初中数学专题典型例题训练
第一讲：实数与代数专题典型例题讲解
一实数
1. 例：在14-和15
-之间，请写出两个有理数： . 2. 有理数2
2
3
1
2, (2), 2, 2
----
按从小到大的顺序排列是（ ） A ．322122< (2) 2-<--<-， B . 223
12< (2) 22
-<--<-
C . 22312< (2) 22-<--<-,
D . 232
12< 2(2)2
-<--<-
3. 将一刻度尺如图所示放在数轴上
（数轴的单位长度是1CM ），刻度尺上的“0cm ”和
“15cm ”分别对应数轴上的－3.6和x ，则（ ）
A ．9＜x ＜10；
B ．10＜x ＜11；
C ．11＜x ＜12；
D ．12＜x ＜13； 4. 下列说法正确的是（ ）
A ．互为相反数的两个数一定不相等；
B ．互为倒数的两个数一定不相等；
C ．互为相反数的两个数的绝对值相等；
D ．互为倒数的两个数的绝对值相等；
5. 若3x -和7x -是某个实数的平方根，则x = .
6. 若函数()f x 、()g x 满足()()0f x g x +=，当2()f x x x =-+，则函数()g x 的最小值为：
7. 有理数A 、B 、C 在数轴上的位置如图所示，则式子|A |+|B |+|A +B |+|B -C |化简结果为.[ ]. .A ．2A +3B -C...B ．3B -C..C ．B +C....D ．C --
8. 若|A -2|＝2-A ，求A 的取值范围。
9. 已知：|x -2|+x -2＝0，.求：(1)x +2的最大值； 10. 单项式3x y
π
-
的系数是_______，次数是_____。
11.
如果21
13
m n a
b +--与5
4a b 的同类项，则M =_____，N =_________。
12. 如图．在正方形ABCD 的边长为3，以A 为圆心，2为半径作圆弧．以D 为圆心，
3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S 1、S 2．则S 1-S 2= .
13. 以Rt △ACB 两条直角边为直径向外作半圆，如图，其面积分别为1S 和2S ，若△ABC 的面积为S ，则12,S S
与S 的关系为 .
14. 若2
2(3)16x m x +-+是完全平方式，则m 的值为： . 15. 若m 2+m -1=0，求m 3+2m 2+2015的值．
16. 若0,0,x xy <<则15y x x y -+---=
17. 例：比较4
8与74的大小。
18. 化简：2015
20161
5
()5
?-.
19. 已知a 2-4a +1=0，则221
a a
+
= 20. 下列计算正确的是（ ）
A ．x 2+2x 2=3x 4
B ．a 3(-2a 2)=-2a 5
C ．（-2x 2）3=-6x 6
D ．3a (-b )2=-3ab 2
21. 分解因式：①3
28x x -，②223
4293
m n mn n ++，③2922x y xy y -- 22. 在实数：231
169,(),0.326,(0.5),ππ
?,0.1030030003,--
x 个，有理数有y 个，非负数有z 个，则-x ＋y ＋z 等于（ ）
29. 计算：1112cos 45??
+--
+ ????
30. 例：若21
1
x x +-是整数，且x 也是整数，则x =
31. 若村人口为t 人，粮食产量为
231t t +
+吨，则人均粮食最少为 吨.
32. 计算：2211
1211x x x x ??-+÷ ?
-+-??
． 33. 《庄子。天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果
每天截取它的一半，永远也取不完，如图所示。
由图易得：
231111 (2222)
n ++++= 34. 一列数123(1),(2),(3),,()n f f f f n ，满足()f n ，其中n 是正整数， 则
1232015(1)(2)(3)(2015)f f f f +++
+= .
第二讲：点、线、角、面、三角形边角关系典型例题讲解
一、选择题
1.两条相交直线所成的角中（）
A．必有一个钝角B．必有一个锐角
C．必有一个不是钝角D．必有两个锐角
2.以下说法正确的是（）
A．有公共顶点，并且相等的两个角是对顶角。
B．两条直线相交，任意两个角都是对顶角。
C两角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角。
D．两角的两边分别在同一直线上，这两个角互为对顶角。
3.三条直线两两相交于同一点时，对顶角有M对；交于不同三点时，对顶
角有N对，则M与N的关系是（）
A．M=N B．M＞N C．M＜N D．M+N=10 4.点到直线的距离是指这点到这条直线的（）
A．垂线段B．垂线
C．垂线的长度D．垂线段的长度
5.若A，B，C是直线l上的三点，P是直线l外一点，且PA=5 cm，PB=4cm，
PC=3 cm则点P到直线l的距离（）
A．等于3 cm B．大于3 cm而小于4 cm
C．不大于3 cm D．小于3 cm
6.下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（）
A．B．C．D．
7.下列语句中，正确的是（）
A如果两条直线没有交点，那么这两条直线平行。
B.两个角之和为1800，它们互为邻补角。
C.a⊥b , a⊥c ,则a//c
D.到直线l的距离为2 cm的点，只有一个点。
8.下面的四个命题中，真命题是（）
A.相等的角是对顶角
B.和为180°的两个角互为邻补角
C.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D.两条直线相交形成的四个角相等，则这两条直线互相垂直；
9.已知直线a、b、c在同一平面内，则下列说法错误的是（）
A.如果a∥b，b∥c，那么a∥c
B.如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c
C.如果a与b相交，b与c相交，那么a与c一定相交
D.如果a与b相交，b与c不相交，那么a与c一定相交；
10.在一个三角形的内部有一个点，这个点到三角形三边的距离相等，这个点是（）
A．角平分线的交点B．中线的交点
C．高线的交点D．中垂线的交点
11.已知锐角三角形的两边a=3，b=7，第三边是c，则c的取值范围是（）
第三讲：三角形全等与三角形相似专题典型例题讲解
一、选择题：
1. 已知△ABC ≌△BAD ，AB =7，BC =12，AC =9，则BD 的长是（ ）
A ．7
B ．9
C ．12
D ．无法确定 2. 如图，已知AB =AC ，AD =A
E ，欲证△ABD ≌△ACE ，
须补充的条件是（ ）
A ．∠
B =∠
C B ．∠
D =∠
E C ．∠
1=∠2 D ．∠CAD =∠DAC
3. 在△ABC 与△DEF 中，下列各组条件中，不能判定两个三角形全等的是（ ） A ．AB =DE ，∠B =
∠E ，∠C =∠F B ．AB =EF
，∠A =∠E ，∠B =∠F C ．AC =DF ，BC =DE ，∠C =∠D D ．∠A =∠F ，∠B =∠E ，AC =DE
4. 已知，在ABCD 中，CF ⊥BC 交AD 于E ， AE ：ED =3：1，则:AFE AECB S S ?=四边形（ ） A . 9:2 B . 9:3 C . 9:4 D . 9:5
5. 如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠DAB =90°，AC ⊥BC ，AC =BC ，∠ABC 的平分线分别 交AD 、AC 于点E ，F ，则
BF
EF
的值是（ ） A 1 B ．2 C 1 D 6. 如图，A 、B 是双曲线x
k
y =
上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D 点，垂足为C ．若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为( ) A ．
34 B ．3
8
C . 3
D ．4 7. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =6，以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别 与AC 、BC 相切于点D 、
E ，则AD 为（ ）
A. 2.5
B. 1.6
C. 1.5
D. 1
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
18.（2013菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF
上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=1
3 CE
时，EP+BP=．
19.河泽2014如图所示，Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象限、点B在第四象限，且
AO: BO=，若点A(x0，y0)的坐标(x0，y0)满足
1
y
x=，则点B(x，y)的坐标x，y所满足的关系式为
20.如图，正方形ABCD的边长为，过点A作AE⊥AC,AE=1，连接BE，则tanE=_______.
21.如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为⊿BFE,点F落在AD上。
若s in∠DFE=
1
,则tan∠EBC= .
C
y
30.在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为AD上
一点，且AF BC
连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E．（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；
（2）求证：△BCD≌△AFD；
（3）若∠ACM=120°，⊙O的半径为5，DC=6，求DE的长．
E
31.如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD
于点F，连接DE．
（1）求证：△DEC≌△EDA；
（2）求DF的值；
（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其定点Q落在线段AE 上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．
32. 如图，在Rt ABC ?中，90ABC ∠=?，AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB 的延长线相交于 点D ，E ，F ，且B F B C =.O 是BEF ?的外接圆，EBF ∠的平分线交EF 于点G ，交O 于
点H ，连接BD ，FH . （1）求证：ABC EBF ???；
（2）试判断BD 与O 的位置关系，并说明理由； （3）若1AB =，求HG HB ?的值.
A
第四讲：方程（组）及不等式专题典型例题
一、选择题： 1. 如果x m
y n
=??
=?是方程2x +y =0的一个解（m ≠0），那么（ ）
A ．m ≠0，n =0.
B ．m ，n 异号.
C ．m ，n 同号.
D ．m ，n 可能同号，也可能异号.
2. 二元一次方程x +3y =10的非负整数解共有（ ）对．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 .
3. 已知方程组：23133530.9a b a b -=??+=?的解是：8.3
1.2a b =??=?
，则方程组：2(2)3(1)133(2)5(1)30.9x y x y +--=??++-=?
的解是（ ）
A ．8.3
1.2
x y =??
=? B ．10.32.2x y =??=? C ． 6.32.2x y =??=? D ．10.30.2x y =??
=? 4. 如果4
(1)6
x y x m y +=??--=?中的解x 、y 相同，则m 的值是（ ）
A .1
B .－1
C .2
D .－2
5. 若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ）
A ．2±=m
B ．m =2
C ．m = —2
D ．2±≠m 6. 方程(1)x x x -=的根是（ ）
A 、2x =；
B 、2x =-；
C 、12x =-,20x =；
D 、12x =,20x =． 7.
已知关于x 的一元二次方程x 2+ax +b =0有一个非零根-b ，则a -b 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．-2
8. 对于任意实数x ,多项式x 2－5x +8的值是一个（ ）
A ．非负数
B ．正数
C ．负数
D ．无法确定
二、填空题：
9. 若x a =方程23520x x --=的根，则2610a a -的值为 . 10. 已知实数x 满足222()()6x x x x +-+=，则2
x x
+
= . 11. 从3，0，-1，-2，-3这五个数中抽取一个数，作为函数y =（5-m 2）x 和关于x 的一元二次方程 （m +1）x 2+mx +1=0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值概率是 ．
12. 已知134
x =
是关于x 的一元二次方程2x 2 + kx –4 = 0的一个根，其另一个根为2x ， 则12x x += . 三、解答题
2. 已知：关于x 的方程22(24)50x m x m m ++++=没有实数根.
①求m 的取值范围；
②若关于x 的方程2(2)30mx n x m +-+-=有实数根，求证：该方程的两根符号相同； ③设②中方程的两根分别为α、β，若:1:2αβ=，且n 为整数，求m 的最小整数 值.
四：应用题：
一、方案问题与不等式组
1. （绵阳）南海地质勘探队在南沙群岛的一个小岛发现很有价值的A 、B 两种矿石，A 矿石大约
565吨，B 矿石大约500吨，上报公司，要一次性将两种矿石运往冶炼厂，需要不同型号的甲、乙两种货船共30艘，甲货船每艘运费1000元，乙货船每艘费用1200元。
（1）设运送这些矿石的总运费为y 元，若使用甲货船x 艘，请写出y 与x 之间的函数关系式； （2）如果甲货船最多可装A 矿石20吨和B 矿石15吨，乙货船最多可装A 矿石15吨和B 矿石25
吨，装矿石时按此要求安排甲、乙两种货船，共有几中安排方案？哪种方案运费最低并求出最低费用。
2.（资阳）学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的进价高30元，买两个篮
球和三个足球一共需要510元．
（1）求篮球和足球的单价；
（2）根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于足球数量
的2
3
，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元.请问有几种购买方案？
（3）若购买篮球x个，学校购买这批篮球和足球的总费用为y（元），在（2）的条件下，求哪种方案能使y最小，并求出y的最小值．
3.（2015?广元）经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/
千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米的时候就造成交通堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；
（2）在某一交通时段，为使大桥上的车流书店大于60千米/小时且小于80千米/小时，应把大桥上的车流密度控制在什么范围内？
4.预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价
1元，
尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元.又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563. 5元.
(1)求x、y的关系式；
(2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y
的值.
二、分段函数：
5.（南充2015）某工厂在生产过程中每消耗1万度电可以产生产值5.5万元．电力公司规定，
该工厂每月用电量不得超过16万度；月用电量不超过4万度时，单价都是1万元/万度；超过4万度时，超过部分电量单价将按用电量进行调整，电价y与月用电量x的函数关系可以用如图来表示．（效益＝产值－用电量×电价）；
（1）设工厂的月效益为z（万元），写出z与月用电量x（万度）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求工厂最大月效益．
)
元/件)
6. （2014?扬州）某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又
缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y （件）与销售价x （元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不包含债务）． （1）求日销售量y （件）与销售价x （元/件）之间的函数关系式；
（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收入=支
出），求该店员工的人数；
（3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定
为多少元？
第五讲：*平移、轴对称 、中心对称和旋转、位似、投影与视图专题典型
例题讲解
1. 下列图形中对称轴最多的是（ ）
A ．等腰梯形
B ．底角为50度的等腰三角形
C ．直角
D ．线段
2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
．平行四边形
B逆时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为( ) .(1,
A-，.(3)
B-，.(
C，.(2)
D
8.（2014?德州，第12题3分）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F
分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形；
②EC平分∠DCH；
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；
④当点H与点A重合时，EF
以上结论中，你认为正确的有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
9.已知直线
3
3
4
y x
=-与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以(0,1)
C为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB.则PAB
?面积的最大值是
()A8()B12
()
C21
2
()
D17
2
10.（3分）（2014?无锡）在直角坐标系中，一直线a向下平移3
A（0，3），将直线b绕点A顺时针旋转60°后所得直线经过点(B，则直线a的函数关系式为（）
A．y=B．y x
=C．y=+6 D．y=+6
11.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的
点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）
A．
7
5B．
4
5C．
2
3D．
3
2
BDP= 度．
第15题图
．．
20.已知，在平面直角坐标系xOy中，点A,点P分别在y轴，x不重合）
以OA和OP为边在直角坐标系xOy内作等边△OAE和等边△P AQ，连接QE并延长交OP于F，
第六讲：勾股定理与三角函数典型例题专题训练
一、选择题：
1. 将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形 ( )
A . 可能是锐角三角形
B . 不可能是直角三角形
C . 仍然是直角三角形
D . 可能是钝角三角形
2. 在△ABC 中，AB =12cm ， BC =16cm ， AC =20cm ， 则△ABC 的面积是( )
（A ）96cm 2 (B ) 120cm 2 (C ) 160cm 2 (D ) 200cm 2
3. △ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列命题中的假命题是（ ）
A ．如果∠C -∠
B =∠A ，则△AB
C 是直角三角形
B ．如果c 2=b 2-a 2，则△AB
C 是直角三角形，且∠C =90° C ．如果（c +a ）（c -a ）=b 2，则△ABC 是直角三角形
D ．如果∠A ：∠B ：∠C =5：2：3，则△ABC 是直角三角形
4. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB 于点D ，AB =13，CD =6，则AC +BC 等于（ ）
A ．5 B
． C
． D
．5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，∠ABC =600, BD 平分∠ABC ,则
AB BC
CD CD
-
的值为( ) A
B
.3- C .
6- D
6. 如图，在△ABC 中，∠A =600，∠B =∠D =900，AD =8，AB =7，则BC +CD 等于（ ）
A
．B
．C
． D
．7. （2014?乐山）在△ABC 中，AB =AC =5，sinB =
4
5
，⊙O 过点B 、C 两点，且⊙O 半径r
则OA 的值（ ）
A ．3或5
B ．5
C ．4或5
4
8. （2014年四川巴中）在Rt △ABC 中，∠C =90°，sinA =
5
13
，则tanB 的值为（ ）
A ．1213
B ．512
C ．1312
D ．12
5
9. （2014?内江）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB =60°，AB =AC =2，则弦BC 的长为（ ）
A B ．3 C ． D ．4 10. 如图，在半径为1的⊙O 中，∠AOB =45°，则sinC 的值为（ ）
A ．
2； B C ．22+； D ．2.
AF 的中点，∠ACD =2∠ACB ．若DG =3，EC =1，则DE 的长为 .
13. （2014?宜宾）如图，已知AB 为⊙O 的直径，AB =2，AD 和BE 是圆O 的两条切线，A 、B 为切
点，过圆上一点C 作⊙O 的切线CF ，分别交AD 、BE 于点M 、N ，连接AC 、CB ，若∠ABC =30°，则AM = ．
14. （2014?宜宾）规定：sin （-x ）=-sinx ，cos （-x ）=cosx ，sin （x +y ）=sinx ?cosy +cosx ?siny ．
据此判断下列等式成立的是 （写出所有正确的序号）
①cos （-60°）
=-
1
2
；②sin 75°sin 2x =2sinx ?cosx ；
AB CE 的长．
16. （2015?达州）学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场
的相对高度AB ，其测量步骤如下：
（1）在中心广场测点C 处安置测倾器，测得此时山顶A 的仰角∠AFH =30°；
（2）在测点C 与山脚B 之间的D 处安置测倾器（C 、D 与B 在同一直线上，且C 、D 之间的距
离可以直接测得），测得此时山顶上红军亭顶部E 的仰角∠EGH =45°； （3）测得测倾器的高度CF =DG =1.5米，并测得CD 之间的距离为288米；
已知红军亭高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB ．1.732，结果保留整数）
17. 直线1l ：3y =+与平面直角坐标系xoy 的x 、y 轴分别相交于点A 和B ，如图，EA AB ⊥，
① 将直线1l 沿AE 方向从A 平移到E ，得直线2l ，求直线2l 的解析式？ ② 将直线1l 绕着点A 顺时针旋转060，得直线3l ，求直线3l 的解析式？
1. 如图，将□ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点'D 处，折痕l 交CD 边于点 E ，连接BE .
（1）求证：四边形'BCED 是平行四边形
（2）若BE 平分∠ABC ，求证：2
2
2
BE AE AB +=
2. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D 在边AB 上，连接CD ，将线段CD 绕点C 顺时 针旋转90°至CE 位置，连接AE ． （1）求证：AB ⊥AE ；
（2）若BC 2
=AD ?AB ，求证：四边形ADCE 为正方形．
(完整版)初中数学二次函数专题经典练习题(附答案)
二次函数总复习经典练习题 1．抛物线y=－3x2＋2x－1 的图象与坐标轴的交点情况是( ) (A) 没有交点．(B) 只有一个交点． (C) 有且只有两个交点．(D) 有且只有三个交点． 2．已知直线y=x 与二次函数y=ax2－2x－ 1 图象的一个交点的横坐标为1，则 a 的值为( ) (A)2 ．(B)1 ．(C)3 ．(D)4 ． 3．二次函数y=x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，则△ ABC的面积为( ) (A)6 ．(B)4 ．(C)3 ．(D)1 ． 2 4．函数y=ax 2＋bx＋ c 中，若a> 0，b< 0，c<0，则这个函数图象与x 轴的交点情况是( ) (A) 没有交点． (B) 有两个交点，都在x 轴的正半轴． (C) 有两个交点，都在x 轴的负半轴． (D) 一个在x 轴的正半轴，另一个在x 轴的负半轴． 5．已知(2 ，5) 、(4 ，5)是抛物线y=ax2＋bx＋c 上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是( ) a (A) x= ．(B) x=2．(C) x=4．(D) x=3． b 6．已知函数y=ax2＋bx＋ c 的图象如图 1 所示，那么能正确反映函数y=ax＋ b 图象的只可能是( ) 7．二次函数y=2x2－4x＋5 的最小值是_____ ． 2 8．某二次函数的图象与x轴交于点( －1，0) ，(4 ，0) ，且它的形状与y=－x2形状相同．则这个二次函数的解析式为_____ ． 9．若函数y=－x2＋4 的函数值y> 0，则自变量x 的取值范围是______ ． 10．某品牌电饭锅成本价为70 元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：
初中数学最值问题典型例题
初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．
中考数学经典题例(一)及解答
中考数学经典题例（一）及解答 1、（2010年北京市）24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = - 4 1-m x 2+45m x +m 2-3m +2 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n )在这条抛物线上。 (1) 求点B 的坐标； (2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的 垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED =PE 。 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动 时，C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求 OP 的长； 若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1 点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒 2个单位(当Q 点到达O 点时停止 运动，P 点也同时停止运动)。过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分 别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值。 【解答】 24. 解：(1) ∵拋物线y = -4 1-m x 2+45m x +m 2-3m +2经过原点，∴m 2-3m +2=0，解得m 1=1，m 2=2， 由题意知m ≠1，∴m =2，∴拋物线的解析式为y = -41x 2+2 5 x ，∵点B (2，n )在拋物线 y = -41x 2+2 5 x 上，∴n =4，∴B 点的坐标为(2，4)。 (2) 设直线OB 的解析式为y =k 1x ，求得直线OB 的解析式为 y =2x ，∵A 点是拋物线与x 轴的一个交点，可求得A 点的 坐标为(10，0)，设P 点的坐标为(a ，0)，则E 点的坐标为 (a ，2a )，根据题意作等腰直角三角形PCD ，如图1。可求 得点C 的坐标为(3a ，2a )，由C 点在拋物线上，得 2a = -41?(3a )2+25?3a ，即49a 2-211a =0，解得a 1=9 22，a 2=0 (舍去)，∴OP =9 22 。 依题意作等腰直角三角形QMN ，设直线AB 的解析式为y =k 2x +b ，由点A (10，0)， 点B (2，4)，求得直线AB 的解析式为y = -2 1 x +5，当P 点运动到t 秒时，两个等腰 直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况： 第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ 为等腰直角三 角形。此时OP 、DP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、2t 个单位。∴PQ =DP =4t ， ∴t +4t +2t =10，∴t =7 10 。 第二种情况：PC 与MN 在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM 为等腰直角三 角形。此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。∴OQ =10-2t ，∵F 点在
初中数学最值问题典型例题(含解答分析)
中考数学最值问题总结 考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 （2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA PB +的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于 点P，则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三 角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。 A B A'′P l
例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.
初中数学10大解题方法及典型例题详解
初中数学10大解题方法及典型例题详解 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 例题： 用配方法解方程x2+4x+1=0，经过配方，得到( ) A．(x+2) 2=5 B．(x－2) 2=5 C．(x－2) 2=3 D．(x+2) 2=3 【分析】配方法：若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算。【解】将方程x2+4x+1=0， 移向得：x2+4x=－1， 配方得：x2+4x+4=－1+4， 即(x+2) 2=3； 因此选D。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 例题： 若多项式x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），则m的值为（）A．-2 B．2 C．0 D．1 【分析】根据因式分解与整式乘法是相反方向的变形，先将（x-1）（x+3）乘法公式展开，再根据对应项系数相等求出m的值。
【解】∵x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3）， 即x2+mx-3=（x-1）（x+3）， ∴x2+mx-3=（x-1）（x+3）=x2+2x-3， ∴m=2； 因此选B。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 例题： 已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，则x2+y2的值为（） A．-5或1 B．1 C．5 D．5或-1 【分析】解题时把x2+y2当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单【解】设x2+y2=t，t≥0，则原方程变形得 (t+1)(t+3)=8，化简得： (t+5)(t-1)=0， 解得：t 1=-5，t 2 =1 又t≥0 ∴t=1 ∴x2+y2的值为只能是1． 因此选B． 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求
初中数学专题典型例题训练
第一讲：实数与代数专题典型例题讲解 一实数 1. 例：在14-和15 -之间，请写出两个有理数： . 2. 有理数2 2 3 1 2, (2), 2, 2 ---- 按从小到大的顺序排列是（ ） A ．322122< (2) 2-<--<-， B . 223 12< (2) 22 -<--<- C . 22312< (2) 22-<--<-, D . 232 12< 2(2)2 -<--<- 3. 将一刻度尺如图所示放在数轴上 （数轴的单位长度是1CM ），刻度尺上的“0cm ”和 “15cm ”分别对应数轴上的－3.6和x ，则（ ） A ．9＜x ＜10； B ．10＜x ＜11； C ．11＜x ＜12； D ．12＜x ＜13； 4. 下列说法正确的是（ ） A ．互为相反数的两个数一定不相等； B ．互为倒数的两个数一定不相等； C ．互为相反数的两个数的绝对值相等； D ．互为倒数的两个数的绝对值相等； 5. 若3x -和7x -是某个实数的平方根，则x = . 6. 若函数()f x 、()g x 满足()()0f x g x +=，当2()f x x x =-+，则函数()g x 的最小值为： 7. 有理数A 、B 、C 在数轴上的位置如图所示，则式子|A |+|B |+|A +B |+|B -C |化简结果为.[ ]. .A ．2A +3B -C...B ．3B -C..C ．B +C....D ．C -- 8. 若|A -2|＝2-A ，求A 的取值范围。 9. 已知：|x -2|+x -2＝0，.求：(1)x +2的最大值； 10. 单项式3x y π - 的系数是_______，次数是_____。 11. 如果21 13 m n a b +--与5 4a b 的同类项，则M =_____，N =_________。 12. 如图．在正方形ABCD 的边长为3，以A 为圆心，2为半径作圆弧．以D 为圆心， 3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S 1、S 2．则S 1-S 2= . 13. 以Rt △ACB 两条直角边为直径向外作半圆，如图，其面积分别为1S 和2S ，若△ABC 的面积为S ，则12,S S 与S 的关系为 . 14. 若2 2(3)16x m x +-+是完全平方式，则m 的值为： . 15. 若m 2+m -1=0，求m 3+2m 2+2015的值． 16. 若0,0,x xy <<则15y x x y -+---=
初中数学一次函数经典测试题及答案
初中数学一次函数经典测试题及答案 一、选择题 1．某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行于x轴）．下列说法正确的是（）． ①从开始观察时起，50天后该植物停止长高； ②直线AC的函数表达式为 1 6 5 y x =+； ③第40天，该植物的高度为14厘米； ④该植物最高为15厘米． A．①②③B．②④C．②③D．①②③④【答案】A 【解析】 【分析】 ①根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高； ②设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC线段的解析式， ③把x=40代入②的结论进行计算即可得解； ④把x=50代入②的结论进行计算即可得解． 【详解】 解：∵CD∥x轴， ∴从第50天开始植物的高度不变， 故①的说法正确； 设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵经过点A（0，6），B（30，12）， ∴ 3012 6 k b b += ? ? = ? ， 解得： 1 5 6 k b ? = ? ? ?= ? ，
∴直线AC的解析式为 1 6 5 y x =+（0≤x≤50）， 故②的结论正确； 当x=40时， 1 40614 5 y=?+=， 即第40天，该植物的高度为14厘米；故③的说法正确； 当x=50时， 1 50616 5 y=?+=， 即第50天，该植物的高度为16厘米； 故④的说法错误． 综上所述，正确的是①②③． 故选：A. 【点睛】 本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键． 2．一次函数y=ax+b与反比例函数 a b y x - =，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标 系中的图象可以是（） A．B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a-b确定符号，确定双曲
(完整版)初一年级数学经典例题
数学天地： 初一年级数学核心题目赏析 有理数及其运算篇 【核心提示】 有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方. 通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面. 【核心例题】 例1计算：2007 20061 ......431321211?+ +?+?+? 分析 此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆 成 2 1 11211-=?，可利用通项 ()11111+-=+?n n n n ，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解. 解 原式=)20071 20061(......413131212111-++-+-+-）（）（）（ =20071 20061......41313121211- ++-+-+- =20071 1- =2007 2006 例2 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点 分别为A 、B 、C(如右图).化简b c b a a -+-+. 分析 从数轴上可直接得到a 、b 、c 的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b<0、c-b>0. 解 由数轴知，a<0，a-b<0，c-b>0 所以，b c b a a -+-+= -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c 例3 计算：?? ? ??-??? ??-????? ??-??? ??-??? ??-211311 (9811991110011)
(易错题精选)初中数学一次函数经典测试题含答案
（易错题精选）初中数学一次函数经典测试题含答案 一、选择题 1．将直线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ） A ．24y x =- B ．24y x =+ C ．22y x =+ D ．22y x =- 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据“上加下减”、“左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】由“左加右减”的原则可知，将直线y=2x-3向右平移2个单位后所得函数解析式为y=2(x-2)-3=2x-7，由“上加下减”原则可知，将直线y=2x-7向上平移3个单位后所得函数解析式为y=2x-7+3=2x-4， 故选A. 【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 2．如图，函数4y x =-和y kx b =+的图象相交于点()8A m -,，则关于x 的不等式()40k x b ++>的解集为（ ） A ．2x > B ．02x << C ．8x >- D ．2x < 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用函数图象上点的坐标特征得出m 的值，再利用函数图象得出答案即可． 【详解】 解：∵函数y ＝?4x 和y ＝kx ＋b 的图象相交于点A （m ，?8）， ∴?8＝?4m ， 解得：m ＝2， 故A 点坐标为（2，?8）， ∵kx ＋b ＞?4x 时，（k ＋4）x ＋b ＞0， 则关于x 的不等式（k ＋4）x ＋b ＞0的解集为：x ＞2．
故选：A ． 【点睛】 此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用函数图象分析是解题关键． 3．如图，已知一次函数22y x =-+的图象与坐标轴分别交于A 、B 两点，⊙O 的半径为1，P 是线段AB 上的一个点，过点P 作⊙O 的切线PM ，切点为M ，则PM 的最小值为（ ） A ．22 B ．2 C ．5 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：连结OM 、OP ，作OH ⊥AB 于H ，如图，先利用坐标轴上点的坐标特征： 当x=0时，y=﹣x+22=22，则A （0，22）， 当y=0时，﹣x+22=0，解得x=22，则B （22，0）， 所以△OAB 为等腰直角三角形，则AB=2OA=4，OH=12 AB=2， 根据切线的性质由PM 为切线，得到OM ⊥PM ，利用勾股定理得到 PM=22OP OM -=21OP -， 当OP 的长最小时，PM 的长最小，而OP=OH=2时，OP 的长最小，所以PM 的最小值为2213-=． 故选D ． 【点睛】
初中数学知识要点及典型例题
初中数学知识要点及典型例题 第一章实数 第一讲实数的有关概念 【回顾与思考】 知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值 课标要求： 1．使学生复习巩固有理数、实数的有关概念． 2．了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。 3．会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 4．画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。 考查重点： 1．有理数、无理数、实数、非负数概念； 2．相反数、倒数、数的绝对值概念； 3．在已知中，以非负数a2、|a|、 a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。 实数的有关概念
(1)实数的组成 {} ?????????????????????????????????正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 (2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴 时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一 一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数， (3)相反数 实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反 数，零的相反数是零)． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称． (4)绝对值 ?? ???<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a 从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 (5)倒数 实数a(a ≠0)的倒数是a 1(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)； 零没有倒数． 【例题经典】 理解实数的有关概念
中考攻略：初中数学函数知识点大全+典型例题
初中数学函数知识点大全+典型例题 知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零 那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称
点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （3）三顶点 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 知识点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 a b x 2-=时，a b a c y 442-=最值。 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a b 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，a b a c y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时， c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减 小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222 最小。 知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质
初中数学几何证明经典题(含答案)
初中几何证明题 经典题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 A P C D B A F G C E B O D
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
中考数学典型试题及解析答案---常见几何模型
中考数学典型试题及解析 常见几何模型 两个有公共边的三角形ABD 和ABC ，ABC 与DC 交于点M ，则三角形ABC 的面积与三角形ABD 的面积之比等于CM 与DM 的比。（定理描述对下图所示四种图形都成立） M D C B A M D C B A M D C B A M D C B A 例题讲解 1.右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是 。 【分析】 整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的 条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解. 我们回顾下共边定理，发现右图三角形中存在一个比例关系：
()2:13:4S =+阴影，解得2S =阴影. 2.三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F 为BC 中点，求阴影部分的面积。 C B 【分析】 设CD 交BE 于O CD 交EF 于M ::1:1S ABO S BCO AE EC == ::1:1S ACO S BCO AD DB == 1535S BCO =÷= 1527.5S BDC =÷= 17.5 1.8754 S FCM =?=， 阴影面积5 1.875 3.125=-=平方厘米。 2、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且 BE=1 3 AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积. 【解】根据定理： ABC BED ??=3211??=6 1 ，所以四边形ACDE 的面积就是6-1=5份，这样三角形35÷5×6=42。 3、四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)
(完整)初三数学二次函数经典习题
初三数学二次函数综合练习 卷 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 2 2 3x y -=
11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1-
初中数学典型例题100道
初中数学典型例题100道（二） 选择填空题150道 一．选择题： 7，如图，直线，点A1坐标为（1，0），过点A1作x的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2x的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A5的坐标为（，）． 8，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2．若将此直角三角形的一条直角边BC或AC与x轴 重合，使点A或点B刚好在反比例函数（x＞0）的图象上时，设△ABC在第一象限部分的面 积分别记做S1、S2（如图1、图2所示）D是斜边与y轴的交点，通过计算比较S1、S2的大小． 9，若不论k为何值，直线y=k（x﹣1）﹣与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点，求a、b、c的值。 10，如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1． ①b2＞4ac； ②4a﹣2b+c＜0； ③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5； ④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2． 上述4个判断中，正确的是（）
A．①②B．①④C．①③④ D．②③④ 二，解答题 4，如图，在平面直角坐标系中，将直线y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后恰好经过B（﹣3，0）及y轴上的C点．若抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），且经过点C，其对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F． （1）求直线BC及抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，若∠APD=∠ACB，求点P的坐标； （3）在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形EFOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由． 5，如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（A点在B点左侧），顶点为D． （1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标； （2）将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A′，试求A′的坐标； （3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠BPC=∠BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
初中数学(函数)专题辅导讲义与典型例题解析汇编
目录： 一次函数(含答案) 反比例函数(含答案) 二次函数的应用(含答案 函数的综合应用(含答案) 一次函数 【回顾与思考】 一次函数0,0,y y x k y x ?≠??? ≠???>?? ??0,b>0，而k=2， 只需考虑m-2>0．由222120 m m m ?--=?->?便可求出m 的值． 用待定系数法确定一次函数表达式及其应用 例2 （2006年济宁市）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm ）存在一种换算关系，?下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值： （1）分析上表， （2）设鞋长为x ，“鞋码”为y ，求y 与x 之间的函数关系式； （3）如果你需要的鞋长为26cm ，那么应该买多大码的鞋？ 【评析】本题是以生活实际为背景的考题．题目提供了一个与现实生活密切联系的问题情境，以考查学生对有关知识的理解和应用所学知识解决问题的能力，同时为学生构思留下了空间． 建立函数模型解决实际问题 例3 （2006年南京市）某块试验田里的农作物每天的需水量y （千克）与生长时间x （天）之间的关系如折线图所示．?这些农作物在第10?天、?第30?天的需水量分别为2000千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克．
初中数学经典几何题及答案
4e d c 经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 N F E C D
P C G F B Q A D E 经典难题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二） 经典难题（三） 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二） · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A A F D E
初中数学一次函数知识总结和经典例题
一次函数复习课 知识点1 一次函数和正比例函数的概念 若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数. 【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定. （2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数. （3）当b=0，k ≠0时，y= kx 仍是一次函数. （4）当b=0，k=0时，它不是一次函数. 知识点2 函数的图象 把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线． 知识点 3一次函数的图象 由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ． 由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-k b ，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.知识点4 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质 （1）k 的正负决定直线的倾斜方向； ①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大； ②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小． （2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）； （3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置； ①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上； ②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．
初中数学基础知识及经典题型
综合知识讲解 目录 第一章绪论 (2) 1.1初中数学的特点 (2) 1.2怎么学习初中数学 (2) 1.3如何去听课 (5) 1.4几点建议 (6) 第二章应知应会知识点 (8) 2.1代数篇 (8) 2.2几何篇 (12) 第三章例题讲解 (19) 第四章兴趣练习 (38) 4.1代数部分 (38) 4.2几何部分 (60) 第五章复习提纲 (65)
第一章绪论 1.1初中数学的特点 １． ２． ３． ４． ５． ６． ７． ８． ９． １０． １１． １２． １３． １４． １５． １６． 1.2怎么学习初中数学 1，培养良好的学习兴趣。 两千多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”意思说，干一件事，知道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。“好”和“乐”就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣。兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它就要去实践它，达到乐在其中，有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。
在数学学习中，我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程，这自然会变为立志学好数学，成为数学学习的成功者。那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢？ （1）课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。 （2）听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。 （3）思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。 （4）听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的？ （5）把概念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念也回归于现实生活，如角的概念、直角坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的。只有回归现实才能对概念的理解切实可*，在应用概念判断、推理时会准确。2，建立良好的学习数学习惯。 习惯是经过重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要。建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。良好的学习数学习惯还包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保证每天有一定的自学时间，以便加宽知识面和培养自己再学习能力。 3，有意识培养自己的各方面能力。 数学能力包括：逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和分析解决问题能力共五大能力。这些能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。在平时学习中要注意开发不同的学习场所，参与一切有益的学习实践活动，如数学第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等活动。平时注意观察，比如，空间想象能力是通过实例净化思维，把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进行分析推理。其它能力的培养都必须学习、理解、训练、应用中得到发展。特别