时,() L x
第一章函数、极限、连续
第一章 函数 极限 连续 1.1 数列极限的求法 一 基本概念 数列极限、数列收敛、数列发散 1. 数列极限:lim n n x a →∞ = 描述语言:当n 充分大时,数列一般项n x 无限趋于(无限接近,充分接近)某个确定的常数a ,则称a 就是数列{}n x 的极限. “N ε-”语言:0ε?>,N ?,当n N >时,有n x a ε-<. 二 基本结论 1. 收敛数列性质:唯一性;有界性;保号性;子序列的收敛性. 2. 单调有界原理:单调有界数列必有极限;或叙述为:单调增加有上界必有极限,单调减少有下界必有极限. 3. 夹逼法则:若n n n y x z ≤≤,n N >,且lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==,则lim n n x a →∞ =. 4. 数列极限运算法则:设lim n n x A →∞ =,lim n n y B →∞ =,那么 (1)lim()n n n x y A B →∞ ±=±; (2)lim n n n x y AB →∞ ?=; (3)lim (0)n n n x A B y B →∞ =≠. (4)lim() n y B n n x A →∞ = 5. 两个重要极限:10 lim(1)e x x x →+=;0sin lim 1x x x →=. 这两个极限公式可以推广为:当0x x →时,()0f x →,则 1() lim(1()) e f x x x f x →+=;0sin () lim 1() x x f x f x →=. 三 基本方法 数列极限的未定式(不确定型)有八种形式: 00;∞∞ ;0?∞;∞±∞;1∞;0 ∞;00;无限个无穷小的和.
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限
第一章函数与极限 教学目的: 1、理解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有 界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。 教学重点: 1、复合函数及分段函数的概念; 2、基本初等函数的性质及其图形; 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则; 4、两个重要极限; 5、无穷小及无穷小的比较; 6、函数连续性及初等函数的连续性; 7、区间上连续函数的性质。 教学难点: 1、分段函数的建立与性质; 2、左极限与右极限概念及应用; 3、极限存在的两个准则的应用; 4、间断点及其分类; 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为
第一章 函数与极限的练习解答
一、P21:1;5 1.设),(),(∞+∞=55--A ,) ,【310-B =,写出 B A B A B A -=\,A B ,及)()\(\B A A B A A --=的表达式。 解:),5()3,(+∞-∞= B A )5,10[-=B A ),5)10,(\+∞--∞=-=( B A B A )5,10[)()\(\--=--=B A A B A A 5.下列各题中,函数)(x f 和)x g (是否相同?为什么? (1) x x g x x f lg 2)(,lg )(2== 解:不同。定义域不同,),0()0,(+∞-∞= f D ),0(+∞=g D 。 (2) 2 )(,)(x x g x x f == 解:不同。对应法则不同,即:值域不同。),0[,+∞==g f R R R 。 (3) 3 3 4 )(x x x f -=, 3 1)(-?=x x x g 解:相同。因为定义域和对应法(或值域)则相同。 (4) x x x g x f 2 2tan sec )(,1)(-== 解:不同。定义域不同,R D f = },1,0,2 { ±=+ ≠=k k x x D g π π。 二、P21:4(1)、(3)、(5)、(7)、(9);6;7(2); P22:10(1)、(4)、(5);11(1)、(3)、(5);15(1)、(3);16. 4.求下列函数的自然定义域:
(1) 23+=x y ; 解:32023-≥?≥+x x 。即:),3 2 [+∞-=D 。 (3)211x x y --=; 解:???≤≤-≠????≥-≠1 10 0102 x x x x 。即:]1,0()0,1[ -=D 。 (5) x y sin =; 解:0≥x 。即:),0[+∞=D (7))3arcsin(-=x y ; 解:42131≤≤?≤-≤-x x 。即:]4,2[=D 。 (9))1ln(+=x y 解:101->?>+x x 。即:),1(+∞-=D 6.设,3 ,3,0,sin )(ππ?≥??=x x x x 求)2(),4(),4(),6(--?π?π?π?,并 作出函数的)(x y ?=图形 解:3 2,34,34,36πππππππ≥-<-<< , 216sin 6==?? ? ??∴ππ?,224sin 4==??? ??ππ?,
(完整版)大一高数第一章函数、极限与连续
第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要,到了17世纪,对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应,数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代,这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点,认识到“数”的研究比“形”更重要,以积极的态度开展对“无限”的研究,由常量数学发展为变量数学,微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法,而连续性则是函数的一种重要属性.因此,本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念,其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质,以及与极限概念密切相关的,并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外,还给出了两个极其重要的极限.随后,运用极限的概念引入函数的连续性概念,它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中,常常会遇到各种各样的量.有一种量,在考察过程中是不断变化的,可以取得各种不同的数值,我们把这一类量叫做变量;另一类量在考察过程中保持不变,它取同样的数值,我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的,如自然数由小到大变化、数列的变化等,而更多的则是在某个范围内变化,即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间,记为,a b ????,即 ,{|}a b x a x b =≤≤????; 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间,记为(,)a b ,即 (,){|}a b x a x b =<<; 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间,记为 (,a b ?? (或),a b ??),即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤?), 左开右闭区间与右开左闭区间统称为半开半闭区间,实数a ,b 称为区间的端点. 以上这些区间都称为有限区间.数b a -称为区间的长度.此外还有无限区间: (){|}x x -∞+∞=-∞<<+∞=R ,, (,{|}b x x b -∞=-∞<≤??, (,){|}b x x b -∞=-∞<<, ){|}a x a x +∞=≤<+∞??, , (){|}a x a x +∞=<<+∞,, 等等. 这里记号“-∞”与“+∞”分别表示“负无穷大”与“正无穷大”. 邻域也是常用的一类区间. 设0x 是一个给定的实数,δ是某一正数,称数集:
1第一章 函数与极限答案
第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 1.填空题: (1)函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. (2 )函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________; (3)若)(x f 的定义域是[0,1],则)1(2+x f 的定义域是 {0} . (4)设b ax x f +=)(,则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . (5)若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ,=)]}([{x f f f x . (6)函数2 x x e e y --=的反函数为 。 (7 )函数y =: x ≥0,值域: 0≤y <1 ,反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: (1)下列正确的是:(B ,C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数,则)()(x f x f -+必为偶函数,)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . (2))sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数; B. 周期函数; C. 奇函数; D. 偶函数. (3)设54)(2 ++=bx x x f ,若38)()1(+=-+x x f x f ,则b 为( B ). A.1; B.–1; C.2; D.–2. (4)函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是( )
高等数学(同济五版)第一章 函数与极限知识点
第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点: (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素:定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件,无此条件,函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系,“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系,但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则,“f”是一个记号,不是一个数,不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的,则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式,表示函数还可以用其他的形式,不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号,f(a)是函数值的记号,是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数,当其定义域相同,对应法则一样时,此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性: 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点: (1) 并不是函数都具有这些特性,而是在研究函数时,常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”,与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数,其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数,则f(0)=0。存在着既是奇函数,又是偶函数的函数,例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期,但不是任何周期函数都有最小周期。
同济大学(高等数学)_第一章_函数极限
第一篇 函数、极限与连续 第一章 函数、极限与连续 高等数学的主要内容是微积分,微积分是以变量为研究对象,以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容,继而介绍极限的概念、性质、运算等知识,最后通过函数的极限引入函数的连续性概念,这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节 集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合 讨论函数离不开集合的概念.一般地,我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合,组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合,用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素. 如果a 是集合A 的元素,则表示为A a ∈,读作“a 属于A ”;如果a 不是集合A 的元素,则表示为A a ?,读作“a 不属于A ”. 一个集合,如果它含有有限个元素,则称为有限集;如果它含有无限个元素,则称为无限集;如果它不含任何元素,则称为空集,记作Φ. 集合的表示方法通常有两种:一种是列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合.例如,有1,2,3,4,5组成的集合A ,可表示成 A ={1,2,3,4,5}; 第二种是描述法,即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ,则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如,集合A 是不等式022<--x x 的解集,就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合,称为数集,初等数学中常见的数集有: (1)全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N ,即 {} ,,,3,2,1,0n N =; (2)所有正整数组成的集合称为正整数集,记作+ N ,即 {} ,,,3,2,1n N =+; (3)全体整数组成的集合称为整数集,记作Z ,即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=;
答案高等数学第一章函数与极限试题
答案: 一.选择题 1.A 【分析】 本题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一:任一原函数可表示为 ?+=x C dt t f x F 0 )()(,且).()(x f x F =' 当F(x)为偶函数时,有)()(x F x F =-,于是)()1()(x F x F '=-?-',即 )()(x f x f =--,也即)()(x f x f -=-,可见 f(x)为奇函数; 反过来,若f(x)为奇函数,则? x dt t f 0 )(为偶函数,从而 ?+=x C dt t f x F 0 )()(为偶函数,可见(A)为正确选项. 方法二:令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=2 2 1x , 排除(D); 故应选(A). 【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点,其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义,因此是间断点. 且 ∞=→)(lim 0 x f x ,所以 x=0为第二类间断点; 0)(lim 1=+ →x f x ,1)(lim 1 -=- →x f x ,所以x=1为第一类间断点,故 应选(D).
【评注】 应特别注意:+∞=-+ →1 lim 1x x x ,.1 lim 1-∞=-- →x x x 从而 +∞=-→+ 1 1lim x x x e ,.0lim 1 1 =-→- x x x e 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 C ∵x →∞时,分母极限为令,不能直接用商的极限法则。先恒等变形,将函数“有理化”: 原式 = 2 1111lim )11() 11)(11(lim 0 =++=++++-+→→x x x x x x x . (有理化法) 9 D 10 C 解 原式 16 1821lim )2()cos 1(tan lim 32 030=?=-=→→x x x x x x x x . ▌ 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极 的每项作等价替换,则 原式0)2(l i m 3 =-=→x x x x .
第一章函数和极限答案
第一章 函数与极限 一 函数(见§1.1) Ⅰ 内容要求 (ⅰ)在中学已有函数知识的基础上,加深对函数概念的理解和函数性质(奇偶性、单调 性、周期性和有界性)的了解。 (ⅱ)理解复合函数的概念,了解反函数的概念,了解分段函数的概念。 (ⅲ)记忆基本初等函数的图象,了解初等函数的概念,自学双曲函数及反双曲函数。 (ⅳ)学会建立简单实际问题中的函数关系式。 Ⅱ 基本题型 (ⅰ)有关确定函数定义域的题型 1.(4分)1 )2ln()(+-= x x x f 的定义域为 21<<-x 2.(4分)) 2ln(1 )(x x x f -+= 的定义域为 [))2,1(1,1Y - 3.(4分))32arcsin(-=x y 的定义域为--------------- ( D ) A )2,1( B )2,1[ C ]2,1( D ]2,1[ 4.设)(x f 的定义域D = ]1,0[,求下列各函数的定义域: (1)(6分))(2 x f []1,1-∈x (2)(6分))2(x f (]0,∞-∈x (3)(7分))31 ()31(-++x f x f ?? ????∈32,31x (ⅱ)有关确定函数(反函数)表达式的题型 5.(4分)已知: x x f cos 1)2 (sin +=,则)(x f =)1(22 x - 6.(4分)设???????>=<-=0,10,00,1)(x x x x f ,则=)]([x f f ??? ? ???>=<-=0,10,00,1)(x x x x f 7.求下列函数的反函数 (1)(4分)31+=x y 1,13 3-=-=x y y x (2)(4分)x x y +-= 11 x x y y y x +-=+-=11,11 )1(-≠x
第一章函数、极限与连续习题
第一章 函数、极限与连续 一、 选择题 1、 )(x f 与)(x g 不表示同一函数的是( ) A x x f =)(与0,00 ,{)(=≠=x x x x g B x x f =)(与2)(x x g = C x x x f -+=11)(与22 )1(1)(x x x g --= D x x f arcsin )(=与x x g arccos 2)(-= π 2、 函数51arcsin )(-=x x f 的定义域是( ) A []6,4- B []5,5- C []1,1- D []∞+,0 3、下列函数中,奇函数是( ) A x x y cos += B 2x x e e y -+= C x x y cos = D )1ln(2x x y += 4、 下列极限存在的有( ) A 10lim x x e → B 01lim 21 x x →- C 01lim sin x x → D 2(1)lim x x x x →∞+ 5、若232lim 43 x x x k x →-+=-,则k =( ) A 3 B -3 C 1 D -1 6、函数()y f x =在点a 处连续是()f x 在a 点有极限的( ) A 必要条件 B 充分条件 C 必要充分条件 D 无关条件
7、 ()x f x x =在0x →时的极限是( ) A 1 B -1 C 0 D 不存在 8、极限=∞→x x x sin lim ( ) A.1 B.∞ C.不存在 D.0 9、=+∞→x x e 1lim ( ) A.∞+ B. 不存在 C.0 D.1 10、1sin y x =( ) A 当0x →时为无穷小量 B 当0x →时为无穷大量 C 在区间()01内为无界变量 D 在区间()01内为有界变量 11、 若lim ()x f x →∞ 存在,lim ()x g x →∞不存在,则以下正确的是( ) A lim(()())x f x g x →∞+与lim ()()x f x g x →∞ 都存在; B lim(()())x f x g x →∞+与lim ()()x f x g x →∞ 都不存在; C lim(()())x f x g x →∞+必不存在,lim ()()x f x g x →∞可能存在; D lim ()()x f x g x →∞ 必不存在,lim(()())x f x g x →∞+可能存在; 12、 若0 lim () 1 x x f x →=,则( ) A 0() 1 f x = B 0 () 1 f x > C 0() 1 f x < D 0()f x 可能不存在 13、当0x →时,下面四个无穷小量中,( )是比其他三个更高阶的量。 A 2x B 1cos x -1 D 2 (1)x x e - 14、设x cos 1-=α,22x =β,则当0→x ,则( )
第一章 函数与极限知识点
第一章函数与极限 区间 [a,+∞):表示不小于a的实数的全体,也可记为:a≤x<+∞; (-∞,b):表示小于b的实数的全体,也可记为:-∞<x<b; (-∞,+∞):表示全体实数R,也可记为:-∞<x<+∞ 注:其中-∞和+∞,分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。 邻域 设α与δ是两个实数,且δ>0.满足不等式│x-α│<δ的实数x的全体称为点α的δ邻域,点α称为此邻域的中心,δ称为此邻域的半径。 函数 x (D为非空实数集) 函数y=f(x)、y=F(x) D D为函数的定义域。通常x叫做自变量,y叫做因变量。 函数的有界性 如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立,其中M是一个与x无关的常数,那么我们就称f(x)在区间I有界,否则便称无界。 注意:一个函数,如果在其整个定义域内有界,则称为有界函数 例题:函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. 函数的单调性 如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大,即:对于(a,b)内任意两点x1及x2,当x1<x2时,有 , 则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。 如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小,即:对于(a,b)内任意两点x1及x2,当x1<x2时,有 , 则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。 函数的奇偶性 如果函数对于定义域内的任意x都满足=,则叫做偶函数; 如果函数对于定义域内的任意x都满足=-,则叫做奇函数。注意:偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于原点对称,若奇函数定义
域中含有0,则F(0)=0。f(0)=-f(0),2f(0)=0,所以f(0)=0。 函数的周期性 对于函数,若存在一个不为零的数l ,使得关系式 对于定义域内任何x 值都成立,则叫做周期函数,l 是的周期。 注:我们说的周期函数的周期是指最小正周期。 反函数 反函数的定义: 设函数)(x f y =,其定义域为D ,值域为M. 如果对于每一个M y ∈,有惟一的一个D x ∈与之对应,并使)(x f y =成立,则得到一个以y 为自变量,x 为因变量的函数,称此函数为y=f(x)的反函数,记作 )(1y f x -= 显然,)(1 y f x -=的定义域为M ,值域为D. 由于习惯上自变量用x 表示,因变量用y 表示, 所以)(x f y =的反函数可表示为 )(1x f y -= 反函数的存在定理 若在(a ,b)上严格增(减),其值域为 R ,则它的反函数必然在R 上确定,且严格增(减). 注:严格增(减)即是单调增(减) 反函数的性质 在同一坐标平面内, 与 )(1 x f y -=的图形是关于直线y=x 对称。 关于直线y=x 对称的。如右图所示: 复合函数的定义 若y 是u 的函数: ,而u 又是x 的函数: ,且 的函数值的全部或部分在 的定义域内,那末,y 通过u 的联系也是x 的函数,我们称后一个函数是由函数 及 复合而成的函数,简称复合函数,记作,其中u 叫做中间变量。 注:并不是任意两个函数就能复合;复合函数还可以由更多函数构成。 分段函数:????
(完整版)函数、极限与连续习题及答案
第一章 函数、极限与连续 (A) 1.区间[)+∞,a 表示不等式( ) A .+∞< 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同. 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时,则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同,但定义域不同,所以() x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >(M 为一个常数),则()x f 为无穷大. 错误 根据无穷大的定义,此题是错误的。 3、如果数列有界,则极限存在. 错误 如:数列()n n x 1-=是有界数列,但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ,a a n n =∞ →lim . 错误 如:数列()n n a 1-=,1) 1(lim =-∞ →n n ,但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ,则()α+=A x f (当∞→x 时,α为无穷小). 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系,此题是正确的。 6、如果α~β,则()α=β-αo . 正确 ∵1lim =α β ,是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα,即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时,x cos 1-与2 x 是同阶无穷小. 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x . 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在,∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 . 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点. 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ,=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点. 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值. 第一章 函数、极限与连续 1 . 若」 t =t 3 1,贝 U 「t 3 1 =( D ) A. t 3 1 B. t 6 2 C. t 9 2 D. t 9 3t 6 3t 3 2 2. 设函数 f x = In 3x ? 1 ? i 5 - 2x ? arcsin x 的定义域是 ( C ) 1 5 C. -1,1 D. -1,1 3 , 2 3 3. 下列函数 f x 与 g x 相等的是 (A ) — 2 A. f x = x 2 , g x - x 4 B . fx=x , gx= x C. f X gx 「X 1 x -1 4. 下列函数中为奇函数的是 ( A ) 2 x x 八 sin x f - c 2 — 2 2 ? A. y 2 B . y - xe x C sin x D . y = x cosx xsin x x 2 5 . 若函数 fxl=x , - 2:; x ::: 2,则 f x-1 的值域为 (B )(完整版)高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
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