南航A(二)试题与答案

南京航空航天大学·高等数学Ⅱ(A 卷试题)

一、填空题(每小题3分,共24分): 1.设函数x

y z ??

? ??=31,则

=

??)

1,1(x

z 2.设),(y x f 连续,交换二次积分的次序:?

?1

12),(x

dy y x f dx

3.设∑是上半球面224y x z --=

,则曲面积分dS z y x ??

∑

+++2

2211

4.设→

→

→

→-+-++=k z x z j z x y i z x x A )1()1()1(2

2

2

,则→

A div

=3.

5.函数)21ln()(x x f += 展开成x

6.已知幂级数

n n n x a )1(0

-∑∞

=在x=-1收敛,则该幂级数在2

3

=

x 的敛散性为：绝对收敛. 7.已知0)()4(2

=+++dy y ax dx y x 是全微分方程,则

a = 4.

二、(6分) 设y=y(x)是由方程y

x

e e xy -= 确定的函数,试计算0

=x dy

.

三、(8分)设f 是任意二阶可导函数,并设)(x ay f z +=,满足方程222226y z

y x z x

z ??-???+??=0

,试确定a 的值.

2,,3060622-==∴=-+?=''-''+''a or a a a f a f a f

四、(6分)计算dy xy y dx xy x

L

)2()2(22

-+-?,其中L 是抛物线2x y =上点(-1,1)到(1,1)

的一段弧.

五、(10分)判别下列级数的敛散性:

(1)(4分)∑∞

=1!

3n n n n

n .

(2)(6分)

∑∞

=+-1

11

sin

)1(n a n n

,若收敛,指明是条件收敛还是绝对收敛.

同敛散，故当1>α时原级数绝对收敛.

六、(8分)将函数?

?

?

??-=101

)(x f ππ≤<=<≤-x x x 000展开成傅里叶级数.

七、(10分)求幂级数n

n x n ∑∞

=+0)12(的收敛域及和函数,并求∑∞

=+-0

2)

12()1(n n

n n 的值.

八、(10分)计算曲面积分dxdy z dzdx x y dydz z x I )1()1()1(3

33+++++++=

??∑

,其中∑是上半球面2

2

1y x z --= 的上侧.

解:设辅助圆面1:),(,0:220≤+∈=y x D y x z S xy 的下侧,则

:

十、(8分)设定义在(-∞,+∞)上的函数f(x),对任意x,y ∈(-∞,+∞),满足

x y e y f e x f y x f )()()(+=+,且)0()0(≠='a a f ,

(1)证明:对任意x ∈(-∞,+∞),)(x f '存在,并求出函数)(x f ; (2)将)(x f 展开成(x-1)的幂级数,并求)1()

2007(f .

(1)证: Θx x

e x

f e

x f x x f )()()(?+=?+?,0)0()0()0()00()0(=?+=+=f f f f f

x axe x f =∴)(

故ae f

2008)1()

2007(=