一次函数经典例题
类型一:正比例函数与一次函数定义
1、当m 为何值时,函数y=-(m-2)x +(m-4)是一次函数?思路点拨:某函数是一次函
数,除应符合y=kx+b 外,还要注意条件k≠0.解:∵函数y=-(m-2)x +(m-4)是一次函数,
∴∴ m=-2.
∴当m=-2 时,函数y=-(m-2)x +(m-4)是一次函数.举一反三:
【变式 1】如果函数是正比例函数,那么().
A.m=2 或m=0 B.m=2 C.m=0 D.m=1
【答案】:考虑到x 的指数为1,正比例系数k≠0,即|m-1|=1;m-2≠0,求得m=0,选C
【变式2】已知y-3 与x成正比例,且x=2时,y=7.
(1)写出y 与x 之间的函数关系式;
(2)当x=4时,求y的值;
(3)当y=4时,求x的值.解析:(1)由于y-3 与x 成正比例,所以设y-3=kx.
把x=2,y=7 代入y-3=kx 中,得
7-3 =2k,∴ k =2.∴ y与x 之间的函数关系式为y-3=2x,即
y=2x+3.
( 2 )当x=4 时,y=2×4+3=11.
( 3 )当y = 4 时,4=2x+3 ,∴x= .
类型二:待定系数法求函数解析式
、求图象经过点(2,-1),且与直线y=2x+1 平行的一次函数的表达式.
思路点拨:图象与y=2x+1 平行的函数的表达式的一次项系数为2,则可设此表达式为
y=2x+b,再将点(2,-1)代入,求出b 即可.
解析:由题意可设所求函数表达式为y=2x+b,∵图象经过点( 2 ,-1 ),∴ -l=2×2+b.∴ b=-5,∴所求一次函数的表达式为y=2x-5.
总结升华:求函数的解析式常用的方法是待定系数法,具体怎样求出其中的待定系数的值,要根据具体的题设条件求出。
举一反三:
【变式 1 】已知弹簧的长度y (cm)在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x(kg )的一次函数,现已测得不挂重物时,弹簧的长度为6cm,挂4kg 的重物时,弹簧的长度是7.2cm,
求这个一次函数的表达式.分析:题中并没给出一次函数的表达式,因此应先设一次函数的表达式y=kx+b,再由已知条件可知,当x=0时,y=6;当x=4时,y=7.2.求出k,b即可.
解:设这个一次函数的表达式为y=kx+b.由题意可知,当x=0 时,y=6 ;当x=4 时,y=7.2. 把它们代入y=kx+b 中得
∴这个一次函数的表达式为y=0.3x+6.
【变式2】已知直线y=2x+1.
(1)求已知直线与y轴交点M 的坐标;
(2)若直线y=kx+b 与已知直线关于y 轴对称,求k,b 的值.解析:
∵直线y=kx+b 与y=2x+l 关于y 轴对称,∴两直线上的点关于y 轴对称.
又∵直线y=2x+1 与x 轴、y 轴的交点分别为A(- ,0),B(0,1), ∴A(- ,0),B (0,1)关于y 轴的对称点为A′(,0),B′(0,1).∴直线y=kx+b 必经过点A′(,0),B′(0,1).
把A′(,0 ),B′(0, 1 )代入y=kx+b 中得
∴k=-2,b=1.
所以(1)点M(0,1)(2)k=-2,b=1
【变式3】判断三点A(3,1),B(0,-2),C(4,2)是否在同一条直线上.分析:由于两点确定一条直线,故选取其中两点,求经过这两点的函数表达式,再把第三个点的坐标代入表达式中,若成立,说明第三点在此直线上;若不成立,说明不在此直线上.
解:设过 A ,B 两点的直线的表达式为y=kx+b.
由题意可知,
∴过 A ,B 两点的直线的表达式为y=x-2.
∴当x=4 时,y=4-2=2.
∴点 C ( 4 ,2)在直线y=x-2 上.
∴三点 A ( 3 ,1), B (0 ,-2 ), C (4, 2 )在同一条直线上.
类型三:函数图象的应用
、图中的图象(折线ABCDE)描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中,汽车离
出发地的距离 s(km)和行驶时间 t(h)之间的函数关系,根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)_____________________ 汽车共行驶了 km ;
(2)_____________________________ 汽车在行驶途中停留了 h ;
(3)________________________________________ 汽车在整个行驶过程中的平均速度为 __________________________________________________ km/h ;
(4)_____________________________________________ 汽车自出发后 3h 至 4.5h 之间行驶的方向是 ___________________________________________ .
思路点拨:读懂图象所表达的信息,弄懂并熟悉图象语言.图中给出的信息反映了行驶过程 中时间和汽车位置的变化过程,横轴代表行驶时间,纵轴代表汽车的位置.图象上的最高点 就是汽车离出发点最远的距离. 汽车来回一次,共行驶了 120×2=240(千米),整个过程用时
4.5 小时,平均速度为 240÷4.5= (千米/时),行驶途中 1.5时—2 时之间汽车没有行驶.
解析:(1)240; (2)0.5; (3) ; (4)从目的地返回出发点.
总结升华:这类题是课本例题的变式,来源于生活,贴近实际,是中考中常见题型,应注 意行驶路程与两地之间的距离之间的区别.本题图象上点的纵坐标表示的是汽车离出发地的 距离,横坐标表示汽车的行驶时间.
举一反三:
【变式1】图中,射线 l 甲、l 乙
分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程 s 与时 间 t 的函数关系,求它们行进的速度关系。
解析:比较相同时间内,路程 s 的大小.在横轴的正方向上任取一点,过该点作纵轴的平行 线,比较该平行线与两直线的交点的纵坐标的大小.所以.甲比乙快
【变式2】( 2011 四川内江)小高从家骑自行车去学校上学,先走上坡路到达点 A ,再走 下坡路到达点 B ,最后走平路到达学校,所用的时间与路程的关系如图所示。放学后,如果 他沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致,那么他从学校
到家需要的时间是( )
A.14 分钟
【答案】:D 分析:由图象可知,上坡速度为 80 米/分;下坡速度为 200 米 / 分;走平路速 度为 100 米/分。原路返回,走平路需要 8分钟,上坡路需要 10分钟,下坡路需要 2 分钟, 一共20分钟。
【变式 3】某种洗衣机在洗涤衣服时, 经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程, 其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量 y (升)与时间 x (分钟)之间的关系如图所示:
根据图象解答下列问题:
( 1 )洗衣机的进水时间是多少分钟?清洗时洗衣机中的水量是多少升? ( 2 )已知洗衣机的排水速度为每分钟 19 升 .
①求排水时 y 与 x 之间的关系式;
②如果排水时间为 2 分钟,求排水结束时洗衣机中剩下的水量. 分析:依题意解读图象
可知:从 0—4 分钟在进水,4—15 分钟在清洗,此时,洗衣机内 有水 40 升,15 分钟后开始放水.
解:( 1 )洗衣机的进水时间是 4 分钟;清洗时洗衣机中的水量是 40 升;
(2 )①排水时 y 与 x 之间的关系式为: y=40-19(x-
15) 即 y=-19x+325
②如果排水时间为 2 分钟,则 x-15=2 即 x=17 ,此时, y=40-19×2=2. 所以,排
水结束时洗衣机中剩下的水量为 2 升 .
类型四:一次函数的性质
己知一次函数y=kx 十b 的图象交x 轴于点A (一6,0),交y 轴于点B ,且△AOB
的面积为 12,y 随 x 的增大而增大,求 k ,b 的值.
思路点拨:设函数的图象与 y 轴交于点 B (0,b ),则 OB= ,由△AOB 的面积,可求出 b , 又由点 A 在直线上,可求出 k 并由函数的性质确定 k 的取值.
解析:直线 y=kx 十 b 与 y 轴交于点 B (0,b ),点 A 在直线上,则 ①,
由于 y 随 x 的增大而增大,则 k > 0, 取
则 . 总结升华:该题考查的是待定系数法和函数值,仔细观察所画图象,找出隐含条件。
举一反三:
【变式1】已知关于 x 的一次函数
.
(1)m 为何值时,函数的图象经过原点?
(2)m 为何值时,函数的图象经过点(0,-2)?
(3)m 为何值时,函数的图象和直线 y=-x 平行
? 解得 代入①,可得
4)m 为何值时,y 随x 的增大而减小?
解析:
1)由题意,m 需满足
故m=-3时,函数的图象经过原点;
2)由题意得:m 需满足,
故时,函数的图象经过点(0 ,-2);
3)由题意,m 需满足,
故m=4时,函数的图象平行于直线y=-x;
4)当3-m<0 时,即m>3 时,y 随x 的增大而减小.
变式 2】函数在直角坐标系中的图象可能是().
答案】:B;分析:不论k 为正还是为负,都大于0,图象应该交于x 轴上方。故选B 类型五:一次函数综合
5 、已知:如图,平面直角坐标系中,A (1,0 ),B (0,1 ),C (-1 ,
0 ),过点C 的直线绕C 旋转,交y轴于点D,交线段AB于点E。
( 1 )求∠ OAB 的度数及直线AB 的解析式;
( 2 )若△OCD 与△BDE 的面积相等,①求直线CE 的解析式;②若y 轴上的一点P 满足∠APE=45°,请直接
写出点P 的坐标。
思路点拨:(1)由A,B 两点的坐标知,△AOB为等腰直角三角形,所以∠OAB=45°(2)△OCD 与△BDE 的面积相等,等价于△ACE 与△AOB 面积相等,故可求 E 点坐标,从而得到CE 的解析式;因为 E 为AB中点,故P 为(0,0)时,∠APE=45°.
解析:(1 )∵A ( 1 ,0 ), B (0 ,1 ),
∴OA=OB=1,△AOB 为等腰直角三角形
∴∠OAB=45°
设直线AB 的解析式为:y=kx+b, 将 A ( 1 ,0 ), B (0 ,1)代入,
2)①∵解得k=-1,b=1
∴直线AB 的解析式为:y=-x+1
,将其代入y=-x+1,得 E 点坐标()
设直线CE为y=kx+b,将点C(-1,0),点E()代入
,解得k=b=
∴直线CE 的解析式:
②∵点 E 为等腰直角三角形斜边的中点
∴当点P (0,0)时,∠APE=45°.
总结升华:考虑面积相等这个条件时,直接算比较困难,往往采取补全成一个容易计算的面积来解决问题。
举一反三:
【变式 1】在长方形ABCD 中,AB=3cm,BC=4cm,点P 沿边按A→B→C→D 的方向向点D 运动(但不与A,D 两点重合)。求△APD的面积y()与点P所行的路程x(cm)之
当P 点在BC上运动时,
当P点在CD上运动是,
【变式2】如图,直线
与x 轴y 轴分别交于点E 、F ,点E 的坐标为(-8,0),点
A 的坐标为( -6 , 0 )。
( 1 )求 的值; ( 2)若点 P ( , )是第二象限内的直线上的一个动点,在点 P 的运动过程中,试写 出△OPA 的面积
S 与 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围;
( 3 )探究:在( 2 )的条件下,当点 P 运动到什么位置时,△ OPA 的面积为 ,并说 明理由。
代入 ,算出 P 点纵坐标为
当 P 点的坐标为 时,△OPA 的面积为 . 解:(1)将 E (-8,0)代入
-8 ( ) (3)令 ,解得 函数图象变换 1、平移变换(左加右减上加下减): y=f(x)h 左移→y=f(x+h); y=f(x)h 右移→y=f(x -h); y=f(x)h 上移→y=f(x)+h; y=f(x)h 下移→y=f(x)-h. 2、对称变换: y=f(x) 轴x →y= -f(x); y=f(x) 轴y →y=f(-x); y=f(x) 原点 →y= -f(-x). y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x); y=f(x) x y =→直线y=f -1(x); 3、翻折变换: (1)函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方, 去掉原x 轴下方部分,并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到; (2)函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左 边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到. 4、伸缩变换: y=f(x)ω?→x y=f(ωx ); y=f(x)ω ?→y y=ωf(x). 经典题型:作已知函数的图像、知式选图或知图选式、图像应用 例1.函数1 11--=x y 的图象是( ) 答案B 例2.如图所示,)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在]1,0[上的四个函数,其中满足性质:“对]1,0[中任意的1x 和2x ,)]()([2 1)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有( ) 答案A 例3、利用函数x x f 2)(=的图象,作出下列各函数的图象: (1))1(-x f ;(2)|)(|x f ;(3)1)(-x f ;(4))(x f -;(5).|1)(|-x f 例4已知0>a ,且≠a 1,函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的( ) 答案B 例5函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象如右上,则函数)(x f y =·)(x g 的图象是( ) 答案A 例6 已知函数y =f (x )的周期为2,当x ∈[-1,1]时f (x )=x 2,那么函数y =f (x )的图象与函数y =|lg x |的图象的交点共有( ). A .10个 B .9个 C .8个 D .1个 解析:画出两个函数图象可看出交点有10个.答案 A 高中数学必修一第一章《集合与函数概念》综合测 试题试题整理:周俞江 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正 确答案的代号填在题后的括号内(本大题共12个小题, 每小题5分,共60分). 1.已知全集}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ,则=B A I ( ) A. }{5,4,3,2,1 B.{}3,2,1 C.{}3,2 D.{}7,6,3 2. 若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<,则A Y B=( ) A . {}|0x x ≤ B .{}|2x x ≥ C .{0x ≤≤ D .{}|02x x << 3 .在下列四组函数中,f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A.x x y y ==,1 B .1,112-=+?-=x y x x y C.55 ,x y x y == D .2)(|,|x y x y == 4.函数x x x y +=的图象是( ) 5.0≤f 不是映射的是A .1:3f x y x ?? →= B .1 :2 f x y x ??→= C .1:4f x y x ??→= D .1:6f x y x ??→= 6.函数y =f (x )的图象与直线x =1的公共点数目是( ). A .1 B .0 C .0或1 D .1或2 7.函数1)2(++=x k y 在实数集上是增函数,则k 的范围是( ) A .2-≥k B .2-≤k C .2->k D .2- 9.有下面四个命题: ①偶函数的图象一定与y 轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点; ③偶函数的图象关于y 轴对称; ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f (x )=0(x ∈R ). 其中正确命题的个数是( ). A .1 B .2 C .3 D .4 10.图中阴影部分所表示的集合是( ) A.B ∩[C U (A ∪C)] B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.[C U (A ∩C)]∪B 11.若函数))(12()(a x x x x f -+= 为奇函数,则=a ( ) A.21 B.32 C.43 D.1 12.已知函数x x x x f 22 11)11(+-=+-,则函数)(x f 的解析式可以是( ) A.x x 21+ B.x x 212+- C.x x 212+ D.x x 21+- 13.二次函数y =x 2+bx +c 的图象的对称轴是x =2,则有( ). A .f (1)<f (2)<f (4) B .f (2)<f (1)<f (4) C .f (2)<f (4)<f (1) D .f (4)<f (2)<f (1) 14.已知函数[](]?????∈--∈-=5,2,32,13)(,2x x x x f x 则方程1)(=x f 的解是( ) A.2或2 B.2或3 C.2或4 D.±2或4 15.函数()f x 的定义域为),(b a ,且对其内任意实数12,x x 均有:1212()[()()]0x x f x f x --<,则()f x 在),(b a 上是 A .增函数 B .减函数 类型一:正比例函数与一次函数定义 1、当m 为何值时,函数y=-(m-2)x +(m-4)是一次函数?思路点拨:某函数是一次函 数,除应符合y=kx+b 外,还要注意条件k≠0.解:∵函数y=-(m-2)x +(m-4)是一次函数, ∴∴ m=-2. ∴当m=-2 时,函数y=-(m-2)x +(m-4)是一次函数.举一反三: 【变式 1】如果函数是正比例函数,那么(). A.m=2 或m=0 B.m=2 C.m=0 D.m=1 【答案】:考虑到x 的指数为1,正比例系数k≠0,即|m-1|=1;m-2≠0,求得m=0,选C 【变式2】已知y-3 与x成正比例,且x=2时,y=7. (1)写出y 与x 之间的函数关系式; (2)当x=4时,求y的值; (3)当y=4时,求x的值.解析:(1)由于y-3 与x 成正比例,所以设y-3=kx. 把x=2,y=7 代入y-3=kx 中,得 7-3 =2k,∴ k =2.∴ y与x 之间的函数关系式为y-3=2x,即 y=2x+3. ( 2 )当x=4 时,y=2×4+3=11. ( 3 )当y = 4 时,4=2x+3 ,∴x= . 类型二:待定系数法求函数解析式 、求图象经过点(2,-1),且与直线y=2x+1 平行的一次函数的表达式. 思路点拨:图象与y=2x+1 平行的函数的表达式的一次项系数为2,则可设此表达式为 y=2x+b,再将点(2,-1)代入,求出b 即可. 解析:由题意可设所求函数表达式为y=2x+b,∵图象经过点( 2 ,-1 ),∴ -l=2×2+b.∴ b=-5,∴所求一次函数的表达式为y=2x-5. 总结升华:求函数的解析式常用的方法是待定系数法,具体怎样求出其中的待定系数的值,要根据具体的题设条件求出。 举一反三: 【变式 1 】已知弹簧的长度y (cm)在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x(kg )的一次函数,现已测得不挂重物时,弹簧的长度为6cm,挂4kg 的重物时,弹簧的长度是7.2cm, 例1(1)关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根,且一个大于1,一个小于1,求m 的取值范围; (2)关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内,求m 的取值范围; ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外,求m 的取值范围 (4)关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1,求实数a 的值。 解(1)令142)3(2)(2++++=m x m x x f ,∵对应抛物线开口向上,∴方程有两个实根,且一个大于1,一个小于1等价于0)1( 1集合 题型1:集合的概念,集合的表示 1.下列各项中,不可以组成集合的是( ) A .所有的正数 B .等于2的数 C .接近于0的数 D .不等于0的偶数 2.下列四个集合中,是空集的是( ) A .}33|{=+x x B .},,|),{(2 2 R y x x y y x ∈-= C .}0|{2 ≤x x D .},01|{2 R x x x x ∈=+- 3.下列表示图形中的阴影部分的是( ) A .()()A C B C B .()()A B A C C .()()A B B C D .()A B C 4.下面有四个命题: (1)集合N 中最小的数是1; (2)若a -不属于N ,则a 属于N ; (3)若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2; (4)x x 212 =+的解可表示为{ }1,1; 其中正确命题的个数为( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 题型2:集合的运算 例1.若集合}1,1{-=A ,}1|{==mx x B ,且A B A =?,则m 的值为( D ) A .1 B .1- C .1或1- D .1或1-或0 例2. 已知{25}A x x =-≤≤,{121}B x m x m =+≤≤-,B A ?,求m 的取值范围。 解:当121m m +>-,即2m <时,,B φ=满足B A ?,即2m <; 当121m m +=-,即2m =时,{}3,B =满足B A ?,即2m =; 当121m m +<-,即2m >时,由B A ?,得12 215m m +≥-??-≤? 即23m <≤; ∴3≤m 变式: 1.设2 2 2 {40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈, 如果A B B =,求实数a 的取值范围。 A B C 函 数 练 习 题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域: ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x =+-++-2、设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2的定义域为_ _ _;函数f x ()-2的定义域为________; 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 ;函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域: ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-+ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x = 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1,3],求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-,求函数()f x ,(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数,且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-,求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+,则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数,且当[0,)x ∈+∞时, ()(1f x x =,则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且 1()()1 f x g x x +=-,求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间: ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数,则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ;函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( ) ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y , 52-=x y ; ⑵111-+=x x y , )1)(1(2-+=x x y ; ⑶x x f =)(, 2)(x x g = ; ⑷x x f =)(, ()g x =; ⑸21)52()(-=x x f , 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 ( ) A 、(-∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( ) (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤,不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是( ) (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ) A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是( ) A 、奇函数,且在(0,1)上是增函数 B 、奇函数,且在(0,1)上是减函数 C 、偶函数,且在(0,1)上是增函数 D 、偶函数,且在(0,1)上是减函数 1.小骑自行车匀速从甲地到乙地,在途中休息了一段时间后,仍按原速行驶.他距乙地的距离与时间的关系如图中折线 所示,小骑摩托车匀速从乙地到甲地,比小晚出发一段时间,他距乙地的距离与时间的关系如图中线段AB所示. (1)小到达甲地后,再经过___小时小到达乙地;小骑自行车的速度是___千米/小时. (2)小出发几小时与小相距15千米? (3)若小想在小休息期间与他相遇,则他出发的时间x 应在什么围?(直接写出答案) 2,甲、乙两人骑自行车前往 A 地,他们距A 地的路程(km)s 与行驶时间(h)t 之间的关系如图13所示,请根据图象所 提供的信息解答下列问题: (1)甲、乙两人的速度各是多少?(4分) (2)写出甲、乙两人距A 地的路程s 与行驶时间t 之间的函数关系式(任写一个) .(3分) (3)在什么时间段乙比甲离A 地更近?(3分) 3.(2011,23, 12分) 周六上午8:00小明从家出发,乘车1小时到郊外某基地参加社会实践活动,在基地活动2.2小时后,因家里有急事,他立即按原路以4千米/时的平均速度步行返回.同时爸爸开车从家出发沿同一路线接他,在离家28千米处与小明相遇。接到小明后保持车速不变,立即按原路返回.设小明离开家的时间为x 小时,小名离家的路程y (干米) 与x (小时)之间的函致图象如图所示, (1)小明去基地乘车的平均速度是________千米/小时,爸爸开车的平均速度应是________千米/小时; (2)求线段CD 所表示的函敛关系式; (3)问小明能否在12:0 0前回到家?若能,请说明理由:若不能,请算出12:00时他离家的路程, (第23题图) x (小时) 图13 求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析:当0=x 时因为)0(f '存在,所以应当用导数定义求)0(f ',当 0≠x 时,)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2,可以按各种求导法同求它的导数. 解:当0=x 时,01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时, x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明:如果一个函数)(x g 在点0x 连续,则有)(lim )(0 0x g x g x x →=,但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续,不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='. 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系. 1.m n bx a y )(+=;2.32ln +=x e y ; 3.)32(log 322+-=x x y ;4.)1sin(x x y +=。 分析:由复合函数的定义可知,中间变量的选择应是基本函数的结构,解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外及里,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常 见的基本函数,逐步确定复合过程. 解:函数的复合关系分别是 1.n m bx a u u y +==,; 2.2,3,ln +===x e v v u u y ; 3.32,log ,322+-===x x v v u y u ; 4..1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明:分不清复合函数的复合关系,忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式,而最内层可以是关于自变量x 的基本函数,也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数,导致陷入解题误区,达不到预期的效果. 求函数的导数 例 求下列函数的导数. 1.43)12(x x x y +-=;2.2 211x y -= ; 3.)3 2(sin 2π +=x y ;4.21x x y +=。 分析:选择中间变量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系.要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体,就是中间变量.求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏,而其中特别要注意中间变量的系数.求导数后,要把中间变量转换成自变量的函数.(完整版)函数图象变换及经典例题练习
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