精选湖北省襄阳市四校2016_2017学年高二数学下学期期中联考试题文

湖北省襄阳市四校2016-2017学年高二数学下学期期中联考试题 文

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分：第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题.

第Ⅰ卷 ( 共60分)

一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分，请从A ，B ，C ，D 四个选项中，选

出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选，多选，错选均得零分.） 1．抛物线2

2y x =的焦点坐标是（ ）

A ．1(,0)2

B ．1(0,)2

C ．1(,0)8

D ．1(0,)

8

2．命题“若220a b +=，则,a b 都为零”的否命题是（ ）

A ．若220a b +≠，则,a b 都不为零

B ．若220a b +≠，则,a b 不都为零

C ．若,a b 都不为零，则220a b +≠

D ．若,a b 不都为零，则220a b +≠ 3

4

A ．

B ．

C ．

D ．

5．椭圆2

2

1my x +=的一个顶点在抛物线2

2

1x y =

的准线上，则椭圆的离心率（ ） A B C ．4 D ．25

6．函数()ln f x x x =-的单调递增区间是（ ）

A ．(,1)-∞

B ．(0,)e

C ．(0,1)

D ．(1,)+∞

7．一动圆P 与圆2

2

:(1)1A x y ++=外切，而与圆()

222:(1)31B x y r r r -+=><<或0内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是（ ）

A ．椭圆

B ．双曲线

C ．椭圆或双曲线一支

D ．抛物线

8. 已知函数()f x 在R 上可导，且()()()

2

201x

f x f x '=+?-，则()0f 的值为（ ）

A.ln 2

B.0

C.1

D.1ln2-

9.曲线

192522=+y x 与曲线()22

10259x y t t t

+=>的（ ） A.长轴长相等

B.短轴长相等

C.离心率相等

D.焦距相等

10.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线211

22

y x =+只有一个公共点，则双曲线

的离心率为( ).

B. 5

C.2

D.5

11．已知命题1p ：函数x

x

y e e -=-在R 为增函数，2p :函数x

x

y e e -=+在()0,1为减函数．则

命题1p ∧2p ；1p ∨2p ；1p ∧?2p ；1p ?∨2p 中真命题的个数为（ ） A ．1 B.2 C.3 D.4

12.有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆22221x y a b +=和双曲线()22

2210x y a m m n

-=>>的

实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M 、N ；A 、B 分别在左右两部分实线上运动，则

ANB ?周长的最小值为: （ ）

A.()m a -2

B.()m a -

C.()n b -2

D.()m a +2

二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卷上）

13．双曲线2

2

19

y x -=-的渐近线方程为___________. 14．若函数()x

e f x x

=在x a =处有极小值，则实数a 等于_________.

15.已知命题p :“[]2

1,2,0x x a ?∈--<”, 命题q ：“022,2

=-++∈?a ax x R x ”,

若命题“p ∨?q ”为假命题，则实数a 的取值范围为.

16.综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜.这种望远镜的特

点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚，例如，某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示，其中，一个反射镜1PO Q 弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜2MO N 弧所在的曲线为双曲线的一个分支，已知1F 、2F 是双曲线的两个焦点，其中2F 同时又是抛物线的焦点，1O 也是双曲线的左顶点.若在如图所示的坐标系下，2MO N 弧所在的曲线方程为标准方程，试根据图示尺寸（单位：cm ），写出反射镜1PO Q 弧所在的抛物线方程为_________.

三、解答题（本大题有6小题，共70分，请将解答过程写在答题卷上

17．(本小题满分10分）已知命题p ：实数x 满足()2

2

4500x ax a a --<>，

q ：实数x 满足22

560

560

x x x x ?--≤?-+>? （1）若q 为真命题，求实数x 的取值范围.

（2）若p ?是q ?的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.

18．(本小题满分12分）已知()()ln 0a x

f x a x

=

≠， （1）写出()f x 的定义域. （2）求()f x 的单调区间.

54

x

19. (本小题满分12分） 设命题:p x ?∈[]1,1-，32

322

x x a -

+>. 命题:q x ?∈[]1,1-，323

22

x x a -+>. 如果命题“p ∨q ”为真命题，

“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围.

20. (本小题满分12分）已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左，右焦点M 、N ．若以椭

圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的顶点为焦点作一双曲线恰为等轴双曲线． （1）求椭圆的离心率；

（2）设L 为过椭圆右焦点N 的直线，交椭圆于P 、Q 两点，当MPQ ?周长为8时； 求MPQ ?面积的最大值.

21．(本小题满分12分）已知函数()()3

221()1013

f x x x m x m =

-+-<< （1）求函数()f x 的极大值点和极小值点； （2）若()f x 恰好有三个零点，求实数m 取值范围.

22. (本题满分12分） 已知:抛物线m 2

:2y px =焦点为F ，以F 为圆心的圆F 过原点O ，过F 引斜率为k 的直线与抛物线m 和圆F 从上至下顺次交于A 、B 、C 、D.若

?4=.

(1) 求抛物线方程.

(2)当为k 何值时,AOB ?、BOC ?、COD ?的面积成等差数列；

(3)设M 为抛物线上任一点，过M 点作抛物线的准线的垂线，垂足为H.在圆F 上是否存在点N ，使M H M N -的最大值，若存在，求出MH MN -的最大值；若不存在，说明理由.

第12题图

数学（文）参考答案

一、选择题 DBCDB CCDCA BA 12．

22BM BN a l AB BN AN AM AN m

+=?=++-=22AB a BM AM m =+-+-

22AB AM BM l a m +≥?≥-

当且仅当M 、A 、B 共线时，ANB ?周长的最小

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．3y x =± 14．115．2-≤a 16．2

920(88)y x =+ 16.解：由题意知：连接12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的中点为原点.

对于抛物线，有

176542302

p

=+=,所以，460,2920p p ==. 因为双曲线的实轴长为217688a a =?=因为抛物线的顶点横坐标是88-. 所以，所求抛物线的方程为2

920(88)y x =+. 三、解答题

17．解：（1）2

56016x x x --≤?-≤≤

25603x x x -+>?>或2x <

36x ∴<≤或12x -≤< （5分）

（2）p ?是q ?的充分不必要条件?q 是p 的充分不必要条件 化简()():,50p x a a a ∈->， 设()[)(],5;1,23,6A a a B =-=-

则B A ?且A B ≠156

a a -<-???

>?6

5a ∴> （10分）

18. 解: （1）()f x 的定义域为()0,+∞. （3分） （2）()()

2

1ln 0a x f x x

-'=

=，得x e =，（5分） ①当0a >时，在()0,e 上()0f x '>；在(),e +∞上()0f x '<

()f x ∴的递增区间为()0,e ；递减区间为(),e +∞（9分）

②当0a <时，在()0,e 上()0f x '<；在(),e +∞上()0f x '>

()f x ∴的递增区间为(),e +∞；递减区间为()0,e （12分）

19.解:设()()32

232330

f x x x f x x x '=-

+?=-=，得10x =，21x = ()f x 有最大值2；最小值2

-（6分）

则命题:p 成立得2a <；命题:q 成立得12

a <-

由命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题。则,p q 一真一假 若p 真q 假，则1

22

a -

≤<；若q 真p 假，则a φ∈ 所以，实数a 的取值范围为1

22

a -

≤<（12分） 20.（1）由题意双曲线为22

221x y c b

-=为等轴双曲线

则b c a =?=

，得椭圆的离心率为2

e =

（4分） （2）MPQ ?周长为4a =8,可得：椭圆为：22

142

x y +=, （6分） 设PQ 为x ny =()

22220n y ++-= （8分）

1212222y y y y n ?+=??∴???=-

?+?

()

2

1

24422212

2121++?=-+=

-?n n y y y y y y

122

2y y n ?-=

=+

1212S MN y y ??=-=（10分）

121222

2

;22

y y y y n n ∴+=-?=-++令112≥+=

n t ;

则2

12S t t t

?=

=≤++（显然当1=t 即0=n 时最大）（12分） 法二:由对称性,不妨设PQ 的倾斜角为??

?

??∈2,

0πα. PQ MN S ??=∴?αsin 21, MPQ ?周长为4a =8,可得：椭圆为：22

142

x y +

=, 设PQ

为x ny =1

tan n α

=

代入椭圆得(

)22220n y ++-=

又焦点弦(

(12122PQ a ex a ex a e ny e ny =-+-=--+

(

)()212122

2222222224

212tan 1sin n a ne y y n y y n αα

=--+=-+=++=+=

++

∴sin sin S αα

?=

=≤+

?=90α时取最大. 法三:MPQ ?周长为4a =8,可得：椭圆为：22

142

x y +=, 由对称性,不妨设PQ 的倾斜角为??

? ??∈2,

0πα. PQ MN S ??=∴?αsin 21, 又α

αcos 1cos 1e eP e eP PQ ++

-=(

其中2b e P c ===

2

224

11sin 1cos 2PQ αα

=

==+-

21．解:（1）()22

210f x x x m '=-+-=得11x m =-；21x

=+

()f x 在(),1m -∞-和()1,m ++∞上为增函数；在()1,1m m -+上为减函数

（也可由()f x '的图像得单调性）

函数()f x 的极大值点为1x m =-，极小值点为1x m =+（6分）

（2）若()f x 恰好有三个零点，则()()10

10

f m f m ->???

+

22.解:(1)由题意,02p F ??

??? ,2p r =;直线AD 为2p y k x ?

?=- ??

?

2A A p AB AF BF x r x ??=-=+-= ???；2D D p CD DF CF x r x ?

?=-=+-= ??

?

联立222y px

p y k x ?=???

?=- ?

????

得()22222

204p k k x k px -++= 由违达定理得2

2214

A D A D x x p k p x x ???+=+ ????????=??∴2444A D p A

B CD x x p ?==

=?= ∴抛物线方程2

8y x =……5分

(2) 由AOB ?、BOC ?、COD ?的面积成等差数列 得482

A D A

B CD

BC x x +=

=?+=（即弦长12AD =）

∴2

218p k ??+=

???

∴2

2k k =?=9分 (

或22

2222112sin ,cos 1cos 1cos sin 33tan 2p p p AD k θθθθθθ=

+==?==

-+?=?=)

(3)由定义4MH MN MF MN NF -=-≤=

∴存在点N ，使MH MN -的取得最大值为4 ……12分