工程问题(三).教师版

工程问题

（三）

教学目标

1. 熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；

2. 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理;

3. 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“ 1的统一和转换；

4. 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用.

知识精讲

工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“ 1'的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比

较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一、工程问题的基本概念

定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。工作总量：一般抽象成单位“1” 工作效率：单位时间内完成的工作量

三个基本公式：工作总量=工作效率4作时间，

工作效率=工作总量"作时间，工

作时间=工作总量 "作效率；

二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：

①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；

②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；

③学会画线段示意图?线段示意图能直观地揭示量”与百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间

的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；

④学会多角度、多侧面思考问题的方法?分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法?因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路.

三、利用常见的数学思想方法：

如代换法、比例法、列表法、方程法等

抛开工作总量”和时间”抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设把整个工程看成一个单位”，求得问题答案.一般情况下，工程问题求的是时间.

目tMI归例题精讲

工程问题方法与技巧

（一）等量代换法

【例1】甲、乙两队合作挖一条水渠要30天完成，若甲队先挖4天后，再由乙队单独挖16天，共挖了这条水渠的2?如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？

5

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

2 2

【解析】法一：甲、乙合作完成工程的—需要：30 - =12（天）.甲队先做4天，比合作少了12_4=8（天）；

5 5

乙队后做16天，比合作多了16_12=4（天），所以甲队做8天相当于乙队做4天，甲、乙两队工作效率的比是4: 8 =1: 2 .甲队单独工作需要：30 30 2 =90 （天）；乙队单独工作需要：30 3^2 =45（天）。

法二：我们知道，甲乙合作，每天可以完成工程的—，而题目中给定的甲队先挖4天，再由乙队

30

单独挖16天”相当于甲乙两队先合作4天，然后再由乙队单独挖12天，于是两队合作4天，可以完成工程的1，也就是说乙队12天挖了2一2 = 4，于是乙队的工作效率为---12 1，那

30 15 5 15 15 15 45

111

么甲队的工作效率就是一一一一，即甲队单独做需要90天，乙队单独做需要45天。工程问题里

30 45 90

面也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系. 其实这一点是与工程习惯无关的. 【答案】甲队单独做需要90天，乙队单独做需要45天

【例2】一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【解析】丙2天的工作量，相当乙4天的工作量?丙的工作效率是乙的工作效率的4+2=2 （倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样?也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍?乙做13天，甲只要13天，丙做13天，乙要26天，而甲只要26天他们共同做13天的工作量，由甲单独

3 3

完成，甲需要13十13十26 =26天

3 3

【答案】26天

【例3】抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的1.如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？

5

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【解析】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的1,又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，因

8

此甲两天抄写书稿的1，即甲每天抄写书稿的-;由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6

8 16

1 1 1111

天抄写书稿的-，即丙每天抄写书稿的—;于是可知乙每天抄写书稿的--一-丄=—?所以乙一

8 48 8 16 48 24

人单独抄写需要1十丄=24天才能完成.

24

【答案】24天

【例4】一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成?两队合做2天后由乙队独做，还要几天才能完成?

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【解析】法一：我们把工程看作两个人分别完成的，那么显然，甲在其中只工作了2天，剩下的都是乙完成的。甲完成整个工作需要6天，除去自己完成的2天以外，剩下工作量甲需要4天完成，乙的工作

效率是甲的-，因此甲4天完成的量，乙需要4 - ^16天完成，除去与甲合作的2天以外，乙还要

4

3 3

【例5】

打印一份书稿，甲按规定时间可提前

2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成.如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成?甲、乙两人合做需要几天完成？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【解析】根据甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成.如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成”，可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量，所以

完成这项工作甲、乙所用的时间比是2:3 ?另外，由于甲、乙单独做，乙用的时间比甲多3?2 = 5天,

所以乙独做需要的天数是：（3 2）— 15 （天），甲独做需要15-5=10（天），甲、乙合做需要

3—2

1 1

1 6（天）.

10 15

【答案】6（天）

【例6】一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8 天可以完成.

如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【解析】本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：

乙20天

乙12天

甲20天

从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天

的工作量.于是可用乙工作4天”等量替换题中甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需要20=24（天）完成，即乙的工作效率是丄.

24

做16-2』天。

33

法

二

一: 甲的工作效率为1，所以乙的工作效率为

6

(

1

1 1 ) 1

2 - >2 -：-

10

二天才能完成.

68 丿83

10天

3

1 1

-3-4=1?两队合作2天后乙队独做还要

6 8

甲15天

【答

又因为乙工作4天的工作量和甲工作 5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的 ，为丄 ^1

5 4 5 3

那么甲、乙合作完成这一工程需要的时间为

1 -：-（丄?丄）J31 （天）.

24 30 3

【答案】131天

3

【巩固】 一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成.如 果甲做

3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？

【考点】工程问题

【难度】3星 【题型】解答

【解析】 根据题意可知，甲做 8_6=2小时的工作量等于乙做

12—6=6小时的工作量，

可见甲做1小时的工作量等于乙做 3小时的工作量.

那么可以用乙做 3小时来代换甲做1小时，可知乙完成全部工作需要 6 3 *12=30小时，

甲先做的3小时相当于乙做了 9小时，所以乙还需要 30_9=21小时.

【答案】21小时

【巩固】 一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，乙抄13小时也可以抄完.现 在甲先

抄2小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成？

【考点】工程问题

【难度】3星 【题型】解答

【解析】由题意可知，甲、乙合作的效率为

—;将甲抄8小时，乙抄13小时，转化为甲乙和抄 8小时，乙

10

f 1 \

1

单独抄5小时，则乙单独工作的效率为 1—8 亠（13-8）

,

I 10丿25

113 3 1

所以甲单独工作的效率 1 一 1二3 ?甲、乙两人的工作效率之比为 3 : 1 =3:2 .

10 25 50 50 25 甲先抄2小时，这2小时的工作量如果两人合作，需要 3 2 - （3暇）“］小时，

5

所以剩下的工作量由甲、乙合作，还需要

10-11 =84小时.

5 5

【答案】8 4小时

5

【例7】一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成

1时前来帮忙，待工程完成 5

时离去，结

2 6

果恰按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半?如果没有丙的参与，仅由乙接替甲后一直做 下去，将比计划推迟 31天完成；如果全由甲单独做，则可比计划提前

6天完成?还知道乙的工作

3 效率是丙的3倍，问：计划规定的工期是多少天？

【考点】工程问题 【难度】5星 【题型】解答

【关键词】北大附中，资优博雅杯

【解析】丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成

5

时离去，所以乙、丙合做了全部工程的

1

;如果丙不 6

3

1

的工程时间将比乙、丙合做多用 10

天.由于乙的工

3 3

来帮忙，这1的工程由乙独做，那么乙完成这

3

做所用时间的-倍，所以乙、丙合做这 1的工程所用的时间为 !2-：-（4 _i^io 天.那么乙的工效为

3 3 3 3 1 1 1

-亠10」（1 ?-）二一?由于在丙来帮忙的情况下乙共做了工程总量的一半，所以乙工作的天数为 3 3 40 1 1

-“一 20天，其中有10天是乙、丙在合做，另外 10天（被分成了前后两段）乙一个人独做?那么

2 40

乙、丙共完成了全部工程的

1

?丄 1 10=z ，根据题意，这 7

的工程如果由甲独做，只需要 2 40 3 12 12

7 1

20 -6 =14天，那么甲的工效为 --M4 丄.甲完成全部工程需要 24天.由于全部由甲独做可比计

12 24 划提前6天完成，所以原计划工期是

24 ? 6 = 30天.

【答案】30天

（二）比例法

【例8】一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作

5小时，共完成这批零件的 -。已知甲与乙的工

3 作效率之比是5:3，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？

【考点】工程问题

【难度】3星

【题型】解答

量为1 ;乙要完成这个任务还需要的时间:

2

【答案】5小时

【例9】 一项工程，甲

15天做了 1后，乙加入进来，甲、乙一起又做了

丄，这时丙也加入进甲、乙、丙一 4 4

3: 5,整个过程中，乙、丙工作的天数之比为 2: 1,问题

【题型】解答

i 、n 、川；且易知甲的工作效率为 — 又乙、丙工作的天

60

1

数之比为（n +川）:川=2： 1，所以有n 阶段和川阶段所需的时间相等.即甲、乙合作完成的

的工

4

程与甲、乙、丙合作完成1 —1 —1二1的工程所需的时间相等.

所以对于工作效率有：（甲+ 乙） >2=（甲

4 4 2

1

3 +乙+丙），甲+乙=丙，那么有丙-乙=——.又有乙、丙的工作效率的比为 3: 5.易知乙的工作效率为 —,

60

120

丙的工作效率为： —.那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：

120

丄1.1丄3

丄1.1丄8

丄丄

十

15 — 一一（ ）一 八（ ）=15 6 6 =27 天.

4 60 120 2 60 120 方法二：显然甲的工作效率为

1

，设乙的工作效率为 3x ，那么丙的工作效率为 5x .所以有乙工作的 60

11 11 1 1

天数为 '■ （

1

x3 ■）亠 X 丙8工）作 的 天数为 ■- （ - 8x ）.且 有 4

6 0 2 6 0 2 60

【解析】乙5小时完成总工作量的

-—二1 ;乙每小时完成总工作量的 3 5 3 4

1 1

—5 —;乙需要完成的总工作 4

20

1 1

5=5 （小

时）

起做完.已知乙、丙的工作效率的比为 中情形下做完整个工程需多少天 ？

【考点】工程问题

【难度】3星

【解析】 方法一：先把整个工程分为三个阶段:

11 11 11 11 11 1

亠3x）亠一— 8x） =2 ---（—亠8x）.即一-?-（—亠3x） =—（—亠8x）,解得x = .所以乙的

4 60 2 60 2 60 4 60 2 60 120

工作效率为—,丙的工作效率为高—.那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：

120 120

113 118

15 “（）-（） =15 6 6 = 27 天.

4 60 120 2 60 120

【答案】27天

【例10】甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按9:8 : 3派工，后因丙村不出工，将他承担的任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了

修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【解析】丙村出的360元钱是不是应该按照甲乙两村派出的人数比即45:35 =9:7来进行分配呢？我们仔细思考一下，发现丙村所出的钱应该是其他两个村帮他完成的工作量，换句话说，我们应该考虑的是甲乙两村各帮丙村出了多少人，然后再计算如何分配。

甲、乙两村共派出了45 *35 =80人，而这80人，按照原计划应是甲村派出80 一9— =36人，乙

9+8 + 3 村派出32人，丙村派出12人，所以，实际上甲村帮丙村派出了45一36=9人，乙村帮丙村派出了

35 -32 =3人，所以丙村拿出的360元钱，也应该按9:3=3:1来分配给甲、乙两村，所以，甲村应分得：360

“(3 1) 3=270元，乙村应分得：360 —270 =90元.

【答案】90元

【例11】某工地用3种型号的卡车运送土方?已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10:7:6，速度比为6:8:9，运送土方的路程之比为15:14 :14，三种车的辆数之比为10:5:7 ?工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了25

天完成任务.那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】二中

【解析】由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为15:14:14，速度之比为6:8:9，所以它们运送1次

所需的时间之比为I5：!4：14 J：7：14，相同时间内它们运送的次数比为：-:-:-.在前10天，

6 8 9 2 4 9 5

7 14

甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为5:5:7 ?由于三种卡车载重量之比为10:7:6 ,

所以三种卡车的总载重量之比为50:35: 42那么三种卡车在前10天内的工作量之比为：

50 - : 35 - : 42上F 20: 20 .2在后15天，由于甲车全部投入使用，所以在后15天里的

5 . 7 . 14

工作量之比为40: 20 :27 .所以在这25天内，甲的工作量与总工作量之比为：

________ 20X10+40X15 ________ _娄

(20 20 27) 10 (40 20 27) 15 一79 °

【答案】陛

79

【例12】甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的一，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的丄，以后三人合

3 4

作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答