高中数学三维设计必修4：(一)任意角

课时跟踪检测（一）任意角

层级一学业水平达标

1．－215°是()

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

解析：选B由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．

2．下面各组角中，终边相同的是()

A．390°，690°B．－330°，750°

C．480°，－420°D．3 000°，－840°

解析：选B∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，

∴－330°与750°终边相同．

3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是()

A．第一、三象限B．第一、二象限

C．第二、四象限D．第三、四象限

解析：选A由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，

当k＝2n＋1，n∈Z，

α＝2n·180°＋180°＋45°

＝n·360°＋225°，在第三象限，

当k＝2n，n∈Z，

α＝2n·180°＋45°

＝n·360°＋45°，在第一象限．

∴α是第一或第三象限的角．

4．终边在第二象限的角的集合可以表示为()

A．{α|90°<α<180°}

B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}

C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}

D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}

解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．

5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()

A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°

C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°

解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选 B.

6．在下列说法中：

①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；

②钝角一定大于锐角；

③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；

④－2 000°是第二象限角．

其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．

解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．

②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．

③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．

④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确．

答案：①③

7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.

解析：5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.

又∵180°<α<360°，∴α＝270°.

答案：270°

8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．

解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.

答案：216°－144°

9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：

(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.

解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．

(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，

且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．

(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：

(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？

(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．

解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－13

3

11

3

，又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，

－2，－1,0,1,2,3，∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.

(2)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，

∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.

层级二应试能力达标

1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为()

A．1B．2

C．3 D．4

解析：选D①－15°是第四象限角；

②180°<185°<270°是第三象限角；

③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；

④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，

所以四个结论都是正确的．

2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝()

A．120°＋k·360°，k∈Z

B．120°＋k·180°，k∈Z

C．240°＋k·360°，k∈Z

D．240°＋k·180°，k∈Z

解析：选B角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.

3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在()

A．x轴的非负半轴上

B．x轴的非正半轴上

C．y轴的非负半轴上

D．y轴的非正半轴上

解析：选A∵α＝β＋k·360°，k∈Z，

∴α－β＝k·360°，k∈Z，

∴其终边在x轴的非负半轴上．

4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是()

A．M∩N＝?B．M N

C．N M D．M＝N

解析：选C对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n 表示所有的整数，∴N M，故选 C.

5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．

解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义

可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.

答案：－30°－360°

6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．

解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k ∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．

答案：一或三

7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．

解：终边在直线y＝－3x上的角的集合

S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.

8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：

(1)终边落在射线OB上；

(2)终边落在直线OA上；

(3)终边落在阴影区域内(含边界)．

解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．

(2)终边落在直线OA上的角的集合为

S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．

(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为

S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．