(完整版)恒成立存在性问题

专题 恒成立存在性问题

知识点梳理

1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立

2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立

3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤??在上恒成立

在上恒成立

另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B

x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .

4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥

5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤

6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥

7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤

8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象

上方；

9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；

题型一、常见方法

1、已知函数12)(2

+-=ax x x f ，x

a

x g =

)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；

2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；

2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4

1

[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．

3、已知两函数2

)(x x f =，m x g x

-??

? ??=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实

数m 的取值范围为

题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)

1、对于满足2p ≤的所有实数p,求使不等式2

12x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。

2、已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数， (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若[]2

()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立，求t 的取值范围；

题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）

1、当()1,2x ∈时，不等式2

40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .

题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）） 1、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________

2、已知函数()2

22f x x kx =-+，在1x ≥-恒有()f x k ≥，求实数k 的取值范围。

题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法

若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.

1、存在实数x ，使得不等式2

313x x a a ++-≤-有解，则实数a 的取值范围为______。

2、已知函数()()2

1ln 202

f x x ax x a =-

-≠存在单调递减区间，求a 的取值范围

小结：

恒成立与有解的区别

恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。 ①不等式()f x M <对x I ∈时恒成立max ()f x M??<，x I ∈。即()f x 的上界小于或等于M ； ②不等式()f x M <对x I ∈时有解min ()f x M??<，x I ∈。 或()f x 的下界小于或等于M ； ③不等式()f x M >对x I ∈时恒成立min ()f x M??>，x I ∈。即()f x 的下界大于或等于M ； ④不等式()f x M >对x I ∈时有解max ()f x M ?>，x I ∈.。 或()f x 的上界大于或等于M ；

课后作业：

1、设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为（ ） （A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤

（D ）{2,3}

2、若任意满足0

5030x y x y y -≤??+-≥??-≤?

的实数,x y ，不等式222

()()a x y x y +≤+恒成立，则实数a 的最大值是 ___ .

3、不等式2sin 4sin 10x x a -+-<有解，则a 的取值范围是

4、不等式

ax ≤

[]0,3x ∈内恒成立，求实数a 的取值范围。

5、已知两函数()2728f x x x c =--，()32

2440g x x x x =+-。

（1）对任意[]3,3x ∈-，都有()()f x g x ≤)成立，求实数c 的取值范围； （2）存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，求实数c 的取值范围； （3）对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，求实数c 的取值范围； （4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，求实数c 的取值范围；

6、设函数3

221()23(01,)3

f x x ax a x b a b R =-

+-+<<∈. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤成立，求a 的取值范围。

7、已知A 、B 、C 是直线λ上的三点，向量OA →，OB →，OC →

满足：()[]()0OC 1x ln OB 1f 2y OA =?++?'+-. （1）求函数y ＝f(x)的表达式；

（2）若x ＞0，证明：f(x)＞2x

x ＋2；

（3）若不等式()

3bm 2m x f x 2

12

22--+≤时，[]1,1x -∈及[]1,1b -∈都恒成立，求实数m 的取值范围．

8、设()x ln 2x q px x f --=，且()2e

p

qe e f --=（e 为自然对数的底数）

(I) 求 p 与 q 的关系；

(II)若()x f 在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；

(III)设()x

e

2x g =，若在[]e ,1上至少存在一点0x ，使得()()00x g x f >成立, 求实数 p 的取值范围.

参考答案：

题型一、常见方法

1、已知函数12)(2

+-=ax x x f ，x

a

x g =

)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；

2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；

【分析：】

1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决． 2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可．

简解：（1）由12012232

++-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(2

3++=x x

x x ?的最小值大于a 即可．对1

2)(23++=x x x x ?求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ?，故)(x ?在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==??x ，所以a 的取值范围是32

0<

2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4

1

[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．

分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最

值解决．

方法1：化归最值，10)(10)(max ≤?≤x h x h ；

方法2：变量分离，)(

10x x a

b +-≤或x b x a )10(2-+-≤； 方法3：变更主元，0101)(≤-++?=b x a x a ?，]2,2

1

[∈a

简解：方法1:对b x x a b x x g x h ++=++=)()(求导，2

2)

)((1)(x

a x a x x a x h +-=-='， 由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)4

1

(h 与)1(h 中的较大者．

?????-≤-≤??????≤++≤++??????≤≤∴a

b a

b b a b a h h 94439

1011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ．

3、已知两函数2

)(x x f =，m x g x

-??

? ??=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实

数m 的取值范围为

解析：对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥等价于m x g x

-??

? ??=21)(在[]2,1上的最小值m -41不大于2

)(x x f =在[]2,0上的最小值0，既041≤-m ，∴4

1≥m

题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)

1、对于满足2p ≤的所有实数p,求使不等式2

12x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。

解：不等式即()2

1210x p x x -+-+>,设()()2

121f p x p x x =-+-+，则()f p 在[-2,2]上恒大于0，故有：

()()

222043031

112010f x x x x x x f x ->??-+>>

??><->->?????或或1x ?<-或3x >

2、已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数，(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若[]2

()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立，求t 的取值范围；

(Ⅱ)分析：在不等式中出现了两个字母：λ及t ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将λ视作自变量，则上述问题即可转化为在(],1-∞-内关于λ的一次函数大于等于0恒成立的问题。(Ⅱ)略解：

由(Ⅰ)知：()f x x =，()sin g x x x λ∴=+，()g x Q 在[]11

-，上单调递减，()cos 0g x x λ'∴=+≤cos x λ∴≤-在[]11-，上恒成立，1λ∴≤-，

[]max ()(1)sin1g x g λ=-=--，∴只需2sin11t t λλ--≤++，2(1)sin110t t λ∴++++≥（其中1λ≤-）恒成立，由上述②结论：可令()2

(1)sin110(1f t t λλλ=++++≥≤-）,则2

t 101sin110t t +≤??

--+++≥?，21sin10

t t t ≤-?

∴?-+≥?，而2sin10t t -+≥恒成立，1t ∴≤-。

题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来） 1、当()1,2x ∈时，不等式2

40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 . 解析: 当(1,2)x ∈时，由2

40x mx ++<得24

x m x

+<-.∴5m ≤-. 题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）） 1、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________

解析：对?x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立、则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即11a -≤≤。

2、已知函数()2

22f x x kx =-+，在1x ≥-恒有()f x k ≥，求实数k 的取值范围。

分析：为了使()f x k ≥在[)1,x ∈-+∞恒成立，构造一个新函数()()F x f x k =-，则把原题转化成左边二次函数在区间[)1,-+∞时恒大于等于0的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。

解：令()()2

22F x f x k x kx k =-=-+-，则()0F x ≥对[)1,x ∈-+∞恒成立，而()F x 是开口向上的抛物线。

①当图象与x 轴无交点满足0?<，即()2

4220k k ?=--<，解得21k -<<。

②当图象与x 轴有交点，且在[)1,x ∈-+∞时()0F x ≥，则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：

()010212

F k ?

??≥??

-≥??-?-≤-??解得32k -≤≤-，故由①②知31k -≤<。 小结：若二次函数()2

0y ax bx c a =++≠大于0恒成立，则有0

a >??

?

0y ax bx c a =++≠小于0

恒成立，则有0

a

?

题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法

若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.

1、存在实数x ，使得不等式2

313x x a a ++-≤-有解，则实数a 的取值范围为______。 解：设()31f x x x =++-，由()23f x a a ≤-有解，()2

min 3a a f x ?-≥，

又()()31314x x x x ++-≥+--=，∴234a a -≥，解得41a a ≥≤-或。

2、已知函数()()2

1ln 202

f x x ax x a =-

-≠存在单调递减区间，求a 的取值范围 解： 因为函数()f x 存在单调递减区间，所以()2

'12120ax x f x ax x x

+-=--=-< ()0,+∞有解.即()()2120,a x x x >-∈+∞能成立, 设()212

u x x x

=-.

由()2

21

2111u x x x x

??

=-=-- ???得, ()min 1u x =-.于是,1->a

,

|

x ax

=x

由题设0≠a ,所以a 的取值范围是()()+∞-,00,1Y 小结：

恒成立与有解的区别：

恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。 ①不等式()f x M <对x I ∈时恒成立max ()f x M??<，x I ∈。即()f x 的上界小于或等于M ； ②不等式()f x M <对x I ∈时有解min ()f x M??<，x I ∈。 或()f x 的下界小于或等于M ； ③不等式()f x M >对x I ∈时恒成立min ()f x M??>，x I ∈。即()f x 的下界大于或等于M ； ④不等式()f x M >对x I ∈时有解max ()f x M ?>，x I ∈.。 或()f x 的上界大于或等于M ；

课后作业：

1、设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2

[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为（ ）

（A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3}

答案：B 。解析：由方程log log 3a a x y +=可得3a y x =，对于任意的[,2]x a a ∈，可得2322a a a x

≤≤，依题意

得22222a a a a a ?≤??≥??≥?

。 2、若任意满足05030x y x y y -≤??+-≥??-≤?

的实数,x y ，不等式222

()()a x y x y +≤+恒成立，则实数a 的最大值是___。

答案：2513。解析：由不等式222

()()a x y x y +≤+可得

2

1a x y y x

≤++，由线性规划可得312y x ≤≤。 3、不等式2sin 4sin 10x x a -+-<有解，则a 的取值范围是

解：原不等式有解()()2

2sin 4sin 1sin 231sin 1a x x x x ?>-+=---≤≤有解，而()2

min

sin 232x ??--=-??，所以2a >-。

4、不等式

ax ≤

[]0,3x ∈内恒成立，求实数a 的取值范围。

解：画出两个凼数y ax =和

y =[]0,3x ∈

上的图象如图知当3x

=时

y =3

a =

当3a ≤

，[]0,3x ∈时总有

ax

≤3

a ≤ 5、已知两函数()2728f x x x c =--，()32

2440g x x x x =+-。

（1）对任意[]3,3x ∈-，都有()()f x g x ≤成立，求实数c 的取值范围； （2）存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，求实数c 的取值范围； （3）对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，求实数c 的取值范围； （4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，求实数c 的取值范围；

解析：（1）设()()()32

2312h x g x f x x x x c =-=--+，问题转化为[]3,3x ∈-时，()0h x ≥恒成立，故()min 0h x ≥。令()()()266126120h x x x x x '=--=+-=，得1x =-或2。由导数知识，可知()h x 在[]3,1--单调递增，在[]1,2-单调递减，

在[]2,3单调递增，且()345h c -=-，()()17h x h c =-=+极大值，()()220h x h c ==-极小值，()39h c =-，∴()()min 345h x h c =-=-，

由450c -≥，得45c ≥。

（2）据题意：存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，即为：()()()0h x g x f x =-≥在[]3,3x ∈-有解，故()max 0h x ≥，由（1）知()max 70h x c =+≥，于是得7c ≥-。

（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤成立，

不等式的左右两端函数的自变量不同，1x ，2x 的取值在[]3,3-上具有任意性，∴要使不等式恒成立的充要条件是：

max min ()(),[3,3]f x g x ??x ?≤∈-。∵()()[]2

7228,3,3f x x c x =---∈-∴ ()()max 3147f x f c =-=-，

∵()2

6840g x x x '=+-=()()23102x x +-，∴()0g x '=在区间[]3,3-上只有一个解2x =。

∴()()min 248g x g ==-，∴14748c -≤-，即195c ≥.

（4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，等价于()()min 1max 2f x g x ≤，由(3)得()()min 1228f x f c ==--，

()()max 23102g x g =-=，28102130c c --≤?≥-

点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。

6、设函数3

221()23(01,)3

f x x ax a x b a b R =-

+-+<<∈. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤成立，求a 的取值范围。

解：（Ⅰ）2

234)(a ax x x f -+-=' （1分）

令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为（a,3a ）

令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞） （4分） ∴当x=a 时，)(x f 极小值=;4

33

b a +-

当x=3a 时，)(x f 极小值=b. （6分）

（Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得－a ≤－x2+4ax －3a2≤a.①（7分） ∵02a.

∴]2,1[34)(2

2

++-+-='a a a ax x x f 在上是减函数. （9分） ∴.44)2()(.12)1()(min max -=+='-=+'='a a f x f a a f x f 于是，对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于

.154

.12,44≤≤?

?

?-≥-≤-a a a a a 解得 又,10<

4

<≤a 7、已知A 、B 、C 是直线λ上的三点，向量OA →，OB →，OC →

满足：()[]()0OC 1x ln OB 1f 2y OA =?++?'+-. （1）求函数y ＝f(x)的表达式；

（2）若x ＞0，证明：f(x)＞2x

x ＋2；

（3）若不等式()

3bm 2m x f x 212

22--+≤时，[]1,1x -∈及[]1,1b -∈都恒成立，求实数m 的取值范围．

解：(1)∵OA →－[y ＋2f /(1)]OB →＋ln(x ＋1)OC →＝0，∴OA →＝[y ＋2f /(1)]OB →－ln(x ＋1)OC →

由于A 、B 、C 三点共线 即[y ＋2f /(1)]＋[－ln(x ＋1)]＝1…………………2分 ∴y ＝f(x)＝ln(x ＋1)＋1－2f /(1)

f /(x)＝1x ＋1，得f /(1)＝1

2，故f(x)＝ln(x ＋1)…………………………………4分

（2）令g(x)＝f(x)－2x x ＋2，由g/(x)＝1x ＋1－2(x ＋2)－2x (x ＋2)2＝x2

(x ＋1)(x ＋2)2

∵x ＞0，∴g/(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数………………6分 故g(x)＞g(0)＝0

即f(x)＞2x

x ＋2………………………………………………………………8分

（3）原不等式等价于1

2x2－f(x2)≤m2－2bm －3

令h(x)＝12x2－f(x2)＝12x2－ln(1＋x2)，由h/(x)＝x －2x 1＋x2＝x3－x

1＋x2……………10分 当x ∈[－1，1]时，h(x)max ＝0，∴m2－2bm －3≥0

令Q(b)＝m2－2bm －3，则???Q(1)＝m2－2m －3≥0

Q(－1)＝m2＋2m －3≥0 得m ≥3或m ≤－3……………12分

8、设()x ln 2x q px x f --=，且()2e

p

qe e f --=（e 为自然对数的底数）

(I) 求 p 与 q 的关系；

(II)若()x f 在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；

(III)设()x

e

2x g =，若在[]e ,1上至少存在一点0x ，使得()()00x g x f >成立, 求实数 p 的取值范围.

解：(I) 由题意得 ()()12ln 20q p f e pe e qe p q e e e e ?

?=-

-=--?-+= ???而10e e +≠，所以p q =… 3分 (II) 由 (I) 知 ()2ln p f x px x x =--，()222

22p px x p

f x p x x x -+'=+-=…… 4分

令()2

2h x px x p =-+，要使()f x 在其定义域 (0,+∞) 内为单调函数，只需 h(x) 在 (0,+∞) 内满足：h(x)

≥0 或 h(x)≤0 恒成立. ………… 5分

① 当0p ≤时，()2

0,200px x h x ≤-

② 当0p >时，()2

2h x px x p =-+，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为()1

0x p

=

∈+∞，， ∴()min 11

h x h p p p ??==-

???

，只需10p p -≥，即p ≥1时， h(x)≥0，()0f x '≥， ∴ f (x) 在 (0,+∞) 内为单调递增，故 p ≥1适合题意.

综上可得，p ≥1或 p ≤0 ………… 9分

另解：(II) 由 (I) 知 f (x) = px －p

x －2ln x

f ’(x) = p + p x 2 －2x = p (1 + 1x 2 )－2

x ………… 4分 要使 f (x) 在其定义域 (0,+∞) 内为单调函数，只需 f ’(x) 在 (0,+∞) 内满足：f ’(x)≥0 或 f ’(x)≤0 恒成立. ………… 5分

由 f ’(x)≥0 ? p (1 + 1x 2 )－2x ≥0 ? p ≥2x + 1x ? p ≥(2

x + 1x

)max ，x > 0

∵ 2x + 1x ≤ 22x · 1x = 1，且 x = 1 时等号成立，故 (

2x + 1x )max = 1 ∴ p ≥1 ………… 7分

由 f ’(x)≤0 ? p (1 + 1x 2 )－2x ≤0 ? p ≤ 2x x 2 + 1 ? p ≤(2x

x 2 + 1 )min ，x > 0

而 2x x 2 + 1 > 0 且 x → 0 时，2x

x 2 + 1 → 0，故 p ≤0 ………… 8分 综上可得，p ≥1或 p ≤0 ………… 9分

(III) ∵ g(x) = 2e

x 在 [1,e] 上是减函数

∴ x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e 即 g(x) ∈ [2,2e] ………… 10分

① p ≤0 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 递减 ? f (x)max = f (1) = 0 < 2，不合题意。 …… 11分

② 0 < p < 1 时，由x ∈ [1,e] ? x －1

x ≥0

∴ f (x) = p (x －1x )－2ln x ≤x －1

x －2ln x

右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 [1,e] 递增

∴ f (x)≤x －1x －2ln x ≤e －1e －2ln e = e －1

e －2 < 2，不合题意。 ………… 12分

③ p ≥1 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 连续递增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在 [1,e] 上是减函数 ∴ 本命题 ? f (x)max > g(x)min = 2，x ∈ [1,e]

? f (x)max = f (e) = p (e －1

e )－2ln e > 2

? p > 4e

e 2－1 ………… 13分

综上，p 的取值范围是 (4e

e 2－1 ,+∞) ………… 14分