量子力学讲义第二章讲义

第二章 一维势场中的粒子

§2.2 方 势

一、一维运动

当粒子在势场V (x ,y ,z )中运动时，其 Schrodinger 方程为：

22

[(,,)](,,)(,,)2V x y z x y z E x y z m

ψψ-?+= 若势可写成： V (x ,y ,z ) = V 1(x ) + V 2(y ) + V 3(z ) 形式，

2212

[()]()()2x d V x X x E X x m dx -+= 2222

[()]()()2y d V y Y y E Y y m dy

-+= 2232

[()]()()2z d V z Z z E Z z m dz -+= ψ(x ,y ,z ) = X (x ) Y (y ) Z (z ) ψ1(x )

x y z E E E E =++ 二、一维无限深势阱 0(0)()(0,)

x a V x x x a ?<

∞

<>?? 这是定态问题

一维无限深势阱（0~a ）的求解

解：（1）列出各势域的 S — 方程

22

2

[()]()()2d V x x E x m dx ψψ-+= 20222

2

2202

22()0202()0I I II II III III d m

V E dx d mE

dx

d m

V E dx ψψψψψψ?--=???+=???--=??

00E V << 0()V →∞

，令k =

)(0>k

，β=方程可简化为：22

2

222

222

000I I II

II III

III d dx d k dx d dx

ψβψψψψβψ?-=????+=???-=??

(2). 写出通解

02

2

2

=+y a dx y d → sin cos sin()()()

iax iax

y A ax B ax A ax y Ae Be

δ-?=+?=+??=+?或束缚态自由态 022

2=-y a dx

y

d → ax ax B

e Ae y -+= 11330sin()

0x x I II x x III A e B e x A kx x a A e B e

x a

ββββψψδψ--?=+≤?

=+<

（3）使用波函数标准条件（单值性一般在球坐标系中考虑） 1) 有限性：当-∞→x ，I ψ有限性01=?B 当∞→x ，III ψ有限性03=?A

1

x

I Ae βψ∴= 3x II B e βψ-= 当0V →∞，β→∞

0=∴I ψ，0=III ψ

则解为 00

sin()00

I II III x A kx x a x a ψψδψ?=≤?

=+<

=≥?

2) 连续性：00

====x II x I ψψ， 0δ?=， sin II A kx ψ∴= 0II

III

x a x a

ψψ====，sin 0A ka ?=

sin 0ka =?ka n π= n k a π=

k = 2222

2n n E ma π= ， ,,21=n 能量是量子化的，不连续

00,sin

0n x x a n x

A x a

a ψπ?≤≥?=?<

（4）由归一化条件定系数A

2

2

20

sin 12

a

A n x

A dx a a π=?=?

A =

00,0n x x a n x

x a

a ψπ?≤≥=<<

标准形式是(0~a )

2222

,1,2,200,0n n n E n ma x x a n x x a a πψπ?==???

?≤≥?

?=?<

能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。 讨论

00,0n x x a n x

x a

a ψπ?≤≥=<<

其能量本征能为：222

2

2n n E ma π= ， ,,21=n

1、在无限深势阱中，粒子的能量是分立，不是连续的；1=n 时能量最小，叫基态能量（01≠E ）或零点能。

通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。一般地说，束缚态所属的能级是分立的。 2、 与x 有n-1个节点。除端点外,基态波函数无节点,第一激发态有一个节点, 第k 激发态有k 个节点.

3、 函数在全空间连续,但微商n

ψ'在x=0和a 点不连续。对无限深势阱，dx

d ψ

是不连续的；对有限深势阱，dx

d ψ

是连续的。 如果区域的势为∞，则ψ必为0，今后不必重新解； 三、宇称

(1)空间反射：空间矢量反向的操作。 r r ?- (,)(,)r t r t ψψ?-

(2)此时如果有：

(,)(,)r t r t ψψ-=±

(,)(,)r t r t ψψ-=

称波函数具有正宇称（或偶宇称）；

(,)(,)r t r t ψψ-=-

称波函数具有负宇称(或奇宇称)；

(3)如果在空间反射下，

(,)(,)r t r t ψψ-≠±

则波函数没有确定的宇称。 四、有限深对称方势阱

/2()0

/2

V x a V x x a ?>?=?

≤??

a 为阱宽，V 0为势阱高度。求束缚态(0

tgka β

=-

或 /2k

ctgka β

=

其中k =

，β=五、方势垒的反射与透射

束缚态：当x →±∞时，ψ→0——其能量是不连续的； 自由态：当x →±∞时，ψ不趋于零——其能量是连续的。 典型势垒是方势垒，其定义如下：

0()0

0,V x a V x x x a

?<

<>??

现在的问题是具有一定能量E 的粒子沿x 轴正方向射向方势垒。

i) 考虑E

解：(1)、三个区域的Schr?dinger 方程可写为：

211222

2022223322

2002()0020d m E x dx d

m V E x a dx

d m

E x a dx

ψψψψψψ?+=??

因为E

令k =

，β= 22

112222

22

22

3

32000d k dx d dx d k dx

ψψψβψψψ?+=???-=???+=?? 解得

123(1)0(2)0(3)

ikx ikx x x ikx ikx e Re x Ae Be x a Se Ce x a

ββψψψ---?=+?

ikx e ψ=入 、ikx Re ψ-=反、ikx Se ψ=透 在III 区域没有反射波，所以须令C =0。

123ikx ikx x x ikx e Re Ae Be Se ββψψψ--?=+?

=+??=?

(2)利用波函数标准条件来定系数。 ①. 波函数连续

0:x = 12(0)(0)ψψ=1R A B ?+=+ (4)

:x a = 23()()a a ψψ=a a ika Ae Be Se ββ-?+= (5)

②. 波函数导数连续

0:x = 1

2(0)(0)ψψ''= (1)ik

R A B β

-=- (6)

:x a = 2

3()()a a ψψ''= a a ika ik

Ae Be Se βββ

--= (7)

(4)、(6)两式相加减，分别得

1[(1)(1)]21[(1)(1)]2ik ik A R ik ik B R ββββ?=++-??

??=-++??

(8)

(5)、(7)两式相加减，分别得

[1]2[1]2ika a ika a S ik

A e S ik

B e βββ

β

-+?=+????=-??

(9)

(8)与(9)消去A 、B ，得

(1)(1)(1)(1)(1)(1)ika a ika a ik ik ik R S e ik ik ik R S e ββββββββ-+?++-=+??

??-++=-??

(10)

消去R ，得

2

11/()11/ika a ika a Se ik Se ik ββββ

-+--=-+

解出，得 2

2/[1(/)]2ika

ik Se

k

k a i

a

β

ββββ

-=

--sh ch (11)

(10)式消去S ，得

21/11/1/11/a ik R

ik e ik R

ik βββ

ββ

--++=++- 22[1(/)][1(/)]2k a

R k

k a i a

ββββββ

-=

--sh sh ch (3). 透射系数和反射系数

①、透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数, 用T 表示；

t i

j T j =

②、反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数, 用F 表示； f i

j F j =

几率流密度矢量： **()2i j m

ψψψψ=-?-?

**()2x i d d j e m dx dx

ψψψψ=-

-

ikx e ψ=入，则入射波几率流密度

i j x k e m

= ikx Re ψ-=反，反射波几率流密度：

2f x k j R e m

=-

对透射波ikx Se ψ=透，所以透射波几率流密度：

2t x k j S e m

=

于是透射系数为:

t i j T j =2

S =222

22222

4()4k k a k ββββ

=++Sh 同理得反射系数：

f

i

j F j =

2

R =2222222222()()4k a k a k βββββ+=++Sh Sh

由以上二式显然有F +T =1，这是粒子数守恒的表现， ii) E > V 0时，不必重新去解

因k '=

，当E > V 0时，β是虚数， 故可令： β=ik'

，其中β=

这样把前面公式中的β换成ik' 并注意到： sin ik'a = i sinh βa

22

2

22222

4()sin 4k k T k k k a k k '='''-+ 22

11[1()sin ]4k k k a k k

-''=+

-' 22222

22222

()sin ()sin 4k k k a

F k k k a k k ''-='''-+ 由上可知：F ≠0，即有部分反射，这是一种量子效应；当F =0，k a n π'=，即222

02

2n E V ma

π=+ 时，T =1，粒子产生完全透射，没有反射，这种现象称为共振透射，产生共振透射的能量称为共振能量。 隧穿效应 （tunnel effect ） ：粒子能穿透比它动能更高的势垒的现象。 3、讨论

(1)、当βa >> 1时

2

221(

)24

a a a

e e sh a e ββββ--∴=≈ 透射系数则变为：

2222222241()44a k T k e k ββββ≈++ 224

1()4

4a k e k

ββ

β=++

当k ≈β（同一数量级）时，1a β>>，24a

e β>>

于是：

22

16(

)a

T e k

k

ββ

β

-≈

+

0T e

=002

0()

16

E V E T V -=

粗略估计，认为k ≈β（相当于E ≈V 0/2）,则T 0 = 4是一常数。 (2)、任意形状的势垒

可把任意形状的势垒分割成许多小势垒，这些小势垒可以近似用方势垒处理。

对每一小方势垒透射系数

0T T e

=

则a →b 贯穿势垒V (x)的透射系数等于贯穿这些小方势垒透射系数之积，即

20T T e -

?=

此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。

§2.2 线性谐振子

一、引言 1、何谓谐振子

量子力学中的线性谐振子就是指在221

2

V m x ω=的势场中运动的粒子。 2、为什么研究线性谐振子 二、线性谐振子 1、方程的建立

线性谐振子的 Hamilton 量：

222?1?22p H m x m ω=+22222122

d m x m dx ω=-+ 则Schr?dinger 方程可写为 ：

22222()1()()22

d x m x x E x m dx ψωψψ-+= (1) 为简单计，引入无量纲参量ξ代替x ，

令x αξ=，其中α=

0)()(22

2=-+ξψξλξ

ψd d (2) 此式是一变系数二阶常微分方程。其中2E

λω

≡ 2、求解

0)()(22

2=-+ξψξλξ

ψd d (1). 求渐近解

当ξ→±∞时，λ<<ξ 2，于是方程变为：

0)(22

2=-ξψξξ

ψ

d d (3)

其解为：2

2

~)(ξξψ±

e

但因为波函数的标准条件要求当ξ→±∞时，ψ应为有限，舍去2

2ξe ，只取2

2

ξ-

e

，令方程(2)的解为

2

2

()()u e

ξψξξ-

=，

(2). u (ξ)满足的方程

将ψ (ξ)表达式代入方程(3)得关于待求函数u (ξ)所满足的方程：

22

2(1)0d d u u u d d ξλξξ

-+-= (4) ——二阶线性变系数常微分方程 此即Hermite 方程。 (3). 解u (ξ)——级数解

ξ=0是方程(4)的常点，所以u (ξ)可以表示为泰勒级数

()k k k u b ξξ∞

==∑

则方程22

2(1)0d d u u u d d ξλξξ

-+-=变成：

20

[(1)(2)2(1)]0k

k k k

k b

k k b k b λξ∞

+=++-+-=∑ 即： 2(1)(2)2(1)0k k k b k k b k b λ+++-+-= 从而导出系数b k 的递推公式：

221(1)(2)

k k k b b k k λ

++-=

++

由上式可以看出：

024b b b →→→

135b b b →→→

因为方程是二阶微分方程，应有两个线性独立解。可分别令： b 0≠0, b 1=0. →u even (ξ);只含偶次幂项 b 1≠0, b 0=0. →u odd (ξ).只含奇次幂项 则通解可记为：

01odd even u C u C u =+ 2

01()exp()2

odd

even

C u

C u

ξψ=+-

3、应用标准条件

u (ξ)是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。 (1)ξ=0

00

even

u b ξ==，0

0odd

u ξ==皆有限

(2) ξ→±∞ 需要考虑无穷级数u (ξ)的收敛性 当ξ→±∞时，u (ξ)的渐近行为与2

e ξ相同。 所以总波函数有如下发散行为：

22

22

2

2

2()()u e

e e

e ξξξξξξψξξ→∞

→∞

-

-

=→=→∞，，

为了满足波函数有限性要求，幂级数u (ξ)必须从某一项截断变成一个多项式。

b n ≠ 0, b n +2 = 0.

代入递推关系得：

2210(1)(2)

n n n b b n n λ

++-=

=++

因为b n ≠ 0，所以有

012=+-λn

因为2E

λω

=

于是最后得

1

()2

E n ω=+ ,2,1,0=n

结论：基于波函数在无穷远处的有限性条件导致了能量必须取分立值。谐振子的能级是均匀分布的，相邻的两条能级的间距为?ω 4、 厄密多项式

212

()n n n A H e

ξψξ-=22/2

()x n n A H x e

αα-=

2()(1)()0H H H ξξλξ'''-+-= 21n λ=+

220n

n n H H nH ξ'''-+= H n (ξ)也可写成封闭形式：

2

2

()(1)n n n n

d H

e e d ξξξξ-=-

H n (ξ)的最高次项是(2ξ)n 。所以：

当n 为偶，则厄密多项式只含ξ的偶次项；当n 为奇，则厄密多项式只含ξ的奇次项。下角标n 表示H n (ξ)的最高次幂。

ψn (x )具有确定宇称 ，由厄密多项式H n (ξ)决定。

厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：

12()n

n dH nH d ξξ

-= 11220n n n H H nH ξ+--+=

基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数ψ(x )的递推关系：

111

()()()]n n n x x x x ψα

-+=

2

222

1

()()(21)()()]2n n n n x x x n x x ψψα-+=

+++

11()()()]n n n d x x x dx ψα-+= 22

222()()(21)()()]2

n n n n d x x n x x dx αψψ-+=-++ 三、实例

例子：一电荷为q 的一维线性谐振子受恒定弱电场ε作用，电场沿正x 方向,其势场为：

221

()2

V x m x q x ωε=

-（εe F = ，V Fdx =-?e x ε=-若做正功，则电势下降），求能量本征值和本征函数。

答案：本征能量： 22

2

1()22n e E n εωμω=+- ,2,1,0=n

本征函数：221

2

()()x n n n x A H x e

αψα'-''=2201

()2

0[()]x x n n A H x x e

αα--=-

例2. 求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况

答案：123123n n n n n n E E E E =++1233()2

n n n ω=+++ 3()2

N ω=+ ，其中123N n n n =++ 123123()()()n n n n n n x y z ψψψψ=

1

(1)(2)2

f N N =

++