南航自控820_2011年硕士研究生入学考试试题及参考答案

一、（本题15分）已知某系统结构如图1所示，求传递函数)()(S R S E 和输出C （S ）。

二、（本题15分）已知某单位反馈的三阶系统（无闭环零点）结构图如图2所示，系统满足下列条件：

（1） 在单位斜坡信号输入下稳态误差ss

e 为1,125；

（2） 在单位阶跃信号输入下动态性能指标峰值时间秒

626.3=p

t

，

超调量%

32.16%=σ 试求

开环

传

递

函

数

G

（

S

）。

三、（本题15分）已知某单位反馈系统的开环传递函数为

)

3()4)(()(2

-+++=

s s s s K s S G ，

（1）绘制该系统的闭环根轨迹（K:0∞→）;

(2) 确定闭环系统有重极点时闭环传递函数（零、极点表达式）； （3）当输入为单位斜坡信号时，欲使稳态误差1≤ss e ，求此时K

值范 围。

四、（本题15分）已知某系统的开环传递函数为S

e

s GH -)(1

,二阶环

节)(1

ωj GH

曲线如图3所示，试判断该系统的闭环稳定性。

五、（本题15分）已知某单位负反馈系统的开环传递函数

)

12.0)(11.0()(++=

s s s K

S G ，试设计串联滞后校正装置，要求校正后系

统的静态误差系数

30

=v K ，相角裕度

?

≥40,

,γ

，截止频率

s

r a d /3.2,

,≥ω。

六、（本题15分）已知某离散系统结构图如图4所示，采样周期T=1秒，

（1） 当1)(=s G h

时，求闭环系统稳定的K 值范围；

（2） 当s

e

s G

Ts

h

--=1)(，K=1，s

s R 1)(=时，试求该离散系统的输出

相应)

(*

t c

、稳态输出)

(*

∞c

和稳态误差)(*

∞e

。

附Z 变换表：aT

e

z z

s Z --=

+]1

1[;2

2)

1(1

-=????

??

z Tz s Z ；1

1-=

??

?

???

z z s Z 。

七、（本题15分）已知非线性系统的结构图如图5所示，图中非线性环节的描述函数

5

.041)(++=

A A A N ,线性部分的传递函数

10

)2()(2

++=

s s k s G ，

（1） 当k=5时，试用描述函数分析系统是否存在自激振荡？若

存在，求出自激振荡振幅和频率； （2） 当k=1时，分析该非线性系统的稳定性。

八、（本题10分）已知系统的传递函数为1

210)(2

+++=as s s s G （a 为实

数）

（1）试列写该系统的可控标准型实现；

（2）在（1）的基础上，试用利亚普诺夫第二法判断该系统的稳定性。

九、（本题15

分）已知系统的动态方程为[]x

y u x x 01

1101

10

=???

???+??????-=

（1）判断系统的可控性和可观性；

(2)试设计状态反馈控制器，使系统的闭环极点位于2

32

1j ±

-处；

（3）试求加入状态反馈后的闭环系统传递函数。

十、问答题（本题共20分，每小题4分） （1）若单位负反馈系统的开环传递函数为)

18()1()1()(2*

+-+=

S s s K s G ,请

问该系统的闭环根轨迹图中可能存在复数分离点吗？请说明理由。

（2）某负反馈最小相位系统的开环增益为5，其幅值裕度为20

分贝，则保证闭环系统稳定的最大开环增益为多少？ （3）频率响应法设计校正环节时，若校正前系统相角裕度

?-=25,

γ，校正后的相角裕度?=45,

,γ

，则采用串联超前校正

还是采用串联滞后校正比较合适？请说明理由。

（4）已知系统的状态方程为x x

??

?

???--=32

10 ，初始状态??

????=

10)0(x ，

试求该状态方程的解x(t)。

（5）线性定常系统经过状态空间的线性变换后特征值改变吗？

试证明之。 参考答案: 一、（本题15分） （1）)

()()()()()()()()()()(1)

()()()()(1)

()(2211321221132322s H s G s H s G s H s G s G s H s G s H s G s H s G s G S H s G s R s E ++++-+=

（2）[][])

()()()()()()()()()()(1)

()()()()()()()()()()()()()()(2211321221111221123232

1

s H s G s H s G s H s G s G s H s G s H s G s N s H s G s G s G s R s H s G s G s G s G s G s G s G s C ++++++++=

二、（本题15分）

令系统的闭环传递函数为

K

bs as

s K

s +++=

2

3

)(φ，则

)

()(2

b as s s K s G ++=

，

125

.11===

K

b Kv

e ss 。

由5

.0%.32.16%100*%;866.0,626.32

1======

--

ξσωωπξ

πξ得得e

t

d d

p

。

由1,866.012

==-=n n d

ωξ

ωω

得。

故主导极点866.05.02,1j j s d n ±-=±-=ωξω。

又因为)

)(866.05.0)(866.05.0(2

3

c s j s j s K bs as

s +-+++=+++ 即 ))(1(2

2

3

c s s s K bs as

s

+++=+++，得,

8,9,9,8====c b a K

所以)

99(8)(2

++=s s s s G 。

（1）特征方程为1+G （s ）=0 即 0

)

3()

4)((12

=-++++s s s s K s ；等效开环传

递函数

2

)

1()4()(++=

s s s K s G ；分离点

4

11

21+=

++

d d d

，

)(646.5,354.021舍去-=-=d d ；

根轨迹与虚轴交点2

,1==ωK

;根轨迹图如下。

（2）闭环出现重极点时K=0.04;开环传递函数

)

3()

4(04.0)(2

-+++=s s s s s s G ）（；闭环传递函数为

)

292.1()354.0()4)(04.0()(2

++++=

s s s s s φ；

（3）

)

133()

14)(1(3

4)

3()4)(()(2

2

+--++-=

-+++=

s

s

s s K s

K s s s s k s s G ；K

K

e

ss

433

41-

=-=

，

由 1

43≤=

K

e ss

，得4

3≥K ；考虑到稳定性，最后得1

4

3<≤K

。

?

-=+∠

=?=∠=+=

=451

12135-2;)

1(2

1

1

1

j s Ts GH

GH

Ts s K GH

；则，时，当ω，

，

）

（令

125.014

;4,22

2)

(12;5.02

12

2

2

1=+===

+=

==

=ωωωωK K T K GH

T 得?-=?-?-=∠=-=1225.225.090;5.21

5.21

tg j GH c

ωωω）（此时，若?-=-58c τω

本系统处于临界稳定状态，即s

e

s GH τ-)(1

恰好其幅相曲线过（-1，

j0）点，故4.00<≤τ

时系统稳定。本题1=τ，系统不稳定。

五、（本题15分） （1）

)

12.0)(11.0(30

)(++=

s s s s G ，校正前的指标：

?

-==25,/4.11,

,

γωs rad c ；

采用滞后校正TS

bTS s G

C

++=

11)(；

(2)校正后的相角裕度设计

)

()(180,

,,,,

,c c c j G ωω?γ

∠++?= 取

?-=5)(,

,c c ω?；

?-=?--?-?=-?-=∠135)5(18040)(180)(,,'

',,c c c j G ω?γ

ω；

?-=--?-=∠1352.01.090)(,

,,

,,

,c c c arctg arctg j G ωωω，则s rad c /8.2,

,=ω

满足要求； (3)0

)

12.0)(11.0(30

11lg 208

.2=++?

++=j s s s s Ts

bTs ,;

1.0,lg 2011lg 208

.2==++=b b Ts

bTs

j s 则

(4)

;

7.35,10,10

11

,

,,

,==

=

T b T bT

c

c ω

ω则

s

s s G 7.35157.31)(++=

，经验算

?==40,/8.2,

,,

,γ

ωs rad c ，满足要求。

六、（本题15分） (1) 0

)(,1)(;)4(4.1)3(4.1)2()1(368.0)(*

**

=∞=∞+-+-+-+-=e c t t t t t h δδδδ。

七（本题15分） （1） 当k=5时，10

)2(5

)(2

++=

jw j j G ωω。与负实轴交点处2

=x

ω

，

833

.0)(-=x j G ω；与负虚轴的交点处108

.2)(,581.1j j G -==ωω

。负

倒

描

述

函

数为

4

)

(1,;5.0)

(10,1

5.04)

(1-=-

∞→-=-

=++-

=-

A N A A N A A A A N 时当时，当；

绘出)()

(1ωj G A N 和-

曲线如下图所示：

由自振条件1)()(-=A N j G ω得自振角频率s

rad /2=ω

，得自振

振幅A=0.105。 （2） 当k=1时，10

)2(1

)(2

++=

jw j j G ωω。由2

1)(2

<

=x

x

j G ωω

得系统稳

定。

八、（本题10分）

（1）[]x

y u x a x 110

1021

10

=???

???+??????--=

（2）2

2

2

1)(,0x x x V x

e

+==令，2

22211

422)(ax x x x

x

x V -=+= ， 讨论： 当a>0时，系统渐进稳定； 当a=0时，系统李氏意义下稳定； 当a<0时，系统不稳定。

九、（本题15分） （1）

[]可观可控；,2)(,10

01,2)(,11

11

=??

?

???=??????==????

??-==o o c c S rank cA c S S rank Ab b

S ；

（2）令[]21

k k

k =，21212

1)()()(k k k k bk A I f -++++=--=λλλλ，

??

?

?

??==++=2121),(*)(,1)(2

*k f f f 得令λλλλλ； （3）bk

A A s s s b A sI c s G -=+++=

-=-其中,1

1)()(2

1

。

十、问答题（本题共20分，每小题4分）

（1） 分离点为根轨迹上的点，根轨迹关于实轴对称，若存在复

数分离点一定为共轭复数，系统一定为4阶以上，该系统为3阶系统，所以不存在复数分离点。 （2） 最大开环增益为50。

（3） 因为相角裕度需要提高?70，超前校正无法提供较大的角

度，选择串联滞后校正比较合适。 （4） []

??

????+-+---=-=----------t t

t

t t

t t t e e

e

e e

e e e A sI

L t 22221

1

2222)

()(φ，

?

?

?

???+--==----t t t t e e e e x t t x 222)0()()(?。 （5） 设原系统动态方程为

Cx

t y Bu Ax t x =+=)()( ，令x P x =，新系统动态

方程为

x

CP t y Bu P x AP P t x

=+=--)()(11 则A

I P A I P

AP P

I A

I -=-=-=---λλλλ1

1

。