狄拉克函数的证明

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法-模板

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法 一、引言 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。 在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。 二、一种新的证明方法 (一)预备知识 (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。 三、有界性定理在数学建模中的应用 本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。 在20XX年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法_1

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法连续函数是数学分析中非常重要的一类函数，下面是小编搜集整理的一篇探究闭区间上连续函数的有界性定理证明的论文范文，欢迎阅读参考。 一、引言 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定联系的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。 在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基

本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。 二、一种新的证明方法 (一)预备知识 (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。 三、有界性定理在数学建模中的应用 本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。 在2013年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基于投保人、保险公司和政府三方面的利益，按照公平合理的定价原则设计，由保险公司经营的保险产品，三方各承担不同的责任、义务和风险。根据题目中附件所给的P省的具体情况，可以将有界性定理灵活的用在自然灾害保险的风险评估和费率拟定上。假设时间是一个连续状态，则以时间t为自变量，根据题中所给数据，以日最高最低气温为例，很明显它与时间t是呈周期性变化的，以一年为一个周期，故只考虑在某一年内的变化规律，即. 将日最高最低气温拟合成一个关于时间的函数f(t),则由于自变量

闭区间上连续函数性质证明

§2 闭区间上连续函数性质的证明 教学目的：掌握闭区间上连续函数性质证明思路与方法，加深对实数完备性若干定理的理解。 重点难点：重点与难点为其证明思路与方法。 教学方法：讲练结合。 在本节中，我们利用实数完备性的基本定理，来证明闭区间上连续函数的基本性质． 有界性定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界． 证 [证法一](应用有限覆盖定理) 由连续函数的局部有界性(定理4．2)，对每一点[],,b a x ∈'都存在邻域);(x x U ''δ及正数x M '，使得[].,);(,)(b a x U x M x f x x '''∈≤δ 考虑开区间集 []{} b a x x U H x ,);(∈''='δ, 显然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集 ()[]{}k i b a x x U i i i ,,2,1,,;* =∈=H δ 覆盖了[]b a ,，且存在正数k M M M ,,,21 ，使得对一切()[]b a x U x i i ,; δ∈有 ().,,2,1,k i M x f i =≤ 令 ,m a x 1i k i M M ≤≤= 则对任何[]b a x ,∈，x 必属于某()()M M x f x U i i i ≤≤?δ;．即证得f 在[]b a ,上有界． [证法二](应用致密性定理) 倘若f 在[]b a ,上无上界，则对任何正整数n ，存在[]b a x n ,∈，使得()n x f n >．依次取 ,2,1=n ，则得到数列{}[]b a x n ,?．由致密性定理，它含有收敛子列{} k n x ，记ξ=∞ →k n k x lim 。由b x a k n ≤≤及数列极限的保不等式性，[]b a ,∈ξ．利用f 在点ξ连续，推得 () ()+∞<=∞ →ξf x f k n k lim 另一方面，由n x 的选取方法又有()() +∞=?+∞→≥>∞ →k k n k k n x f k n x f lim 与(1)式矛盾．所以f 在[]b a ,有上界．类似可证f 在[]b a ,有下界，从而f 在[]b a ,上有界. 最大、最小值定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有最大值与最小值． 证 (应用确界原理) 已证f 在[]b a ,上有界，故由确界原理，f 的值域[]()b a f ,有上确界，记为M ．以下我们证明：存在[]b a ,∈ξ，使()M f =ξ．倘若不然，对一切[]b a x ,∈都有()M x f <．令

函数极限的性质证明(精选多篇)

函数极限的性质证明 函数极限的性质证明 x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限求极限我会 |xn+1-a|<|xn-a|/a 以此类推，改变数列下标可得|xn-a|<|xn-1-a|/a; |xn-1-a|<|xn-2-a|/a; |x2-a|<|x1-a|/a; 向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(a^n) 2 只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： ①证明{x(n)}单调增加。 x(2)=√=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则 x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化) =/【√+√】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1<4， 设x(k)<4，则 x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。 3 当0

当0 构造函数f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，则：t>1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则： lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)(分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 4 用数列极限的定义证明 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim=0 n→∞ (2)lim=3/2 n→∞ (3)lim=0 n→∞ (4)lim0.999…9=1 n→∞n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。lim就省略不打了。。。n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1 sin(1/n)=0 实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来 就好了 第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行 第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数 极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的) 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0 不知楼主觉得我的解法对不对呀 limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0 lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n ^2)=1 limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0 第二篇：函数极限的性质 §3.2 函数极限的性质 §2函数极限的性质 ⅰ. 教学目的与要求 1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不 等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题. 2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限. ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 函数极限的性质. 难点: 函数极限的性质的证明及其应用. ⅲ. 讲授内容

函数的有界性和最值

第一节：函数的有界性和最值 一、有界性 定义1：设A 为函数()f x 定义域的子集，若M ?，使得x A ?∈有()f x M ≤(或()f x M ≥)， 则称()f x 在A 上有上(或下)界.称M 为它的一个上(或下)界. 定义2：设A 为函数()f x 定义域的子集，若()M x ?，使得x A ?∈有()()f x M x ≤(或()()f x M x ≥)，则称()f x 在A 上有上(或下)界函数.称()M x 为它的一个上(或下)界函数. 二、最值 略 三、例题讲解 例1、求证函数11()sin f x x x =在1(0,)2 x ∈上无上界. 证明：对于任意的0M >，只需证明01(0,)2 x ?∈使得()f x M >. 为此：取001,,()(2)sin(2)2,22222 x k N f x k k k k N k ππππππππ++=∈=++=+∈+ 要使得：2,2k M k N ππ++>∈，只需要1()22k M ππ>-，可取1[()]122 k M ππ=-+ 故函数11()sin f x x x =在1(0,)2x ∈上无上界. 例2、(北约2010) 1=的实根的个数. 3== 5== 所以：方程左边3521=- +≥>，从而方程无实根. 例3、2(),,f x x px q p q R =++∈，若()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值为M ，则M 的最小值为 . 解：11max ()x M f x -≤≤=，(1)1,(1)1,(0)M f p q M f p q M f q ≥=++≥-=-+≥= 则4112(1)(1)22M p q p q q p q p q q ≥+++-++-≥+++-+-=

证明若函数在有界闭区域上可积

1. 证明:若函数(,)f x y 在有界闭区域D 上可积,则(,)f x y 在D 上有界. 证 设(,)f x y 在D 上可积,故存在D 的分割1,2{,,},n T σσσ= 使得 1 |()|1,n i i i f p I σ=?-<∑ (1) 其中(,).D I f x y dxdy = ?? 若(,)f x y 在D 上无界,则对上述D 的分割1,2{,,},n T σσσ= (,)f x y 必在某个小区域k σ上无界. 当i k ≠时,取定,i i p σ∈令|()|,i i i k G f p σ≠=?∑因(,)f x y 在k σ无界,存在,k k p σ∈使得 ||1 |()|,k k I G f p σ++>?进而 1 |()||()()| ||1|()||()|||||1, n i i i i k k i i k k k i i k i k k f p I f p f p I I G f p f p I G I σσσσσσσ=≠≠?-=?+?-++≥?-?-> ??--=?∑∑∑ 与(1)式矛盾,故(,)f x y 在D 上有界. 2. 若(,)f x y 为有界闭区域D 上的非负连续函数,且在D 上不恒为零,则(,)0.D f x y dxdy >?? 证 由题设,存在000(,),P x y D ∈使00(,)0,f x y >而(,)f x y 在D 上连续,由连续函数的保号性,存在 1,D D ?使得001(,)(,),2 f x y f x y > 进而有 1 1 1 0011(,)(,)(,)(,)(,)0,2 D D D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy f x y D -= + ≥ > ?>?? ?? ?? ?? 其中1D ?为区域1D 的面积. 3. 若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续,且在D 内任一子区域D D '?上有 (,)0,D f x y d x d y ' =?? 则 (,)0,(,).f x y x y D ≡∈ 证 直接用題2的结论即得. 4. 设(,)f x y 在区域D 上连续,试将积分(,)D f x y dxdy ??化为(直角坐标下)不同顺序的累次积分: (1) D 由不等式22 ,0,1y x y x y ≤≥+≤所确定的区域;

delta函数

补充材料：δ函数 见曾谨言 一、问题的提出 在物理学中，为了突出重要因素，常常运用质点、点电荷、瞬时力等抽象模型。“一切科学的（正确的、郑重的、非瞎说的）抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然。”质点体积为零，所以它的密度（质量/体积）为无限大，但密度的体积积分（即总质量）为有限的。点电荷的体积为零，所以它的电荷密度（电量/体积）为无限大，但电荷的体积积分（即总电量）却又是有限的。瞬时力的延续时间为零，而力的大小为无限大，但力的时间积分（即冲量）是有限的。……如何来描述这些抽象模型中的物理量（密度、瞬时力）的分布呢？这在物理上有着重要的意义。下面讨论的δ函数将能给这些问题做出圆满的回答： 二、δ函数的定义 为了研究上述的这样一类包含有某种无限大的量。在处理这些无限大时有一个精确的符号，狄拉克引入一个量)(x δ，称为狄拉克δ函数，简称δ函数，它的定义如下： ???=-∞≠-=-) 0( ,)0( ,0)(000x x x x x x δ ① ? ??<<=-?)( ,1)或都大于都小于,( ,0)(0000b x a x x b a dx x x b a δ ② ②式规定了δ函数的量纲]/[1)]([0x x x =-δ，下图是δ函数的示意图，曲线的“峰”无限高。但是无限窄，曲线下的面积是有限值1。这样，位于0x 而质量为m 的质点的密度可记作)x x (m 0-δ；位于0x 而电量为q 的点电荷的电荷密度可记作)(0x x q -δ，总电量q dx x x q dx x x q q =-=-=??∞ ∞-∞∞-)()(00δδ；作用于瞬时0t 而冲量为k 的瞬时力可记作)(0t t k -δ。 数学性质上δ函数是很奇异的。没有一个平常的函数具有此奇异性。严格说来，它不是传统数学中的函数，它只是一种分布(distrbution)。在物理上是一种理想的点模型，如果在数学上不过分追求严格，δ函数可以看成某种奇异函数的极限来处理 例 )(lim 1lim 2 2/0x e e x δπαπσ αασπσ==-∞→-→ (2) )(lim 24/x e e x i i δπ ααπα=-∞→ (3) )(sin lim x x a δα=∞→ (4)

费米-狄拉克分布函数、解析、图像和应用

各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。 一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为： ]/)ex p[(11 )(kT E E E f F -+= f(E) 称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、T 分别为波耳兹曼常数和绝对温度。E fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。 只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。 费米分布函数的一些特性: 【根据f(E)公式来理解】 第一， 费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．． ， E f 越大，表示处于高能级的电子越多； E f 越小，则表示高能级的电子越少。(E f 反映了整体平均水平) 第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)是能量E 与温度T 的函数。根据f(E)式可画出 f(E) 的曲线如图所示，但要注意 因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。 0 1/2 1 f(E) E E f T 0 T 1 T 2 T 3 费米分布函数变化曲线T 3 >T 2 >T 1 >T 0 在T 不为绝对零度前提下，若E ＜E f ，则 f(E) ＞1/2；若E = E f ，则 f(E)=1/2；若 E ＞E f ，则 f(E) ＜1/2。上述结果文字描述，在系统的温度高于绝对零度前提下，如果某能级的能量比费米能级低E f ，则该能级(范围)被电子占据的几率大于50%；若能级的能量比费米能级E f 高，则该能级被电子占据的几率小于50%。而当能级的能量恰等于费米能级E f 时，该能级被电子占有的几率费米分布规律不适 用于非平衡状态

特级教师高考数学首轮复习第7讲-函数有界性

一、函数有界性知识结构 二、重点叙述 1. 函数有界性的概念 ①定义:对于函数f(x),如果存在一个常数M,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x)≤M(或f(x) 对于函数f(x),如果存在一个常数m,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x)≥m(或f(x) >m),那么函数f(x)就叫做有界函数,m是函数f(x)的下界。 ②函数有界与最值的关系: 有界函数不一定有最值;函数有最值,则函数一定有界。 函数有上界,无论f(x)≤M,还是f(x)0 ,使得f(x0 )=M,或f(x0 )=H 函数有下界,无论f(x)≥m,还是f(x) >m,若在定义域内不存在x0 ,使得f(x0 )=m,或f(x0 )=H>m,则函数就没有最小值。 如函数在(-∞,-1)内有下界,但没有最小值,在(-1,-∞)内有上界,但没有最大值。 2. 函数有界性的几何特征 在函数图象变化过程中,函数图象永远在直线y=M的下方,或在直线y=m的上方,或夹在两直线y=M和y=m之间。 3. 函数有界性的判定方法与证明 ①图象法:在函数图象变化过程中,函数图象永远在直线y=M的下方,或在直线y=m的上方,

或夹在两直线y=M和y=m之间。 ②定义法: 设定义在A上的函数f(x),利用数式变换,使得f(x)=M-g(x),或f(x)≤M-g(x),且对于任意的x∈A,有g(x)≥0,则f(x)≤M。 设定义在A上的函数f(x),利用数式变换,使得f(x)=m+g(x),或f(x)≤m+g(x),且对于任意的x∈A,有g(x)≥0,则f(x)≥m。 ③最值法:转化为求函数最值。即 ; 或。 4. 函数有界性的应用 ①解题需要判断或证明函数的有界性。 如证明不等式f(x)g(x))恒成立,可利用函数的有界性设计“中介”M(或m),使f(x)m>g(x)),从而证得f(x)g(x))成立。 如,证明不等式。 ②用于判断或证明关于不等式恒成立的问题。 设定义在A上的函数f(x),证明f(x)≤M,或f(x)≥m对任意的x∈A恒成立。 三、案例分析 1. 案例1:（2008广东·14）（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程 有实根，则的取值范围是________． 【答案】。 分析：用直接法解之。∵，利用二次函数的有界性，把关于的方程有实根转化为含绝对值的不等式恒成立的问题解决。解：∵， ∴为何值时关于的方程有实根转化为求不等式

第一节函数的有界性和最值

湖北省鄂南高中2015届理科实验班数学培优讲义 函数部分 第一节：函数的有界性和最值 一、有界性 定义1：设为函数定义域的子集，若，使得有(或 A ()f x M ?x A ?∈()f x M ≤)， ()f x M ≥则称在上有上(或下)界.称为它的一个上(或下)界. ()f x A M 定义2：设为函数定义域的子集，若，使得有(或 A ()f x ()M x ?x A ?∈()()f x M x ≤)，则称在上有上(或下)界函数.称为它的一个上(或下)界函数. ()()f x M x ≥()f x A ()M x 二、最值 略 三、例题讲解 例1、求证函数在上无上界.11()sin f x x x = 1 (0,2 x ∈证明：对于任意的，只需证明使得. 0M >01 (0,)2 x ?∈()f x M >为此：取001,,()(2)sin(22,22222x k N f x k k k k N k πππ πππππ++ =∈=++=+∈+要使得：，只需要，可取2,2k M k N ππ++>∈1(22k M ππ> -1[()]122k M π π=-+故函数在上无上界. 11()sin f x x x =1 (0,)2 x ∈例2、(北约2010) 的实根的个数 . 1 = 3= =- 5==-所以：方程左边，从而方程无实根 . 321=- >例3、，若在上的最大值为，则的最 2 (),,f x x px q p q R =++∈()f x [1,1]x ∈-M M 小值为 . 解：，11 max ()x M f x -≤≤=(1)1,(1)1,(0)M f p q M f p q M f q ≥=++≥-=-+≥=

函数形式的单调有界原理的证明

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 函数形式的单调有界原理的证明 作者：刘晓兰 来源：《课程教育研究》2018年第49期 【摘要】引入实数的连续归纳法，用它证明函数极限的单调有界原理，进而数列极限可以作为函数极限的特殊情形讨论。 【关键词】函数极限单调有界原理数学归纳法 【中图分类号】O171 【文献标识码】C 【文章编号】2095-3089（2018）49-0122-01 在微积分教材中，在介绍极限时，不管是在非数学专业的高等数学教材中还是数学专业的数学分析教材中，都是先介绍数列的极限，然后再介绍函数极限，本文引入张景中院士提出的关于实数理论的“连续归纳法”，证明函数极限的单调有界原理，这样数列形式的单调有界原理就可以作为其特例理解，从而教材可以把函数极限和数列极限调整顺序。 1.关于正整数的数学归纳法原理 第二数学归纳法：设有一个与自然数n有关的命题P（n），如果： （1）当n=1时，命题P（1）成立； （2）假设对任意自然数1≤n 2.关于实数的连续归纳法原理 定理1 设P（t）是涉及实数t的一个命题，满足： （1）存在区间[t0，t1），使P（t）在此区间上成立； （2）对任意区间[t0，s），P（t）在此区间上成立，可推出存在t2>s，P（t）在区间[t0，t2）上成立；P（t）则在[t0，+∞）上成立。 3.函数极限的单调有界定理 定理2（函数极限的单调有界定理） 设函数f（x）在[a，+∞）上单调有界，则极限 f（x）存在。 证明：不妨设f（x）是单调递减的，若 f（x）存在，由f（x）的递减性，可得？坌 x∈[a，+∞），必有f（x）≥ f（x），即 f（x）是f（x）的下界。

delta函数性质汇总

补充材料：δ函数 一、问题的提出 在物理学中，为了突出重要因素，常常运用质点、点电荷、瞬时力等抽象模型。“一切科学的（正确的、郑重的、非瞎说的）抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然。”质点体积为零，所以它的密度（质量/体积）为无限大，但密度的体积积分（即总质量）为有限的。点电荷的体积为零，所以它的电荷密度（电量/体积）为无限大，但电荷的体积积分（即总电量）却又是有限的。瞬时力的延续时间为零，而力的大小为无限大，但力的时间积分（即冲量）是有限的。……如何来描述这些抽象模型中的物理量（密度、瞬时力）的分布呢？这在物理上有着重要的意义。下面讨论的δ函数将能给这些问题做出圆满的回答： 二、δ函数的定义 为了研究上述的这样一类包含有某种无限大的量。在处理这些无限大时有一个精确的符号，狄拉克引入一个量)(x δ，称为狄拉克δ函数，简称δ函数，它的定义如下： ???=-∞≠-=-) 0( ,)0( ,0)(000x x x x x x δ ① ? ??<<=-?)( ,1)或都大于都小于,( ,0)(0000b x a x x b a dx x x b a δ ② ②式规定了δ函数的量纲]/[1)]([0x x x =-δ，下图是δ函数的示意图，曲线的“峰”无限高。但是无限窄，曲线下的面积是有限值1。这样，位于0x 而质量为m 的质点的密度可记作)x x (m 0-δ；位于0x 而电量为q 的点电荷的电荷密度可记作)(0x x q -δ，总电量q dx x x q dx x x q q =-=-=??∞ ∞-∞∞-)()(00δδ；作用于瞬时0t 而冲量为k 的瞬时力可记作)(0t t k -δ。 数学性质上δ函数是很奇异的。没有一个平常的函数具有此奇异性。严格说来，它不是传统数学中的函数，它只是一种分布(distrbution)。在物理上是一种理想的点模型，如果在数学上不过分追求严格，δ函数可以看成某种奇异函数的极限来处理 例 )(lim 1lim 22/0x e e x δπ απσαασπσ==-∞→-→ (2) )(lim 2 4/x e e x i i δπ ααπα=-∞→ (3) )(sin lim x x a δα=∞→ (4)

费米狄拉克分布函数

费米狄拉克分布函数 费米-狄拉克分布（Fermi-Dirac distribution）全同和独立的费米子系统中粒子的最概然分布。简称费米分布，量子统计中费米子所遵循的统计规律。这个统计规律的命名来源于恩里科·费米和保罗·狄拉克，他们分别独立地发现了这一统计规律。不过费米在数据定义比狄拉克稍早。费米–狄拉克统计的适用对象是，热平衡时自旋量子数为半奇数的粒子。除此之外，应用此统计规律的前提是，系统中各粒子之间的相互作用可以忽略不计。 费米子是自旋为半整数( 即自旋为/2，=h/2π，h是普朗克常量）的粒子，如轻子和重子，全同费米子系统中粒子不可分辨，费米子遵从泡利不相容原理，每一量子态容纳的粒子数不能超过一个。对于粒子数、体积和总能量确定的费米子系统，当温度为T时，处在能量为E的量子态上的平均粒子数为[2] 费米-狄拉克分布公式 式中，k是玻耳兹曼常量，εf是化学势。在高温和低密度条件下，费米-狄拉克分布过渡到经典的麦克斯韦-玻尔兹曼分布。 对费米-狄拉克分布公式的理解：是各能级被电子占据的数目服从的特殊的统计规律。 费米能级：用来描述电子的能级填充水平的假想能级， E越大，高能级的电子越多，反之 F E反映整体平均水平）。对于金属，绝对零度下，电子占据的最高能级就是费米能级。费米能则越少（ F 级的物理意义是，该能级上的一个状态被电子占据的几率是1/2。只要知道了它的值，在一定温度下，就能确定电子在各量子态下的统计分布。它和温度，半导体材料的导电类型，杂质的含量以及能量零点的选取有关。n型半导体费米能级靠近导带边，过高掺杂会进入导带。p型半导体费米能级靠近价带边，过高掺杂会进入价带。将半导体中大量电子的集体看成一个热力学系统，可以证明处于热平衡状态下的电子系统有统一的费米能级。

10.1狄拉克函数

Methods in Mathematical Physics
第十章 格林函数法
Method of Green’s Function
武汉大学物理科学与技术学院
Wuhan University

问题的引入：
?行波法 : 无界空间波动问题, 有局限性 ? ?分离变量法 : 各种有界问题, 其解为无穷级数 ?积分变换法：各种无界问题, 其解为无限积分 ? 1、格林函数法：
其解为含有格林函数的有限积分。 ?Δu = ? h(M ) 由§10.2: ? → ? ?u σ = f ( M ) ?
u ( M ) = ∫∫∫ G ( M , M 0 )h( M )dτ ? ∫∫
τ
Wuhan University
σ
?G f (M 0 ) dσ 0 ?n0
G(M,M0)－狄氏格林函数

问题的引入：
2、格林函数: 点源函数,点源产生的场和影响
若外力 f ( x , t ) 只在 ξ 点 , τ 时起作用
? ?0, x ≠ ξ , t ≠ τ 2 ?utt = a u xx + f ( x, t ) , f ( x, t ) = ? ? f (ξ ,τ ), x = ξ , t = τ ? ? 则 ?u x =0 = 0, u x =l = 0 ? ?u t =0 = 0, ut t =0 = 0 ↑ ? ?
u ( x, t ) ? 格林函数, 即G(x, t ξ ,τ ); f ( x, t ) ? 点源
Wuhan University

狄拉克与狄拉克方程

狄拉克与狄拉克方程 英国著名理论物理学家狄拉克（Paul Dirac 1902～1984）；在量子力学领域把哈密顿理论推广到原子方面，建立了量子力学变量的运动方程，使海森堡的矩阵力学成为一个完善的理论。他在薛定谔方程的基础上提出了相对论波动方程，凭借自己非凡的想象力，大胆地预言了“反粒子”的存在。并依靠自己卓越的逻辑推理做出第一流的科学工作，使他置身于20世纪最伟大的理想物理学家行列。 5、1 狄拉克算符 1925年前后，剑桥大学的俄籍物理学家卡皮察（Peter Leonidovich Kapitza ，1894～1978）组织了定期科学讨论会叫“卡皮察俱乐部”。每周二晚举行聚会，首先有人自愿宣读自己新近完成的科学论文，然后大家进行讨论和争论。这年夏天，海森堡应邀到这个俱乐部作了一次关于反常塞曼效应的报告。临到结束时，他又介绍了自己关于建立量子论的一些新的想法。不久，海森堡回到德国以后又把自己关于矩阵力学的论文寄一份给福勒（Fowle r sir Ralph Howard ，1899～1944）。9月，在剑桥大学跟随导师福勒攻读研究生的狄拉克，在度假时收到了福勒寄给他的海森伯关于量子力学的第一篇论文的校样；狄拉克认真思考了用矩阵元表述的新力学量的不可对易性。例如，两个力学量相乘pq ≠qp ，这显然违背了过去的力学量（标量）之间的乘法交换规则，开始思索时感到不可思议，而后却意识到这种不对易性恰恰是新的力学理论的重要特征。并从潜意识中感觉到，不对易性与哈密顿力学中的泊松括号十分类似。泊松括号是19世纪法国数学家泊松（S ．Poisson ）发明的一种简化算子记号，用以表述两个不可对易量的微分乘积的关系。如果能找到这二者之间的联系，就能证明在量子力学和经典力学的哈密顿理论表述之间有某种内在关系，哈密顿力学体系的很多计算和表述方 式有可能移植到量子力学中来。例如，把微观客体的运动规律描述为以哈密顿函数（能量函数）和广义坐标、广义动量之间关系的统一数学系统。狄拉克把海森伯理论纳入哈密顿公式体系，把量子力学的对易关系类比于经典力学中的泊松括号，得出一种处理量子论中力学量的偏微分方法，这种办法一般称为正则量子化方案，并很快写成了他的成名作“量子力学的基本方程”。狄拉克这项工作澄清了量子变量与经典变量之间的关系，使海森伯的矩阵力学成为一个完善的理论。这篇以“量子力学的基本方程”为题的论文，随后就在皇家学会的会刊上发表。海森堡看到论文后认为，狄拉克的表述形式简洁优美，而且作为一项新成果把量子论向前大大推进了一步。 5、2 费米—狄拉克统计 1926年，薛定谔发表了一系列关于波动力学的论文，波动力学和矩阵力学相比显然具有某种优越性；同年6月，玻恩对薛定谔波函数提出了几率解释，认为波动力学中的波函数平方2 是位形空间里的几率密度，原先的矩阵力学与波动力学具有某种物理学上的类似性：矩阵元平方所描述的是坐标确定时各种可能的能量本征值的出现几率，而波函数模数的平方所描述的，则是能量确定时各种可能的位置本征值的出现几率；波动力学与矩阵力学在数学上是等效的。但由于在波动力学框架中可以引进位形空间波函数，它在处理多体问题时就比较方便，特别是便于用来研究多体系统的统计法，被大多数物理学家普通接受。 图10-12为狄拉克（左）和海森伯（右）在剑桥