初中数学典型例题100道
初中数学典型例题100道（二）
选择填空题150道
一．选择题：
7，如图，直线，点A1坐标为（1，0），过点A1作x的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2x的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A5的坐标为（，）．
8，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2．若将此直角三角形的一条直角边BC或AC 与x轴重合，使点A或点B刚好在反比例函数（x＞0）的图象上时，设△ABC在第一象限部
分的面积分别记做S1、S2（如图1、图2所示）D是斜边与y轴的交点，通过计算比较S1、S2的大小．
9，若不论k为何值，直线y=k（x﹣1）﹣与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点，求a、b、c的值。
10，如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．
①b2＞4ac；
②4a﹣2b+c＜0；
③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；
④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．
上述4个判断中，正确的是（）
A．①② B．①④ C．①③④D．②③④
二，解答题
4，如图，在平面直角坐标系中，将直线y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后恰好经过B（﹣3，0）及y轴上的C点．若抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），且经过点C，其对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F．
（1）求直线BC及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，若∠APD=∠ACB，求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形EFOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．
5，如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（A点在B点左侧），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A′，试求A′的坐标；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠BPC=∠BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（﹣3，0），（0，3），对称轴直线x=﹣1交x轴于点E，点D为顶点．（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方的抛物线上一点，且S△PAC=2S△DAC，求点P的坐标；
（3）点M是第一象限内抛物线上一点，且∠MAC=∠ADE，求点M的坐标．
[高考数学]高考数学函数典型例题
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③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长） 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .
(完整版)初中数学二次函数专题经典练习题(附答案)
二次函数总复习经典练习题 1．抛物线y=－3x2＋2x－1 的图象与坐标轴的交点情况是( ) (A) 没有交点．(B) 只有一个交点． (C) 有且只有两个交点．(D) 有且只有三个交点． 2．已知直线y=x 与二次函数y=ax2－2x－ 1 图象的一个交点的横坐标为1，则 a 的值为( ) (A)2 ．(B)1 ．(C)3 ．(D)4 ． 3．二次函数y=x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，则△ ABC的面积为( ) (A)6 ．(B)4 ．(C)3 ．(D)1 ． 2 4．函数y=ax 2＋bx＋ c 中，若a> 0，b< 0，c<0，则这个函数图象与x 轴的交点情况是( ) (A) 没有交点． (B) 有两个交点，都在x 轴的正半轴． (C) 有两个交点，都在x 轴的负半轴． (D) 一个在x 轴的正半轴，另一个在x 轴的负半轴． 5．已知(2 ，5) 、(4 ，5)是抛物线y=ax2＋bx＋c 上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是( ) a (A) x= ．(B) x=2．(C) x=4．(D) x=3． b 6．已知函数y=ax2＋bx＋ c 的图象如图 1 所示，那么能正确反映函数y=ax＋ b 图象的只可能是( ) 7．二次函数y=2x2－4x＋5 的最小值是_____ ． 2 8．某二次函数的图象与x轴交于点( －1，0) ，(4 ，0) ，且它的形状与y=－x2形状相同．则这个二次函数的解析式为_____ ． 9．若函数y=－x2＋4 的函数值y> 0，则自变量x 的取值范围是______ ． 10．某品牌电饭锅成本价为70 元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：
初中数学最值问题典型例题
初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．
指数函数经典例题(标准答案)
指数函数 1．指数函数的定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 的图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且的图象和性质。 a>10 ()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中 间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x 的取值范围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． 中考数学最值问题总结 考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 （2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA PB +的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于 点P，则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三 角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。 A B A'′P l 例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由. 初中数学10大解题方法及典型例题详解 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 例题： 用配方法解方程x2+4x+1=0，经过配方，得到( ) A．(x+2) 2=5 B．(x－2) 2=5 C．(x－2) 2=3 D．(x+2) 2=3 【分析】配方法：若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算。【解】将方程x2+4x+1=0， 移向得：x2+4x=－1， 配方得：x2+4x+4=－1+4， 即(x+2) 2=3； 因此选D。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 例题： 若多项式x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），则m的值为（）A．-2 B．2 C．0 D．1 【分析】根据因式分解与整式乘法是相反方向的变形，先将（x-1）（x+3）乘法公式展开，再根据对应项系数相等求出m的值。 【解】∵x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3）， 即x2+mx-3=（x-1）（x+3）， ∴x2+mx-3=（x-1）（x+3）=x2+2x-3， ∴m=2； 因此选B。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 例题： 已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，则x2+y2的值为（） A．-5或1 B．1 C．5 D．5或-1 【分析】解题时把x2+y2当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单【解】设x2+y2=t，t≥0，则原方程变形得 (t+1)(t+3)=8，化简得： (t+5)(t-1)=0， 解得：t 1=-5，t 2 =1 又t≥0 ∴t=1 ∴x2+y2的值为只能是1． 因此选B． 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求 对数函数图像和性质及经典例题 第一部分：回顾基础知识点 对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 对数函数的图象和性质 ○ 1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象； （1） x y 2log = （2） x y 2 1log = （3） x y 3log = （4） x y 3 1log = ○ 2 对数函数的性质如下： 图象特征 函数性质 1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<< 函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞） 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 向y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为R 函数图象都过定点（1，1） 11=α 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a 0log ,10>< 第二部分：对数函数图像及性质应用 例1．如图，A ，B ，C 为函数x y 2 1log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1). (1)设?ABC 的面积为S 。求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值 . 解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1， 则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C . )44 1(log )2(4log 2 3223 1t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5, [)∞++=.541在v v 上是减函数，且1 第一讲：实数与代数专题典型例题讲解 一实数 1. 例：在14-和15 -之间，请写出两个有理数： . 2. 有理数2 2 3 1 2, (2), 2, 2 ---- 按从小到大的顺序排列是（ ） A ．322122< (2) 2-<--<-， B . 223 12< (2) 22 -<--<- C . 22312< (2) 22-<--<-, D . 232 12< 2(2)2 -<--<- 3. 将一刻度尺如图所示放在数轴上 （数轴的单位长度是1CM ），刻度尺上的“0cm ”和 “15cm ”分别对应数轴上的－3.6和x ，则（ ） A ．9＜x ＜10； B ．10＜x ＜11； C ．11＜x ＜12； D ．12＜x ＜13； 4. 下列说法正确的是（ ） A ．互为相反数的两个数一定不相等； B ．互为倒数的两个数一定不相等； C ．互为相反数的两个数的绝对值相等； D ．互为倒数的两个数的绝对值相等； 5. 若3x -和7x -是某个实数的平方根，则x = . 6. 若函数()f x 、()g x 满足()()0f x g x +=，当2()f x x x =-+，则函数()g x 的最小值为： 7. 有理数A 、B 、C 在数轴上的位置如图所示，则式子|A |+|B |+|A +B |+|B -C |化简结果为.[ ]. .A ．2A +3B -C...B ．3B -C..C ．B +C....D ．C -- 8. 若|A -2|＝2-A ，求A 的取值范围。 9. 已知：|x -2|+x -2＝0，.求：(1)x +2的最大值； 10. 单项式3x y π - 的系数是_______，次数是_____。 11. 如果21 13 m n a b +--与5 4a b 的同类项，则M =_____，N =_________。 12. 如图．在正方形ABCD 的边长为3，以A 为圆心，2为半径作圆弧．以D 为圆心， 3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S 1、S 2．则S 1-S 2= . 13. 以Rt △ACB 两条直角边为直径向外作半圆，如图，其面积分别为1S 和2S ，若△ABC 的面积为S ，则12,S S 与S 的关系为 . 14. 若2 2(3)16x m x +-+是完全平方式，则m 的值为： . 15. 若m 2+m -1=0，求m 3+2m 2+2015的值． 16. 若0,0,x xy <<则15y x x y -+---= 初中数学一次函数经典测试题及答案 一、选择题 1．某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行于x轴）．下列说法正确的是（）． ①从开始观察时起，50天后该植物停止长高； ②直线AC的函数表达式为 1 6 5 y x =+； ③第40天，该植物的高度为14厘米； ④该植物最高为15厘米． A．①②③B．②④C．②③D．①②③④【答案】A 【解析】 【分析】 ①根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高； ②设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC线段的解析式， ③把x=40代入②的结论进行计算即可得解； ④把x=50代入②的结论进行计算即可得解． 【详解】 解：∵CD∥x轴， ∴从第50天开始植物的高度不变， 故①的说法正确； 设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵经过点A（0，6），B（30，12）， ∴ 3012 6 k b b += ? ? = ? ， 解得： 1 5 6 k b ? = ? ? ?= ? ， ∴直线AC的解析式为 1 6 5 y x =+（0≤x≤50）， 故②的结论正确； 当x=40时， 1 40614 5 y=?+=， 即第40天，该植物的高度为14厘米；故③的说法正确； 当x=50时， 1 50616 5 y=?+=， 即第50天，该植物的高度为16厘米； 故④的说法错误． 综上所述，正确的是①②③． 故选：A. 【点睛】 本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键． 2．一次函数y=ax+b与反比例函数 a b y x - =，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标 系中的图象可以是（） A．B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a-b确定符号，确定双曲 经典函数测试题及答案 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 数学天地： 初一年级数学核心题目赏析 有理数及其运算篇 【核心提示】 有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方. 通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面. 【核心例题】 例1计算：2007 20061 ......431321211?+ +?+?+? 分析 此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆 成 2 1 11211-=?，可利用通项 ()11111+-=+?n n n n ，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解. 解 原式=)20071 20061(......413131212111-++-+-+-）（）（）（ =20071 20061......41313121211- ++-+-+- =20071 1- =2007 2006 例2 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点 分别为A 、B 、C(如右图).化简b c b a a -+-+. 分析 从数轴上可直接得到a 、b 、c 的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b<0、c-b>0. 解 由数轴知，a<0，a-b<0，c-b>0 所以，b c b a a -+-+= -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c 例3 计算：?? ? ??-??? ??-????? ??-??? ??-??? ??-211311 (9811991110011) （易错题精选）初中数学一次函数经典测试题含答案 一、选择题 1．将直线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ） A ．24y x =- B ．24y x =+ C ．22y x =+ D ．22y x =- 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据“上加下减”、“左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】由“左加右减”的原则可知，将直线y=2x-3向右平移2个单位后所得函数解析式为y=2(x-2)-3=2x-7，由“上加下减”原则可知，将直线y=2x-7向上平移3个单位后所得函数解析式为y=2x-7+3=2x-4， 故选A. 【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 2．如图，函数4y x =-和y kx b =+的图象相交于点()8A m -,，则关于x 的不等式()40k x b ++>的解集为（ ） A ．2x > B ．02x << C ．8x >- D ．2x < 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用函数图象上点的坐标特征得出m 的值，再利用函数图象得出答案即可． 【详解】 解：∵函数y ＝?4x 和y ＝kx ＋b 的图象相交于点A （m ，?8）， ∴?8＝?4m ， 解得：m ＝2， 故A 点坐标为（2，?8）， ∵kx ＋b ＞?4x 时，（k ＋4）x ＋b ＞0， 则关于x 的不等式（k ＋4）x ＋b ＞0的解集为：x ＞2． 故选：A ． 【点睛】 此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用函数图象分析是解题关键． 3．如图，已知一次函数22y x =-+的图象与坐标轴分别交于A 、B 两点，⊙O 的半径为1，P 是线段AB 上的一个点，过点P 作⊙O 的切线PM ，切点为M ，则PM 的最小值为（ ） A ．22 B ．2 C ．5 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：连结OM 、OP ，作OH ⊥AB 于H ，如图，先利用坐标轴上点的坐标特征： 当x=0时，y=﹣x+22=22，则A （0，22）， 当y=0时，﹣x+22=0，解得x=22，则B （22，0）， 所以△OAB 为等腰直角三角形，则AB=2OA=4，OH=12 AB=2， 根据切线的性质由PM 为切线，得到OM ⊥PM ，利用勾股定理得到 PM=22OP OM -=21OP -， 当OP 的长最小时，PM 的长最小，而OP=OH=2时，OP 的长最小，所以PM 的最小值为2213-=． 故选D ． 【点睛】 初中数学知识要点及典型例题 第一章实数 第一讲实数的有关概念 【回顾与思考】 知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值 课标要求： 1．使学生复习巩固有理数、实数的有关概念． 2．了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。 3．会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 4．画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。 考查重点： 1．有理数、无理数、实数、非负数概念； 2．相反数、倒数、数的绝对值概念； 3．在已知中，以非负数a2、|a|、 a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。 实数的有关概念 (1)实数的组成 {} ?????????????????????????????????正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 (2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴 时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一 一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数， (3)相反数 实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反 数，零的相反数是零)． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称． (4)绝对值 ?? ???<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a 从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 (5)倒数 实数a(a ≠0)的倒数是a 1(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)； 零没有倒数． 【例题经典】 理解实数的有关概念 高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 2. 已知).(323 2)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当41||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ） ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈ 有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2g x f x '= ． （1）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明： 3()2 f x ≥． 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 题型三：利用导数研究方程的根 例4：已知函数a x ax x f 313)(23-+-=. （Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）若曲线()f x 上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实 数a 的取值范围. 初中数学函数知识点大全+典型例题 知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零 那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称 点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （3）三顶点 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 知识点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 a b x 2-=时，a b a c y 442-=最值。 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a b 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，a b a c y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时， c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减 小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222 最小。 知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质 初中几何证明题 经典题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 A P C D B A F G C E B O D 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 初三数学二次函数综合练习 卷 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 2 2 3x y -= 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1-初中数学最值问题典型例题(含解答分析)
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