不等式练习题(带答案)
不等式基本性质练习
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.若a >0, b >0,则)11)(
(b
a b a ++ 的最小值是
( )
A .2
B .22
C .24
D .4
2.分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的
( )
A .必要条件
B .充分条件
C .充要条件
D .必要或充分条件
3.设a 、b 为正数,且a + b ≤4,则下列各式中正确的一个是
( )
A .
111<+
b
a
B .111≥+b
a
C .
211<+
b
a
D .
211≥+b
a
4.已知a 、b 均大于1,且log a C ·log b C=4,则下列各式中,一定正确的是
( )
A .a c ≥b
B .a b ≥c
C .bc ≥a
D .a b ≤c
5.设a =2,b=37-
,26-
=
c ,则a 、b 、c 间的大小关系是
( )
A .a >b>c
B .b>a >c
C .b>c>a
D .a >c>b 6.已知a 、b 、m 为正实数,则不等式
b
a m
b m a >++
( )
A .当a < b 时成立
B .当a > b 时成立
C .是否成立与m 无关
D .一定成立
7.设x 为实数,P=e x +e -x ,Q=(sin x +cos x )2,则P 、Q 之间的大小关系是
( )
A .P ≥Q
B .P ≤Q
C .P>Q
D . P b 且a + b <0,则下列不等式成立的是
( )
A .
1>b
a
B . 1≥b
a C . 1
a D .
1≤b a
9.设a 、b 为正实数,P=a a b b ,Q=a b b a ,则P 、Q 的大小关系是
( )
A .P ≥Q
B .P ≤Q
C .P=Q
D .不能确定
10.甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度m 行走,另一半时间以
速度n 行走;乙有一半路程以速度m 行走,另一半路程以速度n 行走,若m ≠n ,则甲、乙两人到达指定地点的情况是
( )
A .甲先到
B .乙先到
C .甲乙同时到
D .不能确定
二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分)
11.若正数a 、b 满足a b=a +b+3,则a b 的取值范围是 . 12.已知a >1,a lgb
=100,则lg(a b)的最小值是 . 13.使不等式a 2
>b 2,1>b
a
,lg(a -b )>0, 2a >2
b-1
同时成立的a 、b 、1的大小关系是 .
14.建造一个容积为8m 3
,深为2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为
120元和80元,则水池的最低总造价为 元. 三、解答题(本大题共6题,共76分)
15.若a 、b 、c 都是正数,且a +b+c=1,求证: (1–a )(1–b)(1–c)≥8a bc .(12分)
16.设2
1
log
log
21,0,1,0+>≠>t t t a a a
a
与试比较的大小.(12分)
17.已知a ,b ,c 都是正数,且a ,b ,c 成等比数列,求证:2222)(c b a c b a +->++(12分)
18.已知x 2 = a 2 + b 2,y 2 = c 2 + d 2,且所有字母均为正,求证:xy ≥ac + bd .(12分)
19.设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm 2
,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上下各
留8cm 空白,左、右各留5cm 空白,怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小?(14分)
20.数列{x n }由下列条件确定:N n x a x x a x n
n n ∈+
=
>=+),(2
1,011.
(Ⅰ)证明:对n ≥2,总有x n ≥a ;(Ⅱ)证明:对n ≥2,总有x n ≥1+n x . (14分)
参考答案
一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
二.填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分) 11.x ≥9 12.22 13.a >b>1 14.1760 三、解答题(本大题共6题,共76分) 15.(12分)
[证明]:因为a 、b 、c 都是正数,且a +b+c=1,
所以(1–a )(1–b)(1–c)=(b+c)( a +c)( a +b)≥2
bc ·2ac ·2ab =8a bc .
16.(12分) [解析 ]: t
t t t a
a
a
21log
log
2
1
log
+=-+
t t t 21,0≥+> (当且仅当t=1时时等号成立) 121≥+∴
t t
(1) 当t=1时,t t a
a
log
2
1
log
=+ (2) 当1≠t 时,
121>+t
t ,
若t t t
t a a
a
a
log 212
1
log
,021
log
,1>+>+>则 若t t t
t a a
a
a
log
2
12
1log
,021log
,10<
+<+<<则
17.(12分)
[证明]:左-右=2(ab +bc -ac ) ∵a ,b ,c 成等比数列, ac b
=2
又∵a ,b ,c 都是正数,所以ac b =
<0≤c a c a +<+2
∴b c a >+
∴0)(2)(2)(22>-+=-+=-+b c a b b bc ab ac bc ab ∴2222)(c b a c b a +->++
18.(12分)
[证法一]:(分析法)∵a , b , c , d , x , y 都是正数 ∴要证:xy ≥ac + bd
只需证:(xy )2≥(ac + bd )2 即:(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)≥a 2c 2 + b 2d 2 + 2abcd 展开得:a 2c 2 + b 2d 2 + a 2d 2 + b 2c 2≥a 2c 2 + b 2d 2 + 2abcd
即:a 2d 2 + b 2c 2≥2abcd 由基本不等式,显然成立 ∴xy ≥ac + bd [证法二]:(综合法)xy =2
22222222
2
2
2d
b d a
c b c a d
c b a +++=++
≥bd ac bd ac d b abcd c a +=+=++2
2222)
(2
[证法三]:(三角代换法)
∵x 2 = a 2 + b 2,∴不妨设a = x sin α, b = x cos α
y 2 = c 2 + d 2 c = y sin β, d = y cos β
∴ac + bd = xy sin αsin β + xy cos αcos β = xy cos(α - β)≤xy 19.(14分)
[解析]:设画面高为x cm ,宽为λx cm 则λx 2=4840.
设纸张面积为S ,有 S=(x +16)(λx +10) =λ x 2+(16λ+10) x +160, S=5000+44).5(10λ
λ+
当8
.)18
5
(85,5
取得最小值时即S <=
=
λλ
λ
此时,高:,884840
cm x ==
λ
宽:
,55888
5cm x =?=
λ
答:画面高为88cm ,宽为55cm 时,能使所用纸张面积最小. 20.(14分)
(I )证明:由,01>=a x 及),(2
11
n
n n x a x x
+
=
+可归纳证明0>n
x (没有证明过程不扣分)
从而有).
()(2
11
N a a x a
x x a x x
n
n n
n n ∈=?
≥
+
=
+ 所以,当a x n ≥
≥,2时成立.
(II )证法一:当)(2
1,0,21n
n n n
x a x x a x n +
=
>≥
≥+因为时
所以,021)(21
2
1
≤-?=-+=-+n
n
n n n n n x x a x x a
x x x
故当.,21成立时+≥≥n n x x n
证法二:当)
(21,0,21n
n n x a x x a x n
+
=
>≥
≥+因为时
所以1
2
2)(2
1
22
22
2
1
=+≤
+=
+=
+n
n
n n
n n
n
n n
n x x x
a x x x a x x x 故当成立时1,2+≥≥n n x x n .
均值不等式测试题(含详解)
均值不等式测试题 一、选择题 1.已知a 、b ∈(0,1)且a ≠b ,下列各式中最大的是( ) A.a 2+b 2 B.2ab C.2a b D.a +b 2.x ∈R ,下列不等式恒成立的是( ) A .x 2+1≥x B .11 2+x <1 C .lg(x 2+1)≥lg(2x) D .x 2+4>4x 3.已知x+3y-1=0,则关于y x 82+的说法正确的是( ) A.有最大值8 B.有最小值22 C.有最小值8 D.有最大值22 4.A设实数x ,y ,m ,n 满足x 2+y 2=1,m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是( ) A.3 B.2 C.5 D.2 10 5.设a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是( ) A.(a+b )(b a 1 1+)≥4 B.a 3+b 3≥2ab 2 C.a 2+b 2+2≥2a+2b D.b a b a -≥- 6.下列结论正确的是( ) A .当x>0且x ≠1时,lgx+x lg 1≥2 B .当x>0时,x +x 1≥2 C .当x ≥2时,x + x 1 ≥2 D .当0
(完整版)初一不等式难题-经典题训练(附答案)
初一不等式难题,经典题训练(附答案) 1. 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1,2,3,则a 的取值范围是_______ 2. 已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解,则a 的取值范围是_________ 3. 若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2,则a 的值为( ) A 0 B 2 C 0或2 D -1 4. 若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<,则2006()a b +=_________ 5. 已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7. 不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >,则m 的取值范围是( ) A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时,不等式ax+2<3x+b 的解集是,则b=______ 10.已知a,b 为常数,若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是( ) A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1,2,3,那么适合不等式组的整数(m,n)对共 有( )对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==,设345x y z ω=++,求的ω最大值与最小值
基本不等式练习题及标准答案
基本不等式练习题及答案
————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:
双基自测 1.(人教A 版教材习题改编)函数y =x +1 x (x >0)的值域为( ). A .(-∞,-2]∪[2,+∞) B .(0,+∞) C .[2,+∞) D .(2,+∞) 2.下列不等式:①a 2+1>2a ;②a +b ab ≤2;③x 2+1 x 2+1≥1,其中正确的个数是 ( ). A .0 B .1 C .2 D .3 3.若a >0,b >0,且a +2b -2=0,则ab 的最大值为( ). A.1 2 B .1 C .2 D .4 4.(2011·重庆)若函数f (x )=x + 1 x -2 (x >2)在x =a 处取最小值,则a =( ). A .1+ 2 B .1+ 3 C .3 D .4 5.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1 t 的最小值为________. 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x >0,y >0,且2x +y =1,则1x +1 y 的最小值为________; (2)当x >0时,则f (x )= 2x x 2+1 的最大值为________. 【训练1】 (1)已知x >1,则f (x )=x + 1 x -1 的最小值为________. (2)已知0<x <2 5,则y =2x -5x 2的最大值为________. (3)若x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =0,则x +y 的最小值为________. 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a >0,b >0,c >0,求证:bc a +ca b +ab c ≥a +b +c . .
(完整版)高二数学不等式练习题及答案(经典)
不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a >b,则 ( ) (A )a 2>b 2 (B ) a b <1 (C )lg(a-b)>0 (D )(21)a <(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) (A )lgx+log x 10≥2(x >1) (B )a 1 +a ≥2 (a ≠0) (C ) a 1<b 1 (a >b) (D )a 21+t ≥a t (t >0,a >0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a -b -1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n -n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 含绝对值的不等式解法·典型例题 能力素质 例1 不等式|8-3x|>0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 } ...≠.?8 3 分析∵->,∴-≠,即≠. |83x|083x 0x 8 3 答 选C . 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A .3 B .2 C .-2 D .-5 分析 列出不等式. 解 根据题意得2<|x|≤5. 从而-5≤x <-2或2<x ≤5,其中最小整数为-5, 答 选D . 例3 不等式4<|1-3x|≤7的解集为________. 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形. 解 原不等式可化为4<|3x -1|≤7,即4<3x -1≤7或-7 ≤-<-解之得<≤或-≤<-,即所求不等式解集为 -≤<-或<≤. 3x 14x 2x 1{x|2x 1x }538 3 538 3 例4 已知集合A ={x|2<|6-2x|<5,x ∈N},求A . 分析 转化为解绝对值不等式. 解 ∵2<|6-2x|<5可化为 2<|2x -6|<5 即-<-<,->或-<-,52x 652x 622x 62??? 即<<,>或<,12x 112x 82x 4??? 解之得<<或<<.4x x 21121 2 因为x ∈N ,所以A ={0,1,5}. 说明:注意元素的限制条件. 例5 实数a ,b 满足ab <0,那么 [ ] A .|a -b|<|a|+|b| B .|a +b|>|a -b| C .|a +b|<|a -b| D .|a -b|<||a|+|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义. 解 ∵a 、b 异号, ∴ |a +b|<|a -b|. 答 选C . 例6 设不等式|x -a|<b 的解集为{x|-1<x <2},则a ,b 的值为 [ ] A .a =1,b =3 B .a =-1,b =3 C .a =-1,b =-3 D a b .=,=123 2 分析 解不等式后比较区间的端点. 解 由题意知,b >0,原不等式的解集为{x|a -b <x <a +b},由于解集又为{x|-1<x <2}所以比较可得. a b 1a b 2 a b -=-+=,解之得=,=.?? ?123 2 答 选D . 说明:本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组. 例7 解关于x 的不等式|2x -1|<2m -1(m ∈R) 分析 分类讨论. 解若-≤即≤,则-<-恒不成立,此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 11 2 式的解集为;? 若->即>,则--<-<-,所以-<2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 1 2 x <m . 不等式经典题型专题练习(含答案) :__________ 班级:___________ 一、解答题 1.解不等式组: ()13x 2x 11{ 25 233x x -+≤-+≥-,并在数轴上表示不等式组的解集. 2.若不等式组21{ 23x a x b -<->的解集为-1 5.解不等式组:并写出它的所有的整数解. 6.已知关于x、y的方程组 521118 23128 x y a x y a +=+ ? ? -=- ? 的解满足x>0,y>0,数a的取 值围. 6.求不等式组 x20 x 1x3 2 -> ? ? ? +≥- ?? 的最小整数解. 7.求适合不等式﹣11<﹣2a﹣5≤3的a的整数解. 8.已知关于x的不等式组的整数解共有5个,求a的取值围. 9.若二元一次方程组 2 { 24 x y k x y -= += 的解x y >,求k的取值围. 10.解不等式组5134122 x x x x ->-???--??≤并求它的整数解的和. 11.已知x ,y 均为负数且满足:232x y m x y m +=-?? -=?①②,求m 的取值围. 12.解不等式组?? ???<+-+≤+12312)2(352x x x x ,把不等式组的解集在数轴上表示出来,并写出不等式组的非负整数集. 14.若方程组2225 x y m x y m +=+??-=-?的解是一对正数,则: (1)求m 的取值围 (2)化简:42m m -++ 15.我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿,将部分教室改造成若干间住房. 如果每间住5人,那么有12人安排不下;如果每间住8人,那么有一间房还余一些床位,问该校可能有几间住房可以安排学生住宿?住宿的学生可能有多少人? 1.若xy>0,则对x y+ y x说法正确的是() A.有最大值-2B.有最小值2 C.无最大值和最小值D.无法确定 答案:B 2.设x,y满足x+y=40且x,y都是正整数,则xy的最大值是() A.400 B.100 C.40 D.20 答案:A 3.已知x≥2,则当x=____时,x+4 x有最小值____. 答案:2 4 4.已知f(x)=12 x+4x. (1)当x>0时,求f(x)的最小值; (2)当x<0 时,求f(x)的最大值. 解:(1)∵x>0,∴12 x,4x>0. ∴12 x+4x≥2 12 x·4x=8 3. 当且仅当12 x=4x,即x=3时取最小值83, ∴当x>0时,f(x)的最小值为8 3. (2)∵x<0,∴-x>0. 则-f(x)=12 -x +(-4x)≥2 12 -x ·?-4x?=83, 当且仅当12 -x =-4x时,即x=-3时取等号. ∴当x<0时,f(x)的最大值为-8 3. 一、选择题 1.下列各式,能用基本不等式直接求得最值的是() A.x+1 2x B.x 2-1+ 1 x2-1 C.2x+2-x D.x(1-x) 答案:C 2.函数y=3x2+ 6 x2+1 的最小值是() A.32-3 B.-3 C.6 2 D.62-3 解析:选D.y=3(x2+ 2 x2+1 )=3(x2+1+ 2 x2+1 -1)≥3(22-1)=62-3. 3.已知m、n∈R,mn=100,则m2+n2的最小值是() A.200 B.100 C.50 D.20 解析:选A.m2+n2≥2mn=200,当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程: ①∵a,b∈(0,+∞),∴b a+ a b≥2 b a· a b=2; ②∵x,y∈(0,+∞),∴lg x+lg y≥2lg x·lg y; ③∵a∈R,a≠0,∴4 a+a≥2 4 a·a=4; ④∵x,y∈R,,xy<0,∴x y+ y x=-[(- x y)+(- y x)]≤-2?- x y??- y x?=-2. 其中正确的推导过程为() A.①②B.②③C.③④D.①④解析:选D.从基本不等式成立的条件考虑. ①∵a,b∈(0,+∞),∴b a, a b∈(0,+∞),符合基本不等式的条件,故①的推导 过程正确; ②虽然x,y∈(0,+∞),但当x∈(0,1)时,lg x是负数,y∈(0,1)时,lg y是负数,∴ ②的推导过程是错误的; ③∵a∈R,不符合基本不等式的条件, ∴4 a+a≥24 a·a=4是错误的; ④由xy<0得x y, y x均为负数,但在推导过程中将全体 x y+ y x提出负号后,(- x y)均 变为正数,符合基本不等式的条件,故④正确. 5.已知a>0,b>0,则1 a+ 1 b+2ab的最小值是() A.2 B.2 2 C.4 D.5 解析:选 C.∵1 a+ 1 b+2ab≥ 2 ab +2ab≥22×2=4.当且仅当 ?? ? ??a=b ab=1 时, 等号成立,即a=b=1时,不等式取得最小值4. 6.已知x、y均为正数,xy=8x+2y,则xy有() 解不等式典型例题答案 例1 解:(1)原不等式可化为 0)3)(52(>-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,2 5 ,0321=-==x x x 顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部分. ∴原不等式解集为? ?????><<-3025x x x 或 (2)原不等式等价于 ???>-<-≠????>-+≠+?>-++2 450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<-- 2 12 1 310 2730132027301320 )273)(132(222222><<?????<+-<+-?????>+->+-?>+-+-?x x x x x x x x x x x x x x x 或或或 ∴原不等式解集为),2()1,2 1 ()31,(+∞??-∞。 解法二:原不等式等价于 0) 2)(13() 1)(12(>----x x x x 0)2()13)(1)(12(>-?---?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为),2()1,2 1()31,(+∞??-∞ 例3解法一:原不等式?? ???+<-<-?????+<-≥-?240 424042 222x x x x x x 或 即?? ?>-<<<-?? ?<<--≤≥1 22 2222x x x x x x x 或或或[来源学科网Z|X|X|K] ∴32<≤x 或21< 不等式基本性质练习 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.若a >0, b >0,则)11)( (b a b a ++ 的最小值是 ( ) A .2 B .22 C .24 D .4 2.分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的 ( ) A .必要条件 B .充分条件 C .充要条件 D .必要或充分条件 3.设a 、b 为正数,且a + b ≤4,则下列各式中正确的一个是 ( ) A . 111<+ b a B .111≥+b a C . 211<+ b a D . 211≥+b a 4.已知a 、b 均大于1,且log a C ·log b C=4,则下列各式中,一定正确的是 ( ) A .a c ≥b B .a b ≥c C .bc ≥a D .a b ≤c 5.设a =2,b=37- ,26- = c ,则a 、b 、c 间的大小关系是 ( ) A .a >b>c B .b>a >c C .b>c>a D .a >c>b 6.已知a 、b 、m 为正实数,则不等式 b a m b m a >++ ( ) A .当a < b 时成立 B .当a > b 时成立 C .是否成立与m 无关 D .一定成立 7.设x 为实数,P=e x +e -x ,Q=(sin x +cos x )2,则P 、Q 之间的大小关系是 ( ) A .P ≥Q B .P ≤Q C .P>Q D . P 八下2.6一元一次不等式组 一、选择题 1、下列不等式组中,解集是2<x <3的不等式组是( ) A 、???>>23x x B 、???<>23x x C 、? ??><23x x D 、???<<23x x 2、在数轴上从左至右的三个数为a ,1+a ,-a ,则a 的取值范围是( ) A 、a <12 B 、a <0 C 、a >0 D 、a <-12 3、不等式组10235x x +??+ ≤,的解集在数轴上表示为( ) 4、不等式组31025x x +>?? 的整数解的个数是( )A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 5、在平面直角坐标系内,P (2x -6,x -5)在第四象限,则x 的取值范围为( ) A 、3<x <5 B 、-3<x <5 C 、-5<x <3 D 、-5<x <-3 6、已知不等式:①1x >,②4x >,③2x <,④21x ->-,从这四个不等式中取两个,构成正整数解是2的不等式组是( )A 、①与② B 、②与③ C 、③与④ D 、①与④ 7、如果不等式组x a x b >?? B. 109m > C. 1910m > D. 1019 m > 二、填空题 9、若y 同时满足y +1>0与y -2<0,则y 的取值范围是______________. 10、不等式组3010x x -?+?≥的解集是 .11、不等式组20.53 2.52 x x x -??---?≥≥的解集是 . 12、若不等式组? ??->+<121m x m x 无解,则m 的取值范围是 . A B C D 均值不等式应用 一.均值不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数 不等式的解法·典型例题 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3<0. 【例2】?解下列不等式: 【例3】?解下列不等式 【例4】?解下列不等式: 【例5】?|x 2-4|<x+2. 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x . 不等式·典型例题参考答案 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3<0. 【分析】?如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)可用“区间法”求解,但要注意处理好有重根的情况. 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 ∴原不等式解集为{x|x <-5或-5<x <-4或x >2}. 【说明】?用“穿针引线法”解不等式时应注意: ①各一次项中x 的系数必为正; ②但注意“奇穿偶不穿”.其法如图(5-2). 【例2】?解下列不等式: 解:(1)原不等式等价于 用“穿针引线法” ∴原不等式解集为(-∞,-2)∪〔-1,2)∪〔6,+∞). (2) 【例3】?解下列不等式 解:(1)原不等式等价于 ∴原不等式解集为{x|x ≥5}. (2)原不等式等价于 【说明】?解无理不等式需从两方面考虑:一是要使根式有意义,即偶次根号下被开数大于或等于零;二是要注意只有两边都是非负时,两边同时平方后不等号方向才不变. 【例4】?解下列不等式: 解:(1)原不等式等价于 令2x =t(t >0),则原不等式可化为 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为(-1,2〕∪〔3,6). 【例5】?|x 2-4|<x+2. 解:原不等式等价于-(x+2)<x 2-4<x+2. 故原不等式解集为(1,3). 这是解含绝对值不等式常用方法. 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x . 解:原不等式等价于 (1)当a >1时,①式等价于 ② (2)当0<a <1时,②等价于 ③ 《基本不等式》同步测试 一、选择题,本大题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 若 a ∈R ,下列不等式恒成立的是 ( ) A .21a a +> B .2 111 a <+ C .296a a +> D .2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=,则下列四个数中最大的是 ( ) A. 1 2 B.22a b + C.2ab D.a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 ( ) A.3 B.332- C.3-23 D.-1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若x , y 是正数,且 14 1x y +=,则xy 有 ( ) A.最大值16 B.最小值 116 C.最小值16 D.最大值116 6. 若a , b , c ∈R ,且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 ( ) A .2222a b c ++≥ B .2 ()3a b c ++≥ C . 11123a b c + + ≥ D .3a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A . 114x y ≤+ B .111x y +≥ C .2xy ≥ D .1 1xy ≥ 8. a ,b 是正数,则 2,, 2 a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是 ( ) A.22a b ab ab a b +≤≤+ B.22a b ab ab a b +≤≤ + C. 22ab a b ab a b +≤≤+ D.22 ab a b ab a b +≤≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,设这两年平均增长率为x ,则有( ) A.2p q x += B.2p q x +< C.2p q x +≤ D.2 p q x +≥ 10. 下列函数中,最小值为4的是 ( ) A.4y x x =+ B.4sin sin y x x =+ (0)x π<< 双基自测 1.(人教A版教材习题改编)函数y=x+1 x (x>0)的值域为( ). A.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.(0,+∞) C.[2,+∞) D.(2,+∞) 2.下列不等式:①a2+1>2a;②a+b ab ≤2;③x2+ 1 x2+1 ≥1,其中正确的个 数是 ( ).A.0 B.1 C.2 D.3 3.若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为( ). B.1 C.2 D.4 4.(2011·重庆)若函数f(x)=x+ 1 x-2 (x>2)在x=a处取最小值,则a= ( ). A.1+ 2 B.1+ 3 C.3 D.4 5.已知t>0,则函数y=t2-4t+1 t 的最小值为________. 考向一利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则1 x + 1 y 的最小值为________; (2)当x>0时,则f(x)= 2x x2+1 的最大值为________. 【训练1】 (1)已知x>1,则f(x)=x+ 1 x-1 的最小值为________. (2)已知0<x<2 5 ,则y=2x-5x2的最大值为________. (3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,则x+y的最小值为________. 考向二利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a>0,b>0,c>0,求证:bc a + ca b + ab c ≥a+b+c. . 【训练2】已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1. 求证:1 a + 1 b + 1 c ≥9. 考向三利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x>0, x x2+3x+1 ≤a恒成立,则a的取值 范围是________. 【训练3】(2011·宿州模拟)已知x>0,y>0,xy=x+2y,若xy≥m-2恒成立,则实数m的最大值是________. 考向三利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过5 m.房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低【训练3】(2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本.并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n 的关系是g(n)=80 n+1 .若水晶产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为 f(n)万元. (1)求出f(n)的表达式; (2)求从今年算起第几年利润最高最高利润为多少万元 【试一试】(2010·四川)设a>b>0,则a2+ 1 ab + 1 a a-b 的最小值是 ( ). A.1 B.2 C.3 D.4 双基自测 课时作业15均值不等式 时间:45分钟满分:100分 课堂训练 5 3 1.已知-+-=l(.r>0,)>0),则小的最小值是( ) A V 【答案】 当且仅当3x=5y时取等号. 4 2?函数f(x)=x+~+3在(一8,一2]上( ) x A.无最大值,有最小值7 B.无最大值,有最小值一1 C.有最大值7,有最小值一1 D.有最大值一1,无最小值 【答案】D 4 【解析】Vx^-2, :.f(x)=x+~+3 ?V = __(r)+(—羽+3W_2 寸(-弓+3 4 =—1,当且仅当一x=—即x=—2时,取等号, 有最大值一1,无最小值. 1 4 3?己知两个正实数小y 满足x+y=4,则使不等式三+^上加恒 兀y 成立的实数m 的取值范围是 _____________ . 【答案】(-8,計 【分析】 对于本题中的函数,可把x+1看成一个整体,然后 将函数用x+1来表示,这样转化一下表达形式,可以暴露其内在的 形式特点,从而能用均值定理来处理. 【解析】因为x>—1, 所以x+ l>0. “ r ?+7x+10 (X +1)2+5(X +1)+4 所以尸x+1 = 吊 4 / f+D+吊+5N2 屮 +1)?苗+5=9 4 当且仅当x+l= 勒,即X=1时,等号成立. mx+n = t,那么/(X )与g(x)都可以转化为关于t 的函数? 课后作业 一、选择题(每小题5分,共40分)???当x=\时, 工+7x+l° 灯仆-1 — $ 函数〉'一 丫+1 (x>—1),取侍取:小值为9. 【规律方法】 形如 f(x) — mx _^n (加工°, dHO)或者 g(x) — 【解析】 斤胃字E+芥沁+树+2胡畔 4. 求函数y= 以+7卄10 ~x+1 (Q-1)的最小值. mx+n 课后练习 一元一次不等式 一、选择题 1. 下列不等式中,是一元一次不等式的有( )个. ①x>-3;②xy≥1;③32 双基自测 1.(人教A 版教材习题改编)函数y =x +1 x (x >0)的值域为( ). A .(-∞,-2]∪[2,+∞) B .(0,+∞) C .[2,+∞) D .(2,+∞) 2.下列不等式:①a 2+1>2a ;②a +b ab ≤2;③x 2+1 x 2+1≥1,其中正确的个数是 ( ). A .0 B .1 C .2 D .3 3.若a >0,b >0,且a +2b -2=0,则ab 的最大值为( ). A.1 2 B .1 C .2 D .4 4.(2011·重庆)若函数f (x )=x + 1 x -2 (x >2)在x =a 处取最小值,则a =( ). A .1+ 2 B .1+ 3 C .3 D .4 5.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1 t 的最小值为________. 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x >0,y >0,且2x +y =1,则1x +1 y 的最小值为________; (2)当x >0时,则f (x )= 2x x 2 +1 的最大值为________. 【训练1】 (1)已知x >1,则f (x )=x + 1 x -1 的最小值为________. (2)已知0<x <2 5,则y =2x -5x 2的最大值为________. (3)若x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =0,则x +y 的最小值为________. 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a >0,b >0,c >0,求证:bc a +ca b +ab c ≥a +b +c . . 【训练2】 已知a >0,b >0,c >0,且a +b +c =1. 求证:1a +1b +1 c ≥9. 考向三 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x >0,x x 2+3x +1≤a 恒成立,则a 的取值范围是 ________. 【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x >0,y >0,xy =x +2y ,若xy ≥m -2恒成立,则实数m 的最大值是________. 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x 不得超过5 m .房屋正面的造价为400元/m 2,房屋侧面的造价为150元/m 2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m ,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低? 【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本.并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )= 80 n +1 .若水晶产品的销售价格不变,第n 次投入后的年利润为f (n )万元. (1)求出f (n )的表达式; (2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? 【试一试】 (2010·四川)设a >b >0,则a 2+1 ab +1 a (a - b ) 的最小值是( ). A .1 B .2 C .3 D .4 双基自测 D .(2,+∞) 答案 C 2.解析 ①②不正确,③正确,x 2+ 1x 2+1=(x 2 +1)+1x 2+1 -1≥2-1=1.答案 B 3.解析 ∵a >0,b >0,a +2b =2,∴a +2b =2≥22ab ,即ab ≤1 2.答案 A 均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析) 一.均值不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则 2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正 所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。 解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当,即x =2时取等号 当x =2时,(82)y x x =-的最大值为8。 评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。 变式:设2 3 0< 含绝对值的不等式解法典型例题
不等式经典题型专题练习(含答案)-
基本不等式练习题及答案解析
解不等式典型例题答案
不等式练习题(带答案)
b 且a + b <0,则下列不等式成立的是 ( ) A . 1>b a B . 1≥b a C . 1
精选一元一次不等式组练习题及答案
均值不等式的应用(习题+答案)
不等式的解法·典型例题及详细答案
基本不等式练习题(带答案)
基本不等式练习题及答案
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