2018年安徽分类考试数学(理科)模拟试题一【含答案】

2018年安徽分类考试数学（理科）模拟试题一【含答案】

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1

．若集合

{

}A x R

==∈，{}1,B m =，若A B ?，则m 的值为 （ ）

A ．2

B ．-2

C ．-1或2

D ．2

2．复数()(1)z a i i =+-，a R ∈，i 是虚数单位，若2

z =，则a =（ ）

A ．1

B ．-1

C ．0

D ．1±

3. “二孩政策”的出台，给很多单位安排带来新的挑战，某单位为了更好安排下半年的工作，该单位领导想对本单位女职工做一个调研，已知该单位有女职工300人，其中年龄在40岁以上的有50人，年龄在[30，40]之间的有150人，30岁以下的有100人，现按照分层抽样取30人，则各年龄段抽取的人数分别为 （ ）

A ．5，15，10

B ．5，10，15

C ．10，10，10

D ．5，5，20

4．若将函数()3sin(2)(0)f x x ??π=+<<图象上的每一个点都向左平移3π

个单位，得

到()y g x =的图象，若函数()y g x =是奇函数，则函数()y g x =的单调递增区间为（ ）

A.

[,]()

4

4

k k k Z π

π

ππ-

+

∈ B.

3[,]()4

4k k k Z π

π

ππ+

+

∈

C.

2[,]()36k k k Z ππππ-

-∈ D.5[,]()

1212k k k Z ππ

ππ-+∈

5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为

难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第五天走的路程为 （ ） A. 48里 B. 24里 C. 12里 D. 6里 6．执行如图所示的程序框图，如果输入0.1t =，则输出的n = （ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

7．下列说法正确的是 （ ）

A.“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”

B.“若22

am bm <，则a b <”的逆命题为真命题 C.

0(0,)

x ?∈+∞，使00

34x x

>成立

D.“若1

sin 2α≠

，则

6πα≠

”是真命题

8．四面体ABCD 的各条棱长都相等，E 为棱AD 的中点，过点A 作与平面BCE 平行的平面，该平面与平面ABC 、平面ACD 的交线分别为

12

,l l ，则

12

,l l 所成角的余弦值为（ ）

A

．3 B

．3 C ． 13 D

．2

9.已知函数

()23

x f x e x -=+-与

()ln g x ax x

=-，设{|()0x R f x α∈∈=，

{|()0}x R g x β∈∈=，若存在,αβ，使得||1αβ-≤，则实数a 的取值范围为 （ ）

A ．ln 31[

,]3e B ．ln 3

[0,]3

C ．

1[0,]e D ．1[1,]e 10．已知数列{}

n a 的前n 项和()36n n S n λ=--，若数列{}n a 单调递减，则λ的取值范围

是（ ） A ．

(),2-∞ B ．(),3-∞ C ． (),4-∞ D ．(),5-∞

11．已知双曲线22

221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，以2OF 为直径作圆C ，

再以

1

CF 为直 径作圆E ，两圆的交点恰好在已知的双曲线上，则该双曲线的离心率为 （ ）

A

． B

． C

．2 D

．2

12．已知函数()2|log |02(4)24x x f x f x x <≤?=?-<

1x f x t t R e -=∈的四个不等实

根从小到大依次为

1234

,,,x x x x ，则下列判断中一定成立的是（ ）

A ．12

12x x += B ．1214x x <<

C ．

3449

x x << D ．

340(4)(4)4

x x <--<

二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分．

13．已知

2

3

1()2m =，4x n =，则4log m = ；满足log 1n m >的实数x 的取值范围是 ． 14．三棱锥A BCD -中，底面BCD ?是边长为3的等边三角形，侧面三角形ACD ?为等

2AB =，则三棱锥A BCD -外接球表面积是__________．

15.已知双曲线22

22:1x y C a b -=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足

为M ，交另一条渐近线于N ，若73FM FN =，则双曲线的渐近线方程为 .

16．已知函数2ln )(bx x a x f -=，R b a ∈,．若不等式x x f ≥)(对所有的]0,(-∞∈b ，

],(2e e x ∈都成立，则a 的取值范围是 .

三、解答题 （本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知ABC ?的内角,,A B C 满足()2cos 4cos cos 1

A C A C --=．

（1）求角B ； （2）求cos cos A C +的取值范围．

18．（本小题满分12分）“微信运动”已成为当下热门的运动方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了

附：

（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有人，超过10000步的有人，设，求的分布列及数学期望.

19．（本小题满分12分）在等腰梯形ABCD 中，//,2,60AD BC BC AD ABC =∠=，将梯形ABCD 沿着AB 翻折至

11

ABC D （如图），使得平面ABCD 与平面

11

ABC D 垂直．

（1）求证：1BC AC

⊥； （2）求直线

1

DD 与平面

1

BCD 所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆：

的离心率为，直线l ：y ＝2上的点和椭圆上的点的距离的最小值为1．

（1）求椭圆的方程； （2

A ，点

B ，C

A 的两点，且点

B ，

C 关于原点对

称，直线AB ，AC 分别交直线l 于点E ，F ．记直线AC 与AB 的斜率分别为

1k ， 2k ．

① 求证： 12k k ?为定值； ② 求△CEF 的面积的最小值.

21．（本小题满分12分）已知函数

2

()ln f x ax bx x =-+，a ，b ∈R ． （1）当b=2a+1时，讨论函数()f x 的单调性；

（2）当a=1，b>3时，记函数()f x 的导函数()f x '的两个零点分别是1x 和2x (1x <2x )，求

证：12()()f x f x ->3

4?ln 2．

选做题（本小题满分10分），请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线

2

:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，过点P(－2，－4)

的直线22:42x l y ?

=-+???

?=-+

??

，(t 为参数)与曲线C

相交于,M N 两点．

（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求实数a 的值．

23.已知函数()|21||2|,()3f x x x a g x x =-++=+ （1）当2-=a 时，求不等式)()(x g x f <的解集；

（2）设1->a ，且当

?

?????-∈21,2a x 时，)()(x g x f ≤，求a 的取值范围．

2018年安徽分类考试数学（理科）模拟试题一参考答案

1-4:ADAB 5-8:CDDB 9-12:CADC 13．13-

1(,0)3- 14．16π

15. .210x y ±= 16. )

,2[2

+∞e

三、解答题 17

．

解

：

（

1

）

∵

2c o s ()

A C A C --=，

∴

2c o s c o A C A C +4

c o s A C -=

∴2cos()1A C -+=，

1

cos 2B =

，

3B π=

（2）cos cos cos cos

A C A +=+2(

)sin()36A A ππ-=+，∵2(0,3A π

∈），

1

sin()(,1]

62A π+∈，故cos cos A C +的取值范围为1(,1]2

18．解：（1）

故没有95%以上的吧我认为二者有关

（2）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为，超过10000步 的概率为，且当或

时，

；

当

或

时，；

当或时，

；

即的分布列为

可得期望

（1）证明，不妨设24BC AD ==，过A 作BC 垂线交BC 于E ，

则AE =

AC =

1

2cos60AB =

=，所以222

AB AC BC +=，所以AB AC ⊥，又因为平面ABCD 与平面

11

ABC D 垂直，所以AC ⊥平面

11

ABC D ，所以

1BC AC

⊥

（2）建立如图坐标系，()0,0,0A ，

()2,0,0B

，

(

)C

，()D -

，(1

D -

所以

(

10,DD =

，()2,BC =-

，(1

BD =-

设平面1BCD 的法向量为

(),,n x y z =

，则有2030x x ?-+=??

-+=??，取 (

)3,1,3

n =

，

126

cos ,n DD <>=

，直线1DD 与平面1

BCD 所成角的正

弦值为． 20.（1）2

21

2x y +=

（2）直线AC 的方程为

11y k x =+，

由

得

，

解得，同理，因为B ，O

，C 三点共线，则由

，整理得

()()1212210k k k k ++=，所以

．

②直线AC 的方程为

11

y k x =+，直线AB 的方程为

21

y k x =+，不妨设

10k

>，则

20

k <，

令y ＝2，得，而，

所以，△CEF 的面

积

．

由得，则

CEF S ?

，

当且仅当

取得等号，所以△CEF

．

21．【解析】（1）因为b=2a+1，所以()f x =

2(21)ln ax a x x -++， 从而()f x '=12(21)ax a x -++

=22(21)1(21)(1)

ax a x ax x x x -++--=，x>0． 当a 0时，由()f x '>0得01，

所以()f x 在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减．

当00得012a ，由()f x '<0得1

2a ， 所以()f x 在区间(0，1)和区间(1

2a ，+∞)上单调递增， 在区间(1，1

2a )上单调递减． 当a=1

2时，因为()

f x '0(当且仅当x=1时取等号)，

所以()f x 在区间(0，+∞)上单调递增．

当a>12时，由()f x '>0得01，由()f x '<0得12a

所以()f x 在区间(0，12a )和区间(1，+∞)上单调递增，在区间(1

2a ，1)上单调递减．

综上，当a 0时，()f x 在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减；

当0

2a )上单调递

减；

当a=1

2时，()f x 在区间(0，+∞)上单调递增，无单调递减区间；

当a>12时，()f x 在区间(0，12a )和区间(1，+∞)上单调递增，在区间(1

2a ，1)上单调递减． （2）解法一 因为a=1，所以()f x =2ln x bx x -+(x>0)，从而()f x '=221

x bx x -+ ，

由题意知1

x ，

2

x 是方程2

21x bx -+=0的两个根，故

121

2x x =

．

记()g x =221x bx -+，因为b>3，所以1()2g =32b -<0，(1)g =3?b<0， 所以1x ∈(0，1

2)，2x ∈(1，+∞)，且b 1x =221x +1，b 2x =22

2x +1， 12()()

f x f x -=(21x ?2

2x )? (b 1x ?b 2x )+

12ln

x x =? (21x ?2

2

x )+1

2ln x x ，

因为1x 2x =1

2，所以12()()f x f x -=22x ?2

214x ?ln(222x )，2x ∈(1，+∞)．

令t =2

2

2x

∈(2，+∞)，

()t ?=12()()f x f x -=1

ln 22t t

t --．

因为当t >2时，()t ?'=2

2(1)2t t ->0，所以()t ?在区间(2，+∞)上单调递增，

所以()t ?>(2)?=34?ln 2，即12()()f x f x ->34

?ln 2．

解法二：因为a=1，所以()f x =2ln x bx x -+(x>0)，从而()f x '=221

x bx x -+，

由题意知1

x ，

2

x 是方程2

21x bx -+=0的两个根，故

121

2x x =

．

记()g x =221x bx -+，因为b>3，所以1()2g =32b -<0，(1)g =3?b<0， 所以1x ∈(0，1

2)，2x ∈(1，+∞)，且()f x 在(1x ，2x

)上是减函数， 所以12()()f x f x ->1()(1)2f f -)=(11

ln 422b -+)?(1?b)=?34+2b ?ln2， 因为b>3，所以12()()f x f x ->?34+2

b ?ln 2>34?ln2．（12分）

22．解：(1)把cos ,

sin x p y p θθ=??

=?

代入ρsin2θ＝2acos θ，得y2＝2ax(a>0)，

由24x y ?

=-+???

?=-+??

(t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，

∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是y2＝2ax(a>0)，x －y －2＝0.

(2)

将24x y ?

=-???

?=-??

(t 为参数)代入y2＝2ax ，整理得t2－

(4＋a)t ＋8(4＋a)＝0.

设t1，t2是该方程的两根，则t1＋t2＝

(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)，

∵|MN|2＝|PM|·|PN|，∴(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2， ∴8(4＋a)2－4×8(4＋a)＝8(4＋a)，∴a ＝1.

23.解：(1)当a ＝－2时，不等式f(x)

设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3， 则 15,212,1

236,1x x y x x x x ?

-

?

=--≤≤??

->???

其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y<0.所以原不等式的解集是{x|0

(2)当x ∈1,22a ??

-??

??时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a ≤x ＋3.

所以x ≥a －2对x ∈1,22a ??-????都成立．故－a 2

≥a －2，即a ≤43

.从而a 的取值范围是41,3?

?- ???.