风电场风机优化布置数学模型研究

风电场风机优化布置数学模型研究

王丰, 刘德有，谭志忠

（河海大学水利水电工程学院）

摘 要：推导建立了一种新的风电场简化风机尾流模型，给出了任意角度来风情况下的风电场风机尾流影响

区域以及尾流叠加的计算公式，建立了计入多因素的风电场成本-效益模型和增量装机效益评价模型。最后，利用算例资料，进行了给定区域风电场的风机优化布置以及不同布置方案的经济性分析和对比评价，确定了

风机最优布置数量和布置形式。结果表明：采用本文的风机优化布置数学模型能够有效地进行大型风电场的

风机布置优化计算分析。

关键词：风电场；风机优化布置；尾流模型；成本-效益模型；效益评价模型

1 概述

由于具有良好风能资源的区域土地资源是不可再生的有限的宝贵资源，但风能的能流密度很低，大型风电场的占地面积相对很大，因此，如何充分、高效地开发利用风能资源及经济、合理地减小风电场的占地面积将成为今后值得关注的重要研究课题[1-3]。此外，对于海上风电场，国外工程经验表明，其输电线路成本约占工程总投资的20％[4,5]。因此，无论是陆上或海上的大型风电场，在满足风机设计出力的前提下，应对其风机布置进行反复的优化和经济评价分析。

对于总占地面积给定的风电场，如不考虑各风机尾流的相互影响，则其风机数量布置越多，单位容量的平均投资成本越低，经济性越好。但实际上，当风经过风机后，由于风轮吸收了部分风能，且转动的风轮会导致湍动能增大，因此风机后风速会有一定程度的突变减小，这就是所谓的风机尾流效应。尔后，在周围气流的作用下，风速会逐渐恢复，但在到达下游风机时，风速的恢复值与两风机间的距离有关。如风电场内风机布置过密，以致风经过上游风机后的风速来不及恢复而导致下游风机的工作风速过低，则将造成下游风机出力大大减小甚至为零，此时，风电场的单位电量效益较小、单位出力投资成本较大，经济性较差。反之，如风电场内风机布置过疏，风机总装机容量过小，则其单位容量的投资成本和运行维护费用均较高，经济性也较差。因此，根据风电场场址处的风能资源情况，在选定风机单机容量后，合理确定风机布置数量和布置形式是提高大型风电场经济性的重要设计环节。

关于风电场的风机优化布置，目前国内大多依赖国外商业软件进行工程设计，而其基本理论的学术研究还很少，主要集中在经验估算上，如文献[6]给出了风机布置的经验间距，指出：在盛行风向上风机间应相隔5～9倍风轮直径，在垂直于盛行风向上风机间应相隔3～5倍风轮直径。显然，该方法比较粗略，难以得到优化布置方案。国外一些学者采用数值模拟方法对该问题进行了研究，如文献[7,8]用遗传算法对风电场风机布置进行了优化，但其采用的风机尾流模型存在一定缺陷，给出的风电场风机成本-效益模型过于简单，且未给出风机尾流影响区域的计算方法以及增量装机效益评价模型等。

本文针对大型风电场的特点，推导建立其新的风机尾流模型、成本-效益模型和增量装机效益评价模型等，编制相应的优化计算程序，并结合算例进行给定区域风电场的风机优化布置以及不同布置方案的经济性分析和对比评价，确定风机最优布置数量和布置形式。

2 数学模型的建立

风电场风机优化布置的数学模型主要包括以下三个模型：（1）风机尾流模型；（2）风机成本-效益模型；（3）风电场增量装机效益评价模型。风机尾流效应的模拟是整个风电场发电量效益预测的基础，因此，风机尾流模型的合理性将直接影响到风电场效益的估算以及风机优化布置的正确性。风电场风机成本-效益模型用于对某一选定的风机布置方案进行其与风机相关的投资成本核算，并结合尾流模型对评估周期内的发电量效益进行估算，该模型的合理性会直接影响到风机布置方案的经济性评价结论。风电场增量装机效益评价模型用于对选定的不同风机布置方案的对比评价分析，并最终确定给定区域风电场的风机最优布置方案。

2.1 风机尾流模型

目前，在进行风电场风机优化布置模拟计算时，均忽略了风轮的湍流影响，而采用简化风机尾流线性扩张模型[7-9]，即尾流影响边界随距离线性增大模型。此外，目前多数风机尾流模型未考虑风经过风机后的尾流影响区域直径的突然扩大，而一些考虑了该因素的尾流风速预测解析计算公式，则不能满足上游风机后风速与尾流影响区域边界的连续性。为此，本文推导了一种新的简化风机尾流模型。

如图1所示，采用控制体积法进行风轮流场分析。u0、u分别为风轮前、后距离风轮x处的风速；

D 0为风轮直径；D a 、D 分别为风轮后、距离风轮x 处的尾流直径。现选取风轮后至距离风轮x 处之间的尾流影响流场作为控制体，并设其流体动量为p r ，则根据欧拉输运公式[10]可列出：

∫∫∫∫∫∫∫∫?+??=cs cs

sys nds u p dV p t dV p Dt D r r r

(1)

式（1）左端为控制体内流体动量的总变化率，等于风机受到的推力T ；右端第一项为控制体内总动量随时间的变化率，第二项为单位时间内控制体表面流进、流出量差引起的净流出量。因有：

dA u u u dV p t cs

A ∫∫∫∫?=??)(00ρr

(2)

∫∫∫?=?cs A

dA u u nds u p )(2

02ρr (3)

将式（2）、式（3）代入式（1）可得：

∫?=A dA u u u T )(0ρ (4)

在实际风机尾流计算中，可忽略尾流沿纵向尺寸上的分布差异，上式可简化为：

A u u u T )(0?=ρ (5)

式中：A 为风机下游尾流面积，42D A π=。

由此，尾流风速u 只与x 有关。设a 为风经过风机后的衰减率，即01u a a ?=。则有：

T C A u T 02

021

ρ=（其中：42

00D A π=） (6)

风机的推力系数C T 与a 的关系为[11]：

()a a C T ?=2 (7)

由式（5）～式（7）可得： ())1(220a a D D a ??= (8)

在风机尾流区域内，由于风速的变化率相对较小，可将式（5）简化为：A u u u T a )(0?=ρ，并与式（6）～式（8）联立，可得：

()A A a u u a ?=10 (9)

假设风机尾流影响半径随距离x 线性增加，则：

[])/(21)(a a D x k D x D += (10)

其中，k 为表征风机尾流影响区域夹角的常量，可由下列经验公式给出[7]：

()

e r Z k /ln 5

.0= (11)

式中：Z 为风机水平轴中心高度；r e 为地表粗糙度。

u u

D D a

D 0控制体x

图1 尾流模型概化流场示意图

2.2 尾流影响区域及尾流叠加的计算公式

风电场风机尾流影响区域的计算，可根据风向分为两种以下情况：

（1）直风向：包括来风为0、90、180、270度的情况。由于区域计算网格中心点（即风机可能的布置点，参见3.1节）之间的间距大于风机的最大尾流半径，所以该情况下的风机尾流对两侧风机不产生影响，如图2(a)所示。

该情况上、下游风机之间的尾流影响距离为：

22)()(p j k i xy y y x x d x ?+?== (12)

式中：(x k , y p )、(x i , y j )为风机所在的坐标点。

（2）斜风向：除直风向以外的任意方向的来风情况。此时必须判断下游风机是否处于上游风机的尾流影响区域内，如图2(b)所示，对于风机布置点(x i , y j )、(x k , y p )，如果y p 满足式(13)，则说明布置点(x k , y p )在上游布置点(x i , y j )的尾流影响区域内。

≤≤+?+p j i k y y x x arctg tg ]))(([αβj i k y x x arctg tg +??))((αβ (13)

该情况上、下游风机之间的尾流影响距离为：

??

???????=β|)(|cos k i p i xy x x y y arctg d x (14) (x i ,y j )k p u y =tg (β+arctg α)(x -x k )+y j y =tg (β-arctg α)(x -x k )+y j d x y

β

arctg α

(x k , y p )

(x i , y j )风 向x u 0

(a) 直风向 （b) 斜风向

图2 风机简化尾流模型影响区域示意图 在斜风向时，单台风机可能受到多台风机尾流的影响，如图3所示。对此问题的处理，以往大多按照“受上游风机尾流影响最大”的方法进行简化计算，本文则采用动能衰减原理考虑了多台风机尾流的影响叠加。如图3所示的风机布置点(x k , y p )处的尾流风速u kp 按下式计算：

210

0)1(1∑=?=?Num i i kp

u u u u (15) 式中：Num 为尾流影响到了(x k , y p )处的风机总台数。

(x k , y p )(x i 1, y j 1)风 向(x i 3, y j 3)

(x i 2, y j 2)

u 0

图3 风电场风机尾流叠加原理示意图 2.3 成本-效益模型

在风机优化布置时，只需考虑与风机设备相关总投资成本C total

（约占工程总投资70%～80%），包括：与风机设备相关固定投资成本C 1和评估周期内的总运行维护管理经营成本C 2两项。其中，C 1由风电场相关设备折算生产成本模型进行估算，本文采用文献[7,8]中的模型；C 2与很多因素有关，如人工费、管理费和折算至每年的机组大修费等，为简化计算，将年运行维护费用表示为与C 1有关的比例函数αC 1。

)1(3)2(2

00174.021α?+?+?=+=?T e N C C C C N total (16)

式中，C 为单位风机折算投资成本；T 为风电场效益评估周期；N 为风电场风机总台数；α为每年单位风机运行维护总成本占C 1的百分比系数。

关于风电场效益的计算，一般主要计及其发电收益，但根据我国国情还可计入CDM （清洁发展机

制）收益的成本折减[12]。在选定的风电场效益评估周期内，风电场风机总平均出力P total 可根据平均风速概率密度函数PE (u )、风机功率曲线P (v )～v （由风机生产商给出）计算得到：

∫∑∞

=???????=01)()(du v P u PE P N i i total (17) 式中，u 为风电场内的平均天然风速；v 为受尾流效应影响下的风机工作风速。

在式(17)中，风场风速概率密度函数PE (u )采用Weibull 两参数概率分布函数进行拟合求解[13]；单台风机工作风速v i 由尾流模型计算得到；对应风速v i 下的风机出力P (v i )由风机功率曲线插值求出[14]。

计入CDM 收益的成本折减，必须求出在CDM 项目实施周期T CDM 内的风能可利用时间T e ：

()[]()[]{}

/exp /exp 21k k CDM e c V c V T T ????= (18)

式中，V 1、V 2分别为风机的启动风速和切除风速；c 、k 分别为风速概率密度函数的Weibull 分布的尺度参数和形状参数。

由此，可以得到计入CDM 收益的风电场风机最终折算成本为：

CDM e total total total T P C C β?=' (19) 式中：βCDM 为计入CDM 收益的电量成本折减系数。

2.4 增量装机效益评价模型

风电场风机布置的最终评价目标是：通过优化布置，使得风电场总投入与总产出之比最小，即单位投资的效益最大。评价目标函数为：

()total total P C Min '

本文采用增量评价法对风电场增装风机的成本效益比进行评价。即在满足相同的地形、风能和风机条件下，在N 台风机的基础上再增装第N +1台风机后，将风电场的投入和产出的增量进行比较。如果增装的第N +1台风机的成本增量与产出增量之比I ncr 满足下列式(20)，则说明增装该台风机经济性不好，从而即知拟建风电场布置N 台风机为最优。

()N total total total total ncr P C P C I ''≥ΔΔ= (20)

3 数学模型的求解

3.1 计算方法

对于上述的风机优化布置数学模型，可采用多种数学方法求解。本文采用遗传算法[15]，按照以下步骤进行优化计算：（1）遗传编码，即对风电场流场概化，包括网格的划分、风机布点的选择等；（2）产生初始种群，即设定风电场风机数量及布置形式的初始条件；（3）适应值函数的设计，即设定表征风电场风机布置优劣的特征函数；（4）杂交算子和变异算子的设计，即如何根据已有风电场布置形式生成一种或多种新的风电场布置形式；（5）控制参数的制定，即设定风电场风机布置的进化代数等控制参数，控制参数超过该设定值，计算中止退出；（6）计算终止条件，即风电场效益评价模型是否得到满足，若满足，则计算完成。具体实现过程为：

将风电场划分为m ×n 的正方形网格，假设只在每个方格的中心点布置风机，且网格边长大于风机产生的最大尾流半径。将风电场风机的每种布置方式视为一个个体，并设布有风机的网格点值为1，其它点为0。

选择初始种群的大小为n ，每个个体中有N 个网格点数值为1，即布置N 台风机，并随机给出风电场n 种风机布置形式。

根据上述成本-效益模型，建立并计算遗传算法的适应值函数fitness(N) = C total ’/P total 。选择适应值较小的N parents 个个体进入交配池作为父代产生n -1个子代，与父代中适应值最好的个体组成新的种群。需指出的是，为了保证在个体交叉过程中的风机数目不变，本算法从一个父代中两次随机选取k 个基因，两次选取的基因各异，将两次选取的k 个基因进行交叉得出新的个体。

设置风电场风机优化布置的最大进化代数控制值generation =10000，若进化代数超过此控制值，则中断程序，输出计算结果。选择风电场增量装机效益评价模型作为该计算的终止条件。

根据以上数学模型，即可编制风电场风机优化布置计算程序，其基本计算步骤：（1）获取风电场的风玫瑰图、风机特性资料，设置遗传算法相关控制参数，并对计算区域进行网格划分；（2）用遗传算法求得最优化解，采用增量评价法，确定该区域可布置的风机最优台数；（3）输出优化计算结果。 4 算例分析

某风电场及其风机的基本参数如表1、表2。并取风机年运行维护成本系数α=0.07，风电场效益评估周期T=25，单台风机投资成本C=0.45（千万元），CDM实施周期T CDM=10，其电量成本折减系数βCD=0.06。经优化计算，得到该风电场风机的最优布置形式及布置台数，如图4所示。分析该算例的计算结果可得到以下结论：

（1）验证了本文所建立的风电场风机优化布置模型的有效性。从图4(a)可知，进化2000代后适应值已经收敛，其值为0.001478，对应的图4(b)为27台风机时的最优布置形式。由图4可见，增装第27台风机时，虽然风电场效率有所减小，但成本-效益曲线斜率略有减小，增装第27台风机具有一定的经济性；增装第28台风机时，成本-效益曲线的斜率增大，增装的风机经济性不合理。因此，可以确定该风电场的最优风机布置台数为27台。

表1 风电场、风机基本参数

风电机组参数 风向 平均风速(m/s) 风向频率

C T=0.88；Z=60m；r e=0.3；R=20m；

power=605kW

90度12 0.4 50度10 0.3 0度14 0.3

表2 605kW风机功率曲线

风速(m/s) 3 5 7 9 11 功率(kW) 0.00 59.45 159.18 330.71

531.79 风速(m/s) 13 14 15 17 19 功率(kW) 606.19 613.66 613.66 613.66 613.66

(a)适应值变化曲线(b) 风机最优化布置图

(c) 成本-效益关系曲线(d) 风电场效率曲线

图4 风机优化布置计算结果

（2）风电场风机最优布置方案与评估周期内的风速、风向频率资料等有着极为密切的关系，因此，

在实际工程风机布置优化计算时，风能资料应尽量能反应整个风电场运行周期内的真实情况，否则可

能造成实际风电场发电量无法达到设计要求。

（3）比较计算发现，地表粗糙度r e的大小直接影响了线性化尾流模型的影响区域，对计算结果

的正确性影响较大。因此，在实际工程优化计算时，应根据具体情况进行合理的取值。

5 结语

本文针对地形变化不大的陆上和海上大型风电场推导建立了一种新的简化风机尾流模型，给出了

任意角度来风情况下的风机尾流影响区域及尾流叠加的计算公式，发展建立了考虑多个因素的风电场

成本-效益模型，并利用风电场效益增量法对风机布置进行经济合理性评价，确定风电场风机最优布置

数量和布置形式，最后应用遗传算法的基本理论对风电场风机优化布置进行了模拟计算分析。结果表明：采用本文所建立的数学模型能够有效地对大型风电场的风机布置进行优化计算分析，从而更高效

地利用风能资源，提高风电场的经济性。

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