工程问题(二).教师版
1. 熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；
2. 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；
3. 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；
4.
工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．
工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。
一． 工程问题的基本概念
定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。 工作总量：一般抽象成单位“1”
工作效率：单位时间内完成的工作量 三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，
工作效率=工作总量÷工作时间， 工作时间=工作总量÷工作效率；
二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：
① 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于
分数、百分数应用题；
② 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；
③ 学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；
④ 学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．
三、利用常见的数学思想方法：
如代换法、比例法、列表法、方程法等
抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”
，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．
例题精讲
知识精讲
教学目标
工程问题（二）
模块一、工程问题——变速问题
【例 1】 甲打一篇文稿，打完一半后吃晚饭，晚饭后每分钟比晚饭前多打32个字．前后共打50分钟，前
25分钟比后25分钟少打640个字．文稿一共（ ）字．
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 、 【关键词】走美杯，三年级，初赛，四年级 【解析】 由“前25分钟比后25分钟少打640个字”，可知：多打这640个字需要的时间是：640÷32=20（分钟），
那么就知饭前用了30分钟，饭后用了20分钟，如果这640个字全部用饭前的速度打，则需要10分钟，故可知饭前的速度是64个字每分钟，饭后的速度是96个字每分钟，则文稿一共有：64×30+96×20=3840个字。
【答案】3840
【例 2】 工厂生产一批产品，原计划15天完成，实际生产时改进了生产工艺，每天生产产品的数量比原计
划每天生产产品数量的多10件，结果提前4天完成了生产任务，则这批产品有 件。
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 、 【关键词】希望杯，五年级，一试
【解析】 设工厂原计划每天生产产品x 件，则改进生产工艺后每天生产产品的数量为5
1011
x +件。
根据题意有5
15(10)1111
x x =+?，解得11x =。所以这批产品共有11×15=165（件）。
【答案】165件
【例 3】 甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获5040
元．实际上从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 开始时甲队拿到840050403360-=元，甲、乙的工资比等于甲、乙的工效比，即为3360:50402:3=；
甲提高工效后，甲、乙总的工资及工效比为(3360960):(5040960)18:17+-=．设甲开始时的工效为
“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需x 天才能完成任务．有(244):(343)18:17x x ?+?+=，化简为2165413668x x +=+，解得40
7
x =
．工程总量为40
547607
?+?
=，所以原计划60(23)12÷+=天完成． 【答案】12天
【例 4】 甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高
1
10
，乙的工作效率比单独做时提高15
．甲、乙两人合作6小时，完成全部工作的2
5，第二天乙又单独做了6小时，还留下这件
工作的
13
30
尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？ 【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】人大附中
【解析】 乙的工作效率是：2131(1)653036--÷=，甲的工作效率是：215111
(6)(1)53651033
+÷-?÷+=，所以，
单独由甲做需要：1
13333
÷
=(小时)． 【答案】33小时
【巩固】一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天．如果两人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原
来的4
5
，乙只能完成原来的
9
10
．现在要8天完成这项工程，两人合做天数尽可能少，那么两人要
合做多少天?
【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答
【解析】因为甲比乙的工作效率高，又要求合做的天数尽可能的少，所以除了两人合作之外，其余工程应由
甲单独完成．现设两人合作x天，则甲单独做8-x天，于是得到方程(
1
10
×80％+
1
15
×90％)
×x+
1
10
×(8-x)=l，解出x=5.所以，在满足条件下，两人至少要合作5天．
【答案】5天
【巩固】要发一份资料，单用A传真机发送，要10分钟；单用B传真机发送，要8分钟；若A、B同时发送，由于相互干扰，A、B每分钟共少发0.2页。实际情况是由A、B同时发送，5分钟内传完了资料（对
方可同时接收两份传真），则这份资料有________页。
【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】希望杯，六年级，一试
【解析】没受干扰时传真机的合作工作效率为
119
10840
+=，而实际的工作效率为
1
5
，所以这份资料共有
91
0.2()8
405
÷-=（页）
【答案】5天
【例5】甲、乙两人合作清理400米环形跑道上的积雪，两人同时从同一地点背向而行各自进行工作，最
初，甲清理的速度比乙快1
3
，中途乙曾用10分钟去换工具，而后工作效率比原来提高了一倍，结
果从开始算起，经过1小时，就完成了清理积雪的工作，并且两人清理的跑道一样长，问乙换了工具后又工作了多少分钟？
【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】四中，入学测试，希望杯，六年级，2试
【解析】法一：直接求
首先求出甲的工作效率，甲1个小时完成了200米的工作量，因此每分钟完成
10
20060
3
÷=（米），
开始的时候甲的速度比乙快1
3
，也就是说乙开始每分钟完成为
101
(1) 2.5
33
÷+=（米），换工具之后，
工作效率提高一倍，因此每分钟完成2.525
?=（米），问题就变成了，乙50分钟扫完了200米的雪，前若干分钟每分钟完成2.5米，换工具之后的时间每分钟完成了5米，求换工具之后的时间。这是一个鸡兔同笼类型的问题，我们假设乙一直都是每分钟扫2.5米，那么50分钟应该能扫2.550125
?=（米），比实际少了20012575
-=（米），这是因为换工具后每分钟多扫了5 2.5 2.5
-=（米），因此换工具后的工作时间为75 2.530
÷=（分钟）.
法二：其实这个问题当中的400米是一个多余条件，我们只需要根据甲乙两人工作量相同和他们之间的工作效率之比就可以求出这个问题的答案。我们不妨设乙开始每分钟清理的量为3，甲比他快
1 3，甲每分钟可以清理4，60分钟之后，甲一共清理了460240
?=份的工作量，乙和他的工作总量
相同，也是240份，但是乙之前的工作效率为3，换工具后的工作效率为6，和（法一）相同的，利
用鸡兔同笼的思想，可以得到乙换工具后工作了(240350)(63)30-?÷-=分钟。
【答案】30分钟
【例 6】 甲、乙两人同时加工同样多的零件，甲每小时加工40个，当甲完成任务的
1
2
时，乙完成了任务的1
2
还差40个．这时乙开始提高工作效率，又用了7.5小时完成了全部加工任务．这时甲还剩下20个零件没完成．求乙提高工效后每小时加工零件多少个？
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】十三分，入学测试
【解析】 当甲完成任务的12时，乙完成了任务的1
2
还差40个，这时乙比甲少完成40个；
当乙完成全部任务时，甲还剩下20个零件没完成，这时乙比甲多完成20个；
所以在后来的7.5小时内，乙比甲多完成了402060+=个，那么乙比甲每小时多完成607.58÷=个．所以提高工效后乙每小时完成40848+=个．
【答案】48个
【例 7】 甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15
天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要下降10%．结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 在晴天，一队、二队的工作效率分别为112和115，一队比二队的工作效率高111
121560
-=；在雨天，
一队、二队的工作效率分别为
()11140%1220?-=
和()13
110%1550
?-=，二队的工作效率比一队高3115020100-=．由11
:5:360100
=知，3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程
的
111
3512202
?+?=，所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天． 方法二：本题可以用方程的方法，在方程解应用题中会继续出现。
【答案】10个雨天
【例 8】 一项挖土万工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成．现在两队同时施
工，工作效率提高20％．当工程完成
1
4
时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程．问整工程要挖多少方土?
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 甲、乙合作时工作效率为(116+120)×(1+20%)=27200．则1
4的工程量需14÷27200=5027
(天)，则遇到地
下水后，甲、乙两队又工作了10-5027=22027
(天)．则此时甲、乙合作的工作效率为34÷22027=81
880．遇
到地下水前后工作效率的差为: 27200-81880=189
4400，则总工作量为47.25÷1894400
=1100方土.
【答案】1100方土
【例 9】 甲、乙两个工程队分别负责两项工程．晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；雨
天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的30%和80%．实际情况是两队同时开工、同时完工．那
么在施工期间，下雨的天数是天．
【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答【关键词】希望杯，六年级，1试
【解析】在晴天，甲、乙两队的工作效率分别为
1
10
和
1
16
，甲队比乙队的工作效率高
113
101680
-=；
在雨天，甲队、乙队的工作效率分别为
13
30%
10100
?=和
11
80%
1620
?=，乙队的工作效率比甲队高
131
2010050
-=．由于两队同时开工、同时完工，完成工程所用的时间相同，所以整个施工期间，晴
天与雨天的天数比为13
:8:15 5080
=．
如果有8个晴天，则甲共完成工程的
13
815 1.25
10100
?+?=，而实际的工程量为1，所以在施工期间，
共有8 1.25 6.4
÷=个晴天，15 1.2512
÷=个雨天．【答案】12个雨天
【例10】一批工人到甲、乙两个工地工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的
1
1
2
倍，上午在甲工地工作
的人数是乙工地人数的3倍，下午这批工人中的
5
12
在乙工地工作。一天下来，甲工地的工作已完
成，乙工地的工作还需4名工人再做一天。这批工人有人。【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】希望杯，五年级，一试
【解析】“甲工地的工作量是乙工地的工作量的
1
1
2
倍”说明甲、乙的工作量只比为3：2。
可设这批工人有X人，每个工人的工效都为1，列式为：
3 4X：（
5
12
X+4）=3：2
6
4
X=
5
4
X+12
1
4
X=12
X=48
所以这批工人有48人。【答案】48人
模块二、工程问题方法与技巧整体分析法
【例11】甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙二人生产个数之和的1
2
，乙生产的个数是
甲、丙两人生产个数之和的1
3
，丙生产了50个。这批玩具共有_________________个.
【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】希望杯，六年级，二试
【解析】如果直接研究甲、乙、丙三者之间的关系，可能会略显复杂，我们需要引入一个中间量：甲乙丙三
人生产玩具数量的总和。甲是乙丙和的1
2
，则总和为3，甲占了1份，甲占了总数的
1
3
；乙是甲丙和
的1
3
，同理可知乙占了总数的
1
4
，那么可知丙生产的玩具占总数的
115
1
3412
--=，所以总数是5
50120
12
÷=（个）.
【答案】120个
【例12】几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问：共有多少名学生？
【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】西城实验
【解析】有12人全天都在甲地割草，设有人上午在甲地，下午在乙地割草．由于这人在下午能割完乙地的草
(甲地草的1
4
)，所以这些人在上午也能割甲地
1
4
的草，所以12人一天割了甲地
3
4
的草，每人每天割
草为31
12
416
÷=，全部的草为甲地草的
5
4
，
51
20
416
÷=，所以共有20名学生．
【答案】20名学生
【巩固】一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的
1
1
2
倍．上午去甲
工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有
7
12
的人去甲工地．其他工人到乙工地．到傍
晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，那么这批工人有多少人？
【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答
【解析】根据题意，这批工人的人数是12的倍数，设这批工人有12x人．
那么上午有9x人在甲工地，有3x人在乙工地；下午有7x人在甲工地，有5x人在乙工地．所以甲工地相当于()
9728
x x x
+÷=人做了一整天；乙工地相当于()
3524
x x x
+÷=人做了一整天．
由于甲工地的工作量是乙工地的工作量的3
2
倍，假设甲工地的工作量是3份，那么乙工地的工作量
是2份．8x人做一整天完成3份，那么4x人做一整天完成3
2
份，所以乙工地还剩下
31
2
22
-=份．这
1 2份需要4名工人做一整天，所以甲工地的3份需要
1
4324
2
??
?÷=
?
??
人做一整天，即824
x=，可得3
x=，那么这批工人有12336
?=(人)．
【答案】36人
【例13】有两个同样的仓库，搬运完其中一个仓库的货物，甲需要6小时，乙需要7小时，丙需要14小时．甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物，开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库
的货物同时搬完．则丙帮甲小时，帮乙小时．
【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】希望杯，六年级，2试
【解析】整个搬运的过程，就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束，共搬运了两个仓库的货物，所以它们完
成工作的总时间为
11121
2()
67144
÷++=小时．在这段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，丙
则在两个仓库都搬运过．甲完成的工作量是1217648?=，所以丙帮甲搬了71
188-=的货物，丙帮甲做
的时间为11318144÷=小时，那么丙帮乙做的时间为2131
13442
-=小时．
【答案】丙帮甲314小时，丙帮乙1
32
小时．
【巩固】 搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时．有同样的仓库A 和B ，甲在A 仓
库，乙在B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物．丙帮助甲、乙各搬运了几小时？
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 甲、乙、丙搬完两个仓库共用了：1112()8101215÷++=小时，丙帮助甲搬运了11
1831015??-?÷= ???小
时，丙帮助乙搬运了835-=小时．
【答案】5小时
【例 14】 甲、乙、丙三队要完成A ，B 两项工程，B 工程的工作量是A 工程工作量再增加
1
4
，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成A 工程所需要的时间分别是20天，24天，30天．现在让甲队做A 工程，乙队做B 工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B 工程若干天，然后再与甲队合做A 工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决，数学中化归的思想很重要，
即以一个为基准，把其他的量转化为这个量，然后进行计算，我们不妨设A 工程的工作总量为单位“1”，那么B 工程的工作量就是“5
4
”，那么这个问题就和例5联系到了一起了。 三队合作完成两项工程所用的天数为：51
111184202430????+÷+
+= ? ?????天。18天里，乙队一直在完成B 工作，因此乙的工作量为
13
18244
?=，B 剩下的工作量应该是由丙完成，因此丙在B 工程上用了531
154430??-÷
= ???
天也就是说两队合作了15天。 解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率?工作时间=工作总量，表示出各个工程队(人员)或其组合在统一标准和单位下的工作效率．
【答案】15天
【例 15】 甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12
小时，丙用15小时．第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同．甲在A 仓库，乙在B 仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完．丙在A 仓库搬了多长时间？
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 因为A 、B 两个仓库的工作量相同，所以甲、乙、丙如果都在其中一个大仓库工作，那么8小时可
以搬完．因为甲、乙、丙三人每小时的工作量的比是111
::6:5:4101215
=，所以甲每小时可以完成大
仓库工作量的161865420?=++，丙每小时可以完成大仓库工作量的141
865430?=++．那么甲16小
时完成了A 仓库的
1416205?=，丙在A 仓库搬了41
(1)6530
-÷=小时．
【答案】6小时
【例 16】 一项工程，乙单独做要17天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用
整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工．问：甲单独做需要几天？
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 甲、乙轮流做，如果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、乙轮流做
的天数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的．那么乙、甲轮流做比
甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做的．如果设甲、乙工作效率分别为1V 和2V ，那么1211
2V V V =+，
所以122V V =，乙单独做要用17天，甲的工作效率是乙的2倍，所以甲单独做需要1728.5÷=天．
【答案】8.5天
【例 17】 一项工程，甲单独完成需l2小时，乙单独完成需15小时。甲乙合做1小时后，由甲单独做1小时，
再由乙单独做1小时，……，甲、乙如此交替下去，则完成该工程共用________小时。
【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】希望杯，五年级，一试
【解析】 甲乙合做1小时后，还剩下：11171151220--=，
甲乙单独做2小时，共做113
151220
+=，还需要做2×5=10小时，还剩下
110，需要甲做1小时，还有111101260-=，乙还需要做111
60154
÷=小时，一共需要1+10+1+ 0.25=12.25小时
【答案】8.5天
【例 18】 一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替
甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 ① 若甲、乙两人合作共需多少小时？
1
1511171218365??÷+=÷
= ???
（小时）． ②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？ 1
135117112183636??-?+=-= ???． ③余下的1
36
由甲独做需要多少小时？
111
36123
÷=（小时）． ④共用了多少小时？
11
721433
?+=（小时）．
在工程问题中，转换条件是常用手法．本题中，甲做1小时，乙做1小时，相当于他们合作1小时，也就是每2小时，相当于两人合做1小时．这样先算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了．
【答案】1
143
小时
【巩固】 一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要10小时，如果接甲、乙、甲、乙．．．顺序交替工作，每
次1小时，那么需要多长时间完成？
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 甲1小时完成整个工程的16，乙1小时完成整个工程的1
10
，交替干活时两个小时完成整个工程的
11461015+=，甲、乙各干3小时后完成整个工程的443155?=，还剩下1
5，甲再干1小时完成整个工程的
16，还剩下130，乙花1
3
小时即20分钟即可完成．所以需要7小时20分钟来完成整个工程． 【答案】7小时20分钟
【巩固】 规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一
个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 根据题意，有：10.810.6++ 甲乙甲乙甲小时乙小时
乙甲乙甲乙小时甲小时
，可知，甲做10.60.4-=小时与乙做10.80.2-=小时
的工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时的工作量． 所以，乙单独工作需要9.85527.3-+÷=小时．
【答案】7.3小时
【例 19】 公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、
丙、……的顺序轮流打开1小时，恰好在打开水管整数小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________小时．
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，高年级，初赛 【解析】 考虑水池减去甲乙丙两小时总和后的容积，则此部分按照甲乙丙的顺序灌刚好在整数小时后灌满，
按照乙丙甲的顺序灌少用15分钟，按照丙乙甲的顺序灌多用15分钟，三个一起灌用20分钟．所以速度应该是乙最快，甲居中，丙最慢．也就是说，此部分是甲灌1个小时后灌满．甲灌1个小时的
水=乙灌45分钟的水=丙灌1个小时的水+乙灌15分钟的水．所以灌水速度甲∶乙∶
丙342∶∶=，也就是甲刚好是平均数．所以只用甲管灌满需要7小时．
【答案】7小时
【例 20】 为了创建绿色学校，科学俱乐部的同学设计了一个回收食堂的洗菜水来浇花草的水池，要求单独打开进水
管3小时可以把水池注满，单独打开出水管4小时可以排完满池水。水池建成后，发现水池漏水。这时，
若同时打开进水管和出水管14小时才能把水池注满。则当池水注满，并且关闭进水管与出水管时，经过 小时池水就会漏完。
【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】希望杯
【解析】 设满水池水位单位“1”，水池漏水相当于一个工作效率为1111
341484
--=的出水管，因此关闭进水管与出水
管，经过84小时池水就会漏完
【答案】84小时
【例 21】 蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需5小时；排光一池水，单开排水
管需3小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水……的顺序轮流各开1小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？(精确到分钟)
【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答
【解析】法一：
1小时排水比1小时进水多112
3515
-=，
121
3
21510
÷= ，说明排水开了3小时后（实际加上进水
3小时，已经过去6小时了），水池还剩一池子水的
1
10
，
再过1小时，水池里的水为一池子水的
113 10510
+=，
把这些水排完需要
319
10310
÷=小时，不到1小时，
所以共需要
99
617
1010
++=小时7
=小时54分．
法二：
1小时排水比1小时进水多112
3515
-=，
211
4
15230
?-=，
说明8小时以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的1
30
，
排一池子需要3小时，排一池子水的1
30
需要
11
3
3010
?=小时，
所以实际需要
19
87
1010
-=小时7
=小时54分．
【答案】7小时54分
【巩固】一项工程，甲、乙合作
3
12
5
小时可以完成，若第1小时甲做，第2小时乙做，这样交替轮流做，恰
好整数小时做完；若第1小时乙做，第2小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多1
3
小时，
那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？
【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答
【解析】若第一种做法的最后一小时是乙做的，那么甲、乙共做了偶数个小时，那么第二种做法中甲、乙用
的时间应与第一种做法相同，不会多1
3
小时，与题意不符．所以第一种做法的最后一小时是甲做的，
第二种做法中最后1
3
小时是甲做的，而这
1
3
小时之前的一小时是乙做的，所以乙
1
3
+甲=甲，得乙
2
3
=
甲．甲、乙工作效率之和为：
35
112
563
÷=，甲的工作效率为：
5231
(1)
6336321
÷+==，
所以甲单独做的时间为
1
121
21
÷=(小时)．
【答案】21小时
【例22】甲、乙、丙3队要完成A，B两项工程．B工程的工作量比A工程的工作量多1
4
．甲、乙、丙3
队单独完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天.为了同时完成这两项工程，先派甲队做A 工程，乙、丙两队共同做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程．那么，丙队与乙队合作了多少天?
【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答
【解析】设A项工程的工程总量为“1”，那么B工程的工程总量为5
4
，A、B两项工程的工程总量为1+
5
4
=
9
4
．而
甲、乙、丙合作时的工作效率为1
20
+
1
24
+
1
30
=
1
8
，甲、乙、丙始终在同时工作，所以两项工程同时
完成时所需的时间为9
4
÷
1
8
=18(天)．在这18天，乙完成18×
1
24
=
3
4
的工程量，则B工程中剩下的
5 4-
3
4
=
1
2
的工程量是由丙帮助完成，即
1
2
÷
1
30
=15(天)．即丙队与乙队合作了15天．
【答案】15天
【例23】蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需
要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有1
6
的水，若按
甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？【考点】工程问题【难度】5星【题型】解答
【解析】甲乙丙丁顺序循环各开1小时可进水：11117
345660
-+-=，循环5次后水池还空：
171
15
6604
--?=，
1 4的工作量由甲管注水需要：
113
434
÷=(小时)，所以经过
33
4520
44
?+=小时后水开始溢出水池．
【答案】
3 20
4
【例24】一件工程甲单独做50小时完成，乙单独做30小时完成．现在甲先做1小时，然后乙做2小时，再由甲做3小时，接着乙做4小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？
【考点】工程问题【难度】5星【题型】解答
【解析】甲、乙交替各做四次，完成的工作量分别为：135716
5050
+++
=，
246820
3030
+++
=，
此时剩下的工作量为
16201
1()
503075
-+=．还需甲做
112
75503
÷=(小时)，
所以共需
22 (1357)(2468)36
33
++++++++=(小时)．
【答案】
2
36
3
(小时)
【例25】甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天做完，若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则也比原计划多用半天．已知甲单独做完这件工作要10天，且三个人的工作效率各不相同，那么这项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？
【考点】工程问题【难度】5星【题型】解答
【解析】首先应确定按每一种顺序去做的时候最后一天由谁来完成．如果按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天由丙完成，那么按乙、丙、甲的顺序和丙、甲、乙的顺序去做时用的天数将都与按甲、乙、丙的顺序做用的天数相同，这与题意不符；如果按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天由乙完成，那么按
乙、丙、甲的顺序去做，最后由甲做了半天来完成，这样有
1
2
+=++
甲乙乙丙甲，可得
1
2
=
丙甲；
而按丙、甲、乙的顺序去做，最后由乙做了半天来完成，这样有
1
2
+=++
甲乙丙甲乙，可得
1
2
=
丙乙．那
么=
甲乙，即甲、乙的工作效率相同，也与题意不合．所以按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天是
由甲完成的．那么有
11
22
=+=+
甲乙丙丙甲，可得
3
4
=
乙甲，
1
2
=
丙甲．这项工作由甲、乙、丙三人
一起做，要用
1314
114
10429
??
??
÷?++=
?
??
??
??
天．
【答案】
4
4
9
天
【例26】甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，
若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用1
2
天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮
流工作一天，则比原计划多用1
3
天．已知甲单独完成这件工作需10.75天．问：甲、乙、丙一起做
这件工作，完成工作要用多少天？
【考点】工程问题【难度】5星【题型】解答
【解析】以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期．容易知道，第一种情况下一定不是完整周期内完成，但是在本题中，有两种可能，第一种可能是完整周期1
+天，第二种可能是完整周期2
+
天．如果是第一种可能，有
11
23
=+=+
甲乙丙丙甲，得
2
3
==
乙丙甲．然而此时甲、乙、丙的效率
和为
12228
1
10.7533129
??
?++=
?
??
，经过4个周期后完成
28112
4
129129
?=，还剩下
11217
1
129129
-=，而甲每天
完成
1412
10.7543129
==，所以剩下的
17
129
不可能由甲1天完成，即所得到的结果与假设不符，所以假
设不成立．
可得
11
23
+=++=++
甲乙乙丙甲丙甲乙，所以
1
2
=
丙甲，
3
4
=
乙甲．因为甲单独做需10.75天，所以
工作效率为4
43
，于是乙的工作效率为
433
43443
?=，丙的工作效率为
412
43243
?=．
于是，一个周期内他们完成的工程量为4329
43434343
++=．则需
9
14
43
??
÷=
??
??
个完整周期，剩下
97
14
4343
-?=的工程量；正好甲、乙各一天完成．所以第二种可能是符合题意的．于是，根据第二
种可能得出的工作效率，甲、乙、丙合作一天完成的工程量是9
43
，所以三人合作完成工作需要
9437
14
4399
÷==天．
【答案】
7
4
9
天
工程问题(三).教师版
工程问题 （三） 教学目标 1. 熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法； 2. 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理; 3. 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“ 1的统一和转换； 4. 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用. 知识精讲 工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“ 1'的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比 较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。 一、工程问题的基本概念 定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。工作总量：一般抽象成单位“1” 工作效率：单位时间内完成的工作量 三个基本公式：工作总量=工作效率4作时间， 工作效率=工作总量"作时间，工 作时间=工作总量 "作效率； 二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面： ①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题； ②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用； ③学会画线段示意图?线段示意图能直观地揭示量”与百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间 的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理； ④学会多角度、多侧面思考问题的方法?分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法?因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路. 三、利用常见的数学思想方法： 如代换法、比例法、列表法、方程法等 抛开工作总量”和时间”抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设把整个工程看成一个单位”，求得问题答案.一般情况下，工程问题求的是时间.
小学奥数 6-2-4 经济问题(一).教师版
1. 分析找出试题中经济问题的关键量。 2. 建立条件之间的联系，列出等量关系式。 3. 用解方程的方法求解。 4. 利用分数应该题的方法进行解题 一、经济问题主要相关公式： =+售价成本利润，100%100%-=?=?售价成本 利润率利润 成本成本； 1=?+售价成本（利润率），1=+售价 成本利润率 其它常用等量关系： 售价=成本×（1+利润的百分数）； 成本=卖价÷（1+利润的百分数）； 本金：储蓄的金额； 利率：利息和本金的比； 利息=本金×利率×期数； 含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）； 二、经济问题的一般题型 (1)直接与利润相关的问题： 直接与利润相关的问题，无非是找成本与销售价格的差价。 (2)与利润无直接联系，但是涉及价格变动的问题： 涉及价格变动，虽然没有直接提到利润的问题，但是最终还是转化成(1)的情况。 三、解题主要方法 1．抓不变量(一般情况下成本是不变量) ； 2．列方程解应用题． 摸块一，物品的出售问题 例题精讲 知识点拨 教学目标 经济问题（一）
（一）单纯的经济问题 【例 1】 某商店从阳光皮具厂以每个80元的价格购进了60个皮箱，这些皮箱共卖了6300元。这个商 店从这60个皮箱上共获得多少利润？ 【考点】经济问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 6300-60×80=1500（元） 【答案】1500 【例 2】 某商品价格因市场变化而降价，当初按盈利27%定价，卖出时如果比原价便宜4元，则仍可赚 钱25%，求原价是多少元？ 【考点】经济问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 根据量率对应得到成本为：()427%25%200÷-=，当初利润为：20027%54?=（元）所以 原价为：20054254+=（元） 【答案】254 【例 3】 王老板以2元/个的成本买入菠萝若干个，按照定价卖出了全部菠萝的4 5后，被迫降价为：5个 菠萝只卖2元，直至卖完剩下的菠萝，最后一算，发现居然不亏也不赚，那么王老板一开始卖出菠萝的定价为 元/个． 【考点】经济问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 降价后5个菠萝卖2元，相当于每个菠萝卖0.4元，则降价后每个菠萝亏20.4 1.6-=元，由于最 后不亏也不赚，所以开始按定价卖出的菠萝赚得的与降价后亏损的相等，而开始按定价卖出的菠萝的量为降价后卖出的菠萝的4倍，所以按定价卖出的菠萝每个菠萝赚：1.640.4÷=元，开始的定价为：20.4 2.4+=元． 【答案】2.4 【例 4】 昨天和今天，学校食堂买了同样多的蔬菜和肉，昨天付了250元，今天付了280元，原因如图 所示，那么，今天蔬菜付了 元。 【考点】经济问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】 采用假设法。如果都涨价10%，那么应该多付25010%25?=元，所以今天肉的总价为 (3025)(20%10%)50-÷-=元，那么蔬菜的总价为25050200-=元。 【答案】200元 【例 5】 奶糖每千克24元，水果糖每千克18元。买两种糖果花了同样多的钱，但水果糖比奶糖多4千 克。水果糖 千克，奶糖 千克。 【考点】经济问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】走美杯，四年级
八年级语文下册第一单元写作学习仿写教学设计新人教版
写作《学习仿写》 课时安排：一课时 课型：复习指导课 多媒体使用：使用 教学目标： 1．知识与能力：能够综合运用语文能力，逐步掌握语句以及语段的仿写方法。 2．过程与方法：通过观察材料，静心思考，寻找切入点完成仿写，并从主题、句式、修辞、措词、情感等方面进行修改。 3．情感态度与价值观：培养学生健康的审美情趣。 教学重点：领会仿写的方法。 教学难点：掌握修改的要领。 教学方法：优化讲练，指导修改。 学法指导：交流质疑，互相评改。 教学过程： 一、诗歌填词，自然导入 盛开的五月，迎来了一年一度的（填写一个节日名称），望着一束束鲜红的康乃馨，仿佛看到了慈祥可爱的母亲。 教师：请同学们在心里默默地想想这个节日的名称，然后把这首外国小诗朗诵出来。（母亲节） 你是从诗歌中哪些提示中感知到的？（五月，康乃馨，母亲……）曾经在06年陕西省综合性学习活动中，就有这样一种考查题型。 “综合性学习”是近年来中考试题的一个亮点。此类试题侧重于对同学们运用知识解决实际问题这一能力的考查，综合性逐渐增强。能力考查点有很多，今天我们一起交流的是“仿写”能力。 二、寻美之旅第一站：邀请学生参加“寻找最美妈妈”的综合性学习活动。
（一）教师：同学们，你认为怎样的妈妈最美？请你用一个词语或短语表明自己的观点。（陕西省中考综合性学习试题“活动二”） （二）【陕西省中考综合性学习“仿写”试题列举】 【（活动四）赞“美”】你推荐的候选人荣获了“最美妈妈”称号，请你给她写一则贺词。（2分） 要求：①仿照小诗划线部分拟写；②必须围绕你刚刚表明的观点；③字数不必完全相同。 我们这群母亲我的“最美妈妈”， 把和平的旋律您 摇进世界的心脏 ——（瑞典）沙克丝——爱您的××× 学生写完之后，教师指导修改：贺词是题型，实际考查的是仿写能力。 仿照内容：第一句为“贺词”的具体内容，其中“和平”为表明的观点。 “和平的旋律”是将“和平”这种愿望幻化为音乐的“旋律”。 仿照句式：第一句注意“把、将、用……（介词）”；第二句注意“动宾短语”。 还可以仿照修辞：“世界的心脏”（拟人）【高要求，不苛刻要求学生。】 答案示例一：您把勤劳的美德融入我的血液 答案示例二：您用无私仁爱的善举唤醒人们的良知 练习一预设达成目标：通过13年的仿写小诗的练习，领悟仿写“散句”的要求。 （三）明确综合性学习的考点： 教师：下面，让我们来看看《中考说明》中关于综合性学习考点的具体要求（教师撷取重点）——①筛选、提取并整合各类材料的信息。 ②运用多种方法，从不同的角度，进行多样化的探究，对具体社会现象或语言材料提出自己的看法。③探讨语言材料反映的人生价值、时代精神和人文思想。 教师：下面，我们就共同再来研读和探究一些材料，从而掌握“整句”仿写的方法。 三、【陕西省中考综合性学习“仿写”试题列举】 寻美之旅第二站：邀请学生参加“寻找最美汉字”的综合性学习活动。
最值问题(4年级培优)教师版
（1）如果两个正整数的和一定，那么这两个正整数的差越小，它们的乘积越大；两个正整数的差越大，它们的乘积越小。 （2）如果两个正整数的乘积一定，那么这两个正整数的差越小，那么它们的和也越小；两个正整数的差越大，那么它们的和也越大。 （3）把一个正整数分拆成若干个正整数之和，如果要使这若干个正整数的乘积最大，这些正整数应该都是2或3，且2最多不要超过两个。 （4）遇到一些其他类似的问题，求最大或最小还要根据实际的条件解决问题。 a 、 b 是1,2,3，…，99,100中两个不同的数， 求） －（）（b a b a ÷+的最大值。（四年级培优底稿） 分析：要使b a b a -+的值最大，必须让分母最小，分子最大。可以判断出b a -的最小值应是1，即a 、b 是两个连续自然数；b a +的最大值是199，即100=a ,99=b 。 解：当100=a ,99=b 时，b a b a -+有最大值19999 10099100=-+。 （题中a 、b 是两个变量，通过对它们的控制，使得分数的分子最大，分母最小，从而确保分数的值最大。考察了极端情形的方法） 难度系数：A
a 、 b 是5,7,9,…,195,197,199中两个不同的数，求(b a +)-(b a -)的最大值。（底稿） 分析：要使(b a +)-(b a -)的值最大，必须让被减数最大，减数最小。可以知道b a +的最大值是197+199=396，b a -的最小值是2。即199=a ,197=b 。 解：当199=a ,197=b 时，(b a +)-(b a -)有最大值 ()()394197199197199=--+ 难度系数：A “12345678910111213……484950”是一个位 数很多的多位数，从中划去80个数字，使剩下的数字（先后顺序不变）组成一个多位数，问这个多位数最大是多少？（三年级竞赛底稿） 解析：首先注意观察这个多位数，它是由1至50的连续自然数排列而成的，共有数字1×9+2×41=91（个），划去80个数字，剩下的将是一个11位数。要使剩下的多位数最大，应该保证较大的数字在较高的数位上。题中的多位数中一共含有5个“9”。显然前4个9应当保留下来，但当第五个9出现在第五位上时，就不能构成11位数。同样4个9后，如果是8，也不能组成11位数。划过去的过程如下图。 748495046414049383130392821202918111019876543211519191984434421ΛΛ4434421ΛΛ4434421ΛΛ43421ΛΛ4342 1个 划去个划去个划去个划去个划去//////////////////////////////////// 综上，剩下的数字组成的最大多位数是99997484950。 难度系数：B 从12位数376 247 859 165中划去6个数字，使剩下的6个数字（先后顺序不改变）组成的六位数最小。这个最小的六位数是多少？ 解析：要使删去6个数字后，所得的六位数是最小的，那么所得的数的最高位越小越好，不难想象最高位若是1，那么需要删除前面的7个数字，不合题意，因此最高位只能为2，从而2前面的三个数字都要删除，接下来同理考虑从最高位到最低位要依次尽可能的小，
2019年经济学知识竞赛题库及答案(精华版)
2019年经济学知识竞赛题库及答案 一、单选题 1.经济学研究的基本问题是（d ） A、怎样生产 B、生产什么，生产多少 C、为谁生产 D、以上都是 2.恩格尔曲线从（ b）导出 A、价格——消费曲线 B、收入——消费曲线 C、需求曲线 D、无差异曲线 3.我国M1层次的货币口径是 D 。 A、MI=流通中现金 B、MI=流通中现金+企业活期存款+企业定期存款 C、MI=流通中现金+企业活期存款+个人储蓄存款 D、MI=流通中现金+企业活期存款+农村存款+机关团体部队存款 4.格雷欣法则起作用于 B 。 A、平行本位制 B、双本位制 C、跛行本位制 D、单本位制 5.宏观经济学的中心理论是（c ） A、价格决定理论； B、工资决定理论； C、国民收入决定理论； D、汇率决定理论。 6.根据消费函数，引起消费增加的因素是（B） A、价格水平下降； B、收入增加； C、储蓄增加； D利率提高。 7.以下四种情况中，投资乘数最大的是（D）
A、边际消费倾向为0.6； B、边际消费倾向为0.4； C、边际储蓄倾向为 0.3； D、边际储蓄倾向为0.1。 8.IS曲线向右下方移动的经济含义是（A）。 A、利息率不变产出增加； B、产出不变利息率提高； C、利息率不变产出减少； D、产出不变利息率降低。 9.水平的LM曲线表示（A）。 A、产出增加使利息率微小提高； B、产出增加使利息率微小下降； C、利息率提高使产出大幅增加； D、利息率提高使产出大幅减少。 10.各国在进行货物贸易统计时对于出口额的资料以（a ） A、 FOB计价 B 、CIF计价 C、 CFR计价 D、 EXW计价 11.真正能够反映一个国家对外贸易实际规模的指标是（ a） A、对外贸易量 B、对外贸易额 C 、对外贸易依存度 D、对外贸易值 12.以货物通过国境为标准统计进出口的是（ c） A、无形商品贸易 B、过境贸易 C、总贸易体系 D、国境贸易 13.当一国的出口额大于其进口额时，称为（d ） A、国际收支逆差 B、国际收支顺差 C、对外贸易逆差 D、对外贸易顺差 14.有效竞争理论是由（ a）提出 A、克拉克 B、马克思 C、贝恩 D、霍夫曼 15.产业组织是指（a ） A、同一产业内企业间的组织或市场关系 B、产业中同类企业的总和
解析几何范围最值问题(教师)详解
第十一讲 解析几何范围最值问题 解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理. 一、几何法求最值 【例1】 抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足＋＝(－4，－12)． (1)求直线l 和抛物线的方程； (2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值． [满分解答] (1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)． 由????? y ＝kx －2，x 2＝－2py ， 得x 2＋2pkx －4p ＝0 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 所以＋＝(－4，－12)，所以??? ? ? －2pk ＝－4，－2pk 2 －4＝－12， 解得? ???? p ＝1，k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线方程为x 2＝－2y . (2)设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大． 对y ＝－12x 2求导，得y ′＝－x ，所以－x 0＝2，即x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，即P (－2，－2)． 此时点P 到直线l 的距离d ＝ |2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2 ＝45＝4 5 5. 由? ???? y ＝2x －2， x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4， |AB |＝ 1＋k 2· (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 1＋22·(－4)2－4·(－4)＝4 10. 于是，△ABP 面积的最大值为12×4 10×4 55＝8 2. 二、函数法求最值 【示例】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝ 2 3 ，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程； (2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． (1)由e ＝c a ＝ a 2－ b 2 a 2＝ 23，得a ＝3 b ，椭圆C ：x 23b 2＋y 2 b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2，
小学奥数 工程问题(二).教师版
工程问题（二） 教学目标 1.熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法； 2.工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分 段处理； 3.根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换； 4.工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中 的应用． 知识精讲 工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量 看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。 一．工程问题的基本概念 定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。 工作总量：一般抽象成单位“1” 工作效率：单位时间内完成的工作量
三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间， 工作效率=工作总量÷工作时间， 工作时间=工作总量÷工作效率； 二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面： ① 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题； ② 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用； ③ 学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理； ④ 学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路． 三、利用常见的数学思想方法： 如代换法、比例法、列表法、方程法等 抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间． 例题精讲
经济学基础试题及参考答案
2006～2007学年度第二学期《经济学基础》试卷（ A卷） 考试形式：开（√）、闭（）卷 题号一二三四五六七八总分统分人得分 注：学生在答题前，请将密封线内各项内容准确填写清楚，涂改及模糊不清者、试卷作废。 得分阅卷人 一、选择题（每小题 2 分，共 30 分。每题只有一 个正确答案，请将答案号填在题后的括符内） 1、1、资源的稀缺性是指：（ B ） A、世界上的资源最终会由于人们生产更多的物品而消耗光 B、相对于人们无穷的欲望而言，资源总是不足的 C、生产某种物品所需资源的绝对数量很少 D、企业或者家庭的财富有限，不能购买所需要的商品 3、2、作为经济学的两个组成部分，微观经济学与宏观经济学是：（ C ） A、互相对立的 B、没有任何联系的 C、相互补充的 D、宏观经济学包含微观经济学 3、宏观经济学的中心理论是：（B ）
A、失业与通货膨胀理论 B、国民收入决定理论 C、经济周期与经济增长理论 D、国民收入核算理论 4、在家庭收入为年均8000元的情况下，能作为需求的是（ C ） A、购买每套价格为5000元的的冲锋枪一支 B、购买价格为5万元的小汽车一辆 C、购买价格为2500元左右的彩电一台 D、以上都不是 5、当汽油的价格上升时，对小汽车的需求量将：（A ） A、减少 B、保持不变 C、增加 E、不一定 6、均衡价格随着：（ C ） A、需求与供给的增加而上升 B、需求的减少和供给的增加而上升 C、需求的增加与供给的减少而上升 D、需求与供给的减少而上升 7、在市场经济中，减少汽油消费量的最好办法是：（C ） A、宣传多走路、少坐汽车有益于身体健康 B、降低人们的收入水平 C、提高汽油的价格 D、提高汽车的价格 8、政府为了扶持农业，对农产品实行支持价格。但政府为了维持这个高于均衡价格的支持价格，就必须：（ B ） A、实行农产品配给制 B、收购过剩的农产品 C、增加对农产品的税收 D、给农民补贴 9、比较下列四种商品中哪一种商品需求的价格弹性最大：（ C ） A、面粉
仿写与复述训练
作文训练（一） ——运用复述与仿写进行作文训练 【训练目标】： 1、让学生学会运用复述与仿写的方法从日常生活中收集素材； 2、对学生运用复述与仿写的作文方法进行指导和训练； 3、培养学生细致观察生活的能力，养成积累素材的习惯。 【训练重难点】： 1、作文方法的指导和训练； 2、培养学生细致观察生活的能力，养成积累素材的习惯。 【课型】：作文课 【课时安排】：两课时 【训练过程】： 第一课时 一、回顾人物描写的几种方法： 文章要反映社会生活，而社会生活的中心是人，可以这样说，生活就是各种各样人物的活动，因此，我们应把人物描写作为写好文章的重点。 人物描写的运用很普遍，人物描写的目的是刻画人物的性格，表现人物的精神面貌，这同时也能更深刻地表达文章的中心。人物描写应力求具体生动，能做到绘声绘色地再现“人物”，让读者如见其人，如闻其声。 人物描写是描写中的一个最重要类别之一，它包括外貌描写、行动描写、对话描写、心理描写、神态描写等。 1、外貌描写： 外貌描写，又叫肖像描写，它是指对人物的外貌、情态、姿态、服饰等的描写。 2．动作描写： 动作描写，也叫行动描写，就是让人物用行动来表现自己，表现人物的个性、形象和心理等。行动是人物性格的具体表现，最能显示人物的性格特征。人物的一举手、一投足、一个姿势都能很好地表现人物的性格。所以对于人物行动的描写是展示人物性格、塑造人物形象的主要方式。 3．语言描写： 言为心声，人物的话语最易“泄露”人物心灵的秘密，最能灵活而直接地展示人物性格，它可以充分、细致地将人物的内心世界袒露出来，因此，人物的言
语描写是刻画人物形象的重要手段。 语言描写要反映人物的个性特征。由于时代、职业、身份、年龄等因素造成的差异，人们说话的内容、方式各有不同，语言描写就是要抓住能表现人物个性的语言，写出“这一个”来，使读者如闻其声，如睹其容。语言描写宜简洁得体，不可拖沓散漫，有悖人物身份。 语言描写主要表现为对话描写。 4．心理描写： 心理描写，是指刻画人物内在精神世界，描述人物思想感情和思想斗争历程的一种写人方法，是揭示人物的内在心灵世界，塑造人物形象，表达中心思想的主要手段。 5、神态描写： 神态是人的一种行为，指人脸各部分的动作和变化。人们常说：“脸是人感情的晴雨表。”这说明了神态与人物思想感情的关系是极为密切的，内心活动常常从人的脸部显示出来的。神态描写，就是指描写人物脸部的细微的表情和姿态。 要写好人物的神态，就要仔细观察人物神态的细微变化。不同年龄、不同性别的人在同一场合的神态往往是不一样的。年龄相近，性别相同的人，由于思想性格不同，对待同一件事，他们的神态也常常各不相同。即使是同一个人，碰到不同的情况时，他的神态也会不一样的，因此，学生平时必须注意观察各种人物的神态。 第二课时 一、复述指导： 教师念《父亲》一文（第⑥段文字不念），念两遍，让学生在进行复述与仿写之前整体感知即将进行复述与仿写的文章： 父亲 ①父亲是三天前的一个下午到家的。当时无人在家，他搁下背篓蹲在门口抽叶子烟。楼上的张婆以为是盲流，呵斥他走开。我向父亲求证此事时，他像犯了错的孩子，局促地搓着双手，目光游移，嗫嚅地说：“下次，我一定要穿周正点。” ②家里不宽敞，我们把父亲和儿子安排在一间屋里。父亲进屋不久，我就听见巴掌落在脸上的“啪”声。开门一看，儿子正大吵大闹：“你脏，你脏，不准你亲我，滚出去！”我对儿子动了武，妻子对我怒目而视。父亲垂着手，呆呆地站在一旁，这一夜很晚还听见父亲辗转反侧的声音。 ③次日早晨，妻用不友善的腔调对父亲交代：“茶几上有好烟，有烟缸，别抽
定弦定角最值问题(教师版)
定弦定角最值问题（答案版） 【例1】(2016·新观察四调模拟1)如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．2441- 解：∵∠CDP ＝∠ACB ＝45° ∴∠BDC ＝135°（定弦定角最值） 如图，当AD 过O ′时，AD 有最小值 ∵∠BDC ＝135° ∴∠BO ′C ＝90° ∴△BO ′C 为等腰直角三角形 ∴∠ACO ′＝45°＋45°＝90° ∴AO ′＝5 又O ′B ＝O ′C ＝4 ∴AD ＝5－4＝1 【例2】如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（ ） A ．213- B ．213+ C ．5 D ．9 16 解：连接AE ∵AD 为⊙O 的直径 ∴∠AEB ＝∠AED ＝90° ∴E 点在以AB 为直径的圆上运动 当CE 过圆心O ′时，CE 有最小值为213- 【练】(2015·江汉中考模拟1)如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．324-
解：连接CD ∴∠P AC ＝∠PDC ＝∠ACB ＝45° ∴∠BDC ＝135° 如图，当AD 过圆心O ′时，AD 有最小值 ∵∠BDC ＝135° ∴∠BO ′C ＝90° ∴O ′B ＝O ′C ＝4 又∠ACO ′＝90° ∴AO ′＝5 ∴AD 的最小值为5－4＝1 【例3】(2016·勤学早四调模拟1)如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（ ） A ．3612+ B ．336+ C ．3312+ D ．346+ 【练】(2014·洪山区中考模拟1)如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（ ） A ． 21 B ．22 C ． 2 3 D ．43
六年级奥数工程问题教师版
工程问题 一：基本类型 工程问题中的某项工程一般不给出具体的数量，首先，在解题时关键要把“一项工程”看作单位“1”，工作效率就用完成单位“1”所需的工作时间的倒数来表示；其次，在解答时要抓住三个基本数量：工作效率、工作时间和工作总量，并结合有关工程问题的三个基本数量关系式来列式解答。 模型一：工作效率（和）×工作时间=工作总量 模型二：工作总量÷工作效率（和）=工作时间 模型三：工作总量÷工作时间=工作效率（和） （一）先合作，后独作 例1、一条公路，甲队独修需24天完成，乙队独修需30天完成。甲、乙两队合修若干天后，乙队停工休息，甲队继续修了6天完成，乙队修了多少天？（A） 例2、修一条公路，甲队单独修20天可以修完，乙队单独修30天可以修完。现两队合修，中途甲队休息2.5天，乙队休息若干天，这样一共14天才修完。乙队休息了几天？（B级）
（二）丙先帮甲，再帮乙 例3、搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又去帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲搬运了几小时？（B级） （三）甲乙合作，中途有人休息 例4、一项工程，如果单独做，甲需10天完成，乙需15天完成，丙需20天完成。现在三人合作，中途甲先休息1天，乙再休息3天，而丙一直工作到完工为止。这样一共用了几天时间？（B级）
（四）独做化合做 例5、甲乙合做一项工程，24天完成。如果甲队做6天，乙队做4天，只能完成工程的1/5，两队单独做完成任务各需多少天？（B级） （五）合做变独做 例6、一项工程，甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成全工程的一半。已知甲、乙工作效率的比是2：3。如果由乙单独做，需要多少天才能完成？（B）
7-7-5 容斥原理之最值问题.教师版
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进 来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 教学目标 知识要点 7-7-5.容斥原理之最值问题 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数， 1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次， 多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---
小学六年级奥数教师讲义版工程问题.docx
百度文库- 让每个人平等地提升自我 六年级奥数第三讲工程问题 顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方 面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。 在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是： 工作量 =工作效率×工作时间， 工作时间 =工作量÷工作效率， 工作效率 =工作量÷工作时间。 工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1 表示，也可 工作效率指的是干工作的 快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、 分、秒等。 工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量 / 天”，或“工作量 / 时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。 例 1 单独干某项工程，甲队需 100 天完成，乙队需 150 天完成。甲、乙两队合干 50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位 1。甲队单独干需 100 天，甲的工作效 例 2 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45 天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18 天才完成任务。问：甲队干了多少天？ 分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干 18 天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”
例 3 单独完成某工程，甲队需 10 天，乙队需 15 天，丙队需 20 天。开始三个队一起干，因工作需要 甲队中途撤走了，结果一共用了 6 天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？ 分析与解：乙、丙两队自始至终工作了 6 天，去掉乙、丙两队 6 天的工作量，剩下的是甲队干的，所 以甲队实际工作了 例 4 一批零件，张师傅独做 20 时完成，王师傅独做 30 时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张 师傅比王师傅多做 60 个零件。这批零件共有多少个？ 分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间， 例 5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管 5 时可将空池灌满，单开排水管 7 时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管 1 时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？ 例 6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需 60 分钟，乙需 40 分钟。出发后 5 分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了 5 分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？ 分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者 的关系来解答。甲出发 5 分钟后返回，路上耽误10 分钟，再加上取东西的 5 分钟，等于比乙晚出发15
经济学基础试题及参考答案汇总
2006～2007学年度第二学期 《经济学基础》试卷（ A卷） 考试形式：开（√）、闭（）卷 题号一二三四五六七八总分统分人得分 注：学生在答题前，请将密封线内各项内容准确填写清楚，涂改及模糊不清者、试卷作废。 得分阅卷人 一、选择题（每小题 2 分，共 30 分。每题只有一 个正确答案，请将答案号填在题后的括符内） 1、1、资源的稀缺性是指：（ B ） A、世界上的资源最终会由于人们生产更多的物品而消耗光 B、相对于人们无穷的欲望而言，资源总是不足的 C、生产某种物品所需资源的绝对数量很少 D、企业或者家庭的财富有限，不能购买所需要的商品 3、2、作为经济学的两个组成部分，微观经济学与宏观经济学是：（ C ） A、互相对立的 B、没有任何联系的 C、相互补充的 D、宏观经济学包含微观经济学 3、宏观经济学的中心理论是：（B ） A、失业与通货膨胀理论 B、国民收入决定理论 C、经济周期与经济增长理论 D、国民收入核算理论 4、在家庭收入为年均8000元的情况下，能作为需求的是（ C ） A、购买每套价格为5000元的的冲锋枪一支 B、购买价格为5万元的小汽车一辆
C、购买价格为2500元左右的彩电一台 D、以上都不是 5、当汽油的价格上升时，对小汽车的需求量将：（A ） A、减少 B、保持不变 C、增加 E、不一定 6、均衡价格随着：（ C ） A、需求与供给的增加而上升 B、需求的减少和供给的增加而上升 C、需求的增加与供给的减少而上升 D、需求与供给的减少而上升 7、在市场经济中，减少汽油消费量的最好办法是：（C ） A、宣传多走路、少坐汽车有益于身体健康 B、降低人们的收入水平 C、提高汽油的价格 D、提高汽车的价格 8、政府为了扶持农业，对农产品实行支持价格。但政府为了维持这个高于均衡价格的支持价格，就必须：（ B ） A、实行农产品配给制 B、收购过剩的农产品 C、增加对农产品的税收 D、给农民补贴 9、比较下列四种商品中哪一种商品需求的价格弹性最大：（ C ） A、面粉 B、大白菜 C、点心 D、大米 10、若价格从3元降到2元，需求量从8个单位增加到10个单位，这时卖方的总收益：（ C ） A、增加 B、保持不变 C、减少 D、不一定
仿写句子专题练习
1.【2014年高考浙江卷】依据下面的示例仿写，要求句式、结构与示例相似，不得选择“月” “湖”“鱼”作为描述对象。 【示例】 弯月落在湖水中； 鱼儿游去了， 碎得月影半池—— 听见了嫦娥幽怨的歌声么？ 2.【2014年高考湖北卷】下面四个字是由象形字“人”（）变化组合而成的会意字。请 根据给出的古文字义，仿照“比”、“化”两例，用七字句描述“从”、“北”的形体结构与字义。要求：①形义描述合理；②押韵。 （从：跟随）（比：并列）（北：相背）（化：变化） 二人排齐向右站左人正立右倒画 亲密并列肩比肩人形颠倒表变化 3.【2013年高考山东卷】以下是某中学庆祝教师节文艺演出的一段主持词。仿照画线部分 的句式，在空缺处补写相应的语句。要求：句式一致，字数相等，语意相关。
学生甲：老师，您坚守一方净土，用粉笔书写忠诚，默默无闻； 学生乙：老师，您耕耘三尺讲台，①； 学生甲：加减乘除，算不尽您付出的辛劳； 学生乙：②。 1.【2017届山东师大附中高三上一模】有不少名人的名字来源于古代诗文。请仿照示例， 从“刘海粟（国画大师）、王朝闻（著名美学家）、周信芳（京剧艺术大师）、李行健（著名语言学家）”四个名人的名字中任选一个，写出相关的名句并对名字加以合理阐释。不要求句式及阐释角度完全一致，不超过80字。 示例：“呦呦鹿鸣，食野之苹。”著名科学家屠呦呦的名字就来源于此。这个名字让我们可以联想到这位科学家为中医药研究而生的诗意人生。 2.【2017届浙江温州中学高三月考】仿照第一节诗的表达，选择恰当的意象补写第二节诗， 要求语言生动、诗意连贯。 玩耍 孩子 找松鼠陪你去玩吧 在树杈上抓野果子 顺便向鸟儿问个好 孩子 3. 仿照下面的示例，自选话题，另写一句话，要求修辞手法，句式与示例相同。
六年级最值问题教师版
内容概述 均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的． 在日常生活中我们经常会遇到像下面这样的两类问题： 问题一：从A 地道B 地，可以乘火车，也可以乘汽车或乘轮船。一天中，火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。那么从A 地道B 地共有多少种不同的走法？ 问题二：从甲村到乙村有两条道路，从乙村去丙村有3条道路（如下图）。从甲村经乙村去丙村，共有多少种不同的走法？解决上述两类问题就是运用加法原理和乘法原理。 加法原理：为了完成一件事，有几类方法。第一类方法中有1m 种不同的方法，第二类方法中有2m 种不同的方法…….第n 类方法中有n m 种不同的方法。那么，完成这件事共有 12n N m m m =++???+种不同的方法。 乘法原理：为了完成一件事，需要n 个步骤。做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法。那么，完成这件事共有 12n N m m m =??????种不同的方法。 典型问题 2．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块? 【分析与解】 方法一：设这4袋为A 、B 、C 、D ，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A 、B 、C 袋糖有20、20、21块糖． 第34讲 最值问题
则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D 这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少． 这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块． 方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖， 有 61 61 61 61 a b c a b d a c d b c d ++≥ ? ? ++≥ ? ? ++≥ ? ?++≥ ? ① ② ③ ④ ，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥81 1 3 ,因为 a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82． 评注：不能把不等式列为 a b c60 a+b+d60 a+c+d60 b+c+d60 ++? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ① ② ③ ④ ，如果这样将①+②+③+④得到 3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况．如何避免,希望大家自己解决. 4．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值． 【分析与解】为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，FGH×IJ 尽可能的小． 则ABC×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93． 则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20． 所以AB C×DE-FG H×IJ的最大值为751×93-468×20=60483． 评注：类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×D E的最大值为640×82-379×15=46795． 6．将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少?
2019小学奥数-工程问题(教师版)
（1 工程问题 在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是：工作量=工作效率×时间.探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”. 解题关键是把“一项工程”看成1个单位，抓住数量关系：工作效率×工作时间=工作 总量，来解答。 要善于利用常见的数学思想方法，如假设法、转化法、代换法等。工作的先后顺序可以 改变（假设）； 要善于抓住工作效率之间的关系，并适当将它转化为工作时间和工作量之间的关系，这 样的转化和代换，往往能化难为易。 【例1】★用计算机录入一份书稿，甲单独做10天可以完成，乙单独做15天可以完成。那么，乙中途休息了天。 【解析】假设乙中途没有生病休息，那么甲、乙两个人8天完成的工作量为 14 +）×8= 10153 多完成的工作量就是乙休息时干出来的，所以乙休息的天数为 （41 -1）÷=5（天）315 【小试牛刀】一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？ 【解析】解一：甲做了3天，完成的工作量是311221 =，乙还需完成的工作量是1-=，要÷=4 933336 （天） 解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是（18-2×3）÷3=4（天） 解三：甲与乙的工作效率之比是6∶9=2∶3.甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天） 【例2】★★一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 【解析】乙效：61，乙需50天；甲效：111，甲需75天。 (1-)÷40=-= 3050305075 【例3】★★某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？