构造几何图形解决代数问题

构造几何图形解决代数问题

摘要 数与行是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。因此，数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一。数形结合的应用大致可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。本课题调查研究中主要研究“以形助数”的情形。

关键词 数形结合 解题 以形助数 教学

1.“以形助数”的思想应用

1.1解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。 例:已知集合A=[0，4]，B=[-2，3]，求A B 。

分析：对于这两个有限集合，我们可以将它们在数轴上表示出来，就可以很清楚地知道结果。如下图，由图我们不难得出A B=[0,3]

例:（2009湖南卷文）某班共30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为

分析：如下图，设所求人数为x ,则只喜爱乒乓球运动的人数为10(15)5,155308x x x x --=-+-=-?=故。

B=[-2,3] A=[0,4]

评价：通过上面两个典型例题的学习，我们基本了解了构造几何图形在代数问题中的简单应用，将抽象的集合问题形象地用图形表现出来，形象生动便于思考，找出问题中条件间的相互关系进而方便快捷地解答。

1.2解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。

例:（2009山东理）若函数

()(01)x f x a x a a a a =-->≠且有两个零点，则实数的取值范围是

分析：设函数(0,1)x y a a a =>≠且和函数y x a =+，则函数

()(01)x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，就是函数(0,1)x y a a a =>≠且与函数y x a =+有两个交点，由图象可知当01a <<时两函数只有一个交点，不符合，当1a >时，因为函数(1)x y a a =>的图象过点（0，1），而直线y x a =+所过的点一定在点（0，1）的上方，所以一定有两个交点，所以一定有两个交点，所以实数a 的取值范围是1a >

0

a>1

例:若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上是减函数，且(2)0f =，求()0f x <的x 的取值范围。

分析：由偶函数的性质，y=f(x)关于y 轴对称，由y=f(x)在(,0]-∞上为减函数，且f(-2)=f(2)=0，做出如图，由图象可知发f(x)<0，所以x ∈(-2,2)

评价：函数问题是高考中主打题型，往往又是比较难解的问题。在解决这类问题时，若只采用代数的方法思考问题，往往会太过于抽象或无从下手。但如果根据函数的定义，引入图象，使所求的问题具体化，可从图中一目了然，则达到事半

功倍的效果。

1.3解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

例:若方程

2lg(3)lg(3)x x m x -+-=-在(0,3)x ∈内有唯一解，求实数m 的取值范围。

分析：原方程可化为2(2)1(03)x m x --+=<<，设212(2)1(03),y x x y m =--+<<=

在同一坐标系中画出它们的图像，如下图，由原方程在（0，3）内有唯一解，知12y y 与的图象只有一个公共点，可见m 的取值范围是-1

例:已知不等式

22(1)(2)x x m ++->对一切实数x 恒成立，求实数m 取值。 分析： 2(1)x +表示数轴上点x 到点（-1）的距离，2(2)x -表示数轴上点x 到点2的距离。数轴上点x 到点（-1）的距离与点x 到点2的距离的和的最小值为3，即22(1)(2)3x x ++-≥，所以实数m 的范围是：m<3.

评价：方程问题和不等式问题归根结底也就是函数问题的变形，只要我们根据题意条件循序渐进地找出突破口，便可同样很好地利用图象简捷地解决。

1.4解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。

例:求

sin +2

cos 2x y x =-最值 分析：我们可以把（cosx,sinx ）看成是单位圆周上的一点，sin +2cos 2

x x -可以理解为点（cosx,sinx ）与点（2，-2）连线的斜率。由图可知，斜率的最大值与最小值应为通过点（2，-2）且与单位圆相切的两条切线的斜率，设点（2，-2）且与单位圆相切的直线方程为：+2(-2)y k x =，利用圆心（0，0）到切线的距离为圆的半径1，可以求出斜率k 的范围：

-47-4733k -+≤≤，所以m a x m i n -47-4

7,33y y +

-==

评价：三角函数的图象和性质是高考的热点，在解题时要灵活运用数形结合的思想，把图像和性质结合起来，通过图象直观地感受题目的要义，为解题提供方便。

1.5解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。 例:（08年高考湖南卷理改编）已知变量x,y 满足条件1,0,290x x y x y ≥-≤+-≤，

求x y +的最大值。

分析：本题实质是线性规划问题，运用图象画平面区域，再求线性目标函数的最值。如图所示，可行域为图中阴影部分（包括边界线），则z=x+y 在A 点处取得最大值，由0,290x y x y -=+-=联立得A （3，3），故最大值为3+3=6.

评价：线性规划位于不等式和直线方程的结合点，是培养学生转化能力和熟练运用数形结合能力的重要内容。

1.6解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n 项和公式可以看作关于正整数n 的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。

例:若数列{}n a 为等差数列，,p q a q a p ==，求p q a +

分析：如图，由于等差数列中n a 的图象是一条直线上均匀排开的孤立的点，故三点A(p,q)，B(q,p)，C(p+q,m)共线，所以AB AC k k =，即

p q m p q p p q q

--=-+-，得m=0,即0p q a +=

评价：人们在解决数列问题时，习惯用代数的思维方法，如果将数形结合的数学思想渗透到数列中，运用数形结合的思想和方法看待和解决数列问题，往往会有异样的收获。

2.“以形助数”的思想总结

2.1“数”转化为“形”问题的途径和基本思路

2.1.1数量问题转化为图形问题一般有三种途径：应用平面几何知识，应用立体几何知识，应用解析几何知识将数量问题转化为图形问题。

2.1.2对于“数”转化为“形”这类问题，解决问题的基本思路：明确题中所给的条件和所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似（相同）于已学过的基本公式（定理）或图形的表达式，再做出或构造出与之相适合的图形，最后利用已经做出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解（求解）的目标去解决问题。

2.1.3常见“以形助数”的方法：

（1）借助于数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补、运算等问题是非常有效的。

（2）借助于函数图像，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法。

2.2“数形结合”思想在解题过程中注意点

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念

和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

2.3数形结合的意义

数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，也就是数与形，数与形是中学数学主体，是中学数学论述的两个重要内容。“数”与“形”既有区别，又有联系，“坐标法”实现了它们之间的转化。“数形结合”的思想不仅使几何、代数、三角知识相互渗透融于一题，又能提示问题的裨益，在解题方法上简洁明快，独辟蹊径，能开发智力，培养创造性思维提高分析问题和解决问题的能力。华罗庚教授曾指出：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”由此可见数形结合思想在教学中的重要地位，它是数学思想方法的核心。因此，应用数行结合的思想，可以解决许多复杂的代数问题。

2.4数形结合思想在教学中的重要性

2.4.1加强数形结合思想的概念教育

数学中的“数形结合”思想大部分源于概念教学过程，加强对基本概念的教学，是掌握数形结合的基础。在正常的教学活动中，教师要有意识的将抽象概念知识形象化，使学生加深对概念的理解和掌握，为以后利用概念不同的表达形式来解决复杂多变的数学问题打下坚实的基础。特别是一些明显具有几何意义的概念，如复数的模、直线的斜率、导数等，这些就需要老师在讲解其文字意义的同时赋予图形表征，这样学生便能更容易接受，而且记忆深刻，遇到题目时能够想到相关知识进而灵活应用。因此，我觉得对数形结合的概念教育也是不可忽视的环节，它不仅可以帮助教师得心应手地进行课堂教学，而且也有助于学生开发其创新意识和提高思维能力。

2.4.2如何应用好“数形结合”思想？

（1）结合学生的认真结构循序渐进地逐步渗透数学思想。教学不是对角戏，而是教师与学生进行沟通交流的过程，教师的责任不仅仅是将知识填鸭式的写在黑板上让学生记住，而是以学生为主体，根据他们的需要和能力制定适当的教学目标和教学计划。数学教育亦是如此，鉴于数学本身就是一门较为难学的科目，所以更要循序渐进地向学生传授数学思想。在解决问题的过程中，潜移默化地理

解“数形结合”思想，所以不仅要结合问题，而且要考虑学生的认知结构。在学习中不断积累数形结合的素材，让学生逐步体会数形结合的优点。这样学生就可以循序渐进地理解运用这一数学思想，从而不断提高学生的数学品质和素养。

（2）尽可能使用多媒体教学，展示数形结合，以此激发学生的好奇心和求知欲。教学过程中合理的运用多媒体，可以将黑板上的模糊的静态的图形转变为清晰的生动的动画，这样不仅能够充分体现数与形的联系及变化规律达到较好的教学效果，而且可以调动学生学习数学的积极性和兴趣。

（3）培养学生观察和联想的能力。在学生逐步了解“数形结合”思想之后，给出有关问题让学生自己思考解决，培养学生自主学习能力和联想能力，这样对提高学生数形结合能力很有帮助。