高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案

函数与方程

【知识梳理】

1、函数零点的定义

（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。

（2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点

（3）变号零点与不变号零点

①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。

②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。

③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(

2、函数零点的判定

（1）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数)(x f y =在区间(),a b 有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。

（2）函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法

① 代数法：函数)(x f y =的零点?0)(=x f 的根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

（3）零点个数确定

0?>?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根；

0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根；

0?

1、 二分法

（1）二分法的定义:对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ?<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;

（2）用二分法求方程的近似解的步骤:

① 确定区间[,]a b ,验证()()0f a f b ?<,给定精确度ε;

②求区间(,)a b 的中点c ;

③计算()f c ;

(ⅰ)若()0f c =,则c 就是函数的零点;

(ⅱ) 若()()0f a f c ?<,则令b c =(此时零点0(,)x a c ∈);

(ⅲ) 若()()0f c f b ?<,则令a c =(此时零点0(,)x c b ∈);

④判断是否达到精确度ε,即a b ε-<,则得到零点近似值为a (或b );否则重复②至④步.

【经典例题】

1．函数3

()=2+2x f x x -在区间(0,1)的零点个数是 （ ）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

2．函数 f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是 ( )

A 、(－2，－1)

B 、(－1,0)

C 、(0,1)

D 、(1,2)

3．若函数=)(x f x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值围是 .

4．设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x )，f (x )=f (2-x )，且当[0,1]x ∈时，f (x )=x 3.又函数g (x )= |x cos ()x π|，则函数h (x )=g (x )-f (x )在13[,]22-上的零点个数为 （ ）

A 、5

B 、6

C 、7

D 、8

5．函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 （ ）

A 、4

B 、5

C 、6

D 、7 6．函数()cos f x x x =-在[0,)+∞ （ ）

A 、没有零点

B 、有且仅有一个零点

C 、有且仅有两个零点

D 、有无穷多个零点

7．对实数a 和b ，定义运算“?”：a ?b ＝????? a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)?(x －x 2

)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值围是 ( )

A 、(－∞，－2]∪? ????－1，32

B 、(－∞，－2]∪?

????－1，－34 C 、? ????－1，14∪? ????14，＋∞ D 、? ????－1，－34∪????

??14，＋∞ 8．已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .

9．求下列函数的零点：

（1）32()22f x x x x =--+； （2）4()f x x x

=-

.

10．判断函数y ＝x 3－x －1在区间[1,1.5]有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．

【课堂练习】

1、在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为 （ ）

A 、1(,0)4-

B 、1(0,)4

C 、11(,)42

D 、13(,)24

2、若0x 是方程lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 （ ）

A 、(0,1)

B 、(1,1.25)

C 、(1.25,1.75)

D 、(1.75,2)

3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )

4、函数f ()x =2x

+3x 的零点所在的一个区间是 （ ） A ．（-2,-1） B 、（-1，0） C 、（0，1） D 、（1，2）

5、设函数f ()x =4sin （2x+1）-x ，则在下列区间中函数f ()x 不存在零点的是 （ ）

A 、[-4,-2]

B 、[-2,0]

C 、[0,2]

D 、[2,4]

6、函数()x f =x -cos x 在[0，∞+﹚ （ ）

A 、没有零点

B 、有且仅有一个零点

C 、有且仅有两个零点

D 、有无穷多个零点

7、若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（ ）

A 、()41f x x =-

B 、2()(1)f x x =-

C 、()1x f x e =-

D 、1

()ln()2

f x x =- 8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )

A 、3()8f x x =-

B 、()ln 3f x x =+

C 、2()222f x x x =++

D 、2()41f x x x =-++

9、函数f(x)=log 2x+2x-1的零点必落在区间 （ ）

A 、??? ??41,81

B 、??? ??21,41

C 、??? ??1,21

D 、(1,2)

10、01lg =-x

x 有解的区域是 （ ） A 、(0,1] B 、(1,10] C 、(10,100]

D 、(100,)+∞ 11、在下列区间中，函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为 （ ）

A 、1(,0)4-

B 、 1(0,)4

C 、11(,)42

D 、13(,)24 12、函数2()log f x x x π=+的零点所在区间为（ ）

A 、1[0,]8

B 、11[,]84

C 、11[,]42

D 、1[,1]2 13、设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在近似解的过程中得

()()(),025.1,05.1,01<>

A 、(1,1.25)

B 、(1.25,1.5)

C 、(1.5,2)

D 、不能确定

14、设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．

存在零点的是（ ） A 、[]4,2-- B 、 []2,0- C 、[]0,2 D 、[]2,4

15、函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ?+-≤=?-+>?

， 零点个数为（ ）A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 16、若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为 （ ）

A 、1.2

B 、1.3

C 、1.4

D 、1.5

17、方程223x x -+=的实数解的个数为 .

18、已知函数22()(1)2f x x a x a =+-+-的一个零点比1大，一个零点比1小，数a 的取值围。

19、判断函数2

32()43

f x x x x =+-在区间[1,1]-上零点的个数，并说明理由。 20 、求函数32()236f x x x x =+--的一个正数零点(精确度0.1)．

【课后作业】

1、下列函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )

2、设2

()3x f x x =-，则在下列区间中，使函数)(x f 有零点的区间是 ( )

A 、[0,1]

B 、[1,2]

C 、[－2，－1]

D 、[－1,0] 3、已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)，那么下面命题错误的 （ ）

A 、函数)(x f 在(1,2)或[)2,3有零点

B 、函数)(x f 在(3,5)无零点

C 、函数)(x f 在(2,5)有零点

D 、函数)(x f 在(2,4)不一定有零点

4、若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值围是 （ ）

A 、()2,2-

B 、[]2,2-

C 、(),1-∞-

D 、()1,+∞

5、函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为 （ ）

A 、（－1，0）

B 、（0，1）

C 、（1，2）

D 、（1，e ）

6、求函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

7、如果二次函数23y x x m =+++有两个不同的零点，则m 的取值围是 （ ）

A 、11(,)4+∞

B 、11(,)2-∞

C 、11(,)4-∞

D 、11(,)2

+∞ 8、方程0lg =-x x 根的个数为 （ ） A 、无穷多 B 、3 C 、1 D 、0

9、用二分法求方程()0f x =在(1,2)近似解的过程中得(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <>

根在区间 ( )

A 、(1.25,1.5)

B 、(1,1.25)

C 、(1.5,2)

D 、不能确定

10、设函数f(x)＝13

x －lnx(x ＞0)，则y ＝f(x) ( ) A 、在区间? ????1e ，1，(1，e)均有零点 B 、在区间? ??

??1e ，1，(1，e)均无零点 C 、在区间? ????1e ，1有零点，在区间(1，e)无零点 D 、在区间? ??

??1e ，1无零点，在区间(1，e)有零点

11、设函数21()ln 1(0)2

f x x x x =-+>，则函数()y f x = ( ) A 、在区间(0,1)，(1,2)均有零点 B 、在区间(0,1)有零点，在区间(1,2)无零点

C 、在区间(0,1)，(1,2)均无零点

D 、在区间(0,1)无零点，在区间(1,2)有零点

12、用二分法研究函数13)(3

-+=x x x f 的零点时，第一次经计算0)5.0(0)0(>

A 、（0，0.5），)25.0(f

B 、（0，1），)25.0(f

C 、（0.5，1），)75.0(f

D 、（0，0.5），)125.0(f

13、函数22)(3-+=x x f x 在区间(0,1)的零点个数是 （ ）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

14、（已知函数()log (0,1).a f x x x b a a =+->≠且当234a <<<是，函数()f x 的零点

*0(,1),,x n n n N ∈+∈则n= .

15、用二分法求函数()y f x =在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间

(2,4)的中点x 1＝2＋42

＝3，计算得f(2)·f(x 1)<0，则此时零点x 0∈________． 16、已知函数 f (x )＝{ 2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数 g (x )＝ f (x )－m 有3个零点，则实数m

的取值围是________．

17、函数65)(2

+-=x x x f 的零点组成的集合是 .

18、用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2,3]的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是

19、函数()ln 2f x x x =-+的零点个数为 .

20、证明方程6－3x ＝2x

在区间[1,2]有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)．

函数与方程

【考纲说明】

2、 了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

3、 能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。

【知识梳理】

1、函数零点的定义

（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。

（2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点

（3）变号零点与不变号零点

①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。

②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。

③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(

2、函数零点的判定

（1）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数)(x f y =在区间(),a b 有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。

（2）函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法

① 代数法：函数)(x f y =的零点?0)(=x f 的根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

（3）零点个数确定

0?>?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根；

0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根；

0?

4、 二分法

（1）二分法的定义:对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ?<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;

（2）用二分法求方程的近似解的步骤:

① 确定区间[,]a b ,验证()()0f a f b ?<,给定精确度ε;

②求区间(,)a b 的中点c ;

③计算()f c ;

(ⅰ)若()0f c =,则c 就是函数的零点;

(ⅱ) 若()()0f a f c ?<,则令b c =(此时零点0(,)x a c ∈);

(ⅲ) 若()()0f c f b ?<,则令a c =(此时零点0(,)x c b ∈);