正态分布的概念
1. 正态分布的概念
随机变量X 的概率密度2()2(),()x f x x μσ--=-∞<<+∞，
称X 服从正态分布，
记作),(~2σμN X 。
标准正态分布(0,1)N ，其概率密度22
(),()x x x ?-
=-∞<<+∞，分布函数
为
2
2
()t x
x e dt φ-
-∞
=
。
2. 设
)
,(~2σμN X ，
则
{}x P X x μφσ-??
≤= ?
??
，
{}b a P a X b μμφφσσ--????
<≤=- ? ?????
，()x φ的数值有表可查，特别有
(0)0.5,()1,()1()x x φφφφ=+∞=-=-。 3. 设),(~2σμN X ，则2(),()E X D X μσ==。
4. 设),(~2σμN X ，则),(~22σμb b a N bX a Y ++=)0(≠b 。
若),(~211σμN X ，),(~2
22σμN Y ，X 与Y 相互独立，则
),(~2
22121σσμμ+++N Y X 。
若12,,,n X X X 相互独立，),,2,1)(,(~2n i N X i i i =σμ，则
∑∑∑===n i n
i n i i i i n
i i
i c c c c c N X
c 1
1
21221
)(,(~为常数）
，，， σμ 5. 二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，记作
），，，，（），（γσσμμ222121~N Y X ，其中12(),()
E X E Y μμ==，
2212(),()D X D Y σσ==，(,)r R X Y =。
设(,)X Y 服从二维正态分布，则X 与Y 相互独立的充分必要条件是0r =。 6. 当n 充分大时，独立同分布的随机变量12,,,n X X X 的和1n
i i X =∑近似服从正态
分布2(,)N n n μσ。
特别是当n 充分大时，若相互独立的随机变量12,,,n X X X 都服从“0-1”分
布，则1
n
i i X =∑服从二项分布(,)B n p ，近似服从正态分布(,)N np npq (1)q p =-,
这时1n i i P a X b φφ=??????
<≤≈-????∑。
例1：分别求正态总体N （μ，σ2）在 （μ－σ，μ＋σ）；（μ－2σ，μ＋2σ）； 例2:某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ服从正态分布N （4，0.25），质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件， 测得它的外直径为5.7cm ，试问该厂生产的这批零件是否合格？
()25.04，服从正态分布由于N ξ由正态分布的性质知，正态分布N （4，0.25）在(4-3×0.5，4+3×0.5) 之外取值的概率只有0.003, ()5.5,5.27.5?而
例3：公共汽车门的高度是按照保证成年男 子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计的。如果某地成年男子的身高 （单位：厘米）。则车门应设计为多高?
解：设公共汽车门高设计为x ，由题意P 小于1%，
)(1)(),36,175(~x P x P N <-=≥∴ηηη 也就是,01.0)6
175
(
1<--=x φ,99.06175
(
>-）x φ .98.18833.26175,99.06175(>>->-x x x 即查表得）φ故公共汽车门的高度至少应
设计为189厘米
)()
4()2(.);2()4(.);
2()4(.;1)1(2.)11(,1,3),
,(~.42Φ-Φ-Φ--ΦΦ-Φ-Φ=≤<-==D C B A P D E N ξξξσμξ则已知例
1.
若正态曲线函数为2
)1(2
21)(--
=x e
x f π
，则)(x f ( B ）
A.有最大值，也有最小值
B.有最大值，没有最小值
C.无最大值，也无最小值
D.没有最大值，但有最小值
2.正态总体N(0,1)在区间（-2，-1）和（1，2）上取值的概率分别为p 1、p 2,则C A. p 1>p 2 B. p 1
3.设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数)(x f 的图象，且8
)10(2
81)(--
=x e x f π
，则这
个正态总体
的均值与标准差分别是（ B ） A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10
4.生产过程中的质量控制图主要依据是（ D ） A ．工艺要求 B ．生产条件要求
C ．企业标准
D ．小概率事件在一次试验中几乎不可能发生原理 5.如果随机变量X ～N(μ，2
σ)，且EX=3，DX=1,则P(-1 D.0.0215 6.已知ξ～N(0, 2 σ)且P(-2<ξ<0)=0.4,则P(ξ>2)=( A ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 7.一个随机变量如果是众多的 、 互不相干的 、 不分主次的 偶然因素作用之和，它就服从或近似服从正态分布. NCY00001.关于正态曲线，下列说法正确的是 . ②③ ①22)(21)(σμσ π?-- = x e x 曲线上任一点M(x 0,y 0)的纵坐标y 0表示X=x 0的概率 ② ? ∝ -a dx x )(?表示总体取值小于a 的概率 ③正态曲线在x 轴上方且与x 轴一定不相交 ④正态曲线关于x=σ对称 ⑤μ一定时，σ越小，总体分布越分散；σ越大，总体分布越集中. HK00001.某镇农民年收入服从N(500,202)(单位：元) ,求此镇农民收入在[500，520]间人数的百分比. 解析：设X 表示此镇农民的收入， 由P(500-20 故P(500 =2 1P(500-20 即此镇农民收入在[500，520]间人数约为34.13％. JY00001. 某厂生产的圆柱形零件的外径ε～N （4，0.25）.质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？ 欲判定这批零件是否合格，由假设检验基本思想可知，关键是看随机抽查的一件产品的尺寸是否在（μ-3σ，μ+3σ）内，还是在（μ-3σ，μ+3σ）之外. 由于圆柱形零件的外径ε～N （4，0.25），由正态分布的特征可知，正态分布N （4，0.25）在区间(4-3×0.5，4+3×0.5)即(2.5，5.5)之外取值的概率只有0.003，而)5.5,5.2(7.5?，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，认为该厂这批产品是不合格的. 华北水利水电学院 正态分布的性质及实际应用举例 课程名称：概率论与数理统计 专业班级：电气工程及其自动化091班 成员组成：姓名：邓旗学号： 2 姓名：王宇翔学号：1 姓名：陈涵学号：2 联系方式： 2012年5月24日 1 引言：正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在 统计学的许多方面有着重大的影响力。本文就从正态分布的实际性质应用举例等各个方面进行简单阐述并进行探讨，使同学们能够对所掌握的知识有更清楚地认识。 2 研究问题及成果： 正态分布性质； 3原则及标准正态分布； 实际应用举例说明 摘要：正态分布是最重要的一种概率分布。正态分布概念是由德国数学家与天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学研究，故此正态分布又称高斯分布。在许多实际问题中遇到的随机变量都服从或近似服从正态分布：在生产中，产品的质量指标，如电子管的使用寿命，电容器的电容量，零件的尺寸。铁水含磷量，纺织品的纤度和强度等一般都服从正态分布。在测量中，如大地测量，天平称量物体，化学分析某物之中某元素的含量等，测量结果一般服从正态分布。在生物学中，同一群体的某种特性指标，如某地同龄儿童的身高，体重，肺活量，在一定条件下生长的农作物的产量等一般服从正态分布。在气象学中，某地每年7月份的平均气温，平均温度以及降水量等一般也服从正态分布。总之。正态分布广泛存在于自然现象，社会现象以及生产，科学技术的各个领域中。本文就从正态分布的实际性质应用举例等各个方面进行简单阐述并进行探讨，使同学们能够对所掌握的知识有更清楚地认识。 关键词：正态分布 The nature of the normal distribution and the example of practical application 正态分布和线性回归高考要求 1.了解正态分布的意义及主要性质 2.了解线性回归的方法和简单应用 知识点归纳 1．正态分布密度函数： 2 2 () 2 () 2 x f x e μ σ πσ - - =，（σ＞0，-∞＜x＜∞） 其中π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为) , (2 σ μ N 2．正态分布) , (2 σ μ N）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 例1、下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ．（1）2 2 2 1 ) ( x e x f- = π ，（-∞＜x＜+∞) （2） 2 (1) 8 () 22 x f x e π - - =，（-∞＜x＜+∞) 解：(1)0,1 (2)1,2 3．正态曲线的性质：正态分布由参数μ、σ唯一确定，如果随机变量ξ～N(μ，σ2)，根据定义有：μ=Eξ，σ=Dξ。 正态曲线具有以下性质： （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。 （2）曲线关于直线x =μ对称。 （3）曲线在x =μ时位于最高点。 （4）当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降。并且当曲线向左、 右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近。 （5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。 五条性质中前三条较易掌握，后两条较难理解，因此应运用数形结合的原则，采用对比教学 4．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其 相应的函数表示式是2 221)(x e x f - = π ，（-∞＜x ＜+∞） 其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题 5.标准正态总体的概率问题: 对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率， 即 )()(00x x P x <=Φ， 其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x <只要有标准正态 分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00 1. 正态分布的概念 随机变量X 的概率密度2()2(),()x f x x μσ--=-∞<<+∞， 称X 服从正态分布， 记作),(~2σμN X 。 标准正态分布(0,1)N ，其概率密度22 (),()x x x ?- =-∞<<+∞，分布函数 为 2 2 ()t x x e dt φ- -∞ = 。 2. 设 ) ,(~2σμN X ， 则 {}x P X x μφσ-?? ≤= ? ?? ， {}b a P a X b μμφφσσ--???? <≤=- ? ????? ，()x φ的数值有表可查，特别有 (0)0.5,()1,()1()x x φφφφ=+∞=-=-。 3. 设),(~2σμN X ，则2(),()E X D X μσ==。 4. 设),(~2σμN X ，则),(~22σμb b a N bX a Y ++=)0(≠b 。 若),(~211σμN X ，),(~2 22σμN Y ，X 与Y 相互独立，则 ),(~2 22121σσμμ+++N Y X 。 若12,,,n X X X 相互独立，),,2,1)(,(~2n i N X i i i =σμ，则 ∑∑∑===n i n i n i i i i n i i i c c c c c N X c 1 1 21221 )(,(~为常数） ，，， σμ 5. 二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，记作 ），，，，（），（γσσμμ222121~N Y X ，其中12(),() E X E Y μμ==， 2212(),()D X D Y σσ==，(,)r R X Y =。 设(,)X Y 服从二维正态分布，则X 与Y 相互独立的充分必要条件是0r =。 6. 当n 充分大时，独立同分布的随机变量12,,,n X X X 的和1n i i X =∑近似服从正态 分布2(,)N n n μσ。 特别是当n 充分大时，若相互独立的随机变量12,,,n X X X 都服从“0-1”分 大数据是当前很热的一个词。这几年来，云计算、继而大数据，成了整个社会的热点，不管什么，都要带上“大数据”三个字才显得时髦。大数据究竟是什么东西?有哪些相关技术?对普通人的生活会有怎样的影响?我们来一步步弄清这些问题。 一、基本概念 在讲什么是大数据之前，我们首先需要厘清几个基本概念。 1.数据 关于数据的定义，大概没有一个权威版本。为方便，此处使用一个简单的工作定义:数据是可以获取和存储的信息。 直观而言，表达某种客观事实的数值是最容易被人们识别的数据(因为那是“数”)。但实际上，人类的一切语言文字、图形图画、音像记录，所有感官可以察觉的事物，只要能被记下来，能够查询到，就都是数据(data)。 不过数值是所有数据中最容易被处理的一种，许多和数据相关的概念，例如下面的数据可视化和数据分析，最早是立足于数值数据的。 传统意义上的数据一词，尤其是相对于今天的“大数据”的“小数据”,主要指的就是数值数据，甚至在很多情况下专指统计数值数据。这些数值数据用来描述某种客观事物的属性。 2.数据可视化 对应英语的data visulization(或可译为数据展示)，指通过图表将若干数字以直观的方式呈现给读者。比如非常常见的饼图、柱状图、走势图、热点图、K线等等，目前以二维展示为主，不过越来越多的三维图像和动态图也被用来展示数据。 3.数据分析 这一概念狭义上，指统计分析，即通过统计学手段，从数据中精炼对现实的描述。例如:针对以关系型数据库中以table形式存储的数据，按照某些指定的列进行分组，然后计算不同组的均值、方差、分布等。再以可视化的方式讲这些计算结果呈现出来。目前很多文章中提及的数据分析，其实是包括数据可视化的。 正态分布 要求层次 重难点 正态分布 A 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． （一） 知识内容 1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近 的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线． 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布 ⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22 ()2()2πx f x e μσσ --=?，x ∈R ， 其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞． 式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作 2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线． ⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． 例题精讲 高考要求 正态分布 x=μ O y x ⑶重要结论： ①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%． ②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则． （二）典例分析： 【例1】 已知随机变量X 服从正态分布2(3)N a ， ，则(3)P X <=（ ） A ．1 5 B ． 1 4 C ．1 3 D ． 12 【例2】 在某项测量中，测量结果X 服从正态分布() ()210N σσ>，，若X 在()01， 内取值的概率为0.4，则X 在()02， 内取值的概率为 ． 【例3】 对于标准正态分布()01N ， 的概率密度函数()2 2 x f x -=，下列说法不正确的是（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()f x C ．()f x 在0x >时是单调减函数，在0x ≤时是单调增函数 D ．()f x 关于1x =对称 【例4】 已知随机变量X 服从正态分布2(2)N σ， ，(4)0.84P X =≤，则(0)P X =≤（ ） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 【例5】 某种零件的尺寸服从正态分布(04)N ，，则不属于区间(44)-，这个尺寸范围的零件约占总数 的 ． 【例6】 已知2(1)X N σ-， ~，若(31)0.4P X -=≤≤-，则(31)P X -=≤≤（ ） A ．0.4 B ．0.8 C ．0.6 D ．无法计算 【例7】 设随机变量ξ服从正态分布(29)N ，，若(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，则_______c =． 第一节正态分布的概念和特征 一、正态分布的概念 由表1.1的频数表资料所绘制的直方图，图3.1（1）可以看出，高峰位于中部，左右两侧大致对称。我们设想，如果观察例数逐渐增多，组段不断分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且左右对称，不与横轴相交的光滑曲线图3.1（3）。这条曲线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的正态分布（normal distribution）。由于频率的总和为100%或1，故该曲线下横轴上的面积为100%或1。 图3.1频数分布逐渐接近正态分布示意图 为了应用方便，常对正态分布变量X作变量变换。 （3.1） 该变换使原来的正态分布转化为标准正态分布 (standard normal distribution)，亦称u分布。u被称为标准正态变量或标准正态离差（standard normal deviate）。 二、正态分布的特征： 1．正态曲线（normal curve）在横轴上方均数处最高。 2．正态分布以均数为中心，左右对称。 3．正态分布有两个参数，即均数和标准差。是位置参数，当固定不变时，越大，曲线沿横轴越向右移动；反之，越小，则曲线沿横轴越向左移动。 是形状参数，当固定不变时，越大，曲线越平阔；越小，曲线越尖峭。 通常用表示均数为，方差为的正态分布。用N（0，1）表示标准正态分布。 4．正态曲线下面积的分布有一定规律。 实际工作中，常需要了解正态曲线下横轴上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估计该区间的例数占总例数的百分数（频数分布）或观察值落在该区间的概率。正态曲线下一定区间的面积可以通过附表1求得。对于正态或近似正态分布的资料，已知均数和标准差，就可对其频数分布作出概约估计。 查附表1应注意：①表中曲线下面积为-∞到u的左侧累计面积；②当已知μ、σ和X时先按式（3.1）求得u值，再查表，当μ、σ未知且样本含量n足够大时，可用样本均数和标准差S分别代替μ和σ，按式求得u 值，再查表；③曲线下对称于0的区间面积相等，如区间（-∞，-1.96）与区间（1.96，∞）的面积相等，④曲线下横轴上的总面积为100%或1。 正态分布曲线下有三个区间的面积应用较多，应熟记：①标准正态分布时区间（-1,1）或正态分布时区间（μ-1σ,μ+1σ）的面积占总面积的68.27%；②标准正态分布时区间（-1.96,1.96）或正态分布时区间（μ-1.96σ,μ+1.96σ）的面积占总面积的95%；③标准正态分布时区间（-2.58,2.58）或正态分布时区间（μ-2.58σ,μ+2.58σ）的面积占总面积的99%。如图3.2所示。 图3.2 正态曲线与标准正态曲线的面积分布 考试：大数据概述及基本概念 试卷年份：2015年 题量：10题 答题时间：分钟 总分：100分 合格线：60分 1 【单选】下列不属于商业大数据类型的是（） A. 传统企业数据 B. 机器和传感器数据 C. 社交数据 D. 电子商务数据 A B C D 正确答案：D 2 【单选】信息技术是指有关信息的收集、识别、提取、变换、存贮、传递、处理、检索、检测、分析和利用等的技术。凡涉及到这些过程和技术的工作部门，都可称作（）部门 A. 技术 B. 研究 C. 信息 D. 管理 A B C D 正确答案：C 3 【单选】数据本身所承载的信息内容是指（） A. 内容维度 B. 关系维度 C. 时空维度 D. 维度的交叉综合 A B C D 正确答案：A 4 【多选】大数据平台的三个重要的技术部分有（） A. 数据交易技术 B. 数据交互技术 C. 数据存储技术 D. 数据处理技术 A B C D 正确答案：A B D 5 【多选】互连网上出现的海量信息可以划分为三种，分别为（） A. 结构化信息 B. 非结构化信息 C. 半结构化信息 D. 特殊化信息 A B C D 正确答案：A B C 6 【多选】“大数据”的特点是（） A. 数据体量大 B. 数据类别大 C. 数据处理速度快 D. 数据真实性高 A B C D 正确答案：A B C D 7 【判断】结构化数据是指不方便用数据库二维逻辑表来表现的数据（） A. 正确 B. 错误 正确 错误 正确答案：错误 8 【判断】数据存储是大数据平台的根本。没有了存储平台，数据也就没有了载体（） A. 正确 B. 错误 正确 错误 正确答案：正确 9 【判断】可视化是给机器看的，数据挖掘就是给人看的（） A. 正确 B. 错误 正确 错误 正确答案：错误 10 【判断】全球数据的90%产生于过去2年内（） A. 正确 B. 错误 正确 错误 正确答案：正确 正态分布（一） 教学目的： 1 掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 2．结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理 3．通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成： 2 () 2 (),(,) x f x x μ σ - - =∈-∞+∞，（σ＞0） 由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为) , (2 σ μ N 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的 4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征 5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N（0，1），其他的正态分布都可以通过) ( ) ( σ μ - Φ = x x F转化为N（0，1），我们把N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为 2 2 1 2 1 ) (x e x F- = π ，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化 6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质教学过程： 一、复习引入： 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 借助于标准正态分布表求值 例 设ξ服从)1,0(N ，求下列各式的值： （1）);35.2(≥ξP （2）);24.1(-<ξP （3）).54.1(<ξP 分析：因为ξ用从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值．但由于表中只列出)()(,0000x x P x Φ=<≥ξ的情形，故需要转化成小于非负值0x 的概率，公式：);()()();(1)(a b b a P x x Φ-Φ=<<Φ-=-Φξ和)(1)(00x P x P <-=≥ξξ有其用武之地． 解：（1）;0094.09906.01)35.2(1)35.2(1)35.2(=-=Φ-=<-=≥ξξP P （2）;1075.08925.01)24.1(1)24.1()24.1(=-=Φ-=-Φ=-<ξP （3）)54.1()54.1()54.154.1()54.1(-Φ-Φ=<-=<ξξP P .8764.01)54.1(2)]54.1(1[)54.1(=-Φ=Φ--Φ= 说明：要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便．相反其简捷的效果更突出了核心内容．左边的几个公式都应在理解的基础上记住它，并学会灵活应用． 求服从一般正态分布的概率 例 设η服从)2,5.1(2N 试求： （1）);5.3(<ηP （2）);4(-<ηP （3）);2(≥ηP （4）).3(<ηP 分析：首先，应将一般正态分布)2,5.1(N 转化成标准正态分布，利用结论：若),(~2σμηN ，则由)1,0(~N σμηξ-=知：,)(?? ? ??-Φ=<σμηx x P 其后再转化为非负标准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果． 解：（1）;8413.0)1(25.15.3)5.3(=Φ=??? ??-Φ=<ηP 2．4 正态分布 1．问题导航 (1)什么是正态曲线和正态分布？ (2)正态曲线有什么特点？曲线所表示的意义是什么？ (3)怎样求随机变量在某一区间范围内的概率？ 2．例题导读 请试做教材P 74练习1题． 1．正态曲线 函数φμ，σ(x )＝1 2πσ e －（x －μ）2 2σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数， φμ，σ(x )的图象为__________________正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．正态分布 一般地，如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝??a b φ μ，σ (x)d x ， 则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数________μ和________σ确定，因此正态分布常记作____________N(μ，σ2)，如果随机变量X 服从正态分布，则记为________X ～N (μ，σ2)． 3．正态曲线的性质 正态曲线φμ，σ(x)＝1 2πσ e －（x －μ）22σ2，x ∈R 有以下性质： (1)曲线位于x 轴________上方，与x 轴________不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线________x ＝μ对称； (3)曲线在________x ＝μ处达到峰值________1 σ2π ； (4)曲线与x 轴之间的面积为________1； (5)当________σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图①； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ________越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ________越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②. 4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 第一章概率论的基本概念 第一节随机事件、频率与概率 一、教学目的： 1.通过本节起始课序言简介,使学生初步了解概率论简史、特色，从 而引导学生了解本课程概况及学习本课程的思想方法 2.通过本次课教学，使学生理解随机事件概念、频率与概率的概念， 了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件的关系和运算，掌握 概率的基本性质及其运算 二、教学重点：概率的概念 三、教学难点：事件关系的分析与运算 四、教学内容： 1.序言：⑴简史⑵学法 2.§1.随机试验: ⑴实例⑵确定性现象⑶随机现象 3.§2.样本空间、随机事件: ⑴样本空间⑵随机事件⑶事件关系 与运算 4.§3. 频率与概率⑴频率定义、性质⑵概率定义、性质 五、小结： 六、布置作业： 标准化作业第一章题目 第二节古典概型、条件概率 一、教学目的： 通过本节教学使学生了解古典概型的定义，理解条件概率的概念，并能够解决一些古典概型、条件概率的有关实际问题． 二、教学重点：古典概率、条件概率计算 三、教学难点：古典概型与条件概率分析与建模 四、教学内容： 1.§４.古典概型 2.§５.条件概率（一） 五、小结： 六、布置作业： 标准化作业第一章题目 第三节乘法公式、全概率公式、Bayes公式、独立性 一、教学目的： 1.通过本节教学使学生在理解条件概率概念的基础上,掌握乘法公 式、全概率公式、Bayes公式以及能够运用这些公式进行概率计算。 2.理解事件独立性概念，掌握用独立性概念进行计算． 二、教学重点： 1.乘法公式及其使用 2.独立性概念及其应用 三、教学难点：应用公式分析与建模 四、教学内容： １.§５.条件概率（二、三）２.§６.独立性 五、小结： 六、布置作业： 标准化作业第一章题目 第四节习题课 一、教学目的： 通过本习题课教学使学生全面系统对概率论的基本概念进一步深化，同时熟练掌握本章习题类型，从而提高学生的分析问题与解决问题的能力． 二、教学重点： 1.知识内容系统化 2.几类问题解决方法 三、教学难点：实际问题转化为相应的数学模型 四、教学内容： 1.本章知识内容体系归纳 2.习题类型： ⑴古典概型计算 ⑵事件关系与运算 ⑶条件概率计算 ⑷乘法公式、全概率公式、Bayes公式使用与计算． ⑸独立性问题的计算 五、讲练习题 第二章随机变量及其分布 第一节随机变量、离散型随机变量的概率分布 一、教学目的： 通过本节教学使学生理解随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布及其性质，掌握二项分布、泊松分布，并会计算有关事件的概率及其分布． 正态分布 科技名词定义 中文名称：正态分布 英文名称：normal distribution 定义1：概率论中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布。该分布由两个参数——平均值和方差决定。概率密度函数曲线以均值为对称中线,方差越小，分布越集中在均值附近。 所属学科：生态学（一级学科）；数学生态学（二级学科） 定义2：一种最常见的连续性随机变量的概率分布。 所属学科：遗传学（一级学科）；群体、数量遗传学（二级学科） 本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布 百科名片 编辑本段 正态分布的由来 normal distribution 正态分布 一种概率分布。正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。 正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。 生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中 考试：大数据概述及基本概念 1 【单选】下列不属于商业大数据类型的是（） ? A. 传统企业数据 ? B. 机器和传感器数据 ? C. 社交数据 ? D. 电子商务数据 ? A ? B ? C ? D ?正确答案：D 2 【单选】信息技术是指有关信息的收集、识别、提取、变换、存贮、传递、处理、检索、检测、分析和利用等凡涉及到这些过程和技术的工作部门，都可称作（）部门 ? A. 技术 ? B. 研究 ? C. 信息 ? D. 管理 ? A ? B ? C ? D ?正确答案：C 3 【单选】数据本身所承载的信息内容是指（） ? A. 内容维度 ? B. 关系维度 ? C. 时空维度 ? D. 维度的交叉综合 ? A ? B ? C ? D ?正确答案：A 4 【多选】大数据平台的三个重要的技术部分有（）? A. 数据交易技术 ? B. 数据交互技术 ? C. 数据存储技术 ? A ? B ? C ? D ?正确答案：A B D 5 【多选】互连网上出现的海量信息可以划分为三种，分别为（）? A. 结构化信息 ? B. 非结构化信息 ? C. 半结构化信息 ? D. 特殊化信息 ? A ? B ? C ? D ?正确答案：A B C 6 【多选】“大数据”的特点是（） ? A. 数据体量大 ? C. 数据处理速度快 ? D. 数据真实性高 ? B ? C ? D ?正确答案：A B C D 7 【判断】结构化数据是指不方便用数据库二维逻辑表来表现的数据（） ? A. 正确 ? B. 错误 ?正确 ?错误 ?正确答案：错误 8 【判断】数据存储是大数据平台的根本。没有了存储平台，数据也就没有了载体（）? A. 正确 ? B. 错误 ?正确 正态分布概念及图表 正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。 若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ= 0,σ= 1时的正态分布是标准正态分布。 目录 1历史发展 2定理 3定义 ?一维正态分布 ?标准正态分布 4性质 5分布曲线 ?图形特征 ?参数含义 6研究过程 7曲线应用 ?综述 ?频数分布 ?综合素质研究 ?医学参考值 历史发展 正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。后来到1837年，海根（G.Hagen）在一篇论文中正式提出了这个学说。 其实，他提出的形式有相当大的局限性：海根把误差设想成个数很多的、独立同分布的“元误差”之和，每只取两值，其概率都是1/2，由此出发，按狄莫佛的中心极限定理，立即就得出误差（近似地）服从正态分布。拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义，在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信服的解释。因为，高斯的说法有一点循环论证的气味：由于算术平均是优良的，推出误差必须服从正态分布；反过来，由后一结论又推出算术平均及最小二乘估计的优良性，故必须认定这二者之一（算术平均的优良性，误差的正态性）为出发点。但算术平均到底并没有自行成立的理由，以它作为理论中一个预设的出发点，终觉有其不足之处。拉普拉斯的理论把这断裂的一环连接起来，使之成为一个和谐的整体，实有着极重大的意义。 定理 由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x 的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。 为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。 若 服从标准正态分布，通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例）。 正 态分布 一、选择题 1.已知随机变量ξ服从正态分布)9,2(N ，若)1()1(-<=+>c P c P ξξ，则c 等于（） A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知随机变量ξ服从正态分),2(2σN ，且8.0)4(=<ξP ，则)20(<<ξP 等于（） A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 3.已知随机变量ξ服从正态分布),2(2σN ，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ≤等于（） A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 4.已知随机变量X 服从正态分布),2(2σN ，8.0)40(=< 学部：工学部 学生姓名：王梅影 学号：2011070102021 年级：2011级 专业班级：信息与计算科学 指导教师：赵姣珍职称：讲师完成时间：2015/5/15 中国·贵州·贵阳 成果声明 本人的毕业论文是在贵州民族大学人文科技学院赵姣珍老师的指导下独立撰写并完成的。毕业论文没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名： 日期年月日 目录 摘要 (1) Abstract (2) 1绪论 (3) 1.1研究背景 (3) 1.2研究目的 (3) 1.3研究现状 (4) 1.4研究意义 (4) 2 正态分布相关知识介绍 (5) 2.1正态分布的概念 (5) 2.2正态分布曲线特性 (5) 2.3 标准正态分布 (8) 3 正态分布的应用 (9) 3.1 正态分布应用实例 (9) 3.1.1 正态分布在生产中的应用 (9) 3.1.2正态分布在日常生活中的应用 (10) 3.1.3正态分布在销售分类中的应用 (11) 3.1.4正态分布在工作学习中的应用 (12) 3.1.5 正态分布在仪器测量中的应用 (12) 3.2 正态分布的应用价值 (14) 总结 (15) 参考文献 (16) 致谢 (17) 摘要：正态分布是一种最常见的连续型随机变量的分布,是概率论中最重要的一中分布.在理论上和实际生活中正态分布具有重要地位，数理统计中的正态分布是很多重要问题的解决的基础，在理论研究中占有举足轻重的地位.本文首先针对正态分布这一理论研究与实际应用都占有重要地位的概率分布展开分析研究，从其基本概念出发，然后分析其特性以及各种应用价值，最后通过一系列研究给出正态分布具有重大作用的理论依据. 关键词：正态分布标准正态分布方差标准差 正态分布——概念、特征、广泛应用 一、概念 指变量的频数或频率呈中间最多，两端逐渐对称地减少，表现为钟形的一种概率分布。 正态分布的由来 正态分布是最重要的一种概率分布。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss(Carl Friedrich Gauss，1777—1855)率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。 高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。高斯是一个伟大的数学家，重要的贡献不胜枚举。 在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。但随着各种理论的深入研究，高斯理论的卓越贡献日显重要。 1．正态分布的重要性 正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。 2．正态曲线及其性质 3．标准正态曲线 标准正态曲线N（0，1）是一种特殊的正态分布曲线，以及标准正态总体在任一区间(a，b)内取值概率。 4．一般正态分布与标准正态分布的转化 由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。5．“小概率事件”和假设检验的基本思想 “小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。这种认识便是进行推断的出发点。关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。 二、正态分布的特征 均数处最高 计算机科学与技术专业 《云计算与大数据概论》教学大纲 一、课程基本信息 课程中文名称：云计算与大数据概论 课程代码： 学分与学时：4学分，６4学时(其中，理论学时58，实验学时6) 课程性质:必修课程 授课对象：计算机科学与技术专业 二、课程教学目标与任务 本课程就是理论性与应用性均较强得课程,通过本课程得学习,了解云计算与大数据发展概况，掌握云计算技术、云计算体系结构,了解当前主流得云计算平台，了解大数据开发技术,掌握Hadoop平台得应用方式，理解ＭａpReducｅ、PＩＧ与Hbaｓe，了解云计算与大数据安全得标准与规范。 三、学时安排 四、课程教学内容与基本要求 第1章云计算与大数据概述 教学目得：通过本章学习，掌握云计算与大数据得概念，了解云计算与大数据技术得发展现状，掌握云计算与大数据得特点与优势，了解云计算分类方式,了解当前主流得云计算与大数据供应商. 基本要求：掌握云计算与大数据得概念,掌握云计算与大数据得特点与优势 重点与难点：云计算与大数据得特点与优势 教学方法:讲授、学生收集资料。 主要教学内容： 1.云计算与大数据得概念。 2.云计算与大数据技术发展现状。 3.云计算与大数据得特点与优势。 4.云计算得分类. 5.主流云计算与大数据供应商。 6.云计算与大数据得联系 第2章云计算技术 教学目得：通过本章学习,掌握虚拟化技术得原理与实现方式,包括服务器虚拟化、网络虚拟化、存储虚拟化、应用虚拟化与桌面虚拟化,了解分布式计算得原理与应用。掌握IaaS、PaaS、SaａS三种云计算服务方式得特点与应用范围。 基本要求：掌握虚拟化技术得原理与实现方式，掌握三种云计算服务方式。 重点与难点：虚拟化技术、分布式计算技术 教学方法：讲授、学生收集资料。 主要教学内容： 1、虚拟化技术原理与实现方式。 2、分布式计算得原理。 3、IａaS、ＰaaＳ、SaaS三种云计算服务方式得特点与应用范围。 ?第3章云计算平台 教学目得:通过本章学习，了解当前主流得云计算平台服务商，掌握Google、亚马逊、微软、阿里巴巴、百度与腾讯所提供得云计算服务得原理与内容。 基本要求:了解当前主流得云计算平台服务商及其所提供得云计算服务。 重点与难点:Ｇooｇle云计算体系,亚马逊云计算架构 教学方法:讲授、学生收集资料、实验。 主要教学内容： 1、主流云计算平台服务商. 2、Google云计算体系，GFS文件系统、Google App Engiｎe。 3、亚马逊平台存储结构、弹性云EC2、AＷS等. 4、微软得Ｍiｃｒosoft Azｕｒｅ。 5、阿里云服务平台。 6、百度开发者云服务。 7、腾讯云服务平台。 大数据开发基础 一、课程性质、目的和任务 1. 本课程为计算机专业大学本科生及研究生选修的一门课程； 2. 目的是让学生了解并掌握四个领域（即大数据系统的起源及系统特征、大数据系统的架构设计 及功能目标设计、大数据系统程序开发、企业大数据案例分析）的内容，同时利用真机实验环节以及大数据实训一体机来提升学生对大数据开发的实践能力； 3. 本课程重点让学生掌握五个方面的内容： （1）HDFS使用操作； （2）MapReduce开发； （3）HBase数据库的开发； （4）Hive数据仓库开发； （5）大数据案例分析； 二、教学内容及要求 第一章大数据概述 授课学时：1 基本要求： 1.了解大数据概念、特征、数据计量单位以及大数据的类型； 2.了解大数据系统的设计背景、以及当前大数据系统存在的不足； 3.了解大数据系统的设计思想、设计目标和设计原则； 4.了解大数据系统的整体逻辑架构设计及运行逻辑，了解当前大数据系统的主流架构； 第二章大数据应用开发思路和开发环境配置 授课学时：1 基本要求： 1.掌握大数据系统应用读写操作的开发流程； 2.掌握分析大数据开发技术及思路； 3.掌握大数据Java开发的环境配置、Plugin插件的安装，Hadoop环境配置； 第三章HDFS分布式文件系统 授课学时：4 基本要求： 1.了解HDFS设计目标、基本概念； 2.掌握HDFS文件系统的命令操作； 3.掌握Java对HDFS的程序开发操作，包含目录管理、文件列表、读取、导入导出、文件压缩等开发； 4. 真机实操训练（实验环节 1）； 第四章MapReduce分布式编程 授课学时：6 基本要求： 1.了解MapReduce的设计思想、基本概念； 2.了解MapReduce的系统架构、作业运行机制和关键技术； 3.掌握MapReduce的数据类型的自定义以及数据类型的使用； 4.掌握MapReduce开发，定制输入输出的数据格式； 5.掌握将HDFS文件系统中整个文件作为输入数据的开发； 6.掌握利用MapReduce完成小文件聚合成一个大文件的开发； 7.掌握压缩数据处理程序开发； 8.掌握任务组合过程，掌握迭代组合、并行组合及串行组合； 9.掌握任务的前后链式组合； 10.掌握多数据源连接的开发，包含Map端开发以及Reduce端开发； 11.掌握Hadoop全局参数的使用，全局文件的使用； 12.掌握与关系型数据库的访问连接； 13.真机实操训练（实验环节2）； 第五章HBase分布式数据库 授课学时：4 基本要求： 1.了解HBase分布式数据库的设计目标、基本概念； 2.了解HBase逻辑架构以及物理架构； 3.掌握HBase分布式数据库Shell命令操作； 4.掌握HBase数据库系统的Java开发，包含创建表、删除表，查询所有表操作； 5.掌握HBase数据库系统的Java开发，包含插入记录、查询数据，组合查询、修改删除记录等开发； 6.真机实操训练（实验环节3）；正态分布的性质及实际应用举例
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