常见的相似图形

《相似图形》这一章节是初二数学乃至整个初中数学课程中较为重要的章节，同时也是较难学的章节之一。不少同学在学习相似三角形时感到吃力，看着复杂的图形不知道哪几对三角形相似，对于证明两个三角形相似也无从下手。这就需要同学们熟练掌握相似三角形基本图形及变型，建立图感，就能在复杂的图形中迅速识别相似的三角形，从而准确、快速地解决相关问题。

首先，让我们来认识一下相似三角形的四种基本图形。

一、A型

如图1，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC，

由判定定理一，得出△ABC∽△ADE。

【提示】这种基本图形很像英文字母A，因此我们将它称

为A型。

同学们应该注意观察图中的已知条件并加以应用，比如公共角。

二、反A共角型

1、如图2，这种图形是A型的变型。

若DE与BC不平行，△ABC与△ADE能否相似？

我们可以移动成段DE，使∠AED=∠B，

由相似三角形的判定定理得△ABC∽△ADE

【提示】B、C的对应点由D、E变成E、D，因而对应角和对应线段也发生了相应的变化，这种图形形象地称为反A共角型。

2、变型Ⅰ

继续移动成段DE，使E点与C点重合，

并保持∠AED=∠B，如图3所示，

得△ABC∽△ACD，从而有=，

即AC2=AD·AB(比例中项概念)

3、变型Ⅱ

当AC⊥BC，CD⊥AB时，

变成图4，对应点没变，上述结论仍成立，

就得出射影定理这个重要定理。

△ABC∽△ACD∽△CBD

由△ACD∽△CBD，对应边成比例得出：

CD2=AD·DB

AC2=AD·AB

BC2=BD·AB

【提示】图3、图4这两种基本图形形象地称为反A共角共变型。

三、X型

如图5，D、E分别是△ABC的边BA、

CA延长线上的点，

DE∥BC，△ADE∽△ABC

这种基本图形形象地称为X型。

四、蝶型

如图6，DE不平行AB，

当∠B=∠E时，△ABC∽△DEC，

这种图形形象地称为蝶型。

认识完了基本图形，现在来学习学习如何利用基本图形建立图感。只有建立了图感，同学们才能强化对判定定理1的认识和理解。以下两个例子就能帮

助大家巩固对这四种基本图形的认识。

例1：

如图7，G是平行四边的CD延长线上的一点，

连接BC交对角线AC于E，交AD于F，

请找出图中，有哪几对相似比不为１的相似三角形。

【答案】△AEF∽△CEB（X型）

△GFD∽△GBC（A型）△ABF∽△CGB

△GFD∽△BFA（X型）△ABE∽△CGE（X型）

例2：

将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示

（图中的所有点、线都在同一平面内），

请在图中找出两对相似而不全等的三角形，

并对其中一对相似进行证明。

【答案】△ADE∽△BAE，△ADE∽△CDA，△CDA∽△BAE

以上均是反A共角型。

以上两个例题能让我们初步建立图感，下面不妨从两个例题中学会在复杂图形中找出基本图形，解决相关问题发展图感。

练习1：

如图9，四边形ABCD、DEFG都是正方形，

连接AE、CG，AE与CG相交于点M、CG与AD相交于

点N，

试说明AN·DN=CN·MN。

【提示】△AMN∽△CDN（蝶型）

AN·DN=CN·MN

练习2：

如图10，D是AC上的一点，

BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，

∠1=∠2，BF是FG、EF的比例中项吗？请证明。

【提示】∵△FBG∽△FEB（反A共角共边型）

∴=

∴BF2=FG·FE

图形的相似知识点

一、相似图形知识点1 相似图形的概念具有相同形状的图形叫做相似图形注意：由定义易得两个圆、正方形、等边三角形，等腰直角三角形必是相似图形；而两个等腰三角形，菱形，矩形不一定是相似图形。知识点2 在格点（或网格）图中画已知图形的相似图形即通过放大或缩小在网格中画出所需图形（按比例放大或缩小）注意：每一边放大或缩小的数量必须一样，可先定点后定边。若无特殊说明，画出与原图形全等的图形也正确。二、相似图形的性质知识点1 线段的比一般地，在同一长度单位下量得两条线段长度的比称为这两条线段的比注意：（1）线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时单位应统一；（2）线段的比有顺序，即a:b ≠b:a （3）比值总为正数知识点2 比例线段对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如a c b d =（或::a b c d =），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。判断四条线段是否成比例：（1）按从小到大（或从大到小）排列（2）判断前两条线段的比是否等于后两条线段的比知识点3 比例的基本性质交叉相乘： (,,,0)a c ad bc a b c d b d =⇔=均不等于（可用于验证等式成立，或求解成比例的未知数） ,.a c a b c d a c b d b d a b c d ++===--如果，那么（可用倒数验证）拓展：a c a nb c nd b d b d ±±==如果，那么。（分母不变，分子加上或减去分母的倍数）知识点4 相似多边形的性质、判断性质：两个相似多边形的对应边成比例（构造比例方程求对应边），对应角相等（根据内角和定理求内角）；判定：如果两个多边形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似。（两条件同时成立）全等多边形一定是相似多边形，而相似多边形只有在对应边相等的前提下才是全等多边形。 2. ⎧⎨⎩ 1.全等是相似的特例：即全等必相似，可通过放大或缩小得到：即形状完全相同，与位置，大小无关

相似三角形的常见模型

专题相似三角形的常见模型一、下面六个图中△ADE与△ABC均相似，在相应图的下方写出对应角，及对应边的比例式。二、如图，若∠A=∠ECD=∠B,则△AEC∽△BCD,我们可以把这种类型的相似叫做 “一线三等角”型或“K字型”，请在下方空白处写上对应角，及对应边的比例式。三、如图，已知△ABC∽△ADE，这种像是一边转一边缩小（或扩大的）相似，我们可以叫做“旋转”型。先写出对应角及对应边的比例式。连结BD,CE,你有什么新发现？你能证明吗？练习：1．如图，在△ABC中，DE∥BC，若,DE＝4，则BC＝． 2.如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF交于点O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．（1）求AC的长；（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．

3.由36个边长为1的小正方形组成的6×6网格中，线段AB的两个端点都在格点上．（1）如图1，C，D也在格点上，连接AB，CD相交于点O，求的值和OC的长；（2）如图2，仅用无刻度直尺在线段AB上找一点M，使得． 4.如图，在△ABC中，中线AD，BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，下列说法：①BD＝2GE； ②AF＝2FD；③△AGE与△BDF面积相等；④△ABF与四边形DCEF面积相等，结论正确的是 5.如图，已知△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长． 6.(1)如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． (2)如图2，在 ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE ＝3，求AD的长． 7.如图在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A的坐标为（﹣1，2），点B在第一象限，且 OB⊥OA，OB＝2OA，则B点的坐标为． 8.如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝8，BD＝2，则CF等于．

相似三角形的基本图形总结

相似三角形的基本图形总结+一模相似汇总用相似三角形的性质来证线段成比例和角相等，是几何证题中的重点之一，而解题的关键是在几何图形中发现或构造所需的相似三角形，下面举例说明。相似三角形主要基本类型：一、平行线型如图1，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC 。例1. 已知，如图2所示，AD 为△ABC 的中线，任一直线CF 交AD 、AB 于E 、F 。求证：FB AF 2ED AE =。证明：例2. 已知，如图3所示，BE 、CF 分别为△ABC 的两中线，交点为G 。求证：2GF GC GE GB ==。

例3. 已知，如图4所示，在△ABC 中，直线MN 交AB 、AC 和BC 的延长线于X 、Y 、Z 。求证：AY CY CZ BZ BX AX ??=1。二、相交线型如图5，若∠1=∠B ，则可由公共角或对顶角得△ADE ∽△ABC 。例4. 已知，如图6所示，△ABC 中，AB=AC ，D 为AB 上的点，E 为AB 延长线上的点，且AE AD AB 2?=。求证：BC 平分∠DCE 。

例5. 已知，如图7所示，CD 为Rt △ABC 的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，FG ⊥AB 于G 。求证：FB FC FG 2?=。三、旋转翻折型如图8，若∠BAD=∠CAE ，则△ADE 绕点A 旋转一定角度后与△ABC 构成平行线型的相似三角形。如图9，直角三角形中的相似三角形，若∠ACB=?90，AB ⊥CD ，则△ACD ∽△CBD

∽△ABC 。例6. 已知，如图10所示，D 为△ABC 内的一点，E 为△ABC 外的一点，且∠EBC=∠DBA ，∠ECB=∠DAB 。求证：DB ·AC=AB ·DE 。例7. 已知，如图11所示，F 为正方形ABCD 的边AB 的中点，E 为AD 上的一点，AE=41 AD ，FG ⊥CE 于G 。求证：CG EG FG 2?=。

相似图形(学生版)

相似图形【基础知识回顾】相似三角形： 1、定义：如果两个三角形的各角对应各边对应那么这两个三角形相似 2、性质：⑴相似三角形的对应角对应边 ⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应的比都等于 ⑶相似三角形周长的比等于面积的比等于 1、判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似 ⑵两边对应且夹角的两三角形相似 ⑶两角的两三角形相似 ⑷三组对应边的比的两三角形相似【名师提醒：1、全等是相似比为的特殊相似 2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等相等一般要先证判定方法中最常用的是三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】相似多边形： 1、定义：各角对应各边对应的两个多边形叫做相似多边形 2、性质：⑴相似多边形对应角对应边 ⑵相似多边形周长的比等于面积的比等于【名师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】相似三角形的性质及其应用例1 （2012?重庆）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC 与△DEF的面积之比为．对应训练 1．（2012?沈阳）已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为．相似三角形的判定方法及其应用例2（2012?徐州）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= 1 4 BC．图中相似三角形共有（） A．1对B．2对C．3对D．4对例3 16．（2012?资阳）（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．

相似三角形分类整理(超全)

第一节：相似形与相似三角形基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD = ==或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=b c 。如果ad=bc （a ，b ，c ， d 都不等于0），那么 d c b a =。 ②合比性质：如果 d c b a =，那么d d c b b a ±=±。

图形的相似

相似知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注： ①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．知识点 3 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理 (1)相似三角形的等价关系： ①反身性：对于任一ABC ?有ABC ?∽ABC ?． ②对称性：若ABC ?∽'''C B A ?，则'''C B A ?∽ABC ?． ③传递性：若ABC ?∽C B A '?''，且C B A '?''∽C B A ''''''?，则ABC ?∽C B A ''''''? (2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE // ， ∴ ADE ?∽ABC ?．知识点4 三角形相似的判定方法 1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． (1)E A B C D (3)D B C A E (2)C D E A B

相似三角形图形归纳【完整版】

相似三角形类型归纳希望同学们能牢记以下几个相似结构模型，能在解题中通过联系模型，快模型1A、8模型反8型 8型反A型 A型 1 2 A D B E C 1 2 A D B E C 1 2 A D B E C 2 1 B D E A C 反8型 8型反A型 A型 1 2 A D B E C 1 2 A D B E C 已知：∠1=∠2结论：△ADE∽△ABC其中反8字型也叫蝶型请大家要特别注意圆中的相似结构模型！（一）圆中反A字型（割线定理）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线交于点E．结论：△DEC∽△BEA推论：ED•EA=EB•EC．（二）圆中反8字型（相交弦定理）如图1，⊙O内弦AC与BD相交于E点，连接BC,AD,AB,CD 结论：△BEC∽△AED EA•EC=EB•ED；

经典例题： 1、如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长BA和CD相交于点P，A AD的值为________________ 是PB的一个三等点，D是PC的中点．则 BC 2、如图，半径为1的⊙O与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于点D、E，直线y=kx（k＞0）交⊙O于A，B，AD，BE的延长线相交于点C，当k的值改变时，CB与CD的比值为________ 3.如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，CE=，CD=2．则直径BC的长_________________； 4.已知：如图，已知△ABC与△ADE 均为等腰三角形，BA=BC，DA=DE．如果点D在BC边上，

且∠EDC=∠BAD ．点O 为AC 与DE 的交点．（1）求证：△ABC ∽△ADE ；（2）求证：DA •OC=OD •CE ．模型2共边共角型（母子型）已知：∠1=∠2 结论：△ACD ∽△ABC=>AC 2 =AD*AB 1、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，AD=5，BD=2，则DE 的长为（） A 5 3B 25 4C 25 2D 5 4 2（最新慈溪九下月考）如图，在直角坐标系xOy 中，A （﹣4， 0），B （0，2），连结AB 并延长到C ，连结CO ，若△COB ∽△CAO ，则点C 的坐标为（） A ．（1，） B ．（，） C ．（，2 ） D ．（，2 ） 2 1 D B C A

相似图形总结

相似图形总结什么是相似图形？相似图形是指在形状、比例和方向上相似的图形。当两个图形之间存在一种变换关系，使得它们的形状相似、比例相等且方向相同，那么我们可以将它们称为相似图形。在数学中，我们常常使用比例因子来描述相似图形之间的关系。比例因子是指两个相似图形中对应边的长度之比。当两个图形的对应边的长度比例相等时，这两个图形就是相似的。如何判断相似图形？判断相似图形的方法有两种常用的方式：一是根据对应角之间的关系，二是根据对应边之间的比例关系。通过对应角的关系判断相似图形两个图形相似的条件之一是对应角相等。例如，如果两个三角形的对应角分别相等，那么这两个三角形就是相似的。判断图形相似时，可以通过观察图形中的角度是否相等来得出结论。如果图形中的两个对应角度相等，而第三个对应角度也相等，则这两个图形是相似的。通过对应边的比例关系判断相似图形另一种判断图形是否相似的方法是观察对应边的比例关系。如果两个图形的对应边的长度之比相等，那么这两个图形就是相似的。可以通过计算两个图形对应边的长度比例来判断它们是否相似。如果两个图形的对应边的长度比例相等，则这两个图形是相似的。相似图形的性质相似图形具有一些重要的性质，这些性质对于解决与相似图形相关的问题非常有用。比例关系相似图形中，对应边的长度比例相等，即两个图形的对应边长比值相等。这个比例关系可以用来求解相似图形中的未知量。

例如，已知两个相似三角形的一条边的长度比例为2:3，可以利用这个比例关系求解另一条边的长度。面积关系相似图形中，对应边的长度比值平方等于对应面积的比值。例如，已知两个相似图形的对应边的长度比为2:3，那么它们的对应面积的比为4:9。根据这个关系，我们可以计算出两个相似图形的面积比，从而求解未知的面积。比例定理在三角形中，如果一条直线平行于另一条边，并且将两边分成等比分段，那么这两条直线和两边的对应部分之间的比例相等。这个定理在相似图形中非常常见，可以用于求解相似图形中的各种长度比例关系。相似图形的应用相似图形在现实生活中有着广泛的应用。以下是一些常见的应用场景： 1. 地图缩放在地理学中，为了在有限的纸张上呈现出广阔的地理信息，需要将地图进行缩放。通过将地图上的各个地区按比例缩小或放大，可以保证地图的形状和比例与实际相符。 2. 瑞士军刀瑞士军刀是一种具有多种功能的多用途工具。它的设计灵感来源于相似图形中的大小比例关系。通过将各种工具折叠在一起，使得整个军刀在便携性和使用功能上都能得到满足。 3. 模型制作在建筑、工程和设计领域中，模型制作是一项重要的工作。通过制作相似的模型，可以更好地展示设计思路、呈现实际效果，并提供对实际建筑/产品的预览。总结相似图形是指形状、比例和方向上相似的图形。我们可以通过对应角的关系和对应边的比例关系来判断图形是否相似。

相似图形

1基本简介形状相同的图形叫做相似图形。 2基本法则 1. 如果选用同一个长度单位量得的两条线段AB,CD的长度分别是m,n那么就说这两条线段的比AB：CD=m:n，或写成AB/CD=m/n。分别叫做这个线段比的前项后项。 2. 在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺。 3. 四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段。 4. 如果a/b=c/d，那么ad=bc. 如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0)，那么a/b=c/d. 5. 如果a/b=c/d，那么(a±b)/b=(c±d)/d；那么（a±kb)/b=(c±kd)/d；那么a/b±ka=c/d±kc 6如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)，那么（a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b. 7 如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，（√5-1）/2叫做黄金比。 8. 长于宽的比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形。 9. 三角形ABC与三角形A’B’C’是形状形同的图形，其中10 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。 11.相似多边形的比叫做相似比。 12.三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。若三角形ABC与三角形DEF相似，记作： △ABC∽△DEF，把对应定点的字母写在相应的位置上 13.探索三角形相似的条件： ①两角对应相等的两个三角形相似。 ②三边对应成比例的两个三角形相似。 ③两边对应成比例且夹角相等的两个三角相似。 14.相似多边形的性质： ①相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。