湖北大学量子力学考研参考试题及解

量子力学考研参考试题（一）

一. （见1997年第二题）证明：

（1） 若一个算符与角动量算符J ? 的两个分量对易，则其必与J ? 的另一个分量对易；

（2） 在2?J 与z J ?

的共同本征态

JM 下，x J ?与y J ?的平均值为零，且当J

M 时，测量x J ?与

y J ?的不确定性为最小。 证明：

（1） 设算符F

?与角动量算符x J ?及y J ?皆对易，即

?,??,? y

x

J F J F

则

0??,?i 1??,?i 1?,?,?i 1?,? x y y x y x z J J F J J F J J F J F

同理可知，若算符F ?与角动量算符x J ?及z J ?皆对易，则算符F ?必与y J ?对易；若算符F

?与角动量算符

y

J ?及z J ?皆对易，则算符F ?必与x J ?对易，于是，问题得证。

（2）在2?J 与z J ?

的共同本征态

JM 下，x J ?与

y J ?的平均值为

JM J J JM JM J JM x ??2

1?

由升降算符的修正可知

1)1()1(?

JM M M J J JM J

于是有

0? JM J JM x

同理可证，算符

y

J ?

在

JM

下的平均值也未零。在

JM

态上，

22

2

2

2

)1

(

2

1

?

?

2

1

?

?

?

?

4

1

?

?

?

?

4

1

?

M

J

J

JM

J

J

JM

JM

J

J

J

J

JM

JM

J

J

J

J

JM

JM

J

JM

x

同理可得

22

2)1

(

2

1

?

M

J

J

JM

J

JM

y

故有

422

2

2)1

(

4

1

M

J

J

J

J

x

x

或者写为

22

)1

(

2

1

M

J

J

J

J

y

x

显然，当

J

M 时，上式取最小值

2

min2

J

J

J

y

x

二. （见2001年第二题）粒子作一维运动，当总能量算符为

x V

p

H

2

?

?2

时，能级是

n

E

，如果总能量算符变成

p

H

H

?

?

?

（

为实参数），求粒子能级的严格解n

E

。

解：视

为参变量，则有

p

H?

?

利用费曼-海尔曼定理可知

n p

n n H n E n ?1

?

又知

p p p x H x t x ?1?2?,

i 1?,i 1d d 2

在任何束缚态

n

下，均有

0??i 1?,i 1d d n x H H x n n H x n n t x n

所以，

n p

n ?

进而得到能量本征值满足的微分方程

n E

对上式作积分，得到

c

E n 22

利用0 时，

0??H H ，定出积分常数

0n E c

最后，得到

H

?的本征值为

22

n

n E E

三. 一维谐振子的哈密顿算符为

222212??x m m p H

引入无量纲算符，

x m Q

?；

p m P

?1

?

；

P Q

a

?i ?2

1

? ；

P Q

a

?i ?2

1

?

（1） 计算

P Q

?,?，

a a ?,?， a a a ??,?

，

a a

a ??,?

；

（2） 将H ?用a ?与 a ?表示，并求出全部能级。

解：

（1）计算对易关系

i ?,1

?1,

?,? p x p

m x m P Q

1

?

,?i 21?i ,?21?i ?21,?i ?21?,?

Q P P Q P Q P Q a a

a a a a a a a a a a ???,??,????,?

a a a a a a a a a a ?

??,??,????,?

（2）改写哈密顿算符

22222??2

1212??Q P x m m p H

而

1

??21?,?2i ??21?i ?21?i ?21??2

222

P Q P Q P Q P Q P Q a a

所以，有

21???a a

H 下面求解上述哈密顿算符满足的本征方程。

对任何态矢

，均有

??2

a a a

因此，

21? H

若

是哈密顿算符的本征态E

，则E H E E ?，即

21

E

上式说明能量的下限为

21

。

用a

H ??作用H ?

的任意一个本征态'

E

上，利用

a a a a H

a ???,??,?

可知

'''?? ????'E E E a

E a H a a H

若

0?' E a

，则其为哈密顿算符的另一个本征态，相应的本征值为 E

。

重复这个推理的过程，得到

,2,,'

'

'

E E E 都是哈密顿算符的本征

值，由于，本征值不能小于

2

1

，此数列必须终止于某个最小值0E ，即 0

E 不再是能量本征值，其条件为

0?0 E a

因此，

0002121???E E E a a

H

于是可知

E

相应当能量本征值

2

10 E

类似前面的做法，利用

H a a H

????

可知

''???'E E a E a H

说明

'?E a

也是能量的本征态，相应的能量本征值为 'E ，重复此过程

可知，

,2,,'

'' E E E 都是能量本征值。最后，得到能量本征值的表达

式为

21n E n

四. 有一定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动）受到均匀磁场B 的作用，

磁场B

指向x 轴电正方向，磁作用为x x c eB s c eB H ? 2? ? 。

设0 t 时，

电子的自旋向上，即2

z s ，求0 t 时s ? 的平均值。

解：哈密顿算符可以改写为

0110? 2? x c eB H

其中，

c eB

2

在泡利表象中，设

0 t 时体系的波函数为

t b t a t b t a t 则其应满足

010?d d i t H t t

于是有

t a t b t b t a t d d i 此即，

t a t t b t b t t a i d d i d d

上式可以化为

t b t a t t b t a t b t a t t b t a i d d i d d

解之得到

t d t b t a t c t b t a i exp i exp

利用初始条件

10 a ； 00 b

可知

1 d c

于是，

t t b t t a sin i cos

0 t 时的波函数为

t t t isin cos 而

t t t s t t t s t t s z z y y x x 2cos 2?2 2sin 2?20?2

五.（第一问见1998年第五题）有一量子体系由哈密顿量

W H H ???0 描述，

其中，

0?,?i ?H A W 可视为微扰，B A ?,?是厄米特算符，且有

A B C ?,?i ? 。

（1）若算符

C B A

?,?,?在

0?H 的非简并基态上的平均值已知，且分别记为000,,C B A ，求B ?在微扰后的非简并基态上的平均值，准确到 量级。

（2） 将上述结果用在如下三维问题上，

3

1222

0212??i i i x m m p H

3?x W 计算在微扰后非简并基态上

i x 3,2,1 i 的平均值，准确到 量级。

解：

（1）设

0?H 满足

n E n H n

00?

则哈密顿算符W H H ???0 的基态波函数的一级近似为

0?i 00?00i 0?i 00?i 00???i 00?00

000

00

000

1A A A A n n A n n E E A H H A n n E E W

n n n

n n n

n n

利用归一化条件

20

22110?010

0A A

若准确到

量级，则一级近似波函数已经归一化。

在微扰后的基态的一级近似之下计算

B

?的平均值，得到

2020

00110????0i 0??00??0i 0?0 O B A A B

B O B A A A A B B B

再利用

A B C ?,?i ? ，并略去 的二次项，

0110?0C B B

（2）取

23?? m p A

使得

3

2322

3021,?i ?,?i ?x x m m p H A W

当

1?x B 时，

0?,i ?,?i ?231 m p x A B C

000001111 x x

同理可知，

000

02121 x x

当取

3?x B 时，

2

2331?,i ?,?i ? m m p x A B C

2

213100000

m C x x