量子力学作业习题

第一章量子力学作业习题

[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明：

( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；

( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；

( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射．

[2] 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计：

( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）

经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂

[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，

( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0

介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．

[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．

( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；散射．

[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器

能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释．

( 1 ) A 缝开启，B缝关闭；

( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭；

( 3 ）两缝均开启．

[6]验算三个系数数值：（1

2

；（3）hc

第二章 波函数与Schr ?dinger 方程

[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221

)(x m x V ω=

]

[2] 一维运动的粒子处在

??

?<≥=-0,

00,

)(x x Axe x x 当当λψ

的状态，其中0>λ，求：

（1）粒子动量的几率分布函数；

（2）粒子动量的平均值。

[3] 平面转子的转动惯量为I ,求能量允许值

[4]. 有一带电荷e 质量m 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.

[5] 对高速运动的粒子(静质量m )的能量和动量由下式给出

2

22

1c v mc E -=

(1) 2

22

1c v mv p -=

(2)

试根据哈密顿量

2

242p c c m E H +== (3)

及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.

[6]. （1）试用Fermat 最小光程原理导出光的折射定律

α

α2211

sin sin n n = （2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：

如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理?=0

pdl δ 认为mv p =则?=0pdl δ

这将导得下

述折射定律

α

α13

3

1

sin sin n n =

这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：2c Ev

p =

仍就成立，E 是粒子能量，从一种

媒质到另一种媒质E 仍不变，仍有

?=0

pdl δ，你怎样解决矛盾？

[7]. 当势能)(r V 改变一常量C 时,即c r V r V +→)()(

,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否?

[8]. 试证粒子势能的极小值是

>E n

V min

[9]. 设1ψ与2ψ是薛定谔方程式两个解，证明

???τ

ψψ3

21*),(),(dx

t x t x

与时间无关。

[10]. 考虑单粒子的薛定谔方程式：

)

,()]()([),(2),(2122t x x iV x V t x m t x t i

ψψψ++?-=??

V 1，V 2为实函数，证明粒子的几率不守恒。求出在空间体积Ω内，粒子几率“丧失”或“增加”的速率。

[11]. 对于一维自由运动粒子，设)()0,(x x δψ=求2

)

,(t x ψ。

[12]. 证明从单粒子的薛定谔方程式得出的速度场是非旋的，即

()ρ /0j v v ==?? ψψ=*

ρ

第三章一维定态问题

[1]. 对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明

2

a

x=）

（

）

（

2

2

2

26

1

12π

n

a

x

x-

=

-

并证明当∞

→

n时上述结果与经典结论一致。

[2]. 试求在不对称势力阱中粒子的能级。

[3]. 设质量为ｍ的粒子在下述势阱中运动：

∞

()0

()=

x

V

2

2

2

1

x

mω()0>x

求粒子的能级。

[4]. 考虑粒子

()0

〈

E在下列势阱壁（ｘ＝０）处的反射系数

[5]. 试证明对于任意势垒，粒子的反射系数Ｔ满足Ｒ＋Ｔ＝１。

[6]. 设在一维无限深势阱中运动的粒子的状态用：

()

a

x

a

x

a

x

π

π

2

cos

sin

4

=

ψ

描述，求粒子能量的可能植及相应的几率。

[7]. 设一谐振子处于基态，求它的

()2

2p

x?

?，

）

（并验证测不准关系：

[8]. 设粒子处于无限深势阱中，状态用波函数

)

(

)

(x

a

Ax

x-

=

ψ

描述，

5

30

a

A=

是归一化常数，求（1）粒子取不同能量几率分布。（2）能量平均值及涨落。

[9]. 一维无限深势阱中求处于

)

(x

n

ψ

态的粒子的动量分布几率密度

2

)

(p

?

。

[10]. 写出动量表象中谐振子的薛定谔方程式，并求出动量几率分布

[11]. 一维谐振子处在基态

t

i

x

e

xω

α

π

α

ψ2

2

2

2

)

(-

-

=

，求：

(1)势能的平均值

2

2

2

1

x

Uμω

=

；

(2)动能的平均值

μ2

2

p

T=

；

(3)动量的几率分布函数。

[12]. 氢原子处在基态

/

3

1

)

,

,(a r

e

a

r-

=

π

?

θ

ψ

，求：

(1)r的平均值；

(2)势能r e 2-

的平均值；

(3)最可几半径； (4)动能的平均值；

(5)动量的几率分布函数。

[13]. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是

==θe er J J 2

sin m

n e r m e J ψθμ?=

[14]. 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是

I L H 22

=

，L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：

(1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动： [15]. 设t=0时，粒子的状态为

]

cos [sin )(212kx kx A x +=ψ

求此时粒子的平均动量和平均动能。 [16]. 一维运动粒子的状态是

??

?<≥=-0 ,0 0 ,)(x x Axe x x 当当λψ 其中0>λ，求：

(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。

第四章 力学量和表象变化

[1]指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。

① 2224dx d x ； ② []2 ； ③ ∑=n

K 1

[2] 指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。

2

24 dx d dx d i dx

d ，， [3] 下列函数哪些是算符2

2

dx d 的本征函数，其本征值是什么？

①2

x ， ② x

e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +

[4] 试求算符

dx d ie F

ix -=?的本征函数。 [5] 设波函数x x sin )(=ψ，求?

][])[(

2=-dx d

x x dx d ψ

[6] 证明：如果算符A ?和B ?都是厄米的，那么(A ?+B ?

)也是厄米的。

[7] 问下列算符是否是厄米算符：①x p x

??； ②)????(21x p p x x x +。

[8] 如果算符βα??、满足关系式1????=-αββα，求证①βαββα?2????22=-②233?3????βαββα=- [9] 求 ?????=-x x x x L P P L ； ?????=-y x x y L P P L ； ?????=-z x x z L P P L

[10] 设[])(,,q f ih p q =是q 的可微函数，证明下述各式：

（1）[

]

.2)(,2

hipf q f p q =（2）)(])(,[pf fq ih p q pf q +=（3）ihfp p q f q 2])(,[2

=

（4）

i f p i h q f p p 22)](,[=

（5）p pf i h p q pf p i =])(,[（6）22])(,[p f i h

p q f p i =

[11] 证明以下诸式成立： (1) (2)

(3)

22[(*)(*)]x x l x xl ih r x i r -=- (4) 22{(*)(*)}x x x x l p p l ih p l l p -=-

[12]l

为粒子角动量。F 为另一力学量，证明：

)(],[p F p r F r hi F l ??*+??*-= 其中r ??

表示空间坐标的梯度，p ??表示动量空间的梯度。

[13] 设算符A ，B 与它们的对易式[A ，B]都对易。证明 (1) (2)

[14] 证明

[15] 证明 是厄密算符

[16] 证 (A 等是实数)是厄密算符

[17] 证明2?n m m n nm n m p x x p A +∑-（nm A 实数）是厄密算符。

[18]证明，若

当

大时并不趋于0，则

不一定

是厄密算符。

[19] 证明 其中A(p,q),B(p,q)是正则动量和坐标的函数，上式左方是相应的算符。{A,B}是经典力学中的poisson 括弧在多变量情形

i=1,2,3......i 自由度

[20] 设F(x ，p)是xk ，pk 的整函数，证明：

k k x F i F p ??=

],[ ⑴ ; k k p F

i p F ??=

],[ ⑵

整函数是指n

i

m k mn

ki mn ki p x C p x F ∑∑=123

],[，mn

ki

C 是数值系数

第五章 力学量随时间的演化与对称性

[1]. 证明力学量A ?

（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为：

]?],?,?[[22

2

H H A A dt d -= （H

?是哈密顿量） [2]. 证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。

[3]. 设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H +=μ。

（） 证明V

r p p r dt d ??-=? μ/)(2。

（） 证明：对于定态 V r T ??=2

[4]. 证明，对于一维波包：

)

(1

2px xp x dt d +=μ

[5]. 求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。 [6]. 求海森伯表象中中谐振子的坐标与动量算符。 [7]. 多粒子系若不受外力，则其哈密顿算符可表成：

/][/?21?,2j j

i j

i i i i i r r V p m H

-+=∑∑< ⑴

证明：总动量

∑=i

i

p p ?? 为守恒。 ⑵

[8]. 多粒子系如所受外力矩为0，则总动量∑=i

l L ??

为守恒。

[9]. 证明：对经典力学体系，若A ，B 为守恒量，则{A ，B}即泊松括号也为守恒量，但不一定是新的守恒

量，对于量子体系若A ?

，B

?是守恒量，则}?,?{B A 也是守恒量，但不一定是新的守恒量。

[10]. 对于平面转子（转动惯量I ），设：

??ψ2sin )0,(A = （1） 试求),(t ?ψ

[11]. 证明周期场中的Bloch 波函数 )

()(x e x k ikx Φ=ψ ，

)

()(x a x k k Φ=+Φ

是)(?a D x 的本征函数，相应的本征值是ika e 。

第六章 中心立场

[1] 质量分别为 m 1,m 2

的两个粒子组成的体系，质心座标R 及相对坐标r

为：

R =212

211m m r m r m ++

(1) ；r 12r r r -= (2) 试求总动量21p p P +=及总角动量21l l L +=在R , r 表象中的算符表示。

[2] 证明r r r ??+=?1],[212 ，?

=?],[212r

[3] 中心力场)(r V 中的经典粒子的哈密顿量是

)

(222

2r V mr l

m p H r

++=其中p r r p r ?=1^。

当过渡到量子力学时，r p 要换为

)

1(]11[21^

r r i r r p p r r p r +??-=?+?= 问p r r r i ?=??-1是否厄米算符？r p ^

是否厄米算符。

[4] 经典力学中

22222)()(p r p r p r l ?-?=?=

在量子力学中此式是否成立？在什么条件下此式成立？

[5] 求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式。利用所得结果，计算

2x

p 。用x 表象中的氢原子波函

数计算2

x ,并验证测不准关系式。

[6] 在动量表象中写出氢原子的能量本征方程式，并证明角动量的各个分量均为守恒量。

[7] 设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区（E —V ）=T 〈0 〉的几率。 [8] 证明，对于库仑场E V 2=，E T -=（V T E ==是总能量）

[9] 对于氢原子的，计算?+=dr

r R r r nl 22]()[λλ 2,1±±=λ

[10] 根据氢原子光谱理论，讨论（1）“电子偶素”（指e+—e-的束缚态）的能级。（2）μ介原子的能谱。（3）μ介子素（指μ+-e-束缚态）的能谱。

[11] 在（x l l ??2）表象中，1=l 的子空间是几维？求x l ?在此子空间的矩阵表示式，再利用矩阵形式求出x

l ?本征值及征矢。

[12] 证明)

,(),(),(),(1

1*

l n Y Y

lm m m lm

由此证明地无关与常数?θ?θ?θ=∑=-=能级上满布电子的情况下，电荷分布是各向同性的。

[13] 证明一个球方势阱(半径a,深度V0)恰好具有一条l ≠0的能级的条件是：V0与a 应满足

0)2(

12

=-a V jl μ

[14] 采用平面极座标，求出轴对称谐振子势场中，粒子能量的本征值本征函数，读者讨论简并度。

[15] 设粒子在无限长的园简内运动，简半径是a ，求粒子的能量。

[16] 粒子在半径为a ，高为h 的圆筒中运动，在筒内粒子是自由的，在筒壁及筒外势能是无限，求粒子能量的本征值。

[17] 设

)0()(2>+-

=A a r A

r a r V 和，求粒子的能量本征值。

第七章 粒子在电磁场中的运动 [1]. 证明在磁场B

中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系：

[]

z

y x c q i v v B ?,2μ

= （1）

[]

x

z y

c q i v v

B ?,2μ

= （2）

[]y

x z c q i v v B ?

,2μ =

（3）

[2] 利用上述对易式，求出均匀磁场中，带电粒子能量的本征值（取磁场方向为Z 轴方向） [3]. 证明在规范变换下

ψψρ*= （1） []

ψ

ψμψψψψμ***--=A c q p p j ??21 （2）

?

?? ?

?-=A c q p v ?μ （机械动量的平均值）都不变 （3） [4] 若采用柱座标系，求解均匀磁场中带电粒子的能量本征值。 [5] 设带电粒子相互的均匀电场E 和均匀磁场B

中运动，求其能谱及波函数（取磁场方向为z 轴，电场方向为x 轴方向）

[6] 设带电粒子在均匀磁场B 及三维各向同性谐振子场

2

2

021)(r r V μω=

中运动，求能谱公式。

第八章：自旋

[1]在

x σ?表象中，求x σ?的本征态

[2]在z σ表象中，求n ?σ的本征态，

)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θn 是),(?θ方向的单位矢。 [3]在自旋态下???

???=01)(21z s χ，求2

x s ?和2y s ?

[4] 一个具有两个电子的原子，处于自旋单态（s=0）。证明自旋轨道耦合作用 s )(γξ。L 对能量无贡献。 [5] 自旋为s 的两个粒子所具有的，对称和反对称的自旋波函数各有几个？

23,21=

=s s 情况下，对称和反对称自旋态各有几个？

[6]证明，σσσ ?=?a i a 2],[，a 是与σ 对易的矢量算符。

[7]证明：（1）ασ

αασ

Sin i Cos e

j j i ??+= （ z y,x,j =）

（2） θθσθθσ

Sin i Cos e

i ???+=?

其中

θ

θ =

θθθ

=?

θ

矢量与σ对易, θ表示θ方向的单位矢量。

[8]证明σσσσσ ?=?-=-?A i A A A A )()(, A 是与σ 对易的任何矢量算符。

[9]设θσ ?-=2

?

i e U 证明：（θ?是沿矢量θ

方向的单位矢量）

（1）1?

?=+U U （1）

（2）

θσθθθσθθθσσsin ?cos ?)?(?)?(?? ?+??+?=+U U （2）

[10]证明不存在非0的二维矩阵，能和三个泡利矩阵都反对易 ，即设

0??=+A A σσ 则0?=A

[11]证明找不到一种表象，在其中（1）三个泡利矩阵均为实矩阵或（2）二个是纯虚矩阵，另一个为实矩

阵。

[12]求证与三个泡利矩阵都对易的2×2矩阵，只能是常数矩阵。

第九章 力学量本征值的代数解法

[1]. 设非简谐振子的哈密顿量为：

2202

22212?x dx d H μωμ+-= （β为常数）

取 220220212?x dx d h H μωμ+-= ，2

x H β='，试用定态微扰论求其能量及能量本征函数。

[2]. 一维无限深势阱（a x <<0）中的粒子受到微扰：

????

?<<-<<=)

0()

1(2)

20(2)(/

a x a x

a

x a x x H λλ

的作用，求基态能量的一级修正。

[3]. 一维谐振子的哈密顿为

2

2

220212-Kx dx d H +=μ

假设它处在基态，若在加上一个弹性力作用H ’=1/2 bx 2，试用微扰论计算H’对能量的一级修正，并与严格解比较。

[4]. 设有自由粒子在长度为L 的一维区域中运动，波函数满足周期性边界条件

)

2()2

(L L ψψ=-

波函数的形式可选作：

kx L k cos 2)0(=

ψ， kx L sin 2

)0(=-ψ

但 ),2,1,0(2 ==n L n k π。设粒子还受到一个陷阱作用，2

20)('a

x e V x H --=，a<

算能量一级修正。

[5]. 在一维无限深势阱

??

?<>∞<<=)0()

0(0)(x a x a x x V 中运动的粒子，受到微扰'H 的作用

讨论粒子在空间几率分布的改变。

?????

<<<<-=)2()20()('a x a

b a x b x H

[6]. 类氢离子中，电子与原子核的库仑作用为：

r Ze r V 2)(-

= [Ze 为核电荷] 当核电荷增加e[Z Z+1]，互相作用能增加

r Ze H 2

'

-

=，试用微扰论计算它对能量的一级修正，并与严格解比较。

[7]. 一个粒子在二维无限深势阱

??

?∞<<=其它地方）与()

0(0),(a y x y x V 中运动，设加上微扰xy H λ=' ),0(a y x ≤≤求基态及第一激发态的能量修正

[8]. 设在H 0表象中，H

?的矩阵为：

)

1(0

0)

0(3)

0(2)0(1)0(3*

*)0(2)

0(1E E E E b a b E a E H <

?????

?=

试用微扰论求能量的二级修正。 [9]. 设在H 0表象中

)

1(),()

0(2)0(1为实数b a a E b b a E H ??

????++=

用微扰论求能量修正量（到二级近似），严格求解与微扰论计算值比较。 [10].一体系在无微扰时有两条能级，其中一条时二重简并，在

H 表象中

??

??? ??=)0(1)0(1)

0(100000

00E E E H )0(1)0(2E E > （1） 在计及微扰后哈密顿量表示为：

????

? ?

?=)0(2

*

*)0(1)0(10

0E b a b E a E H （2）

（1） 用微扰论求H 本征值准到二级近似。 （2） 把Λ

H 严格对角化，求H 的精确本征值.

第十章：散射问题

[1]用玻恩近似法，求在下列势场中的散射微分截面：

（1）

a r a r V r V >

（2）

2

0)(ar e

V r V -= )0(>a

(3)

r e r V ar

-=β

)( )0(>a (4)

ar e V r V -=0)(

)

0(>a

(5)

2)(r a

r V =

第十一章 量子跃迁

[1]. 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为

)(ωρ，波长较长，求：

（1）跃迁选择定则。

（2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。

[2]. 设有一带电q 的粒子，质量为μ，在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，它在入射光照射下发生跃迁，波长a >>λ。

（1）求跃迁的选择定则。

（2）设粒子原来处于基态，求跃迁速率公式。

[3]. 设把处于基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为z 轴方向、电场沿z 轴方向可视作均匀，设电容器突然充电然后放电，电场随时间变化规律是：

???

??><=-)

()

0()0(0)(1

0为常数τεετt e

t t

求时间充分长后，氢原子跃迁到2s ，或2p 态的几率。 [4] 计算氢原子的第一激发态的自发辐射系数。 [5]. 设有一个自旋是2/ 的粒子，相应的磁矩是g =μ，粒子置于旋转磁场中，磁场是：

t

B B x

ωcos 0

= t

B B y

ωsin 0=

B B z

=（常数）

粒子与磁场的作用能是：

g ?-=?-μ

又设粒子原先处于2/ 的态讨论情况和跃迁几率。

[6] 氢原子处于基态加上交变电场)

(0e e t

i t i ωω-+=E E ，>>

ω 电离能，用微扰论一级近似，计算氢

原子的每秒电离的几率。

[7]. 一维运动的体系从|m>态跃迁到|n>态所相应的振子强度定义为：

||||22

><=

m x n j

nm

nm

μω

μ为振子质量，求证：1

=∑n

nm

j

（

∑

n

指对一切能量本征态求和）。这称为Thomas —Reieh —Kuhn 求

和规则。