【精准解析】湖北省武汉市2020届高三下学期6月适应性考试(供题一)数学(理)试题

2020年高考（6月份）数学供题试卷（理科）

一、选择题（共12小题）．

1.已知集合{

}

2

|230A x N x x *=∈--<，则满足条件B ?A 的

集合B 的个数为（ ） A. 2 B. 3

C. 4

D. 8

【答案】C 【解析】 【分析】

先解一元二次不等式，由x N *∈确定出集合A 中元素个数，再由集合子集个数公式即可确定答案.

【详解】解：由2230x x --<解得：13x

.

x N *∈，1x ∴=或2.则{}1,2A =，

所以根据集合子集个数公式得满足条件B ?A 的集合B 的个数为224=. 故选：C .

【点睛】本题考查集合子集的个数，关键是解一元二次不等式，属于基础题. 2.已知复数2020

z i i

=-，则2z

i

=（ ） A. 0 B.

22

C. 1

2

【答案】B 【解析】 【分析】

根据i 的运算性质将z 化简，代入

2z

i

并化简，再求2z i 即可.

【详解】202045051z i i i i i ?=-=-=-，所以

21(1)111

222222

z i i i i i i i i ----====+-， 所以

22112

()()2222

z i =+=

.

故选：B

【点睛】本题主要考查i 的运算性质，复数的乘除运算及复数的模，属于基础题. 3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )

A. 2

n －1

B. 1

3()

2

n -

C. 1

2()

3

n - D.

1

12n - 【答案】B 【解析】 【分析】

由11n n n a S S ++=-把已知式转化{}n S 的递推式，从而知{}n S 是等比数列，可求得其通项公式． 【详解】由已知S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，

13

2

n n S S +=，而S 1＝a 1＝1，所以13

()2

n n S -=.故选：B.

【点睛】本题考查由n S 与n a 的关系式求数列{}n S 的通项公式，解题关键是利用

11n n n a S S ++=-把已知式转化{}n S 的递推式．

4.二项式8

21(1)x

-的展开式中4x -的系数为（ ） A. 28- B. 56-

C. 28

D. 56

【答案】C 【解析】 【分析】

由二项式定理可知218(1)r r r

r T C x -+=-??，令24r -=-，解出r 再代入即可得到答案. 【详解】由二项式定理可知8221881()(1)r r r r r r

r T C x C x ---+=??-=-??，

令24r -=-，得2r ，

所以8

21(1)x

-的展开式中4x -的系数为228(1)28C -?=. 故选：C

【点睛】本题主要考查求二项式展开式的通项公式的应用，属于基础题. 5.若0＜a ＜b ＜1，x ＝a b ，y ＝b a ，z ＝b b ，则x 、y 、z 的大小关系为（ A. x ＜z ＜y B. y ＜x ＜z

C. y ＜z ＜x

D. z ＜y ＜x

【答案】A 【解析】 【分析】

根据指数函数的单调性得到a b b b >，利用幂函数的单调性得到b b a b <，即得解． 【详解】因为01a b <<<， 故()x

f x b =单调递减； 故a b y b z b =>=，

幂函数()b

g x x =单调递增； 故b b x a z b =<=，

则x 、y 、z 的大小关系为：x z y <<； 故选：A

【点睛】本题主要考查指数函数和幂函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

6.某校有高中生1500人，现采用系统抽样法抽取50人作问卷调查，将高一、高二、高三学生（高一、高二、高三分别有学生495人、490人、515人）按1，2，3，…，1500编号，若第一组用简单随机抽样的方法抽取的号码为23，则所抽样本中高二学生的人数为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18

【答案】C 【解析】 【分析】

根据系统抽样的定义进行求解判断即可．

【详解】解：由系统抽样法知，按编号依次每30个编号作为一组，共分50组， 高二学生编号为496到985，在第17组到 33组内， 第17组编号为163023503?+=，为高二学生， 第33组编号为323023983?+=，为高二学生， 故所抽样本中高二学生的人数为3317117-+=． 故选：C ．

【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，结合系统抽样的定义是解决本题的关键，属于基础题．

7.函数(22)sin x

x y x -=-在[,]-ππ的图象大致为（ ）

A. B.

C. D.

【答案】A 【解析】 【分析】

先判断函数的奇偶性，再结合()00f =、2f π??

???

的正负可得正确的选项. 【详解】设()(22)sin x

x

f x x -=-，则()()()(22)sin x

x f x x f x --=--=，

故()f x 为[],ππ-上的偶函数，故排除B.

又2

22202f ππ

π-??=-> ???

，()00f =，排除C 、D.

故选：A.

【点睛】本题考查图象识别，注意从函数的奇偶性、单调性和特殊点函数值的正负等方面去判断，本题属于中档题.

8.已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=，点E 、F 分别在直线BC 、DC 上，

2BC BE DC DF λ==，，若1AE AF ?=，则实数λ的值为（ ）

A.

3

2

B. 5 3

C. 3

2

- D. 5

3

- 【答案】D 【解析】 【分析】

利用向量的线性运算将AE ，AF 用基底AB ，AD 表示，然后代入1AE AF ?=，即可求出λ的值.

【详解】

由已知可得11

22

AE AB BE AB BC AB AD =+=+

=+， 11

AF AD DF AD DC AD AB λλ

=+=+=+，

||||cos 22cos 602AB AD AB AD BAD ?=?∠=??=，

所以22111

()()(12

1)212AB A AE D AD AB AF AB AD AB AD ?==+

++?++λλλ 1115

(1)2444122λλλ

=+?+?+?=+=，

所以5

3

λ=-.

故选：D

【点睛】本题主要考查向量的线性运算，向量的数量积，属于基础题.

9.将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，则该数列为先减后增数列的

概率为（ ） A.

120

B. 7 60

C. 1 12

D. 7 24

【答案】B 【解析】 【分析】

根据题意，求出这五个数随机排成一列组成一个数列的所有可能情况，该数列为先减后增，可知1一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，结合1前面的情况，分类讨论求出满足条件的情况数，最后根据古典概型求出概率即可．

【详解】解：将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，

则所有可能情况有5

5120A =种情况，

由于该数列为先减后增，

则1一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种， 当1前面只有一个数时，有4种情况， 当1前面只有2个数时，有246C =种情况， 当1前面有3个数时，有4种情况， 故一共有46414++=， 故数列为先减后增数列的概率147

12060

p ==． 故选：B ．

【点睛】本题考查数学排列问题，考查分类加法计数原理、排列和组合在实际问题中的应用，以及古典概型的概率的公式，考查分类讨论思想和运算能力．

10.已知双曲线E ：()22

22100x y a b a b

-=＞，＞的左、右顶点分别为A 、B ，M 是E 上一点，

且ABM ，则双曲线E 的离心率为（ ）

B. 1

C.

D. 1

【答案】C 【解析】 【分析】

设M 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左支上，由双曲线的性质和等腰三角的性质得出

2MA AB a ==，设AMB ABM θ∠=∠=，则=2MAQ θ∠，结合条件利用正弦定理求出sin θ，

再由同角三角函数关系和二倍角公式求出cos ,sin 2,cos 2θθθ，根据直角三角形中任意角的三角函数可求出M 的坐标，代入双曲线方程，再由离心率公式即可得到所求值． 【详解】解：由题可知，ABM 为等腰三角形，

设M 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左支上，M 在x 轴上的

投影为Q ，

则2MA AB a ==，

设AMB ABM θ∠=∠=，则=2MAQ θ∠，

ABM

，

∴

22sin sin AB a R AMB θ

===∠，

解得：sin θ=

，则cos θ=，

sin 22θ∴==

611cos2933θ=-=， 在Rt MAQ △中，122cos 22,33

a

AQ a a θ=?=?

=

2sin 2233

MQ a a a θ=?=?

=， 则M 的坐标为2(3a a --，222)a ，即5(3a

-)，

代入双曲线方程可得2

2

2532199a b

-=，由222c a b =+， 可得223a c =，

即有=

=c

e a

． 故选：C ．

【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，涉及到正弦定理的应用、同角三角函数关系、二倍角以及任意角的三角函数等知识，考查化简计算能力.

11.已知函数()2sin()(0,1)6

x

f x a x xlna a a π

=+->≠，对任意1x ，2[0x ∈，1]，不等式

21|()()|2f x f x a --恒成立，则实数a 的取值范围是( )

A. 2[e ，)+∞

B. [e ，)+∞

C. (e ，2

]e

D. 2

(,)e e

【答案】A 【解析】 【分析】

对函数()f x 求导数，利用导数判断函数()f x 在[0，1]上的单调性，把不等式21|()()|2f x f x a --恒成立化为()()2max min f x f x a --，再解含有a 的不等式，从而求出a 的

取值范围．

【详解】解：结合题意，显然2a ， ()(1)cos()36

x f x lna a x π

π

'=-+

，

由[0x ∈，1]，2a ，得0lna >，10x a -，cos()036

x π

π

>，

故()0f x '>，()f x 在[0，1]递增，

故()max f x f =（1）1a lna =+-，()(0)1min f x f ==，

对任意1x ，2[0x ∈，1]，不等式21|()()|2f x f x a --恒成立， 即()()2max min f x f x a --，

112a lna a ∴+---，即2lna ，解得：2a e ，

故选：A ．

【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了数学转化思想方法，以及利用导数判断函数的单调性问题，属于中档题．

12.已知一圆锥底面圆的直径为3，，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（ ）

A. 3

C. 9

2

D.

2

【答案】B 【解析】 【分析】

根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a 的最大值．

【详解】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球， 设球心为P ，球的半径为r ，下底面半径为R ，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q ，圆锥的轴截面如图：

则32OA OB ==

，因为SO =，

故可得：3SA SB ==；

所以：三角形SAB 为等边三角形，故P 是SAB ?的中心， 连接BP ，则BP 平分SBA ∠，30PBO ∴∠=?；

所以tan 30r R

?=

，即32r ===

，

即四面体的外接球的半径为r =

另正四面体可以从正方体中截得，如图：

从图中可以得到，当正四面体的棱长为a 时，截得它的正方体的棱长为2

a ， 而正四面体的四个顶点都在正方体上，

故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，

所以126233r AA a a ==?=， 所以2a =

．

即a 的最大值为2． 故选：B ．

【点睛】本题考查了正四面体的外接球，将正四面体的外接球转化为正方体的外接球，是一种比较好的方法，本题属于难题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.函数()x

f x xe =(其中 2.71828e =)的图象在(0,0)处的切线方程是_____．

【答案】0x y -= 【解析】 【分析】

求出函数()f x 在0x =处的导数值(0)f '，即切线的斜率，由点斜式即可得切线方程.

【详解】由()x f x xe =，得()x x f x e xe '=+，所以切线的斜率0

(0)1k f e '===，

所以切线方程为00y x -=-，即0x y -=.

故答案为：0x y -=

【点睛】本题主要考查在一点处的切线方程的求法，同时考查常见函数的导数及两个函数积的导数，属于基础题.

14.观察如图数表：设数100为该数表中的第n 行，第m 列，则m n ?＝_____．

【答案】114 【解析】 【分析】

根据数表中每行第一个数的特征，结合底数为2指数幂的特征进行求解即可. 【详解】由数表可知：第一行第一个数为122=，第二行第一个数为：242=， 第三行第一个数为：382=，第四行第一个数为：4

82,=

因此可以归纳得到，第()x x N *

∈行第一个数为：2x ，

因为6721002<<，所以100是在第6行，因此6n =，

第6行第一个数为：62232=?，100250=?，所以100是第19个数，因此19m =， 因此196114m n ?=?= 故答案为：114

【点睛】本题考查了归纳推理的应用，属于基础题. 15.已知函数2

()cos ()1(0,0,0)2

π

f x A ωx φA ωφ=++>><<

的最大值为3，()f x 的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则(1)(2)f f +=_____． 【答案】3 【解析】 【分析】

利用二倍角公式可得()cos(22)122

A A

f x ωx φ=

+++，由函数的最大值可求出A ，由相邻两

条对称轴间的距离可求出周期，再利用周期公式可求出ω，将点(0,2)代入解析式可求出?，从而可得函数的解析式，即可求出(1)(2)f f +的值.

【详解】2

1cos(22)()cos ()11cos(22)1222

ωx φA A

f x A ωx φA ωx φ++=++=?

+=+++，

因为函数()f x 的最大值为3，所以1322

A A

++=，所以2A =，

由函数()f x 相邻两条对称轴间的距离为2，可得周期4T =，

所以222

T ππ

ω=

=，所以4πω=,

所以()cos(

2)22

π

f x x φ=++，又()f x 的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)， 所以cos 222?+=，所以cos20?=，又02

π

?<<，所以=

4

π?， 所以()cos(

)2sin 2222

πππ

f x x x =++=-+， 所以(1)(2)sin 2sin 2120232

π

f f π+=-+-+=-+-+=.

故答案为：3

【点睛】本题主要考查求三角函数的图象与性质，二倍角的余弦公式，诱导公式，属于中档题.

16.已知过抛物线2

:4C y x =焦点F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交圆22

20

x y x +-=于M ，N 两点，其中P ，M 位于第一象限，则11PM QN

+的最小值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】

设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，根据题意可设直线PQ 的方程为1x my =+，将其与抛物线C 方程联立可求出121=x x ，结合图形及抛物线的焦半径公式可得12||||1PM QN x x ?==，再利用

基本不等式，即可求出11

PM QN

+的最小值. 【详解】圆2

2

20x y x +-=可化为2

2

(1)1x y -+=，圆心坐标为(1,0)，半径为1，

抛物线C 的焦点(1,0)F ，可设直线PQ 的方程为1x my =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，

由214x my y x

=+??=?，得2440y my --=，所以124y y =-， 又2

1

14y x =，22

24y x =，所以22

2

121212()14416

y y y y x x =?==，

因为1212||||(||||)(||||)(11)(11)1PM QN PF MF QF NF x x x x ?=--=+-+-==，

所以

111122PM QN PM QN

+≥?=，当且仅当||||1PM QN ==时，等号成立. 所以11

PM QN

+的最小值为2. 故答案为：2

【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，基本不等式求最值，考查基本运算能力，属于中档题.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，其面积S 222

4

b c a +-=．

（1）若a 6=

b 2=cos B ．

（2）求sin （A +B ）+sin B cos B +cos （B ﹣A ）的最大值．

【答案】（1

（2）52.

【解析】 【分析】

（1）根据面积S 222

4b c a +-=结合面积公式和余弦定理化简可得sin cos A A =，解得

4

A π

=

，然后根据

a =

b =sin B ，再利用平方关系求解.

（2）由（1）知4

A π

=

，sin （A +B ）+sin B cos B +cos （B ﹣A ）

，可化为

()sin cos sin cos B B B B ++，

令sin cos 4t B B B π?

?=+=+ ??

?，转化为二

次函数求解.

【详解】（1）因为三角形面积为S 222

1sin 24+-==b c a bc A ，

所以222

sin cos 2b c a A A bc

+-==，

解得 4

A π

=，

因

a =

b =

由正弦定理得：

sin sin a b A B

=，

所以

sin sin =

==b A

B a

，

因为a b >， 所以A B >， 所以B 为锐角，

所以cos =

B （2）由（1）知4

A π

=

，

所以sin （A +B ）+sin B cos B +cos （B ﹣A ），

sin sin cos cos 44B B B B ππ????=+++- ? ????

?，

2222

sin cos sin cos sin cos 2222

B B B B B B =

++++，()2sin cos sin cos B B B B =

++，

令sin cos 2sin 4t B B B π?

?=+=

+ ??

?，

因为30,

,,4

44ππππ?

???∈+∈ ?

??

?

??B B ， 所以sin (0,1]4π?

?

+

∈ ??

?

B ， 所以(0,2]t ∈，

原式(

)

22

2

1

113

222

2

2

22

2

t t t t t -=+

=

+

-=+

-

， 当2,4

π

==

t B 时，原式取得最大值

52

. 【点睛】本题主要考查三角形面积公式余弦定理、同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和与差的三角函数以及二次函数的性质，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

18.如图所示，多面体是由底面为ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而得到的，该直四棱柱的底面为菱形，其中2AB =，5CF =，1BE =，60BAD ∠=．

(1)求BG 的长；

(2)求平面AEFG 与底面ABCD 所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1) 25；(2)34

【解析】 【分析】

(1)由面面平行的性质定理可知，四边形AEFG 为平行四边形，以菱形对角线的交点为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出向量BG 坐标，再求||BG 即可；

(2)分别求出平面AEFG 与底面ABCD 的法向量，利用向量的夹角公式求出法向量的夹角余弦值，进而可求出平面AEFG 与底面ABCD 所成锐二面角的余弦值．

【详解】因为多面体是由底面为ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而得到的， 所以平面ADG //平面BCFE ，又平面ADG

平面AEFG AG =,平面BCFE ?平面

AEFG EF =,

所以//AG EF ，同理//AE GF ，所以四边形AEFG 是平行四边形，

连结AC ,BD 交于O ，以O 为原点，,OB OC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则

(0,3,0)A ，(1,0,0)B ，(1,0,1)E ，3,5)F ，

所以(3,4)AG EF ==-，(1,3,0)AB =，

所以(2,0,4)BG AG AB =-=-，所以22||(2)0425BG =-++=所以BG 的长为5

(2)根据题意可取平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =，

由(1)

知(4)AG =-

，(1,AE =，设平面AEFG 的法向量为(,,)n x y z =，则

由00n AE n AG ??=??=?

，得040

x z x z ?++=??-+=??

，即32y x z ?=????=??

，

令23z =

，则x =，5y =-

，所以(33,5,n =

-，

所以cos ,4||||1m n m n m n

???=

==??，

所以平面AEFG 与底面ABCD . 【点睛】本题主要考查面面平行的性质定理，线段长的求法及二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

19.已知2

2

2

:4)(0E x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点

A ，

B ，线段AB 的中点为M ．

（1）若2m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF 的范围； （2）若l 过点(,

)2

m

m ，射线OM 与椭圆E 交于点

P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．

【答案】（1）[]2,1-；（2）k =. 【解析】 【分析】

（1）求得焦点坐标，设(,)K x y ，运用向量数量积的坐标表示，结合椭圆的范围，可得所求范围；

（2）设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，运用中点坐标公式和点差法，直线的斜率公式，结合平行四边形的性质，即可得到所求斜率．

【详解】解：（1）2m =时，椭圆2

2:14

x E y +=

，两个焦点1(F ，)

，2F 0)，

设(,)K x y ，可得2

214

x y +=，即2244x y =-，

1(F K x =+，)y

，2(F K x =)y ， 2221212331KF KF F K F K x y y ==-+=-+，

因为11y -，

所以12KF KF 的范围是[]2,1-；

（2）设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，可得12

(

2

x x M +，12)2y y +， 则222

11222

2244x y m x y m

?+=?+=?，两式相减可得12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=， 12121212()()

14

0()()

y y y y x x x x +-+=+-，即140OM l k k +=，

故14OM l k k =-，又设(P P x ，)P y ，直线:()(0,0)2

m

l y k x m m k =-+≠≠，

即直线l 的方程为2

m

y kx km =-+

， 从而1:4OM y x k =-，代入椭圆方程可得，222

2

414P m k x k =+，

由()2m y k x m =-+与14y x k

=-，联立得224214M k m km

x k -=+，

若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点， 所以2M

P x x =，即222

222

4244()14

14k m km m k k k

-=++，整理可得2

121630k k -+=， 解得k =

，经检验满足题意， 所以当k =

时，四边形OAPB 为平行四边形． 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用点差法，考查向量数量积的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

20.某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP 普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫

部门制定了下列两种可供选择的方案．

方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．

方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验

1

k

次）；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k 个人的血总共需要化验1k +次．

假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立． （1）设方案②中，某组k 个人的每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列；

（2）设0.1p =，试比较方案②中，k 分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）

【答案】（1）详解见解析；（2）690，604，594；406. 【解析】 【分析】

（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，依题意知X 的可能取值，计算分布列即可； （2）方案②中计算每个人的平均化验次数()E X ，分别求出2k =、3、4时()E X 的值，再与方案①比较，即可得出所求．

【详解】解：（1）由题可知，每个人的血样化验呈阳性的概率为p ， 设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则1q p =-，

所以k 个人的混合后呈阴性的概率为k

q ，呈阳性反应的概率为1k

q -， 依题意知X 的可能取值为1k ，1

1k

+， 所以X 的分布列为；

（2）方案②中，结合（1）知每个人的平均化验次数为：

111

()(1)(1)1k k k E X q q q k k k

=

++-=-+； 所以当2k =时，21

()0.910.692

E X =

-+=， 此时1000人需要化验的总次数为690次； 当3k =时，31

()0.910.60433

E X =

-+≈， 此时1000人需要化验的总次数为604次； 当4k =时，41

()0.910.59394

E X =

-+=， 此时1000人需要化验的总次数为594次；

即2k =时化验次数最多，3k =时化验次数居中，4k =时化验次数最少， 而采用方案①需要化验1000次， 所以在这三种分组情况下，相比方案①，

4k =时化验次数最多可以平均减少1000594406-=（次)．

【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，考查运算求解能力，是中档题．

21.已知函数()f x 满足22

2(1)()2(0)2

x f f x x f x e -'=

+-，21

()(1)24

x g x f x a x a ??=-+-+ ???，x ∈R ．

（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()g x 的单调区间；

（3）当2a ≥且1x ≥时，求证：

1ln ln x e

x e a x x

--<+-． 【答案】（1）22()2x

f x e

x x =+-；（2）当0a ≤时，函数()g x 的单调递增区间为()-∞+∞，，

当0a >时，函数()g x 的单调递增区间为()ln a +∞，，单调递减区间为()ln a -∞，；（3）详见

解析. 【解析】 【分析】

（1）由已知中22

2(1)()2(0)2

x f f x x f x e -'=

+-，可得22()(1)22(0)x f x f e x f -''=?+-，