2020年浙江省丽水市中考数学试卷 (解析版)

2020年浙江省丽水市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）.

1．实数3的相反数是()

A．3-B．3C．

1

3

-D．

1

3

2．分式

5

2

x

x

+

-

的值是零，则x的值为()

A．2B．5C．2-D．5-

3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是()

A．22

a b

+B．2

2a b

-C．22

a b

-D．22

a b

--

4．下列四个图形中，是中心对称图形的是()

A．B．

C．D．

5．如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是()

A．1

2

B．

1

3

C．

2

3

D．

1

6

6．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到//

a b．理由是()

A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线

D ．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 7．已知点(2-，)(2a ，)(3b ，)c 在函数

(

0)k

y k x

=>的图象上，则下列判断正确的是( ) A ．a b c <<

B ．b a c <<

C ．a c b <<

D ．c b a <<

8．如图，O e 是等边ABC ?的内切圆，分别切AB ，BC ，AC 于点E ，F ，D ，P 是?DF

上一点，则EPF ∠的度数是( )

A ．65?

B ．60?

C ．58?

D ．50?

9．如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x ．则列出方程正确的是( )

A ．3252x x ?+=

B ．3205102x x ?+=?

C ．320520x x ?++=

D ．3(20)5102x x ?++=+

10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ．连结EG ，BD 相交于点O 、BD 与HC 相交于点P ．若GO GP =，则

ABCD EFGH

S S 正方形正方形的值是( )

A ．12

B ．22

C ．52

D ．

15

4

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11．点(,2)P m 在第二象限内，则m 的值可以是（写出一个即可） ．

12．数据1，2，4，5，3的中位数是 ．

13．如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为 2cm ．

14．如图，平移图形M ，与图形N 可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 ?．

15．如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A ，B ，C 均为正六边形的顶点，AB 与地面BC 所成的锐角为β．则tan β的值是 ．

16．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC ，BD （点A 与点B 重合），点O 是夹子转轴位置，OE AC ⊥于点E ，OF BD ⊥于点F ，1OE OF cm ==，6AC BD cm ==，CE DF =，:2:3CE AE =．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O 转

动．

（1）当E ，F 两点的距离最大时，以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的周长是 cm ． （2）当夹子的开口最大（即点C 与点D 重合）时，A ，B 两点的距离为 cm ．

三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程） 17．计算：0(2020)4tan 45|3|-+?+-．

18．解不等式：552(2)x x -<+．

19．某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题： 抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表 类别 项目 人数（人)

A 跳绳 59

B 健身操 ▲

C 俯卧撑 31

D 开合跳 ▲ E

其它

22

（1）求参与问卷调查的学生总人数；

（2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？

（3）该市共有初中学生8000人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数．

20．如图，?AB 的半径2OA =，OC AB ⊥于点C ，60AOC ∠=?． （1）求弦AB 的长． （2）求?AB 的长．

21．某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6C ?，气温(C)T ?和高度h （百米）的函数关系如图所示．

请根据图象解决下列问题： （1）求高度为5百米时的气温； （2）求T 关于h 的函数表达式；

（3）测得山顶的气温为6C ?，求该山峰的高度．

22．如图，在ABC ?中，42AB =，45B ∠=?，60C ∠=?． （1）求BC 边上的高线长．

（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将AEF ?折叠得到PEF ?． ①如图2，当点P 落在BC 上时，求AEP ∠的度数． ②如图3，连结AP ，当PF AC ⊥时，求AP 的长

23．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数21

()42

y x m =--+图象的顶点为A ，与y 轴

交于点B ，异于顶点A 的点(1,)C n 在该函数图象上． （1）当5m =时，求n 的值．

（2）当2n =时，若点A 在第一象限内，结合图象，求当2y …

时，自变量x 的取值范围． （3）作直线AC 与y 轴相交于点D ．当点B 在x 轴上方，且在线段OD 上时，求m 的取值范围．

24．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分

OB ．

别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知8

（1）求证：四边形AEFD为菱形．

（2）求四边形AEFD的面积．

（3）若点P在x轴正半轴上（异于点)D，点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．

参考答案

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．实数3的相反数是( ) A ．3-

B ．3

C ．13

-

D ．13

解：实数3的相反数是：3-． 故选：A ． 2．分式5

2

x x +-的值是零，则x 的值为( ) A ．2

B ．5

C ．2-

D ．5-

解：由题意得：50x +=，且20x -≠， 解得：5x =-， 故选：D ．

3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( ) A ．22a b +

B ．22a b -

C ．22a b -

D ．22a b --

解：A 、22a b +不能运用平方差公式分解，故此选项错误； B 、22a b -不能运用平方差公式分解，故此选项错误； C 、22a b -能运用平方差公式分解，故此选项正确；

D 、22a b --不能运用平方差公式分解，故此选项错误；

故选：C ．

4．下列四个图形中，是中心对称图形的是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

解：A 、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意； B 、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意； C 、该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；

D 、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；

故选：C ．

5．如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是( )

A ．

12 B ．13

C ．

23

D ．

16

解：Q 共有6张卡片，其中写有1号的有3张， ∴从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是

3162

=； 故选：A ．

6．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB 的垂线a 和b ，得到//a b ．理由是( )

A ．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

B ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C ．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线

D ．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 解：由题意a AB ⊥，b AB ⊥，

//a b ∴（垂直于同一条直线的两条直线平行），

故选：B ．

7．已知点(2-，)(2a ，)(3b ，)c 在函数(0)k

y k x

=>的图象上，则下列判断正确的是( ) A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b << D ．c b a <<

解：0k >Q ， ∴函数(0)k

y k x

=

>的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y 随x 的增大而减小， 2023-<<>，0a <，

a c

b ∴<<．

故选：C ．

8．如图，O e 是等边ABC ?的内切圆，分别切AB ，BC ，AC 于点E ，F ，D ，P 是?DF

上一点，则EPF ∠的度数是( )

A ．65?

B ．60?

C ．58?

D ．50?

解：如图，连接OE ，OF ．

O Q e 是ABC ?的内切圆，E ，F 是切点， OE AB ∴⊥，OF BC ⊥， 90OEB OFB ∴∠=∠=?， ABC ?Q 是等边三角形， 60B ∴∠=?， 120EOF ∴∠=?，

1

602

EPF EOF ∴∠=

∠=?， 故选：B ．

9．如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x ．则列出方程正确的是( )

A ．3252x x ?+=

B ．3205102x x ?+=?

C ．320520x x ?++=

D ．3(20)5102x x ?++=+

解：设“□”内数字为x ，根据题意可得： 3(20)5102x x ?++=+．

故选：D ．

10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ．连结EG ，BD 相交于点O 、BD 与HC 相交于点P ．若GO GP =，则

ABCD EFGH

S S 正方形正方形的值是( )

A ．12

B ．22

C ．52

D ．

15

4

解：Q 四边形EFGH 为正方形， 45EGH ∴∠=?，90FGH ∠=?， OG GP =Q ，

67.5GOP OPG ∴∠=∠=?， 22.5PBG ∴∠=?，

又45DBC ∠=?Q ， 22.5GBC ∴∠=?， PBG GBC ∴∠=∠，

90BGP BG ∠=∠=?Q ，BG BG =，

()BPG BCG ASA ∴???， PG CG ∴=．

设OG PG CG x ===， O Q 为EG ，BD 的交点，

2EG x ∴=，2FG x =，

Q 四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， BF

CG x ∴==，

2BG x x ∴=+，

2222222(21)(422)BC BG CG x x x ∴=+=++=+，

∴

()2

2

422222ABCD EFGH

x S S x

+=

=+正方形正方形．

故选：B ．

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11．点(,2)P m 在第二象限内，则m 的值可以是（写出一个即可） 1-（答案不唯一）． ． 解：Q 点(,2)P m 在第二象限内， 0m ∴<，

则m 的值可以是1-（答案不唯一）． 故答案为：1-（答案不唯一）．

12．数据1，2，4，5，3的中位数是 3 ．

解：数据1，2，4，5，3按照从小到大排列是1，2，3，4，5， 则这组数据的中位数是3， 故答案为：3．

13．如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为 20 2cm ．

解：该几何体的主视图是一个长为4，宽为5的矩形，所以该几何体主视图的面积为220cm ． 故答案为：20．

14．如图，平移图形M ，与图形N 可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 30 ?．

解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，

18060D C ∴∠=?-∠=?，

180(54070140180)30α∴∠=?-?-?-?-?=?，

故答案为：30．

15．如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A ，B ，

C 均为正六边形的顶点，AB 与地面BC 所成的锐角为β．则tan β的值是 193

15

．

解：如图，作//AT BC ，过点B 作BH AT ⊥于H ，设正六边形的边长为a ，则正六边形的半径为，边心距3

2

a =

．

观察图象可知：192BH a =，53AH =， //AT BC Q ，

BAH β∴∠=，

191932

tan 15

532

a

BH AH a β∴===． 故答案为

193

15

． 16．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC ，BD （点A 与点B 重合），点O 是夹子转轴位置，OE AC ⊥于点E ，OF BD ⊥于点F ，1OE OF cm ==，6AC BD cm ==，CE DF =，:2

:3CE AE =．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O 转

动．

（1）当E ，F 两点的距离最大时，以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的周长是 16 cm ． （2）当夹子的开口最大（即点C 与点D 重合）时，A ，B 两点的距离为 cm ．

解：（1）当E ，F 两点的距离最大时，E ，O ，F 共线，此时四边形ABCD 是矩形， 1OE OF cm ==Q ， 2EF cm ∴=， 2AB CD cm ∴==，

∴此时四边形ABCD 的周长为226616()cm +++=，

故答案为16．

（2）如图3中，连接EF 交OC 于H ．

由题意212

6()55

CE CF cm ==

?=，

1

OE OF cm

==

Q，

CO

∴垂直平分线段EF，

13

()

5

OC cm

===

Q，

Q

11

22

OE EC CO EH

=

g g g g，

12

1

12

5()

1313

5

EH cm

?

∴==，

24

2()

13

EF EH cm

∴==

//

EF AB

Q，

∴

2

5

EF CE

AB CB

==，

52460

()

21313

AB cm

∴=?=．

故答案为

60

13

．

三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）

17

．计算：0

(2020)tan45|3|

-+?+-．

解：原式12135

=+-+=．

18．解不等式：552(2)

x x

-<+．

解：552(2)

x x

-<+，

5542

x x

-<+

5245

x x

-<+，

39

x<，

3

x<．

19．某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题：

抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表

B 健身操 ▲

C 俯卧撑 31

D 开合跳 ▲ E

其它

22

（1）求参与问卷调查的学生总人数；

（2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？

（3）该市共有初中学生8000人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数．

解：（1）2211%200÷=（人)， 答：参与调查的学生总数为200人； （2）20024%48?=（人)，

答：最喜爱“开合跳”的学生有48人；

（3）最喜爱“健身操”的学生数为2005931482240----=（人)， 40

80001600200

?

=（人)， 答：最喜爱“健身操”的学生数大约为1600人．

20．如图，?AB 的半径2OA =，OC AB ⊥于点C ，60AOC ∠=?． （1）求弦AB 的长． （2）求?AB 的长．

解：（1）Q ?AB 的半径2OA =，OC AB ⊥于点C ，60AOC ∠=?， 3

sin 6023AC OA ∴=?==g ，

223AB AC ∴==；

（2）OC AB ⊥Q ，60AOC ∠=?， 120AOB ∴∠=?， 2OA =Q ， ∴?AB 的长是：

120241803

ππ

?=． 21．某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6C ?，气温(C)T ?和高度h （百米）的函数关系如图所示． 请根据图象解决下列问题： （1）求高度为5百米时的气温； （2）求T 关于h 的函数表达式；

（3）测得山顶的气温为6C ?，求该山峰的高度．

解：（1）由题意得，高度增加2百米，则气温降低20.6 1.2()C ?=?， 13.2 1.212∴-=，

∴高度为5百米时的气温大约是12C ?；

（2）设T 关于h 的函数表达式为T kh b =+， 则：313.2

512k b k b +=??+=?，

解得0.615k b =-??=?

，

T ∴关于h 的函数表达式为0.615T h =-+；

（3）当6T =时，60.615h =-+，

解得15h =．

∴该山峰的高度大约为15百米．

22．如图，在ABC ?中，42AB =，45B ∠=?，60C ∠=?． （1）求BC 边上的高线长．

（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将AEF ?折叠得到PEF ?． ①如图2，当点P 落在BC 上时，求AEP ∠的度数． ②如图3，连结AP ，当PF AC ⊥时，求AP 的长

解：（1）如图1中，过点A 作AD BC ⊥于D ．

在Rt ABD ?中，2

sin 454242

AD AB =?=?=g ．

（2）①如图2中，

AEF PEF ???Q ， AE EP ∴=， AE EB =Q ，

BE EP ∴=， 45EPB B ∴∠=∠=?， 90PEB ∴∠=?，

1809090AEP ∴∠=?-?=?．

②如图3中，由（1）可知：8

3

sin 603

AD AC =

=

?，

PF AC ⊥Q ， 90PFA ∴∠=?，

AEF PEF ???Q ， 45AFE PFE ∴∠=∠=?，

AFE B ∴∠=∠， EAF CAB ∠=∠Q ， AEF ACB ∴??∽，

∴AF AE AB AC

=22

4283=， 23AF ∴=

在Rt AFP ?，AF FP =， 226AP ∴==．

23．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数21

()42

y x m =--+图象的顶点为A ，与y 轴

交于点B ，异于顶点A 的点(1,)C n 在该函数图象上． （1）当5m =时，求n 的值．

（2）当2n =时，若点A 在第一象限内，结合图象，求当2y …

时，自变量x 的取值范围． （3）作直线AC 与y 轴相交于点D ．当点B 在x 轴上方，且在线段OD 上时，求m 的取值

范围．

解：（1）当5m =时，2

1(5)42y x =--+，

当1x =时，2

14442

n =-?+=-．

（2）当2n =时，将(1,2)C 代入函数表达式21()42y x m =--+，得2

12(1)42

m =--+，

解得3m =或1-（舍弃）， ∴此时抛物线的对称轴3x =，

根据抛物线的对称性可知，当2y =时，1x =或5，

x ∴的取值范围为15x 剟．

（3）Q 点A 与点C 不重合， 1m ∴≠，

Q 抛物线的顶点A 的坐标是(,4)m ， ∴抛物线的顶点在直线4y =上，

当0x =时，2

142y m =-+，

∴点B 的坐标为21

(0,4)2

m -+，

抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，m 逐渐减小，点B 沿y 轴向上移动， 当点B 与O 重合时，2

1402

m -+=，

解得22m =或22-

当点B 与点D 重合时，如图2，顶点A 也与B ，D 重合，点B 到达最高点， ∴点(0,4)B ，

21

442

m ∴-+=，解得0m =，

当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点B 不在线段OD 上， B ∴点在线段OD 上时，m 的取值范围是：01m <…或122m <<．

24．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB ，OC 的中点D ，E 作AE ，AD 的平行线，相交于点F ，已知8OB =． （1）求证：四边形AEFD 为菱形． （2）求四边形AEFD 的面积．

（3）若点P 在x 轴正半轴上（异于点)D ，点Q 在y 轴上，平面内是否存在点G ，使得以点A ，P ，Q ，G 为顶点的四边形与四边形AEFD 相似？若存在，求点P 的坐标；若不存在，试说明理由．