2020年高一数学上期末第一次模拟试题含答案

2020年高一数学上期末第一次模拟试题含答案

一、选择题

1．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意

[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( )

A ．[]2,0-

B ．(],8∞--

C ．[)2,∞+

D ．(]

,0∞- 2．设集合{}

1

|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则B A =e（ ）

A ．()0,1

B ．[)0,1

C ．(]0,1

D ．[]0,1

3．设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ） A ．a b c >>

B ．b a c >>

C ．c a b >>

D ．c b a >>

4．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程

()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（ ）

A ．－

15

B ．1

C ．1或－

15

D ．1-或－

15

5．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有

2121

()()

0f x f x x x -<-，则（ ）．

A ．(3)(2)(1)f f f <-<

B ．(1)(2)(3)f f f <-<

C ．(2)(1)(3)f f f -<<

D ．(3)(1)(2)f f f <<-

6．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1

B ．3

C ．5

D ．7

7．若x 0＝cosx 0，则（ ）

A ．x 0∈（

3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6

π） 8．已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1

()21

f x x =-有2022

个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ），则1232022x x x x ++++=L ( ) A ．1010 B ．2020 C ．1011

D ．2022

9．已知函数()2

x x

e e

f x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ??∈ ???，都有

()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．()0,1

B ．()0,2

C ．(),1-∞

D ．(]

1-∞， 10．已知01a <<，则方程log x

a a x =根的个数为（ ） A ．1个

B ．

2个

C ．3个

D ．1个或2个或3根

11．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。若实数a 满足

(

)()1

22a f f ->-，则a 的取值范围是 （ ）

A ．1,2?

?-∞ ??

?

B ．13,,22????

-∞+∞ ? ?????

U

C ．3,2??

+∞

???

D ．13,22??

???

12．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ?e= A ．{1}

B ．{3，5}

C ．{1，2，4，6}

D ．{1，2，3，4，5}

二、填空题

13．若函数()(0,1)x

f x a a a =>≠且在[1,2]上的最大值比最小值大2

a

，则a 的值为____________.

14．若函数()1f x mx x =--有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______.

15．已知函数()21311log 12

x x k x f x x x ?-++≤?=?-+>??

，()()2ln 21x

g x a x x =+++()a R ∈，若对

任意的均有1x ，{}

2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__________．

16．函数()f x 与()g x 的图象拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ?(1,1)B ?(0,0)O ?(1,1)C --?(0,1)D -五个点，若()f x 的图象关于原点对称的图形即为()

g x 的图象，则其中一个函数的解析式可以为__________.

17．已知函数()211x x x

f -=

-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范

围是________.

18．函数()()()

310310x x x f x x -?+

19．已知函数2

22y x x -=+，[]1,x m ∈-.若该函数的值域为[]1,10，则m =________.

20．若函数()22x

x

e a x e

f x -=++-有且只有一个零点，则实数a =______.

三、解答题

21．已知函数31

()31

x x

f x -=+. （1）证明：()f x 为奇函数；

（2）判断()f x 的单调性，并加以证明； （3）求()f x 的值域. 22．已知函数()10()m

f x x x x

=+

-≠. （1）若对任意(1)x ∈+∞，

，不等式()2log 0f x >恒成立，求m 的取值范围. （2）讨论()f x 零点的个数.

23．设()()12

log 10f x ax =-，a 为常数.若()32f =-.

（1）求a 的值；

（2）若对于区间[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12x

f x m ??>+ ???

恒成立，求实数m 的

取值范围 .

24．已知函数()()

sin ωφf x A x B =++(0A >，0>ω，2

π

?<)，在同一个周期内，

当6

x π

=

时，()f x 取得最大值

2

，当23x π=时，()f x 取得最小值2-

. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间.

(2)将函数()f x 的图象向左平移

12

π

个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π??

????

有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围.

25．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同祥强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且

210200,040()10000

8019450,40x x x R x x x x ?+<

?

…，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

（Ⅰ）求出2020年的利润()Q x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式（利润=销售

额-成本）；

（Ⅱ）2020年产量x 为多少（千部）时，企业所获利润最大?最大利润是多少?

（说明：当0a >时，函数a

y x x

=+

在

单调递减，在)+∞单调递增） 26．已知函数()f x 是二次函数,(1)0f -=,(3)(1)4f f -==.

(1)求()f x 的解析式;

(2)函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断,试探究,是否存在()n n ∈Z ,函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点,若存在,求出一个符合题意的n ,若不存在,请说明由.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】

根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[

)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】

()f x Q 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数

()f x ∴在(],0-∞上是减函数

对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-

2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ?-+≤≤- ()()max min 311x a x ∴-+≤≤-

当1x =时，取得两个最值

3111a ∴-+≤≤- 20a ?-≤≤ 本题正确选项：A 【点睛】

本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自

变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.

2．B

解析：B 【解析】 【分析】

先化简集合A,B,再求B A e得解. 【详解】

由题得{}

10

|22{|1}x A x x x -=≥=≥，{}|0B y y =≥.

所以{|01}B A x x =≤

本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．D

解析：D 【解析】 【分析】

由对数的运算化简可得2log a =

log b =，结合对数函数的性质，求得

1a b <<，又由指数函数的性质，求得0.121c =>，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，对数的运算公式，可得24222log 31

log 3log 3log log 42

a ==

==

28222log 61

log 6log 6log log 83

b ==

==，

2<

<

，所以222log log log 21<<=，即1a b <<，

由指数函数的性质，可得0.10221c =>=， 所以c b a >>. 故选D. 【点睛】

本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

4．A

解析：A 【解析】 【分析】

设()2

f x ax bx c =++，可知1、3为方程()20f x x +=的两根，且0a <，利用韦达定

理可将b 、c 用a 表示，再由方程()60f x a +=有两个相等的根，由0?=求出实数a 的值. 【详解】

由于不等式()2f x x >-的解集为()1,3，

即关于x 的二次不等式()2

20ax b x c +++>的解集为()1,3，则0a <.

由题意可知，1、3为关于x 的二次方程()2

20ax b x c +++=的两根，

由韦达定理得2134b a +-

=+=，133c

a

=?=，42b a ∴=--，3c a =， ()()2423f x ax a x a ∴=-++，

由题意知，关于x 的二次方程()60f x a +=有两相等的根， 即关于x 的二次方程()2

4290ax a x a -++=有两相等的根，

则()()()2

24236102220a a a a ?=+-=+-=，0a

5

a =-，故选：A. 【点睛】

本题考查二次不等式、二次方程相关知识，考查二次不等式解集与方程之间的关系，解题的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

5．A

解析：A 【解析】

由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有

()()1212

f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递

减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.

点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行

6．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x ≤ 求解. 【详解】

因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg /mL ,

x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg /mL 的，

由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车， 所以()

3002%

1.x

-<，

0.70.2x <，

两边取对数得，

lg 0.7lg 0.2x < ，

lg 0.214

lg 0.73

x >

= ，

所以至少经过5个小时才能驾驶汽车. 故选：C 【点睛】

本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.

7．C

解析：C 【解析】 【分析】

画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数

()cos f x x x =-，利用零点存在性定理，判断出()f x 零点0x 所在的区间

【详解】

画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函

数()cos f x x x =-，0.5230.8660.3430662

f ππ

??=-≈-=-<

?

??，

0.7850.7070.0780442

f ππ

??=-≈-=> ???，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ?? ??

?. 故选：C

【点睛】

本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

8．C

解析：C 【解析】 【分析】 函数()f x 和121=

-y x 都关于1,02??

???

对称，所有1()21f x x =-的所有零点都关于

1,02??

???

对称，根据对称性计算1232022x x x x ++++L 的值. 【详解】

()()10f x f x ++-=Q ，

()f x ∴关于1,02??

???

对称，

而函数121=

-y x 也关于1,02??

???

对称， ()121f x x ∴=

-的所有零点关于1,02??

???

对称， ()1

21

f x x ∴=

-的2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ）， 有1011组关于1,02?? ???

对称，

122022...101111011x x x ∴+++=?=.

故选：C 【点睛】

本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型.

9．D

解析：D 【解析】

试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ??

∈ ??

?

都

有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：

f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；

由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π?

?

??

?

都有m ﹣1＜sinθ成立； ∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；

∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．

点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.

10．B

解析：B 【解析】 【分析】

在同一平面直角坐标系中作出()x

f x a =与()lo

g a g x x =的图象，图象的交点数目即为

方程log x

a a x =根的个数. 【详解】

作出()x

f x a =，()lo

g a g x x =图象如下图：

由图象可知：()(),f x g x 有两个交点，所以方程log x

a a x =根的个数为2.

故选：B . 【点睛】

本题考查函数与方程的应用，着重考查了数形结合的思想，难度一般.

(1)函数()()()h x f x g x =-的零点数?方程()()f x g x =根的个数?()f x 与()g x 图象的交点数；

(2)利用数形结合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围等问题.

11．D

解析：D 【解析】

()(

1

2

2a f f ->-1

1112(2)(2)2222a a a f f ---?->?->?< 11113

1122222

a a a ?-<

?-<-

解析：C 【解析】

试题分析：根据补集的运算得

{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴?=?=痧．故选C.

【考点】补集的运算.

【易错点睛】解本题时要看清楚是求“?”还是求“?”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．

二、填空题

13．或【解析】【分析】【详解】若∴函数在区间上单调递减所以由题意得又故若∴函数在区间上单调递增所以由题意得又故答案：或

解析：

12或32 【解析】 【分析】 【详解】

若01a <<，∴函数()x

f x a =在区间[1,2]上单调递减，所以

2max min (),()f x a f x a ==，由题意得22a a a -=

，又01a <<，故1

2

a =．若1a >，∴函数()x

f x a =在区间[1,2]上单调递增，所以2max min (),()f x a f x a ==，由题意得

22a a a -=

，又1a >，故32

a =． 答案：

12或32

14．【解析】【分析】令可得从而将问题转化为和的图象有两个不同交点作出图形可求出答案【详解】由题意令则则和的图象有两个不同交点作出的图象如下图是过点的直线当直线斜率时和的图象有两个交点故答案为：【点睛】本 解析：()0,1

【解析】 【分析】

令()

0f x =，可得1mx x =-，从而将问题转化为y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点，作出图形，可求出答案. 【详解】

由题意，令()10f x mx x =--=，则1mx x =-， 则y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点， 作出1y x =-的图象，如下图，

y mx =是过点()0,0O 的直线，当直线斜率()0,1m ∈时，y mx =和1y x =-的图象有两

个交点. 故答案为：()

0,1.

【点睛】

本题考查函数零点问题，考查函数图象的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

15．【解析】【分析】若对任意的均有均有只需满足分别求出即可得出结论【详解】当当设当当当时等号成立同理当时若对任意的均有均有只需当时若若所以成立须实数的取值范围是故答案为;【点睛】本题考查不等式恒成立问题

解析：3,4?

?-∞- ??

?

【解析】 【分析】

若对任意的均有1x ，{}

2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需满足

max min ()()f x g x ≤，分别求出max min (),()f x g x ，即可得出结论.

【详解】

当()2

2

1

121()24

x f x x x k x k -<≤=-++=--++

， 1

6()4

k f x k ∴-<≤

+， 当()13

11,log 122x x f x >=-

<-+， ()()2ln 21

x

g x a x x =++

+， 设21

x

y x =

+，当0,0x y ==， 当

2111

0,,01122x x y y x x x

>=

=≤∴<≤++，

当1x =时，等号成立 同理当20x -<<时，1

02

y -

≤<，

211[,]122

x y x ∴=

∈-+， 若对任意的均有1x ，{}

2,2x x x R x ∈∈>-， 均有()()12f x g x ≤，只需max min ()()f x g x ≤， 当2x >-时，ln(2)x R +∈， 若0,2,()a x g x >→-→-∞， 若0,,()a x g x <→+∞→-∞ 所以0a =，min 2

1

(),()12

x g x g x x =

=-+， max min ()()f x g x ≤成立须，113

,424

k k +≤-≤-，

实数k 的取值范围是3,4

??-∞- ??

?

. 故答案为;3,4

??-∞- ??

?

.

【点睛】

本题考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，注意基本不等式的应用，考查分析问题解决问题能力，属于中档题.

16．【解析】【分析】先根据图象可以得出f(x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个再在AB 或OB 中选取一个即可得出函数f(x)的解析式【详解】由图可知线段OC 与线段OB 是关于原点对称的线段CD 与线段BA 也是

解析：()1x f x ?=?

?

1001x x -<<<< 【解析】 【分析】

先根据图象可以得出f (x )的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，即可得出函数f (x ) 的解析式. 【详解】

由图可知，线段OC 与线段OB 是关于原点对称的，线段CD 与线段BA 也是关于原点对称的，根据题意，f (x) 与g (x) 的图象关于原点对称，所以f (x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，比如其组合形式为: OC 和AB ， CD 和OB , 不妨取f (x )的图象为OC 和AB ，

OC 的方程为: (10)y x x =-<<，AB 的方程为: 1(01)y x =<<，

所以,10

()1,01x x f x x -<

，

故答案为：,10()1,01x x f x x -<

<

【点睛】

本题主要考查了函数解析式的求法，涉及分段函数的表示和函数图象对称性的应用，属于中档题.

17．【解析】【分析】根据函数解析式分类讨论即可确定解析式画出函数图像由直线所过定点结合图像即可求得的取值范围【详解】函数定义域为当时当时当时画出函数图像如下图所示:直线过定点由图像可知当时与和两部分图像 解析：(4,1)(1,0)--?-

【解析】 【分析】

根据函数解析式,分类讨论即可确定解析式.画出函数图像,由直线所过定点,结合图像即可求得k 的取值范围. 【详解】 函数()211x x x

f -=

-定义域为{}

1x x ≠

当1x ≤-时,()21

11x x x f x -==---

当11x -<<时,()2

111x x x f x -==+-

当1x <时,()21

11x x x

f x -==---

画出函数图像如下图所示:

直线2y kx =+过定点()0,2

由图像可知,当10k -<<时,与1x ≤-和11x -<<两部分图像各有一个交点; 当41-<<-k 时,与11x -<<和1x <两部分图像各有一个交点. 综上可知,当()()4,11,0k ∈--?-时与函数有两个交点

故答案为:()()4,11,0--?- 【点睛】

本题考查了分段函数解析式及图像画法,直线过定点及交点个数的求法,属于中档题.

18．【解析】【分析】作出函数的图象如下图所示得出函数的值域由图象可得m 的取值范围【详解】作出函数的图象如下图所示函数的值域为由图象可得要使函数的图像与函数的图像有公共点则m 的取值范围是故答案为：【点睛】 解析：[)()0,11,2?

【解析】 【分析】

作出函数()f x 的图象如下图所示，得出函数()f x 的值域，由图象可得m 的取值范围. 【详解】

作出函数()f x 的图象如下图所示，函数()f x 的值域为[)()0,11,2?，由图象可得要使函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是[)()0,11,2?， 故答案为：[)()0,11,2?.

【点睛】

本题考查两函数图象交点问题，关键在于作出分段函数的图象，运用数形结合的思想求得范围，在作图象时，注意是开区间还是闭区间，属于基础题.

19．4【解析】【分析】根据二次函数的单调性结合值域分析最值即可求解【详解】二次函数的图像的对称轴为函数在递减在递增且当时函数取得最小值1又因为当时所以当时且解得或（舍）故故答案为：4【点睛】此题考查二次 解析：4 【解析】 【分析】

根据二次函数的单调性结合值域，分析最值即可求解. 【详解】

二次函数2

22y x x -=+的图像的对称轴为1x =， 函数在(),1x ∈-∞递减，在[)1,x ∈+∞递增， 且当1x =时，函数()f x 取得最小值1，

又因为当1x =-时，5y =，所以当x m =时，10y =，且1m >-， 解得4m =或2-（舍），故4m =.

故答案为：4 【点睛】

此题考查二次函数值域问题，根据二次函数的值域求参数的取值.

20．2【解析】【分析】利用复合函数单调性得的单调性得最小值由最小值为0可求出【详解】由题意是偶函数由勾形函数的性质知时单调递增∴时递减∴因为只有一个零点所以故答案为：2【点睛】本题考查函数的零点考查复合

解析：2 【解析】 【分析】

利用复合函数单调性得()f x 的单调性，得最小值，由最小值为0可求出a ． 【详解】

由题意()22

122x

x

x x e e

x a e x a e

f x -=++-=+

+-是偶函数， 由勾形函数的性质知0x ≥时，()f x 单调递增，∴0x ≤时，()f x 递减． ∴min ()(0)f x f =，

因为()f x 只有一个零点，所以(0)20f a =-=，2a =． 故答案为：2. 【点睛】

本题考查函数的零点，考查复合函数的单调性与最值．掌握复合函数单调性的性质是解题关键．

三、解答题

21．（1）证明见详解；（2）函数()f x 在R 上单调递，证明见详解；（3）(1,1)- 【解析】 【分析】

（1）判断()f x 的定义域，用奇函数的定义证明可得答案；

（2）判断()f x 在R 上单调递增，用函数单调性的定义证明可得答案；

（2）由312

()13131

x x x

f x -==-++，可得30x ＞，可得231x +及231x -+的取值范围，可得()f x 的值域.

【详解】

证明：（1）易得函数()f x 的定义域为R ,关于原点对称，

且3113()()3131

x x

x x f x f x -----===-++，故()f x 为奇函数；

（2）函数()f x 在R 上单调递增，理由如下：

在R 中任取12x x ＜，则1233x x -＜0，131x +＞0，231x +＞0，

可得12121

21212

123131222(33)

()()(1)(1)31313131(31)(31)

x x x x x x x x x x f x f x ----=-=---=++++++＜0 故12()()0f x f x -＜，函数()f x 在R 上单调递增；

（3）由312

()13131x x x f x -==-++，易得30x ＞，311x +＞，

故231x +0＜＜2，231x +-2＜-＜0，故2131x -+-1＜＜1， 故()f x 的值域为(1,1)-.

【点睛】

本题主要考查函数单调性及奇偶性的判断与证明及求解函数的值域，综合性大，属于中档题.

22．（1）14m >

；（2）当14

m >或1

4m <-时，有1个零点；当14m =或0m =或

14m =-时，有2个零点；当104m <<或1

04m -<<时，有 3个零点

【解析】 【分析】

（1）利用不等式恒成立，进行转化求解即可，

（2）利用函数与方程的关系进行转化，利用参数分离法结合数形结合进行讨论即可． 【详解】

解：（1）由()20f log x >得，2210m

log x log x

+-> 当(1,)x ∈+∞时，20log x >

变形为()2

220log x log x m -+>，即()2

22m log x log x >-+

而()2

2

2221412log x log x log x ??+ ?-?--?

+= 当212

log x =

即x =时，()()

2

ma 22x

14

log x log x =

-+ 所以14

m >

（2）由()0f x =可得00()x x x m x -+=≠，变为()0m x x x x =-+≠

令()2

2

22

11

,024

,0,011,024x x x x x g x x x x x x x x x ???--+>? ??-+>???=-==??+

??+-< ???

?? 作()y g x =的图像及直线y m =，由图像可得:

当

1

4 m>

或

1

4

m<-时，()

f x有1个零点.

当

1

4

m=或0

m=或

1

4

m=-时，()

f x有2个零点:

当

1

4

m

<<或

1

4

m

-<<时，()

f x有3个零点.

【点睛】

本题考查不等式恒成立以及函数的单调性的应用，考查函数的零点的判断，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．

23．（1）2

a=（2）

17

,

8

??

-∞-

?

??

【解析】

【分析】

(1)依题意代数求值即可;

(2)设()()

1

2

1

log102

2

x

g x x

??

=-- ?

??

,题设条件可转化为()

g x m

>在[]

3,4

x∈上恒成立,因此,求出()

g x的最小值即可得出结论.

【详解】

(1)()32

f=-

Q,

()

1

2

log1032

a

∴-=-,

即

2

1

103

2

a

-

??

-= ?

??

,解得2

a=;

(2)设()()

1

2

1

log102

2

x

g x x

??

=-- ?

??

,

题设不等式可转化为()

g x m

>在[]

3,4

x∈上恒成立,

()

g x

Q在[]

3,4上为增函数,

()3

1

min

2

117

(3)log(106)

28

g x g

??

∴==--=-

?

??

,

178

m ∴<-

, m ∴的取值范围为17,8?

?-∞- ??

?.

【点睛】

本题考查函数性质的综合应用,属于中档题.在解决不等式恒成立问题时,常分离参数,将其转化为最值问题解决.

24．(1)(

)262f x x π??=++ ??

?，单调增区间为06,π??????，2π,π3轾犏犏臌；

(2)a ∈? 【解析】 【分析】

（1）由最大值和最小值求得,A B ，由最大值点和最小值点的横坐标求得周期，得ω，再由函数值（最大或最小值均可）求得?，得解析式； （2）由图象变换得()g x 的解析式，确定()g x 在[0,

]2

π

上的单调性，而()g x a =有两个

解，即()g x 的图象与直线y a =有两个不同交点，由此可得． 【详解】

(1)

由题意知,2

2A B A B ?+=????-+=-??

解得A =

，2

B =

. 又

22362

T πππ=-=，可得2ω=.

由632

2f ππ?????

=++=

? ?

????， 解得6

π

=

?. 所以(

)262f x x π?

?=++

??

?， 由2222

62

k x k π

π

π

ππ-

≤+

≤+

，

解得3

6

k x k π

π

ππ-

≤≤+

，k ∈Z .

又[]0,x π∈，所以()f x 的单调增区间为06,π??

????

，2π,π3

轾犏犏臌

.

(2)函数()f x 的图象向左平移

12

π

个单位长度，再向下平移

2

个单位长度，得到函数()g x 的图象，得到函数()g x 的表达式为(

)23x g x π?

?=+ ??

?.

因为0,

2x π??

∈????

，所以42,333x πππ??+∈????， ()g x 在[0,

]12π是递增，在[,]122

ππ

上递减，

要使得()g x a =在0,2π??????

上有2个不同的实数解，

即()y g x =的图像与y a =有两个不同的交点，

所以a ∈?. 【点睛】

本题考查求三角函数解析式，考查图象变换，考查三角函数的性质．“五点法”是解题关键，正弦函数的性质是解题基础．

25．（Ⅰ）()210600250,040,

10000

9200,40.x x x Q x x x x ?-+-<

∴=?--+≥??

（Ⅱ）2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）根据题意知利润等于销售收入减去可变成本及固定成本，分类讨论即可写出解析式（Ⅱ）利用二次函数求040x <<时函数的最大值，根据对勾函数求40x ≥时函数的最大值，比较即可得函数在定义域上的最大值. 【详解】

（Ⅰ）当040x << 时,

()()

228001020025010600250Q x x x x x x =-+-=-+- ；

当40x ≥时,()100001000080080194502509200Q x x x x x x ??

=-+--=--+ ?

??

. ()210600250,040,

10000

9200,40.x x x Q x x x x ?-+-<

∴=?--+≥??

（Ⅱ）当040x <<时，()()2

10308750Q x x =--+，